高中数学经典创新题精选60题

1.已知映射f:A →B ,其中A=B =R ，对应法则f:x →y=x 2-2x +2.若对实数k ∈B ,在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ____________.2. 如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象,则x 21+x 22等于 ____________.3. 函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 21)-f (x 22)等于 ____________.4.汽车在行驶中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h)之间有函数关系：g =25001(v -50)2+5 (0<v <150).“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小（单位：L/km),则汽油的使用率最高时，汽车速度是 （km/h).5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元. （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？(2)数列部分新创题4道1．若等比数列{a n }对一切正整数n 都有S n =2a n -1,其中 S n 是{a n }的前n 项和，则公比q 的值为 ____________.2. 等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{nS n}的前11项和为____________.3. 等差数列{a n }中有两项a m 和a k 满足a m =k 1,a k =m1,则该数列前mk 项之和是 . 4. 设f (x )=cx bx ax +++12 (a >0)为奇函数,且 |f (x )|min =22,数列{a n }与{b n }满足如下关系:a 1=2,a n +1=11,2)(+-=-n n n n n a a b a a f .(1)求f (x )的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≢(31)n.1.若π<α<π223,则直线α+αsin cos y x =1必不经过____________.2．若函数f (x +2)=⎩⎨⎧<-≥0),lg(0,tan x x x x ，则f (4π+2)f (-98)等于____________.3．若2231tan 1tan +=+α-α,则sin2α= .4．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f (x )= 1－sin x +1＋sin x 的性质，并在此基础上，作出其在[,]ππ-的草图．（4）向量部分新创题4道1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ） A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB 边的中点2. 已知向量a =(2cos α,2sin α), b =(3cos β,3sin β),其夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+21=0与圆（x -cos β)2+(y +sin β)2=21的位置关系是 . 3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：0)cos(cos ,0)sin(sin =α+π+α=α+π+α（2）四点等分单位圆时，有相应关系为：)23cos()sin()2cos(cos ,0)23sin()sin()2sin(sin =π+α+π+α+π+α+α=π+α+π+α+π+α+α 由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为： . 4．已知向量m =(cos θ,sin θ)和n =(2-sin θ,cos θ),θ∈［π,2π］.(1)求|m +n |的最大值； （2）当|m +n |=528时,求cos(82π+θ)的值.（5）不等式部分新创题4道1．若函数f (x )=min{3+log 41x ,log 2x },其中min{p ,q }表示p ,q 两者中的较小者，则f (x )<2的解集为 ____________.2.点集{(x ,y )|||x |-1|+|y |=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是 ____________.3.如果不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},那么函数y =f (-x )的大致图象是 （ ）4.实系数方程f (x )=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a -1）2+(b -2)2的值域； （3）a+b -3的值域.（6）直线与圆部分新创题4道1.在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n ，连结原点O 与点A n (n ,n +3),用f (n )表示线段OA n 上除端点外的整点个数，则f (2007)= ____________.2．已知函数f (x )=x 2-4x +3,集合M ={（x ,y )|f (x )+f (y )≢0},集合N ={（x ,y )|f (x )-f (y )≣0},则集合M ∩N 的面积是 ____________.3．直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0),与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 ____________.4.直线x=a ,y=x 将圆面x 2+y 2≢4分成若干块，现用5种不同的颜色给这若干块涂色，且共边的颜色不同，每块涂一色，共有260种涂法，则a 的取值范围是 .（7）圆锥曲线新题原创4道1．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为 ____________.2．已知曲线f (x )=x 3+x 2+x +3在x = -1处的切线恰好与抛物线y =2px 2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为____________.3.设A ={（x ,y )|(x -1)2+y 2≢25},B ={(x ,y )|(x +1)2+y 2≢25},C t ={(x ,y )||x |≢t ,|y |≢t ,t >0},则满足C t A ∩B 时，t 的最大值是 ____________.4.已知平面上两点M （-5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|-|PN |=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是 （ ）①y =x +1;②y =2;③y =34x ;④y =2x +1.A.①③B.①②C.②③D.③④（8）空间图形新题原创5道1.有六根细木棒，其中较长的两根分别为3a 、2a ,其余四根均为a ,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 ____________.2．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数n m,那么积m ·n 是 ____________.3.已知平面α∥平面β,直线l ⊂α,点P ∈l ,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 （ ） A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点4. 空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8 cm,AC=BD =10cm,AD=BC =13cm.5.不共面的三条定直线l 1,l 2,l 3互相平行，点A 在l 1上，点B 在l 2上，C 、D 两点在l 3上，若CD =a (定值），则三棱锥A —BCD 的体积 （ ）A.由A 点的变化而变化B.由B 点的变化而变化C.有最大值，无最小值D.为定值集合与简易逻辑部分新题原创3道1.已知集合S={x||2x-1|<1},则使(S ∩T)⊇(S ∪T)的集合T= ____________.2．设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x|y=22x x -},B={y|y=2x ,x>0},则A ×B 等于 ____________. 3.已知集合A={(x,y,z)|x,y,z ∈S,且x<z,y<z},S=(1,2,…,n+1}(n ∈N *). (1)当z=k+1(1≢k ≢n)时,求集合A 的元素个数; (2)当x<y<z 时,求集合A 的元素个数;(3)由(1)、(2)能得到一个关于自然数的恒等式,试证明你的结论.排列、组合、概率部分新题原创3道1.一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为 （ ） A.6 B.12 C.72 D.1442.设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a≡b (modm).已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mon10),则b 的值可以是 （ ） A.2 015 B.2 011 C.2 008 D.2 0063.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下, 从最大面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你 在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为( )A.165B.325 C .61D .以上都不对复数部分新题原创3道1.设f (n )=∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i i i nn(1111N ),则集合{x |x =f (n )}中元素的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.无穷多个2.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a ∈R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z 等于 （ ）A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i 3.对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2∈R )，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复数平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 .12）概率与统计新题原创4道1.设随机变量的分布列为下表所示且 1.6E ξ=，则a b -=( )A ．0.2B ．0.1C ．-0.2D ．-0.42.新入大学的甲刚进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙.第二天，同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.（理）则拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望是 . （文）则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是 .3.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率.4.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

高考数学创新题小题汇编1.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．定义()11,P x y 、()22,Q x y 两点之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．若点()1,3A -，则(,)d A O = ；已知点()1,0B ，点M 是直线30(0)kx y k k -++=>上的动点，(,)d B M 的最小值为 ． 【解析】 4；32 (1)2 3 (01)k kk k ⎧+⎪⎨⎪+<<⎩≥． 先把直线方程改写成：3(1)y k x -=+，则直线是过定点(1, 3)C -且斜率为正的直线．设直线与x 轴交于点P ，与1x =交于点Q ，则PBQ 构成直角三角形．如右图所示．先考虑1k >的情形：此时若M 介于PQ 间例如点3M ，我们有：333333(,)d B M BN N M BN N P BP =+>+=，也就是M 处在PQ 间时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在QP 延长线上例如点1M ：1111(,)d B M BN N M BP =+>，所以此时(,)d B M 在P 点取最小值；若M 在PQ 延长线上例如点2M ：2222(,)d B M BN N M BQ =+>，所以此时(,)d B M 在Q 点取最小值；又由于1k >时BQ BP >，所以综合知3min (,)2d B M BP k==+； 类似地可以知道：若1k <，则M 分别在QP 延长线上、PQ 间、PQ 延长线上时，(,)d B M 分别在P 点，Q 点，Q 点取最小值，又此时BP BQ >，故min (,)23d B M BQ k ==+； 若1k =则BP BQ =，(,)d B M 在PQ 间任意一点都取到最小值．2.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．则坐标原点O 与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ；圆221x y +=上一点与直线20x y +-=上一点的“折线距离”的最小值是 ． 【解析】． 第一问，可直接利用折线距离的几何定义：设直线20x y +-与x 轴、y 轴分别交于点M 、N：则)M，(N ；当点Q 在MN 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O N ≥；当点Q 在NM 的延长线上时，(,)(,)d O Q d O M ≥；当点Q 在MN 之间时，(,)(,)d O Q d O M ≥，min (,)(,)d O Q d O M ==，当Q 点与M 点重合时取到等号．第二问，类似第一问可知，当1P 在单位圆上固定一点时，对于直线MN 上任一点1Q ，当且仅当11PQ x ∥轴时1111(,)d P Q PQ =取最小； 为了求水平距离11PQ 的最小值，如图所示，过1P 作x 轴的平行线交直线MN 于1Q ，过1P 作直线MN 的垂线垂足为1H ；则1111PHPQ 为定值，为直线MN 的倾角的正弦：∴1111PQ =；求水平距离11PQ 的最小值即为求11PH 的最小值； 过O 点作直线MN 的垂线，交单位圆于P ，垂足为H ，则当且仅当1P 与P 重合时，11PH取到最小值PH ；此时过P 作x 轴的平行线交直线MN 于Q ，则11PQ 也取到最小值PQ ；∵2OH ==，1OP =，∴1PH =，PQ =，∴11min (,)d P Q PQ ==，当11,P Q 分别与,P Q 重合时取到等号． 3在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号） 【解析】 ①③④．①设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1x y +=，这是4条线段围成的正方形，如上图所示．②自然错误．更一般地，易见到点P 的“折线距离”等于a 的点的集合同样也是以P 为中心半对角线长为a 的斜45︒正方形，这是欧氏距离下圆的近似；③设点的坐标为(,)x y ，根据定义有1124x x y ++-+=，整理得1122x x y ++-=-，画出其图像是上图所示的六边形，面积为6．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”和为2()a a c >的点的集合也是类似的对称六边形，以MN 为对称轴，以MN 中点为对称中心，长为2a ，高为2()a c -，水平边长为2c ，面积222()S a c =-，这是欧氏距离下椭圆的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．④设点的坐标为(,)x y ，根据定义有111x x +--=，解得12x =±，这是两条竖直直线，如上图所示．更一般地不难证明：若,M N 纵坐标相同，2MN c =，则到,M N 两点的“折线距离”差的绝对值为2()a a c <的点的集合也是两条竖直直线，与MN 中点距离为a ，这是欧氏距离下双曲线的近似；若,M N 横纵坐标均不同时情况将异常复杂．4.已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0m >，对任意x ∈R ，有()f x m x ≤，则称()f x 为F 函数．给出下列函数：①()0f x =；②2()f x x =；③()sin cos f x x x =+；④2()1xf x x x =++；⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有1212()()2f x f x x x --≤．其中是F函数的序号为（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①④⑤D ．①②⑤ 【解析】 C ．()f x m x ≤⇔0x =时(0)0f =，0x ≠时()f x m x≤，即过原点的弦斜率有界．①()0f x =显然满足上面性质；②2()f x x =，(0)0f =但0x ≠时()f x x x=无界；③()sin cos f x x x =+，(0)0f ≠；④2()1xf x x x =++，(0)0f =且0x ≠时2()1413f x x x x =++≤； ⑤如右图所示，()f x 是奇函数则(0)0f =；又1212()()2f x f x x x --≤恒成立，所以所有的弦斜率绝对值有界2，自然2也是过原点的弦的界，所以()2f x x≤（也可以直接取20x =得到）． ．5.定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（x π⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是 ． （γαβ>>）()g x x =，()1g x '=，∴1α=；()ln(1)h x x =+，1()1h x x '=+，∴1ln(1)1ββ+=+；()cos x x ϕ=，()sin x x ϕ'=-，∴cos sin γγ=-，∵γπ⎛⎫∈π ⎪2⎝⎭，，∴3π4γ=因为11y x =+在[)0,+∞内单调递减且从1趋向于0，ln(1)x +在区间[)0,+∞内单调递增从0趋向于+∞，∴两者有唯一交点，即β有唯一解；∵1ln(01)01>++，1ln(11)0.69311<+=+，∴01β<< ∴γαβ>>6.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，；④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ． 【解析】 ②④．①不是拓扑，因为{}a τ∈，{}c τ∈，但{}{}a c τ∉； ②是拓扑，可以逐一验证三条性质都满足； ③不是拓扑，因为全集{,,}X a b c τ=∉；④是拓扑，可以逐一验证三条性质也都满足．7.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()f x 的图象恰好通过()k k *∈N 个格点，则称函数()f x 为k 阶格点函数．下列函数：①()sin πf x x =；②2()π(1)3f x x =-+；③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭； ④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-，其中是一阶格点函数的有 ．（填上所有满足题意的函数的序号）答案：②④．①()sin πf x x =：∵sin π0,m m =∈Z ，∴(,0)m 在()f x 上，()f x 经过无穷个格点(,0)m ；②2()π(1)3f x x =-+：(1)3f =，当1,m m ≠∈Z 时易见()f m 为无理数，∴()f x 只经过(1,3)这个格点； ③21()3x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭： 当2,m m ∈Z ≤时221()33m m f m --⎛⎫== ⎪⎝⎭都为整数，∴()f x 经过无穷个格点2(,3)m m -；④0.6()log (1)f x x =+：(0)0f =；若(), ,f m n m n =∈Z ，则315nm ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于3,5互素，左边当且仅当0n =时才为整数，∴()f x 只经过原点这个格点；⑤1()1f x x =-：若(), ,f m n m n =∈Z ，则(1)1m n -=，解得(,)(2,1)m n =或01-（，），∴()f x 经过两个格点．8.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ） A ．直线l 上的所有点都是“A 点” B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点” C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“A 点” 【解析】 A本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型． 本题采作数形结合法易于求解，如图， 设()A m n ，，(1)P x x -， 则(221)B m x n x --+，，∵A ，B 在2y x =上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎪⎨-+=-⎪⎩ 消去n ，整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= ①∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程①恒有实数解，∴应选A ．9.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点(, )k k k P x y 处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，1112155512 55k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩； ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 【解析】 (1, 2)，(3, 402) 211x x =+，32112x x x =+=+，…，54114x x x =+=+，65115x x x =+-=，……，于是5111k x x +==，522k x +=，533k x +=，544k x +=，*555()k x k +=∈N ；543211y y y y y =====，6512y y =+=，……，于是51525354551k k k k k y y y y y k +++++=====+． 故第6棵树的种植点的坐标为(1, 2)；200854013=⨯+，20083x =，2008402y =，故第2008棵树的种植点坐标为(3, 402)．10.在平面直角坐标系中，点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，{}(,)|4,0,340B x y x y x y =-≤≥≥，则⑴ 点集{}1111(,)|3,1,(,)P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；⑵ 点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为 ．【解析】π；18π+； 点集A 就是整个单位圆；点集B 所表示的区域是如图所示的直角三角形OMN ，其中4OM =，3MN =．⑴ 点集P 是将点集A 中的所有点横坐标加3纵坐标加1得到的，即都进行了一个向量(3,1)n =的平移，所以整体上集合A 也按照向量n 进行了平移，得到的点集P 还是一个半径为1的圆，圆心在(3,1)，所以面积依旧是π； ⑵ 点集Q 实际上可以写成：2222(,)(,)x y BQ x y A ∈=+，其中22(,)x y A +看成是A 按照向量22(,)x y 的平移得到的点集．而22(,)x y A +得到的是以22(,)x y 为圆心半径为1的圆，所以Q 就是所有圆心在OMN ∆里半径为1的圆的并；如图所示：当半径为1的圆在OMN ∆边界上滑动时，分别得到矩形ONQP ，矩形NMSR ，矩形MOUT ；在顶点滚动时，得到三个扇形；所以最终Q 就是图示阴影部分．不难求得面积21111π118π2S ON NM MO OM ON =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+11.一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是 x -，另一个是3x +．设第n 次生成的数的个数为n a ，则数列{}n a 的前n 项和n S = ；若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T = ．【解析】 21n -； 1 (1)3 (2)4 6 (3)n n n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩≥．11a =，22a =，34a =，每次生成数的个数都比上一次翻倍，所以12n n a -=，21n n S =-； 为了研究所有生成数中不同数的个数，我们用一个双排单链表来考察一下生成数的过程：1n =时，只有1个数x ；2n =时，共有3个数：3x x x →+↓- 3n =起，生成的所有数形成了一个双排单链表3A ，其中箭头代表生成过程：3633x x x x x x →+→+↓-+←---4n =时的链表4A 如下：33696336x x x x x x x x x x -→+→+→+↑↓-+←-+←-←---- 这个链表k A 具有这样的规律：①第一排从左往右，第二排从右往左，都是公差为3的等差数列；第一排的x 与第二排的x -对应；②两排项数相同但是错开1项，除掉第一排的尾项与第二排的首项以外，其余项一一对应且互为相反数；③在生成数的过程中，第一排的数只能生成其右边和下边的数，第二排的数只能生成其左边和上边的数，箭头表明了生成的过程；④从n k =到1n k =+时，根据③，链表k A 的中间段不可能再生成新数，只有第一排尾项与第二排首项能生成新数，第一排尾项为两排右边各加一项，变成1k A +两排的新尾项；k A 第二排首项为两排左边各加一项，变成1k A +两排的新首项；⑤根据④，1k A +的链表每排项数比k A 的链表多2，3A 每排有3项，4A 每排有5项，∴(3)k A k ≥每排有23k -项；⑥当1x =时，k A 的第一排被3除余1，第二排被3除余2，所以两排的项不会重复，从而k A 列出了前k 次生成的所有不同的数；∴n T 为链表n A 的项数，即46(3)n T n n =-≥；另外23T =，11T =． 下面给出了链表k A ：3(3)3(2)3(1)3(2)3(3)3(2)x k x x k x k x k x k x x k --→→+-→+-↑↓-+-←-+-←-←---12.如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在函数()f x 的定义域内，就有()f a ，()f b ，()f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”．则下列函数：①()f x ； ②()sin g x x = (0,π)x ∈； ③()ln h x x = [2,)x ∈+∞， 是“Л型函数”的序号为 ． 【解析】 ①③；若,,0a b c >，a b c +>，，故①满足；若,,2a b c ≥，a b c +>，则(1)(1)1a b ab a b --⇒+≥≥，ln ln ln()ln()ln a b ab a b c +=+>≥，故③满足；②反例：3a b ==，π2c =时，,,a b c 构成三角形，但πsin sin 1sin 2a b +<=，故sin ,sin ,sin a b c不构成三角形．13.设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ． 【解析】 2m ≥；11a -≤≤．第一问，依定义，22()x m x +≥在[1,)-+∞上恒成立，即220mx m +≥在[1,)-+∞上恒成立；由于0m ≠，分两种情况讨论：①0m <时，若2mx >-，22mx m <-，矛盾；所以这种情形不存在；②0m >时，在[1,)-+∞上，一次函数22mx m +在1x =-处取到最小值22m m -+，根据题意，只需要最小值220m m -+≥即可，解得2m ≥； ∴实数m 的取值范围是2m ≥；第二问，用数形结合的思想来解决．如图所示，先作出()y f x =的图象，其图象是由三条直线构成的折线，与x 轴有三个交点2(2,0)a -、(0,0)、2(2,0)a ；极大值点22(,)a a -；极小值点22(,)a a -； 而(4)f x +是()f x 沿x 轴向左平移4个单位得到的图象，当且仅当(4)f x +的右端直线整体处于()f x 的左端直线上方时，才有(4)()f x f x +≥恒成立（如图所示的实线与虚线）；即当且仅当22242a a --≤时()f x 才是4高调函数，解得a 的取值范围是[]1,1-．)y14.我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()n *∈N 求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则2425a a += ；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第 项． 【解析】 28，640．2412633a a a a ====，同时2525a =，因此242528a a +=；第k 个5出现在第152k -⋅项，因此第8个5是该数列的第752640⋅=． 15.给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． 表1⑴ 已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；⑵ 若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是 ． 【解析】 ⑴ 或⑵84．考虑怎样的映射f 才能构成优映射，设f 是一个优映射，则： 若(1)1f =，不难知道此时()(2)f i i i n =≤≤，即f 是恒等映射；若11(1)(1)f k k =>，则可知1()(21)f i i i k =-≤≤，此时如果1()1f k =，则又有1()(1)f i i k i n =+≤≤；若1221()()f k k k k =>，则又有12()(11)f i i k i k =+-≤≤，此时又转化成对2()1f k =还是23()f k k =的讨论：若2()1f k =，则2()(1)f i i k i n =+≤≤； 若2332()()f k k k k =>，类似地23()(11)f i i k i k =+-≤≤；如此过程反复进行，至多进行1n -次，最终我们可以得到：f 是n n A A →的优映射，当且仅当存在一个单增序列121(0)t k k k t <<<<≥，使得f 在该序列上是右轮换映射，在其余值是恒等映射，即：1(1)f k =，12()f k k =，…，1()t t f k k -=，()1t f k =，1()(1,,,)t f i i i k k =≠．在本题中，满足()f i i =的解恰有6个的优映射，其轮换序列为1231k k k <<<，有39C 84=种情形，所以满足题意的优映射有84个．16.已知满足条件221x y +≤的点()x y ，构成的平面区域的面积为1S ，满足条件22[][]1x y +≤的点()x y ，构成的平面区域的面积为2S ，（其中[]x 、[]y 分别表示不大于x 、y 的最大整数），则点12()S S ，一定在（ ）A ．直线y x =左上方的区域内B ．直线y x =上C ．直线y x =右下方的区域内D ．直线7x y +=左下方的区域内 【解析】 A ．221x y +≤就是单位圆面，所以1=πS ．而求2S 就要费一番周折了：()()()()()()22[][]1[],[]1,0,0,1,0,0,0,1,1,0x y x y +⇔=--≤，根据取整函数的定义可以画出其图像如下：可见22[][]1x y +≤代表的区域是一个十字，所以25S =．所以A ，B ，C 中只有A 对，D 也是错误的，5π7+>．注：此题如果直接根据[], []x x y y ≤≤而试图得到2222121[][]1x y x y S S +⇒+⇒<≤≤是错误的（虽然结果正确）．由图示可以看到，两块区域并不是互相包含的关系，各自都含有对方没有的部分，22221[][]1x y x y +⇒+≤≤是错误的，例如0.5x y ==-．17.对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）：当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+；而当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=⨯．例如464610⊕=+=,373710⊕=+=，343412⊕=⨯=．在上述定义中，集合(){}*|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．答案：15；,m n 同奇偶时有11组：()()()111,210,,111，，，；,m n 异奇偶时有4组：()()()()112,121,34,43，，，，． 18.示了一个由区间()01，到实数集R 的映射过程：区间()01，中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()01，，如图3．图3中直线AM 与x 轴交于点()0N n ，，则m 的象就是n ，记作()f m n =．⑴ 方程()0f x =的解是x = ；⑵ 下列说法中正确命题的序号是 ．（填出所有正确命题的序号）①114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()f x 是奇函数；③()f x 在定义域上单调递增；④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．【解析】 12；③④．解法一（根据f 的映射方式）：⑴ ()0f x =⇔象点N 与原点O 重合⇔AM 是直径⇔12AM =⇔M 点的初始坐标是12⇔12x =； ⑵①14m =⇔14AM =⇔AM 所对的圆心角为90︒⇔直线AM 的倾角为45︒⇔AM 的斜率为1⇔N 点在原点O 左侧且NO OM =⇔N 点坐标为1-⇔114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；B 图 1图 2图 3②()f x 的定义域是(0,1)，所以肯定不是奇函数；③m 增大⇔AM 弧长增大⇔AM 所对的圆心角增大⇔直线AM 的倾角增大⇔直线AM 的截距即N 点坐标增大⇔()f m 的值增大；④如右图，设f 将M 点映射到N ，P 点映射到Q ，设,,,M N P Q 所对的值分别为,,,m n p q ．则,M P 关于y 轴对称当且仅当,N Q 也关于y 轴对称⇔1AM AP +=当且仅当NO OQ =⇔1m p +=当且仅当0n q +=⇔1m p +=当且仅当()()0f m f p +=⇔()f x 的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称．解法二（写出f 的解析式）：如图所示，f 的映射方式是将弧长AM 映射到ON 的有向长度．设圆心为C ，若M 点对应的值为m ，即弧长AM m =，注意到圆周长为1，则弧长AM所对的圆心角2π2π1mACM m ∠=⋅=，∴ππ2π10222π(2π)π2π11222ACM m m CAM ACM m m ⎧-∠-⎛⎫==< ⎪⎪⎪⎝⎭∠=⎨--∠-+⎛⎫⎪==< ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤，∴190π02190π12CAM m m ANO CAM m m ⎧⎛⎫=︒-∠=< ⎪⎪⎪⎝⎭∠=⎨⎛⎫⎪=︒+∠=< ⎪⎪⎝⎭⎩≤≤根据正切函数的定义，tan tan πA OO N y y ANO m x x -∠==-，其中1A y =，0O O x y ==；解得cot πN x m =-；∴()cot π(01)f m m m =-<<．根据()f m 的解析式，易知()0f x =的解为12x =，命题①②③④中只有③④成立．19.个函数：①2cos y x =； ②31y x =-； ③12x y +=． 其中满足性质：“对于任意1x ，2x ∈R ，若102x x x <<，102x x α+=，022x x β+=，则有12()()()()f f f x f x αβ-<-成立”的函数是 ．（写出全部正确结论的序号）【解析】 ②③．设 ()11xf x x +=-，又记()()1f x f x =，()()()1k k f x f f x +=，1,2,k =，则()2009f x =_________．A ．11x x +-B ．11x x -+ C ．x D ．1x -【解析】 A ．① 容易举出反例：∵(0)(2π)2f f ==，∴取102π0,,2π2x x x ===，则π5π,44αβ==，显然12()()()()0f f f x f x αβ=->-=；② 注意到3()1f x x =-在R 上单调递减，∴102()()()()()f x f f x f f x αβ>>>>，12()()()()f f f x f x αβ-<-恒成立； ③1()2x f x +=在R 上单调递增，∴102()()()()()f x f f x f f x αβ<<<<，12()()()()f f f x f x αβ-<-恒成立．20.满足：12a =，111(234)n n a n a -=-=，，，，则4a = ；若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++的通项公式，其中A B ωϕ，，，均为实数，且0A >，0ω>，π2ϕ<，则此通项公式可以为n a = （写出一个即可）．【解析】 2，2(31)ππ1()332n k a n k +⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦N ．12a =，212a =，31a =-，42a =，…，{}n a 是以3为周期的数列，∵3n n a a +=，∴3是sin()A n B ωϕ++的周期，而sin()A n B ωϕ++的最小正周期是2πω，∴存在正整数m ，使得2π3m ω⋅=，∴2π3m ω=且3m （否则通项公式为常数）．∴12332π4πsin sin sin(2π)33233m m a a a A m B B ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．这里利用了恒等式当3m 时，2π4πsin sin sin(2π)033m m m ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由12B =和2a 可得：4πsin 03m A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，于是存在整数t ，使得2ππ3m t ϕ=+； 由ϕ和13,a a 可得4π3sin π32m A t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π3sin π32m A t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭：① 若31m k =+，13,a a 化为4π3sin π32A t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π3sin π32A t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由0A >知只能有A =且21t s =+为奇数；此时,,A B ω都确定，只差ϕ．由ϕ的形式2π2(31)π5π(21)π2()ππ333m k t s k s ϕ+=+=++=++以及π2ϕ<知π3ϕ=-∴2(31)ππ1()332n k a n k +⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦N② 若32m k =+，即有2π3sin π32A t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4π3sin π32A t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，同上可得A =且2t s =为偶数；但此时2π2(32)π4π2π2()ππ333m k t s k s ϕ+=+=+=++，不可能处在π2ϕ<的范围内；所以这种情况不存在．（注意：答案必列出全部情形，如写成2ππ1332n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即可）21.集R 中定义一种运算“*”，具有性质：①对任意,,**a b R a b b a ∈=；②对任意,*0a R a a ∈=； ③对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-；则0*2= ；函数1()*(0)f x x x x=>的最小值为 ．答案：2；3．WORD 完整版----可编辑----教育资料分享----完整版学习资料分享----22.已知函数f x 由下表给出k 01234a a a a a ，，，，k 的次数．则4a = ；0123a a a a +++= ．【解析】 05，．因为k a 等于在总共5个数中k 出现的次数，由于次数必定为整数且最多为5，所以必定有{}0 1 2 3 4 5k a ∈，，，，，； ①不存在5k a =的情形；即{}0 1 2 3 4k a ∈，，，，； 否则若5k a =，则代表k 出现5次，于是这5个数为,,,,k k k k k ；而又5k a =，所以这5个数只能为5,5,5,5,5；于是05a =但0出现0次，矛盾；②01234012345012345a a a a a a a a a a ++++=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⎩；一方面，01234a a a a a ，，，，中共5个数，这些数的和为01234a a a a a ++++； 另一方面，01234a a a a a ，，，，中只有0a 个0，1a 个1，2a 个2，3a 个3，4a 个4，除此之外没有别的数（由①），所以总共只有01234a a a a a ++++个数，这些数的和为0123401234a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅；两方面对比即得0123401234012345a a a a a a a a a a ++++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=； ③40a =；01235a a a a +++=； 由②知41a ≤（否则445a >）；下面我们证明40a =； 不然，若41a =，则01230123401231a a a a a a a a +++=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅=⎩，这个方程组只有唯一解（由①）：()01234,,,,(3,1,0,0,1)a a a a a =，于是这里03a =但0出现2次，矛盾；∴40a =，这里已经可以解答原题，如果想求出每个数的值，还要继续往下： ④30a =；由③得01230123501235a a a a a a a a +++=⎧⎨⋅+⋅+⋅+⋅=⎩，∴31a ≤；若31a =，则01201240122a a a a a a ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，解得()01234,,,,(3,0,1,1,0)a a a a a =或(2,2,0,1,0)，这两个解都能轻松导出矛盾；∴30a =；⑤()01234,,,,(2,1,2,0,0)a a a a a =；由③④得01201250125a a a a a a ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，解得()01234,,,,(0,5,0,0,0)a a a a a =或(1,3,1,0,0)或(2,1,2,0,0)，前两个解都能轻松导出矛盾，只有最后一组解经检验符合题意：此时(2,1,2,0,0)中正好恰有2个0，1个1，2个2，0个3，0个4．。

高中兴趣数学题带答案篇一：兴趣数学题带答案兴趣数学题带答案1、一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。

征询他赚了多少？答案：2元2、假设有一个池塘，里面有无穷多的水。

现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。

征询题是如何只用这2个水壶从池塘里获得3升的水。

答案：先用5升壶装满后倒进6升壶里，在再将5升壶装满向6升壶里到，使6升壶装满为止，如今5升壶里还剩4升水将6升壶里的水全部倒掉，将5升壶里剩下的4升水倒进6升壶里，如今6升壶里只有4升水再将5升壶装满，向6升壶里到，使6升壶里装满为止，如今5升壶里就只剩下3升水了3、一个农夫带着三只兔到集市上去卖，每只兔大概三四千克，但农夫的秤只能称五千克以上，征询他该如何称量。

答案：先称3只，再拿下一只，称量后算差。

4、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背回家，每次最多能背50根，但是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，征询猴子最多能背回家几根香蕉？答案：25根先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下。

回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根。

再拿起地上的25根，一共50根，接着往家走，一共25米，要吃25根，还剩25根到家。

5、一天有个年轻人来到王老总的店里买一件礼物,这件礼物本钱是18元，售价是21元。

结果是这个年轻人掏出100元要买这件礼物。

王老总当时没有零钱，用那100元向街坊换了100元的零钱，找给年轻人79元。

但是街坊后来觉察那100元是假钞，王老总无奈还了街坊100元。

如今征询题是：王老总在这次买卖中到底损失了多少钱?答案：97元6、一个四位数与它的各个位上的数之和是1972，求这个四位数答案：由因此四位数，和是1972 因此这个四位数的千位上一定是1，由于它不能是0，也不能大于1. 因此这个数确实是1xxx。

m O P Q M N 高考理科数学创新题专题（13页，含详解）1、集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.那么A 中一切元素之和等于〔 〕A ．3240B ．3120C ．2997D ．28892、函数f(x)=a 2x +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x=－2b a对称.据此可推测，对恣意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 m[f(x)]2+nf(x) +p=0的解集都不能够是 〔 〕A. {}1,2 B .{}1,4 C .{}1,2,3,4 D. {}1,4,16,643、对数列{}n a ，假设*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++成立，其中*n ∈N ，那么称{}n a 为k 阶递归数列．给出以下三个结论：① 假定{}n a 是等比数列，那么{}n a 为1阶递归数列；② 假定{}n a 是等差数列，那么{}n a 为2阶递归数列；③ 假定数列{}n a 的通项公式为2n a n =，那么{}n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是〔 〕A ．0 B.1 C.2 D.34、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK从PN 动身绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转进程中，PK 交⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =， 那么()f x 的图象大致是〔 〕 A B C D5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量123(,,)X x x x =，定义范数||||X ，它满足以下性质： (1)||||0X ≥，当且仅当X 为零向量时，不等式取等号；〔2〕对恣意的实数λ， ||||||||||X X λλ=⋅〔注：此处点乘号为普通的乘号〕。

高三数学创新题解题关键：（1）注意把握题意——新定义的题型中注意性质、运算法则； 【定义类型】1、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为“孪生函数”，则函数的解析式为2x y =，值域为{}2,5的“孪生函数”共有（ ）A ．8个B ．9个C ．10 个D ．无数个2、对于函数)(x f 与)(x g 和区间E ，如果存在E x ∈0，使1|)()(|00<-x g x f ，则我们称函数)(x f 与)(x g 在区间E 上“互相接近”．那么下列所给的两个函数在区间),0(+∞上“互相接近”的是( )A ．2)(x x f =，32)(-=x x gB ．x x f =)(，2)(+=x x gC ．x e x f -=)(，xx g 1)(-= D ． x x f ln )(=，x x g =)(3、对于函数()()y f x y g x ==与，在它们的公共定义域内，若()()f x g x -随着自变量x 的增大而增大，则称函数()f x 相对于函数()g x 是“渐先函数”，下列几组函数中： ①()()1;f x x g x ==与 ②2()2()log ;x f x g x x ==与 ③2()2();xf xg x x ==与④2()()xf x eg x x ==与函数()f x 相对于函数()g x 是“渐先函数”的有（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④4、若*∈∈N n R x ,，规定：()()()121-+++=n x x x x H nx ，例如：()()()612333-=-⋅-⋅-=-H ，则函数()73-⋅=x H x x f ( )A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数5、若直角坐标平面内的两个不同点M 、N 满足条件：① M 、N 都在函数()y f x =的图像上； ② M 、N 关于原点对称. 则称点对[,]M N 为函数()y f x =的一对“友好点对”.（注：点对[,]M N 与[,]N M 为同一“友好点对”）已知函数32log (0)()4(0)x x f x x x x >⎧=⎨-- ⎩≤，此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【定义运算】1、在集合{,,,}a b c d 定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗()a c ⊕=（ ）A ．aB ．bC ．cD ．d2、已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若x m x x f ln )(-+=的保值区间是[,)e +∞，则m 的值为 .3、设函数()(0,1),[]1xxa f x a a m a =>≠+表示不超过实数m 的最大整数， 则函数11()[()][()]22g x f x f x =-+--的值域为______________．4. 定义区间],[21x x )(21x x <的长度为12x x -，已知函数|log |21x y =的定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 长度的最大值与最小值的差为 。

高考数学开放性、探究性、应用性建模创新题精选一、单选题1．某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示（ ）A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者2．高斯函数也称取整函数，记作[]x ，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]6,[ 4.1]5=−=−，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域．下列关于高斯函数[]y x =的性质叙述错误的是（ ）A ．[]y x =值域为Z B ．[]y x =不是奇函数 C ．[]y x x =−为周期函数D ．[]y x =在R 上单调递增3．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3．若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为（ ）A ．100πB ．600C ．200πD ．300π4．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：0101ln t k θθθθ−=−−（t 为时间，单位分钟，0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设一杯开水温度1100θ=℃，环境温度020θ=℃，常数0.2k =，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：ln 20.7≈）（ ）A ．9B ．8C ．7D ．65．如图所示，“伦敦眼（TheLondonEye ）”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，同时也是伦敦的地标.“伦敦眼”为庆祝新千年2000年而建造，因此又称“千禧摩天轮”.乘客可以乘坐“伦敦眼”升上半空，鸟瞰伦敦.“伦敦眼”共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因宗教忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等.已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入， m in t 后距离地面的高度()sin()(0,0,(0,2))f t A t B A ωϕωϕπ=++>>∈，“伦敦眼”的旋转半径为60m ，最高点距地面135m，旋转一周大约30min ，现有甲乘客乘坐11号乘坐舱，当甲乘坐“伦敦眼”15min 时，乙距离地面的高度为(75+，则乙所乘坐的舱号为（ ）A ．7或15B ．6或15C ．7或16D ．6或166．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为π3的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点E ，F ，且AE AF ==千米，若要求观景台D 与两接送点所成角EDF ∠与BAC ∠互补且观景台D 在EF 的右侧，并在观景台D 与接送点E ，F 之间建造两条观光线路DE 与DF ，则观光线路之和最长是（ ）A B ．4 C ．D ．57．设函数()y f x =在区间D 上的导函数为()′f x ，()′f x 在区间D 上的导函数为()g x .若在区间D 上，()0<g x 恒成立，则称函数()f x 在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 是常数，4323()1262x mx xf x =−−.若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，则b a −的最大为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．-18．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马P ABCD −（如图），PA ⊥平面ABCD .1==PA AB ，3AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P AEF −外接球的表面积为（ ）A ．72πB ．3πC ．92πD ．7π二、多选题9．在三维空间中，定义向量的外积：a b × 叫做向量a 与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a ab ⊥× ，()b a b ⊥× ，且a ，b 和a b ×构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②a b ×的模sin ,a b a b a b ×= （,a b 表示向量a ，b 的夹角）在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ×=×B ．AB AD AD AB ×=×C ．1111A C AD BD ×与方向相同D ．6||BC AC ×与正方体表面积的数值相等10．定义11222n n n a a a H n −++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“优值”．已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为递减数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）A ．该半正多面体的体积为203B ．该半正多面体过,,A BC C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2VF E +−=12．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为，12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，,A B 为椭圆上两个动点.直线l 的方程为220bx ay a b +−−=.下列说法正确的是（ ）A ．C 的蒙日圆的方程为2223x y b +=B ．对直线l 上任意点P ，0PA PB ⋅>C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF −的最小值为D ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 面积的最大值为26b 三、填空题13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________.14．在平面直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y −++，当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A . ②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 ．15．如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x 的取值范围为________.16．定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角.已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y −+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________. 四、解答题17．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(),m sinA sinB sinC sinA →=+−，(),n c b c a →=+−，//m n→→且2b =.（1）求角B 的大小;（2）在②,,a b c 成等差数列，③222,,a b c 成等差数列这三个条件中任选一个作为已知条件，求ABC 的面积S .(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18．已知函数()2sin()cos cos 4f x x x x ππ=−−+. （1）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）若对πππ,,242424A B C x∀∈+++，恒有()102f x +>成立，且______，求ABC 面积的最大值.在①ABC 的外接圆直径为4，②a 30y ++=截圆22:4O x y +=所得的弦长，③cos A A +任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边.19．已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 上异于短轴端点的两点，点M 满足OM OA OB =+ ，且226OM AB += ，试确定直线OA ，OB 斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.20．记()()()f x f x ′′′′=，()f x ′为()f x 的导函数．若对x D ∀∈，()0f x ′′>，则称函数()y f x =为D 上的“凸函数”．已知函数()32113x e x f x x a =−−−，a ∈R ． （1）若函数()f x 为R 上的凸函数，求a 的取值范围；（2）若函数()y f x x =−在()1,+∞上有极值，求a 的取值范围． 21．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点O 为坐标原点，直线l 过定点(),0T t （其中0t >，1t ≠）与抛物线C 相交于,A B 两点（点A 位于第一象限).（1）当4t =时，求证：OA OB ⊥；（2）如图，连接,AF BF 并延长交抛物线C 于两点1A ，1B ，设ABF 和11A B F 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.22．如图，在多面体111ABC A B C −中，侧面11AA B B 为菱形，1BB ⊥平面ABC ，1CC ⊥平面ABC ，122AB BC CC ===，N 是AC 的中点，M 为棱11A B 上的动点，111BC A B ⊥．（1）证明：平面1BC N ⊥平面11A B N ；（2）当点M 位于棱11A B 的什么位置时，面11BB C C 与面1MNC ，所成的二面角的正弦值最小？答案与提示：1．A ：由图可知，集合S 是集合A 与集合B 的交集， 所以集合S 表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A. 2．D 由高斯函数的定义可知其值域为Z ，故A 正确； [0.5]0,[0.5]1,[]y x =−=−∴= 不是奇函数，故B 正确；易知(1)[1][]x x x x +−+=−，所以[]y x x =−是一个周期为1的周期函数，故C 正确； 当01x < 时，[]0x =，所以[]y x =在R 上不单调，故D 错误． 故选：D。

高考数学创新题一、选择题（共9题）1．（北京卷）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口,,A B C 的机动车辆数如图所示，图中123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段、、的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ）123x x x >> （B ）132x x x >> （C ）231x x x >> （D ）321x x x >> 解：依题意，有x 1＝50＋x 3－55＝x 3－5，∴x 1<x 3，同理，x 2＝30＋x 1－20＝x 1＋10∴x 1<x 2，同理，x 3＝30＋x 2－35＝x 2－5∴x 3<x 2故选C2． （福建卷）对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2；③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖.其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3解析：对于直角坐标平面内的任意两点1122(,),(,)A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121||.AB x x y y =-+- ①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为(x 0，y 0)，x 0在x 1、x 2之间，y 0在y 1、y 2之间，则01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-=2121||.x x y y AB -+-= ③在ABC ∆中，01012020||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+->01200120|()()||()()|x x x x y y y y -+-+-+- =2121||.x x y y AB -+-= ∴命题① ③成立，而命题②在ABC ∆中，若90,oC ∠=则222;AC CB AB +=明显不成立，选B.3．（广东卷）对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-解析：由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.4．（辽宁卷）设○+是R 上的一个运算,A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是(A)自然数集 (B)整数集 (C)有理数集 (D)无理数集解析： A 中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B 中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C 中有理数集满足条件；D 2=不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C 。

创新数学大赛高中试题在数学的海洋中，创新是推动知识前行的风帆。

今年的高中创新数学大赛，旨在激发学生们对数学的热爱和探索精神。

以下是一些精心设计的试题，它们不仅考验学生的数学基础，更挑战他们的创新思维和解决问题的能力。

试题一：几何图形的变换在平面直角坐标系中，给定一个由四个点A(1,2), B(3,4), C(5,1), D(2,0)组成的四边形ABCD。

现在需要通过旋转和平移操作，将这个四边形变换到一个新的位置，使得它的对角线相交于坐标系的原点。

请给出具体的旋转角度和平移向量。

试题二：函数的极限探索考虑函数f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)。

当x趋近于1时，求f(x)的极限。

并证明你的结论。

试题三：概率与统计在一个班级中，有50名学生，他们的成绩分布如下：20名学生成绩在60-69分之间，15名学生成绩在70-79分之间，10名学生成绩在80-89分之间，5名学生成绩在90-99分之间。

假设成绩分布是均匀的，计算这个班级的平均成绩和标准差。

试题四：数列与级数给定一个数列：a1 = 2, a2 = 3, a3 = 5, ...，其中an = an-1 + an-2（对于n > 2）。

求这个数列的第20项。

试题五：组合数学问题在一个有100个座位的电影院里，有10个不同的电影可供选择。

如果每个座位可以独立选择播放的电影，不考虑座位是否被占用，计算总共有多少种不同的电影播放组合。

试题六：线性代数与矩阵给定一个3x3的矩阵A：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0\end{{bmatrix} } \]求矩阵A的特征值和对应的特征向量。

试题七：拓扑学初步考虑一个平面上的简单闭曲线，它将平面划分为内部和外部两个区域。

如果在这个曲线上添加一个点，使得这个点与曲线上的其他点不重合，这个新的图形能否将平面划分为三个区域？请给出你的解释。

第 1 页 共 5 页高中数学创新思维训练（02）1、求函数x x x y +-=)1(的定义域。

2、求)12(log 1)(21+=x x f ，求)(x f 的定义域。

3、根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax A c Ax x c x f ,,)(（A ，c 为常数）。

已知工人组装第4件产品用时30分仲，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值。

4、求函数)4(42)(≥-=x x x f 的反函数。

5、求函数⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x e x x y x 的反函数。

6、已知动点P 在正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面D D BB 11的直线，与正方体表面相交于M 、N. 设BP=x ，MN=y ，求函数)(x f y =的表达式。

7、函数{}{}3,2,13,2,1:→f 满足)())((x f x f f =，求这样的函数个数。

第 2 页 共 5 页8、求函数xy -=11的图像与函数)42(sin 2≤≤-=x x y π的图像所有交点的横坐标之和。

9、某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。

那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]x y =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以怎样表示？10、如图O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点。

设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和。

（1）将y 表示为x 的函数；（2）要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值。

11、已知函数)(x f 满足23)1()(2xx f x f =-，求)(x f 的最小值。

12、已知⎩⎨⎧≤+>=0),1(0,2)(x x f x x x f ，求)34()34(-+f f 的值。

2024届高考数学复习创新题型专项（立体几何）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---2．（2022春ꞏ辽宁大连ꞏ高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径16cm AB =，圆柱体的高8cm BC =，圆锥体的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192πcmB ．2208πcmC ．2272πcmD ．2336πcm3．（2022秋ꞏ安徽ꞏ高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”A OBCD -中，E 为ACD 的重心，若AB a =，AC b = ，AD c = ，则BE = （ ）A ．1122a b c -++ B ．1133a b c -++ C ．2233a b c ++ D ．1133a b c -+- 4．（2022秋ꞏ河南商丘ꞏ高三校联考阶段练习）榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的榫眼的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2021秋ꞏ江西宜春ꞏ高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且2AB CD ==，1BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A ．30B ．2C ．D ．6．（2021春ꞏ陕西榆林ꞏ高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（ ）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.27．（2022ꞏ全国ꞏ高一专题练习）《九章算术》中有这样的图形：今有圆锥，下周三丈五尺，高五丈一尺（1丈10=尺）；若该圆锥的母线长x 尺，则x =（ ）A B C D 8．（2021秋ꞏ吉林四平ꞏ高三四平市第一高级中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为40cm ，则该阿基米德多面体的表面积为（ ）A ．(24800cm +B ．(24800cm +C ．(23600cm +D ．(23600cm + 9．（2022秋ꞏ宁夏吴忠ꞏ高二青铜峡市高级中学校考开学考试）牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为4V V π=牟球，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即38V r V =-牟方盖差，从而计算出343V r π=球.如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则:V V =方差盖（ ）A B ．1 C D ．10．（2022秋ꞏ湖北襄阳ꞏ高二襄阳市第一中学校考阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++ ，则x y z ++=（ ）A ．32B ．23 C ．1 D ．3411．（2022秋ꞏ江西抚州ꞏ高二临川一中校考期中）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm ，上口直径约为28cm ，经测量可知圆台的高约为16cm ，圆柱的底面直径约为18cm ，则该组合体的体积约为（ ）（其中π的值取3）A ．11280cm 3B ．12380cm 3C ．12680cm 3D ．12280cm 312．（2022秋ꞏ安徽ꞏ高三校联考开学考试）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作， 其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”.若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）AB ．3πC ．D ．13．（2022秋ꞏ青海西宁ꞏ高三统考期中）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底､长方形足､器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm ，口长13.5cm ，口宽12cm ，底长12.5cm ，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm ，下部分看作台体，则其体积约为（ ）11.5≈，12.7≈）A ．37460.8cmB ．3871.3cmC ．31735.3cmD ．32774.9cm14．（2022秋ꞏ湖北ꞏ高二校联考期中）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为4，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．23 D ．3415．（2023ꞏ江西抚州ꞏ高三金溪一中校考开学考试）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=+⋅）A ．1.5LB ．2.4LC ．5.0LD ．7.1L16．（2022春ꞏ湖南长沙ꞏ高二湖南师大附中校考阶段练习）波利亚在其论著中多次提到“你能用不同的方法推导出结果吗？”，“试着换一个角度探索下去……”.这都属于“算两次”的原理.另外，更广义上讲，“算两次”也是对同一个问题，用两种及其以上的方法解答出来，即对同一个问题解两次，得到相同的结果，体现殊途同归，一题多解.试解决下面的问题：四面体ABCD 中，AB=CD=6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的表面积为（ ）A ．7925πB ．7320πC ．6316πD ．4π17．（2022秋ꞏ黑龙江齐齐哈尔ꞏ高二齐齐哈尔市第八中学校校考开学考试）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R ，球冠的高为h ，则球冠的面积2S Rh π=．已知该灯笼的高为46cm ，圆柱的高为3cm ，圆柱的底面圆直径为30cm ，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）A ．22090cm πB ．22180cm πC ．22340cm πD ．22430cm π18．（2022秋ꞏ湖北武汉ꞏ高二武汉市第十一中学校考阶段练习）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为43π时，该裹蒸粽的高的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．1019．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．(86++B ．(68+C ．(86+D ．(68+ 20．（2022秋ꞏ江苏连云港ꞏ高三校考阶段练习）刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）A ．B ．24+C ．24+D ．24+二、多选题21．（2021秋ꞏ重庆沙坪坝ꞏ高二重庆市天星桥中学校考阶段练习）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（ ）A ．该玉琮的体积为3π184+(3cm )B ．该玉琮的体积为7π274-(3cm ) C ．该玉琮的表面积为54π+(2cm ) D ．该玉琮的表面积为549π+(2cm )22．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为3cm 2，高为6cm （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积，则（ ） 4.44≈）A ．这两碗馅料最多可包三角粽35个B ．这两碗馅料最多可包三角粽36个C ．这两碗馅料最多可包竹筒粽21个D ．这两碗馅料最多可包竹筒粽20个23．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30︒米，则该正四棱锥的（ ）A ．底面边长为6米BC ．侧面积为D ．体积为立方米 24．（2022秋ꞏ湖北襄阳ꞏ高二校考阶段练习）在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为“鳖臑”.在鳖臑-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，则（ ）A ． 0AB AC ⋅= 可能成立B ． 0BC AC ⋅= 可能成立 C ． 0PA BC ⋅= 一定成立D ． 0BC AB ⋅= 可能成立25．（2022春ꞏ广东广州ꞏ高一广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值可能为( )A B C D 26．（2022ꞏ海南ꞏ统考模拟预测）素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B ．该“十字贯穿体”的表面积是112-C ．该“十字贯穿体”的体积是483-D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路线长为43+27．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上，用平行于平面β且与β距离为d 的平面截两个几何体得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立，若椭半球的短轴6AB =，长半轴5CD =，则下列结论正确的是（ ）A ．椭半球体的体积为30πB ．椭半球体的体积为15πC ．如果4C F FD =，以F 为球心的球在该椭半球内，那么当球F 体积最大时，该椭半球体挖去球F 后，体积为863π D ．如果4C F F D = ，以F 为球心的球在该半球内，那么当球F 体积最大时，该椭半球体挖去球F 后，体积为29π三、填空题28．（2022秋ꞏ上海浦东新ꞏ高二上海市建平中学校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，定义了三个特别重要而基本的多面体，它们是：（1）“堑堵”：两个底面为直角三角形的直棱柱；（2）“阳马”：底面为长方形，且有一棱与底面垂直的棱锥；（3）“鳖臑（biēnào ）”：每个面都为直角三角形的四面体.魏晋时期的大数学家刘徽进一步研究发现：任何一个“堑堵”都可以分割成一个“阳马”和一个“鳖臑”且“阳马”和“鳖臑”的体积比为定值.则此定值为______.29．（2022秋ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市建平中学校考阶段练习）我国古代将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑，如图，在鳖臑S ABC -中，SC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰直角三角形，且AB SC =，则异面直线BC 与SA 所成角的正切值为______．（写出一个值即可，否则有两个答案）30．（2022春ꞏ浙江宁波ꞏ高二校考学业考试）宁波老外滩天主教堂位于宁波市新江桥北堍， 建于清同治十一年（公元 1872 年）. 光绪二十五 （1899年） 增建钟楼， 整座建筑由教堂、钟楼、偏屋组成， 造型具有典型罗马哥特式风格. 其顶端部分可以近似看成由一个正四棱锥和一个正方体组成的几何体， 且正四棱锥的侧棱长为10m ， 其底面边长与正方体的棱长均为6m ， 则顶端部分的体积为__________.31．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）蹴鞠，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四个点(不共面)、、、,2,A B C DAB CD AC BD BC AD======__________．32．（2022春ꞏ福建泉州ꞏ高一泉州五中校考期中）“牟合方盖”（图①）是由我国古代数学家刘徽创造的，其构成是由一个正方体从纵横两侧面作内切圆柱（圆柱的上下底面为正方体的上下底面，圆柱的侧面与正方体侧面相切）的公共部分组成的（图②），假设正方体的棱长为2，则其中一个内切圆柱的表面积为___________；该正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球，所以用任一平行于正方体底面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，根据祖暅原理（夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）可得“牟合方盖”的体积为____________．33．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形ABCD由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中内切球半径为__________，体积为__________.34．（2022ꞏ高二单元测试）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体ABCDFE ，如图，四边形ABCD ，ABEF 均为等腰梯形，AB CD EF ∥∥，平面ABCD ⊥平面ABEF ，梯形ABCD ，ABEF 的高分别为3，7，且6AB =，10CD =，8EF =，则AD BF ⋅= ______，DE = ______．35．（2021秋ꞏ四川广安ꞏ高二四川省武胜烈面中学校校考开学考试）《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）在如图所示的堑堵111ABC A B C -中，12BB BC AB ===且有鳖臑11C ABB -和鳖臑1C ABC -，现将鳖臑1C ABC -的一个面1ABC 沿1BC 翻折180︒，使A 点翻折到E 点，求形成的新三棱锥11C AB E -的外接球的表面积是_________.36．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF 的棱长都是2（如图），P ，Q 分别为棱AB ，AD 的中点，则CP FQ ⋅= ________.37．（2022秋ꞏ辽宁ꞏ高二辽宁实验中学校考期中）阿波罗尼斯（约公元前262－190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(0k >且1)k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是BC 的中点，点P 是正方体表面11DCC D 上一动点（包括边界），且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥D PBC -体积的最大值为______．38．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.即：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．有一个球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直径为8，高为2，利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为______．四、解答题39．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥PO 模型，经测量底面圆O 的直径48cm AB =，母线30cm AP =，若点C 在 AB 上，且π6CAB ∠=，D 为AC 的中点．证明：BC ∥平面POD ；40．（2022秋ꞏ贵州遵义ꞏ高三统考阶段练习）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图，某几何体ABCDEF 有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面ABCD 为矩形，228AB AD EF ===，EF ∥底面ABCD ，且EA ED FB FC ===，M ，N 分别为AD ，BC 的中点.(1)证明：EF AB ∥，且BC ⊥平面EFNM .(2)若EM 与底面ABCD 所成的角为π4，过点E 作EH MN ⊥，垂足为H ，过H 作平面ABFE 的垂线，写出作法，并求H 到平面ABFE 的距离.41．（2022秋ꞏ上海浦东新ꞏ高二上海师大附中校考期中）《九章算术ꞏ商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”如图，在鳖臑ABCD 中，侧棱AB ⊥底面BCD ；(1)若BC CD ⊥，ADB θ∠=1，2BDC θ∠=，3ADC θ∠=，求证：123cos cos cos θθθ⋅=；(2)若1AB =，2BC =，1CD =，试求异面直线AC 与BD 所成角的余弦.(3)若BD CD ⊥，2AB BD CD ===，点P 在棱AC 上运动.试求PBD △面积的最小值.42．（2022秋ꞏ北京ꞏ高二北京一七一中校考期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼ꞏ闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-(1)①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．(2)已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值； (3)设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．参考答案一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ高三专题练习）笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B 【详细分析】由图写出点A 的坐标，然后再利用关于x 轴对称的点的性质写出对称点的坐标.【答案详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1).故选：B.2．（2022春ꞏ辽宁大连ꞏ高一统考期末）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径16cm AB =，圆柱体的高8cm BC =，圆锥体的高6cm CD =，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．2192πcmB ．2208πcmC ．2272πcmD ．2336πcm【答案】C 【详细分析】结合组合体表面积的计算方法计算出正确答案.【答案详解】圆柱、圆锥的底面半径为8cm ，10cm =，所以陀螺的表面积是22π82π88π810272πcm ⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故选：C3．（2022秋ꞏ安徽ꞏ高二合肥市第八中学校联考期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”A OBCD -中，E 为ACD 的重心，若AB a =，AC b = ，AD c = ，则BE = （ ）A ．1122a b c -++ B ．1133a b c -++ C ．2233a b c ++ D ．1133a b c -+- 【答案】B【详细分析】连接AE 并延长交CD 于点F ，则F 为CD 的中点，利用向量的加减运算得答案【答案详解】连接AE 并延长交CD 于点F ，因为E 为ACD 的重心，则F 为CD 的中点，且23AE AF = ()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=-=-=⨯+-=+- 1133a b c =-++ . 故选：B ．4．（2022秋ꞏ河南商丘ꞏ高三校联考阶段练习）榫卯是一种中国传统建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式．凸出的部分叫做榫（或叫榫头），凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）．现要在一个木头部件制作一个榫眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么制作成的榫眼的俯视图可以是（）A．B．C．D．【答案】B【详细分析】利用排除法结合俯视图的定义和已知条件详细分析判断.【答案详解】法一：榫眼的形状和榫头一致，故榫眼的俯视图的轮廓线为虚线且从结果图可知榫眼应为通透的，排除AD；又C选项的结构左下方部分缺了一块，这与榫眼的结构不符，符合条件的只有B．法二：因榫眼的制作部件为长方体，所以，C，D不正确；又榫眼应为通透的，所以A不正确，所以符合条件的只有B．故选B．5．（2021秋ꞏ江西宜春ꞏ高二上高二中校考阶段练习）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，且2AB CD ==，1BC =，利用张衡的结论可得球O 的表面积为（ ）A ．30B ．2C ．D ．【答案】D【详细分析】由BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，将三棱锥A BCD -放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解.【答案详解】如图所示：因为BC CD ⊥，AB ⊥底面BCD ，1BC =，2AB CD ==，所以将三棱锥A BCD -放在长、宽、高分别为2,1,2的长方体中，三棱锥A BCD -的外接球即为该长方体的外接球，外接球的直径3AD ===，利用张衡的结论可得2π5168=，则π=所以球O 的表面积为234π9π2⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：D.6．（2021春ꞏ陕西榆林ꞏ高三校考阶段练习）“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及。

1. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 8，则a+b+c的值为（）A. 10B. 12C. 14D. 162. 在三角形ABC中，∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，若AB=3，则AC的长度为（）A. √3B. 2√2C. √6D. 3√23. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = an + 2^n（n≥1），则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^n - 2D. an = 2^n + 24. 若复数z满足|z+1| = |z-1|，则z的取值范围是（）A. z = 0B. z = 1C. z = -1D. z = ±15. 在直角坐标系中，点A(2,3)，B(-1,1)，C(0,0)，若点P在直线BC上，且|PA| + |PB| = 5，则点P的坐标为（）A. (1,2)B. (1,1)C. (0,1)D. (0,2)二、填空题6. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x) = 0的三个根分别为a、b、c，则a+b+c的值为______。

7. 在等差数列{an}中，若a1 = 2，d = 3，则数列{an}的前n项和Sn = ______。

8. 已知等比数列{an}的公比q = -2，若a1 = 4，则数列{an}的第5项an =______。

9. 在三角形ABC中，若∠A = 60°，∠B = 30°，∠C = 90°，AB = 2，则AC的长度为______。

10. 若复数z满足|z+1| = |z-1|，则z的取值范围是______。

三、解答题11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求证：f(x)在区间（-∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增。

1.已知映射f:A →B ,其中A=B =R ，对应法则f:x →y=x 2-2x +2.若对实数k ∈B ,在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 ____________.2. 如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象,则x 21+x 22等于 ____________.3. 函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (x 21)-f (x 22)等于 ____________.4.汽车在行驶中，汽油平均消耗率g (即每小时的汽油消耗量，单位：L/h)与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h)之间有函数关系：g =25001(v -50)2+5 (0<v <150).“汽油的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最小（单位：L/km),则汽油的使用率最高时，汽车速度是 （km/h).5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元. （1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？1．若等比数列{a n }对一切正整数n 都有S n =2a n -1,其中 S n 是{a n }的前n 项和，则公比q 的值为 ____________.2. 等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项和为S n ,则数列{nS n}的前11项和为 ____________.3. 等差数列{a n }中有两项a m 和a k 满足a m =k 1,a k =m1,则该数列前mk 项之和是 . 4. 设f (x )=cx bx ax +++12 (a >0)为奇函数,且 |f (x )|min =22,数列{a n }与{b n }满足如下关系:a 1=2,a n +1=11,2)(+-=-n nn n n a a b a a f . (1)求f (x )的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≢(31)n.1.若π<α<π223,则直线α+αsin cos y x=1必不经过____________.2．若函数f (x +2)=⎩⎨⎧<-≥0),lg(0,tan x x x x ，则f (4π+2)f (-98)等于____________.3．若2231tan 1tan +=+α-α,则sin2α= .4．函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f (x )= 1－sin x +1＋sin x 的性质，并在此基础上，作出其在[,]ππ-的草图．1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点2. 已知向量a =(2cos α,2sin α), b =(3cos β,3sin β),其夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+21=0与圆（x -cos β)2+(y +sin β)2=21的位置关系是 .3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：0)cos(cos ,0)sin(sin =α+π+α=α+π+α（2）四点等分单位圆时，有相应关系为：)23cos()sin()2cos(cos ,0)23sin()sin()2sin(sin =π+α+π+α+π+α+α=π+α+π+α+π+α+α 由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为： . 4．已知向量m =(cos θ,sin θ)和n =(2-sin θ,cos θ),θ∈［π,2π］.(1)求|m +n |的最大值； （2）当|m +n |=528时,求cos(82π+θ)的值.1．若函数f (x )=min{3+log 41x ,log 2x },其中min{p ,q }表示p ,q 两者中的较小者，则f (x )<2的解集为 ____________.2.点集{(x ,y )|||x |-1|+|y |=2}的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是 ____________.3.如果不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},那么函数y =f (-x )的大致图象是 （ ）4.实系数方程f (x )=x 2+ax +2b =0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）12--a b 的值域；（2）（a -1）2+(b -2)2的值域； （3）a+b -3的值域.（6）直线与圆部分新创题4道1.在坐标平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，连结原点O与点A n(n,n+3),用f(n)表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f(2007)= ____________. 2．已知函数f(x)=x2-4x+3,集合M={（x,y)|f(x)+f(y)≢0},集合N={（x,y)|f(x)-f(y)≣0},则集合M ∩N的面积是____________.3．直线ax+by-1=0(a,b不全为0),与圆x2+y2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有____________.4.直线x=a,y=x将圆面x2+y2≢4分成若干块，现用5种不同的颜色给这若干块涂色，且共边的颜色不同，每块涂一色，共有260种涂法，则a的取值范围是.1．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为 ____________.2．已知曲线f (x )=x 3+x 2+x +3在x = -1处的切线恰好与抛物线y =2px 2相切，则过该抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为____________.3.设A ={（x ,y )|(x -1)2+y 2≢25},B ={(x ,y )|(x +1)2+y 2≢25},C t ={(x ,y )||x |≢t ,|y |≢t ,t >0},则满足C t A ∩B 时，t 的最大值是 ____________.4.已知平面上两点M （-5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|-|PN |=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是 （ ）①y =x +1;②y =2;③y =34x ;④y =2x +1.A.①③B.①②C.②③D.③④1.有六根细木棒，其中较长的两根分别为3a 、2a ,其余四根均为a ,用它们搭成三棱锥，则其中两条较长的棱所在的直线的夹角的余弦值为 ____________.2．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数n m,那么积m ·n 是 ____________.3.已知平面α∥平面β,直线l α,点P ∈l ,平面α、β间的距离为8，则在β内到点P 的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 （ ） A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点4. 空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A 、B 、C 、D ，使得AB=CD =8 cm,AC=BD =10cm,AD=BC =13cm.5.不共面的三条定直线l 1,l 2,l 3互相平行，点A 在l 1上，点B 在l 2上，C 、D 两点在l 3上，若CD =a (定值），则三棱锥A —BCD 的体积 （ ） A.由A 点的变化而变化 B.由B 点的变化而变化 C.有最大值，无最小值 D.为定值集合与简易逻辑部分新题原创3道1.已知集合S={x||2x-1|<1},则使(S ∩T)⊇(S ∪T)的集合T= ____________.2．设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x|y=22x x -},B={y|y=2x ,x>0},则A ×B 等于 ____________. 3.已知集合A={(x,y,z)|x,y,z ∈S,且x<z,y<z},S=(1,2,…,n+1}(n ∈N *). (1)当z=k+1(1≢k ≢n)时,求集合A 的元素个数; (2)当x<y<z 时,求集合A 的元素个数;(3)由(1)、(2)能得到一个关于自然数的恒等式,试证明你的结论.排列、组合、概率部分新题原创3道1.一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为 （ ） A.6 B.12 C.72 D.1442.设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a≡b (modm).已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mon10),则b 的值可以是 （ ） A.2 015 B.2 011 C.2 008 D.2 0063.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下, 从最大面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你 在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为( )A.165B.325 C .61D .以上都不对复数部分新题原创3道1.设f (n )=∈⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i i i nn(1111N ),则集合{x |x =f (n )}中元素的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.无穷多个2.已知方程x 2+(4+i)x +4+a i=0(a ∈R )有实根b ,且z =a +b i ，则复数z 等于 （ ）A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i3.对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2∈R )，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复数平面内对应的点分别为P 1、P 2，点O 为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为 .12）概率与统计新题原创4道1.设随机变量的分布列为下表所示且 1.6E ξ=，则a b -=( )A ．0.2B ．0.1C ．-0.2D ．-0.42.新入大学的甲刚进校时购买了一部新手机，他把手机号码抄给同学乙.第二天，同学乙给他打电话时，发现号码的最后一个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.（理）则拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望是 . （文）则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是 .3.设某公司拥有三支获利是独立的股票，且三种股票获利的概率分别为0.8、0.6、0.5，求（1)任两种股票至少有一种获利的概率；(2)三种股票至少有一种股票获利的概率.4.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。

高中数学经典创新题精选60题1．在实数集R上定义运算*：x*y＝x·(1－y)．若关于x的不等式x*(x－a)＞0的解集是集合{x|－1≤x≤1}的子集，则实数a的取值范围是()A．[0，2]B．[－2，－1)∪(－1，0]C．[0，1)∪(1，2]D．[－2，0]解析：选D.依题意可得x(1－x＋a)＞0.因为其解集为{x|－1≤x≤1}的子集，所以当a≠－1时，0＜1＋a≤1或－1≤1＋a＜0，即－1＜a≤0或－2≤a＜－1.当a＝－1时，x(1－x＋a)＞0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a≤0.故选D.2．A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是()A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.3．在射击训练中，某战士射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是()A．(﹁p)∨(﹁q)为真命题B．p∨(﹁q)为真命题C．(﹁p)∧(﹁q)为真命题D．p∨q为真命题解析：选A.命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题﹁p是“第一次射击没击中目标”，命题﹁q是“第二次射击没击中目标”，故命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是(﹁p)∨(﹁q)为真命题，故选A.4．若函数y＝f(x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f(x1)·f(x2)＝1成立，则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：()①“影子函数”f(x)的值域可以是R；②“影子函数”f(x)可以是奇函数；③若y ＝f (x )，y ＝g (x )都是“影子函数”，且定义域相同，则y ＝f (x )·g (x )是“影子函数”． 上述命题正确的序号是( ) A ．① B ．② C ．③D ．②③解析：选B ．对于①：假设“影子函数”的值域为R ，则存在x 1，使得f (x 1)＝0，此时不存在x 2，使得f (x 1)f (x 2)＝1，所以①错；对于②：函数f (x )＝x (x ≠0)，对任意的x 1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，取x 2＝1x 1，则f (x 1)f (x 2)＝1，又因为函数f (x )＝x (x ≠0)为奇函数，所以“影子函数”f (x )可以是奇函数，②正确；对于③：函数f (x )＝x (x >0)，g (x )＝1x (x >0)都是“影子函数”，但F (x )＝f (x )g (x )＝1(x >0)不是“影子函数”(因为对任意的x 1∈(0，＋∞)，存在无数多个x 2∈(0，＋∞)，使得F (x 1)·F (x 2)＝1)，所以③错．综上，应选B ．5．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.6．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞) B ．[0，3] C ．[0，1]D ．[1，3]解析：选D.因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．7．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－28．设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1解析：选D.根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.9．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.法一：由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3，4)，故选D.法二：在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2，3)，故选D.10．已知点A (1，0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为________．解析：设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C ⎝⎛⎭⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．答案：111．已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2513．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)解析：选C.由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其大致图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3，0)．14．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝±a ， 当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a )． 所以f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0. 解得a >22. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫22，＋∞15．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ，则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ，所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立．答案：S 1＝S 216．已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cosθ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C. 13D ．－14解析：选D.由题意知tan θ＝3，k AB ＝5cos θ－sin θ－sin θ2cos θ＋sin θ－cos θ＝5－2tan θ1＋tan θ＝－14.故选D.17．已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝m ，m ∈(0，1)，则tan θ的可能取值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D.13 解析：选A.由m ∈(0，1)，得sin θ＋cos θ>0，所以θ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4.又因为(sin θ＋cosθ)2＝1＋2sin θcos θ＝m 2，m ∈(0，1)，从而得2sin θcos θ<0，得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.综上可得θ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，则tan θ<－1，所以可能的取值为－3，故选A.18．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C.因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°. 所以m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C.19．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝________． 解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得， m ＝2cos 140°－sin 10°cos 10°＝－2cos 40°－sin 10°cos 10°＝－2cos （30°＋10°）－sin 10°cos 10°＝－3cos 10°cos 10°＝－ 3.答案：－320．已知a 24＋b 2＝1，则|a cos θ＋2b sin θ|的最大值为( )A ．1 B.233C ．2D ．23解析：选C.由a 24＋b 2＝1得a 2＋4b 2＝4.由辅助角公式可得|a cos θ＋2b sin θ|＝a 2＋4b 2|sin(θ＋φ)|＝2|sin(θ＋φ)|，所以最大值为2.故选C.21．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .所以g (x )的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ，单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .22．定义运算|a b c d |＝ad －bc .将函数f (x )＝|3 sin x1 cos x |的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小值为( )A.π3 B.76π C.π6D.56π 解析：选D.f (x )＝|3 sin x 1 cos x |＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋π6)，向左平移φ个单位得到y＝2cos(x ＋π6＋φ)，由题意y ＝2cos(x ＋π6＋φ)是偶函数，所以π6＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(φ>0)．故当k ＝1时，φ的最小值为56π.23．如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋5π6)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )A ．－1B ．1C ．－32D.32解析：选D.由题设并结合图形可知， AB ＝（3）2＋[（3）2＋（T2）2]＝6＋T 42＝6＋π2ω2＝10，得π2ω2＝4，则ω＝π2，所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝32.24．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A .3B ．23C ．33D ．43解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝23，故选B.25.如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足BD ＝12DC ，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，则( )A ．m ＋n 是定值，定值为2B ．2m ＋n 是定值，定值为3 C.1m ＋1n是定值，定值为2 D.2m ＋1n是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E .由AN →＝nAC →可得AC AN ＝1n ，所以AE EM ＝AC CN ＝1n －1，由BD ＝12DC 可得BM ME ＝12，所以AM AB ＝n n ＋n －12＝2n 3n －1，因为AM →＝mAB →，所以m ＝2n 3n －1，整理可得2m ＋1n＝3.法二：因为M ，D ，N 三点共线，所以AD →＝λAM →＋(1－λ)·AN →.又AM →＝mAB →，AN →＝nAC →，所以AD →＝λmAB →＋(1－λ)·nAC →.又BD →＝12DC →，所以AD →－AB →＝12AC→－12AD →，所以AD →＝13AC →＋23AB →.比较系数知λm ＝23，(1－λ)n ＝13，所以2m ＋1n＝3，故选D.26．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c 与x a ＋y b (x ，y 为非零实数)共线，求xy的值．解：设e 1，e 2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ(x a ＋y b )，所以e 1－2e 2＝2λ(x －y )e 1＋λ(x －2y )e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝52λ，则x y 的值为65.27．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A .3B ．23C ．33D ．43解析：选B.因为AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)．由平行四边形法则可知，以PB →，PC →为边组成的平行四边形的一条对角线与AB →反向，且长度相等．因为|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以以PB →，PC →为边的平行四边形为菱形，且除BC 外的对角线长为2，所以BC ＝23，∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×2×23＝23，故选B.28.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－3解析：选A ．法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A ．法二：由b 2－4e·b ＋3＝0得b 2－4e·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A ．29．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋ OB →＝OC →，则a 的值为 ( )A ．±1B ．± 2C ．± 3D ．±2 解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，因为OA →＋OB →＝OC →，所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos∠AOB ＝2，故∠AOB ＝120°． 则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos60°＝22＝|a |2，则|a |＝1，即a ＝±1． 故选A ．30．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)解析：选D.因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 31．P＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{}b |b ＝（1，1）＋n （－1，1），n ∈R 是两个向量集合，则P ∩Q 等于()A.{}（1，1）B.{}（－1，1）C.{}（1，0）D.{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则P ＝{(x ，y )| ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝m ，m ∈R }，所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.32．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0， 与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.33．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13解析：选A ．由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A ． 法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A ．34．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos B ，2cos 2 C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m·n ＝0. (1)求∠C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)因为m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0，所以c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0，sin A ＝2sin A cos C ，又sin A ≠0， 所以cos C ＝12，而C ∈(0，π)，所以∠C ＝π3.(2)由AD →＝DB →知，CD →－CA →＝CB →－CD →， 所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos ∠ACB ＝b 2＋a 2＋ba ＝28.① 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ∠ACB ， 所以a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝2 3.35．若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝（n ＋1）（n ＋2），a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n （n ＋1），故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，n ＋2n ，n ≥2，n ∈N *36．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{}c n 的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4. 又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0.又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0. 所以数列{c n }的变号数为3.37．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有 2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝[2n ＋35]．当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2<2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4<2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.38．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，故选B.39．规定：“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗xx的最小值为________．解析：由题意得1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以k ＝1，故k 的值为1，又f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x ≥1＋2＝3，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号， 故函数f (x )的最小值为3.答案：1 340．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．解析：如图所示，设S 在底面的射影为S ′，连接AS ′，SS ′.△SAB 的面积为12·SA ·SB ·sin∠ASB ＝12·SA 2·1－cos 2∠ASB ＝1516·SA 2＝515，所以SA 2＝80，SA ＝4 5.因为SA 与底面所成的角为45°，所以∠SAS ′＝45°，AS ′＝SA ·cos 45°＝45×22＝210.所以底面周长l ＝2π·AS ′＝410π，所以圆锥的侧面积为12×45×410π＝402π.答案：402π41．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE .解析：取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．答案：③42．如图，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是________．解析：连接DN ，则△MDN 为直角三角形，在Rt △MDN 中，MN ＝2，P 为MN 的中点，连接DP ，则DP ＝1，所以点P 在以D 为球心，半径R ＝1的球面上，又因为点P 只能落在正方体上或其内部，所以点P 的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S ＝18×4πR 2＝π2. 答案：π243．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的； 对于③因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， 所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ， 所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即12BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.44．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′­FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.45．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是()A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．46．在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直； ②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直； ③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)解析：①假设AC 与BD 垂直，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ，而在平面BCD 中，EC 与BD 不垂直，故假设不成立，①错．②假设AB ⊥CD ，因为AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以AB ⊥AC ，由AB ＜BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB ⊥CD ，故假设成立，②正确．③假设AD ⊥BC ，因为DC ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADC ，所以BC ⊥AC ，即△ABC 为直角三角形，且AB 为斜边，而AB ＜BC ，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.答案：②47．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c的最小值为( )A.92 B.94 C ．1D ．9解析：选B.因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )， 所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3， 所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2， 则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝⎛⎭⎫12a ＋2c ＝12⎝⎛⎭⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝⎛⎭⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B.48．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； (2)P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小．解：(1)如图，设B 关于l 的对称点为B ′，AB ′的延长线交l 于P 0，在l 上另任取一点P ，则|P A |－|PB |＝|P A |－|PB ′|<|AB ′|＝|P 0A |－|P 0B ′|＝|P 0A |－|P 0B |，则P 0即为所求．易求得直线BB ′的方程为x ＋3y －12＝0， 设B ′(a ，b )，则a ＋3b －12＝0，①又线段BB ′的中点⎝⎛⎭⎫a 2，b ＋42在l 上，故3a －b －6＝0.②由①②解得a ＝3，b ＝3， 所以B ′(3，3)．所以AB ′所在直线的方程为2x ＋y －9＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0可得P 0(2，5)． (2)设C 关于l 的对称点为C ′，与(1)同理可得C ′⎝⎛⎭⎫35，245.连接AC ′交l 于P 1，在l 上另任取一点P ，有|P A |＋|PC |＝|P A |＋|PC ′|>|AC ′|＝|P 1C ′|＋|P 1A |＝|P 1C |＋|P 1A |，故P 1即为所求．又AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，故由⎩⎪⎨⎪⎧19x ＋17y －93＝0，3x －y －1＝0可得P 1⎝⎛⎭⎫117，267.49．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2的图象上的任意一点，点Q (2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为( )A.855－2B.5C.5－2D.755－2解析：选C.如图所示，点P 在半圆C (实线部分)上，且由题意知，C (1，0)，点Q 在直线l ：x －2y －6＝0上．过圆心C 作直线l 的垂线，垂足为点A ，则|CA |＝5，|PQ |min ＝|CA |－2＝5－2.故选C.50．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0， 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.51．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.17或－1 B ．－1 C ．1或－1D ．1解析：选C.由题意得圆心(1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离为22， 所以|a －a －1|1＋a 2＝22，解得a ＝±1，故选C.52．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0，1)设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p ，因为点N 在以AB 为直径的圆上，所以AN ⊥BN ， 所以－2p＝－1，所以p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎨⎧y －y 1＝x 1p （x －x 1），y －y 2＝x2p （x －x 2），结合①式，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2，则△ABN 的面积S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p （pk 2＋2）3≥22p ，当k ＝0时，取等号，因为△ABN 的面积的最小值为4，所以22p ＝4，所以p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .53．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD 内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1， 即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线， 所以点P 的轨迹为抛物线．54．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．55.如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.56．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m ，n )为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n )的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________．解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式； 第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方式； 第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3＝300. 答案：30057．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )A.14B.13C.23D.12解析：选D.以PB ，PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 P A →＝0，所以PB →＋PC →＝－2P A →，得PD →＝－2P A →，由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的12，所以S △PBC ＝12S △ABC ，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝12.58．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为70.14＝50.由图易知第4、5、6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤109.5≤y ≤10.5， 设事件A 为“甲比乙跳得远”，则x >y ，作出可行域如图中阴影部分所示．所以由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116，即甲比乙跳得远的概率为116.59．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1，2，3}和Q ＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)因为函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1； 若a ＝2，则b ＝－1，1； 若a ＝3，则b ＝－1，1.所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，因为事件“分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ”的个数是15. 所以所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧（a ，b ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0，a >0，b >0， 构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC 部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标C ⎝⎛⎭⎫163，83， 故所求事件的概率P ＝S △BOC S △AOB ＝12×8×8312×8×8＝13.60．设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1，但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③。

2023高中数学数学创新探究复习题集附答案一、选择题1. 设函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，若f(a) = 5，则a的值为多少？A) 2 B) 3 C) 1 D) 42. 已知三角形ABC，∠ABC = 90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm，求AB的长度。

A) 12 cm B) 13 cm C) 14 cm D) 15 cm3. 某商品的原价为100元，打折后的价格为80元，求打折的百分比。

A) 20% B) 30% C) 40% D) 50%二、填空题1. 设函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 10，则a 的值为____，b的值为____，c的值为____。

2. 若a + b = 7，a - b = 3，则a的值为____，b的值为____。

三、简答题1. 解方程2x + 5 = 15，并验证解的正确性。

2. 已知直角三角形的斜边长为10 cm，一条直角边长为6 cm，求另一条直角边的长度。

四、证明题1. 证明直角三角形斜边上的高等于直角边的乘积除以斜边长。

附答案：一、选择题1. A) 22. B) 133. C) 40%二、填空题1. a = 1, b = -4, c = 52. a = 5, b = 2三、简答题1. 解方程2x + 5 = 15：首先，将方程两边减去5，得到2x = 10。

然后，将方程两边除以2，得到x = 5。

验证解的正确性：将x = 5代入原方程，得到2(5) + 5 = 15，左边等式的结果确实等于右边的结果15，所以解正确。

2. 已知直角三角形的斜边长为10 cm，一条直角边长为6 cm，求另一条直角边的长度。

根据勾股定理，假设另一条直角边的长度为x，则有x^2 + 6^2 = 10^2。

化简得x^2 + 36 = 100，再减去36得x^2 = 64，开平方得x = 8。

1、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论：min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．2、对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=∆+。

对自然数k ，规定{}nka ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中)(1111n k n k n k n k a a a a --+-∆∆=∆-∆=∆。

（1）已知数列{}n a 的通项公式),(2N n n n a n ∈+=，试判断{}n a ∆，{}n a 2∆是否为等差或等比数列，为什么？（2）若数列{}n a 首项11=a ，且满足)(212N n a a a n n n n ∈-=+∆-∆+，求数列{}n a 的通项公式。

1. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）( )（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）10932. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的学科&网零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.3. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数；（ii ）女学生人数多于教师人数；（iii ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ． ②该小组人数的最小值为 ．4. 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多5. 设函数33,,()2,.x x x a f x x x a ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤① 若0a =，则()f x 的最大值为 ；② 若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ． 6. 某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊． 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )（A ）2号学生进入30秒跳绳决赛（B ）5号学生进入30秒跳绳决赛（C ）8号学生进入30秒跳绳决赛（D ）9号学生进入30秒跳绳决赛7. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店① 第一天售出但第二天未售出的种；② 这三天售出的商品最种．8. 汽车的“燃油效率”是指每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（A ）消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米（B ）以相同速度行驶相同路程，三辆车中， 甲车消耗汽油最多（C ）甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油（D ）某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油9. 设函数2,1,()4()(2), 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩≥① 若1a =，则()f x 的最小值为_______；② 若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_______． 10. 高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，① 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_______；② 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_______．11. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．总成绩年级名次总成绩年级名次 267语文成绩年级名次数学成绩年级名次OO注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （A ）6升 （B ）8升 （C ）10升（D ）12升12. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人（B ）3人 （C ）4人 （D ）5人13. 设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）．若()f x 在区间ππ[,]62上具有单调性，且π2ππ()()()236f f f ==-，则()f x 的最小正周期为 ．14. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率分钟）满足函数关系2p a t b t =++（,,a b c 是常数），下图记录了三次实验数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（A ）3.50分钟（B ）3.75分钟（C ）4.00分钟（D ）4.25分钟 15. 顾客请一位工艺师把A, B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．16. 设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=．求得m 的取值范围是（A ）4(,)3-∞（B ）1(,)3-∞（C ）2(,)3-∞-（D ）5(,)3-∞-17. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的 中点，点P 在线段1D E 上．点P 到直线1CC 的距离的最小值 为 ．18. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有（A ）3 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个20. 已知点(1,1)A -, (3,0)B , (2,1)C ．若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ−−→−−→−−→=+（12λ≤≤, 01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 ．21. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为22. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <．则m 的取值范围是 ． 23. 设,，,.记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 ( )． A ． B ． C ． D ． 24. 曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹．给出下列三个结论： ① 曲线过坐标原点；② 曲线关于坐标原点对称； ③若点在曲线上，则的面积大于． 其中，所有正确结论的序号是 ． 25. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x轴滚动，设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为_____；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的()0,0A ()4,0B ()4,4C t +()(),4D t t R ∈()N t ABCD ()N t {}9,10,11{}9,10,12{}9,11,12{}10,11,12C ()11,0F -()21,0F ()21a a >C C P C 12F PF ∆212a （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11面积为_______.说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC 沿x 轴负方向滚动.26. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，动点,E F 在棱11A B 上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上． 若1EF =，DP x =，1A E y =（,x y 大于零），则三棱 锥P EFQ -的体积 （A ）与,x y 都有关 （B ）与,x y 都无关 （C ）与x 有关，与y 无关 （D ）与y 有关，与x 无关DABC A 1 B 1C 1D 1P QEF· ·· ·。

高一数学创新试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+5，下列哪个选项是f(x)的最小值？A. 1B. 3C. 4D. 5答案：B解析：函数f(x)=x^2-4x+5是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处。

顶点的x坐标为-b/2a=4/2=2，将x=2代入函数得到f(2)=2^2-4*2+5=1。

因此，最小值为1，选项B正确。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。

A. 21B. 23C. 25D. 27答案：C解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

将n=10，a1=3，d=2代入公式得到a10=3+(10-1)*2=3+18=21。

因此，第10项的值为21，选项A正确。

3. 已知函数f(x)=x/(x+1)，求f(1)+f(2)+f(3)的值。

A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：将x=1,2,3分别代入函数f(x)=x/(x+1)得到f(1)=1/2，f(2)=2/3，f(3)=3/4。

将这三个值相加得到1/2+2/3+3/4=6/4+8/12+9/12=(18+16+12)/12=46/12=23/6。

因此，f(1)+f(2)+f(3)的值为23/6，选项B正确。

4. 已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，求圆心坐标和半径。

A. 圆心(2,3)，半径3B. 圆心(2,3)，半径4C. 圆心(-2,-3)，半径3D. 圆心(-2,-3)，半径4答案：A解析：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

将给定的圆的方程与标准方程比较，可以得到圆心坐标为(2,3)，半径为3。

因此，选项A正确。

二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求导数f'(x)。

答案：f'(x)=3x^2-6x解析：根据导数的定义，对于函数f(x)=x^3-3x^2+2，其导数f'(x)可以通过求每一项的导数得到。

高考数学创新题型精选一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy （x+y ），z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A ．0B ．6C ．12D ．182．设○+是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○+封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22221x ym n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是A ．43B ．72C ．86D ．904．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A ． 5B ． 4C ． 3D ． 25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是A ．48B ．18C ．24D ．366．点P 到点A （21，0），B （a ，2）及到直线x ＝－21的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是A ．21B ．23C ．21或23D ．－21或21 7．如果二次方程 x 2-px-q=0（p,q ∈N*） 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个8．设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）,使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A B ⨯=A ．6EB ．72C ．5FD ．B010．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCA S S∆∆，λ3＝ABCPAB S S ∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则A ．点Q 在△GAB 内B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。

新高考数学创新好题1情境创新之知识综合新高考数学创新好题主题一情境创新之知识综合学科知识综合1.[平面向量与三角函数综合]已知单位向量a,b满足a·b=0,若向量c=a+b,则sin=()A.B.C.D.2.[三角函数与数列综合]已知数列{an}的通项公式是an=f(),其中f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|.-1B.-C.1D.3.[逻辑联结词与二项式、正态分布综合]已知命题p:(x2-)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为495.命题q:随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.7,则P(0给出四个命题:①p∧q,②p∨q,③p∧(?q),④(?p)∨q,其中真命题是()A.①③B.①④C.②③D.②④4.[数列与平面向量综合]设{an}是首项为-10,公差为2的等差数列,{bn}是首项为-,公差为的等差数列.O为原点,向量=(-1,1),=(1,1),点Pn满足=an+bn(n∈N).若存在点Pk(k∈N)位于第一象限,则k=()A.5或6B.6C.7D.6或75.[导数与三角函数综合]已知函数f(x)的定义域为R,f()=-,对任意的x∈R,满足f''(x)>4x.当α∈[0,2π]时,不等式f(sinα)+cos2α>0的解集为()A.(,)B.(,)C.(,)D.(,)6.[函数与数列综合]定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足:当0≤x<2时,f(x)=2x-x2;当x≥2时,f(x)=3f(x-2).若函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1,a2,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,…,bn,…,则a1b1+a2b2+…+a20b20的值为()A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1D.20×320+17.[椭圆与平面向量综合]已知椭圆C:=1,F1,F2分别是其左、右焦点,若对椭圆C上的任意一点P,·>0恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-3,0)∪(0,3)B.[-3,0)∪(0,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3]∪[3,+∞)8.[抛物线与平面向量综合]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,直线PF与抛物线C交于M,N两点,若=4,则|MN|=()A.B.3C.D.9图1-29.[立体几何与函数综合]如图1-2所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的正方形,侧棱AA1=t,P为矩形CDD1C1上及内部的动点,M为BC 的中点,∠APD=∠CPM,三棱锥A1-PCD的体积的最大值记为V(t),则下列关于函数V(t)的结论正确的是()A.V(t)为奇函数B.V(t)在(0,+∞)上单调递增C.V(2)=3D.V(3)=10.[双曲线与解三角形综合]已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A,B,M是E上一点,且△ABM为等腰三角形,其外接圆的半径为a,则双曲线E的离心率为()A.B.+1C.D.+111.[解三角形与平面向量、基本不等式综合] 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a-b,sinC),n=(c-b,sinA+sinB),m=λn(λ≠0),则tanC的最小值为()A.B.2C.D.12.[直线斜率与三角恒等变换综合]若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为,.?13.[数列与双曲线综合]已知一族双曲线En:x2-y2=(n∈N,n≤2019),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a2019=.?跨学科知识综合14.[数学与化学综合]溶液的酸碱度是通过pH来刻画的,已知某溶液的pH等于-lg[H+],其中[H+]表示该溶液中氢离子的浓度,且该溶液中氢离子的浓度为10-6mol/L,则该溶液的pH为()A.4B.5C.6D.715.[数学与物理综合]长江流域内某地南北两岸平行,如图1-3所示,已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4km/h,设v1和v2所成的角为θ(0行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cosθ等于()图1-3A.-B.-C.-D.-16.[数学与物理综合]体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于图1-4所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为()图1-4(参考数据:重力加速度大小取g=10m/s2,≈1.732)A.63kgB.69kgC.75kgD.81kg17.[2020山东,4,5分][数学与地理综合]日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A 处的水平面所成角为()A.20°B.40°C.50°D.90°图1-518.[数学与体育综合]台球运动已有五、六百年的历史,参与者用球杆在台上击球.若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图1-5,有一张长方形球台ABCD,AB=2AD,现从角落A沿角α的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tanα的值为()A.B.C.或D.19.[2020全国卷Ⅱ,12,5分][理][数学与通信技术综合]0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010…B.11011…C.10001…D.11001…20.[数学与化学综合]稠环芳烃类化合物中有不少致癌物质,比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘,它可看作是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳烃类化合物,长期食用会致癌.下面是一组稠环芳烃的结构简式和分子式:名称萘蒽并四苯…并n苯结构简式……分子式C10H8C14H10C18H12……由此推断并十苯的分子式为.?答案主题一情境创新之知识综合1.B解法一由已知知|a|=|b|=1,|c|=|a+b|==3,则cos=,因为∈(0,π),所以sin=.解法二由题可设a=(1,0),b=(0,1),则c=(,),cos=,因为∈(0,π),所以sin=,故选B.2.B由题图可得(T为f(x)的最小正周期),则T=π,ω==2.将(,-1)代入f(x)=sin(2x+φ)中,可得+φ=2kπ+,k∈Z,则φ=2kπ+,k∈Z.又|φ|n=f()=sin,则{an}为周期为6的数列,因为a1=,a2=0,a3=-,a4=-,a5=0,a6=,所以S2020=336S6+(a1+a2+a3+a4)=0-=-.故选B.3.C对于命题p,(x2-)n的展开式中,仅有第7项的二项式系数最大,即最大,所以n=12.展开式的通项公式为Tr+1=··=(-1)r··x24-3r,令24-3r=0,得r=8,故展开式中的常数项为(-1)8·=495,所以p为真命题.对于命题q,根据正态分布的对称性可知P(0假命题.所以p∧q,(?p)∨q为假命题,p∨q,p∧(?q)为真命题,即②③为真命题.故选C.4.D由已知得an=2n-12,bn=-1.因为=an+bn=(2n-12)·(-1,1)+(-1)·(1,1)=(11-,-13),所以点Pn的坐标为(11-,-13),可得Pk(11-,-13).若存在点Pk(k∈N)位于第一象限,则解得造函数g(x)=f(x)-2x2+1,则g''(x)=f''(x)-4x>0,所以函数g(x)在R上为增函数.因为f()=-,所以g()=f()-2×()2+1=0.又f(sinα)+cos2α>0,所以g(sinα)=f(sinα)-2sin2α+1=f(sinα)+cos2α>0=g(),所以sinα>.因为0≤α≤2π,所以α>0的解集为(,).故选D.6.A当0≤x<2时,f(x)=2x-x2=1-(x-1)2,可得f(x)的极大值点a1=1,极大值b1=1,当2≤x<4,即0≤x-2<2时,可得f(x)=3f(x-2)=3[1-(x-3)2],可得a2=3,b2=3,当4≤x<6,即0≤x-4<2时,可得f(x)=9f(x-4)=9[1-(x-5)2],可得a3=5,b3=9,…,即有a20=39,b20=319.记S20=a1b1+a2b2+…+a20b20,则S20=1×1+3×3+5×9+…+39×319①,3S20=1×3+3×9+5×27+…+39×320②,①-②得-2S20=1+2×(3+9+27+…+319)-39×320=1+2×-39×320,化简可得S20=19×320+1,故选A.7.C当点P为短轴上的顶点时,∠F1PF2最大,要使·>0恒成立,则∠F1PF2为锐角,即∠F1PO<45°(O为坐标原点),即tan∠F1PO=<1,所以c29,所以93或m,M(xM,yM),N(xN,yN),因为=4,所以(2,-t)=4(1-xM,-yM),所以解得因为MN为过抛物线焦点的弦,由焦点弦的常用结论(详见主书P215【规律总结】)可得xM·xN==1,所以xN=2,所以xM+xN=.由抛物线的定义,得|MN|=xM+xN+p=+2=,故选C.解法二设准线l与x轴交于点E,点N在第一象限,如图D1-1所示,作MM''⊥l于点M'',NN''⊥l于点N'',则由抛物线的定义知,|MM''|=|MF|,|NN''|=|NF|.因为=4,所以|PF|∶|PM|=4∶3.因为△PFE∽△PMM'',所以,即,解得|MF|=,所以|PF|=6.又△PFE∽△PNN'',所以,即,解得|NF|=3,所以|MN|=|MF|+|NF|=+3=,故选 C.9.D由题意知,AD⊥PD,MC⊥PC.因为∠APD=∠CPM,所以Rt△PDA∽Rt△PCM.又M为BC的中点,所以=2,即PD=2PC,即PD2=4PC2.在平面DCC1D1中,以DC的中点为坐标原点,以DC所在直线为x轴,DC的垂直平分线为y轴,以的方向为x轴的正方向,的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D(-,0),C(,0).设P(x'',y'')(-≤x''≤,0≤y''≤t),则(x''+)2+(y'')2=4(x''-)2+4(y'')2,整理得(y'')2=-(x'')2+5x''-,易知当x''=时,y''取得最大值.若0,则(S△PCD)max=.又A1到平面PCD的距离为3,所以V(t)=所以V(t)为非奇非偶函数,故A错误;函数V(t)在(0,+∞)上不是单调函数,故B错误;V(2)=,故C错误;V(3)=,故D正确.故选D.10.C解法一不妨设M在第一象限,M(x0,y0),因为△ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令∠MAB=θ,则∠AMB=θ,∠ABM=π-2θ,∠MBx=2θ,在△MAB中,由正弦定理可得=2×a,所以sinθ=,则cos2θ=1-2sin2θ=,sin2θ=,则x0=a+2acos2θ=,y0=2asin2θ=,即M(,).又点M在双曲线上,所以·=1,解得=2,则e2=1+=3,则e=,故选C.解法二不妨设M在第一象限,因为△ABM是等腰三角形,所以结合图形可知,只能|AB|=|BM|=2a.令∠MAB=θ,则∠AMB=θ,∠ABM=π-2θ,∠MBx=2θ,由正弦定理可得=2×a,所以sinθ=,则cosθ=,tanθ=,即kMA=,cos2θ=1-2sin2θ=,则sin2θ=,tan2θ==2,即kMB=2,根据kMA·kMB=2=,得e2=1+=3,则e=,故选C.11.C∵m=λn(λ≠0),∴m∥n,∴(a-b)(sinA+sinB)=sinC(c-b),由正弦定理得(a-b)(a+b)=c(c-b),整理得a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cosA=.∵A∈(0,),∴A=,又C∈(0,),∴,∴tanC=tanC.∵△ABC是锐角三角形,且A=,∴解得,∴tanC=tanC≥+2,当且仅当tanC,即tanC=2时等号成立,故tanC的最小值为,选C.图D1-212.-3如图D1-2,以A为原点建系,AC的斜率为2,设AB的倾斜角为θ,则AC的倾斜角为θ+,则tan(θ+)=2.kAB=tanθ=tan(θ+)=,则kAD=-=-3.所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为和-3.13.设An(x0,y0),可得.双曲线En:x2-y2=(n∈N,n≤2019)的渐近线方程为x-y=0,x+y=0.已知点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,不妨设Bn在第一象限内,可得|AnBn|=,|AnCn|=,易知双曲线En的两条渐近线互相垂直,可得AnBn⊥AnCn,则△AnBnCn的面积an=|AnBn|·|AnCn|=··,则a1+a2+a3+…+a2019=×2019×2020=.14.C由题意可得,该溶液的pH为-lg10-6=6.故选C.15.B设游船的实际速度为v,v1与河流南岸上游的夹角为α,v1=,v2=.以AD,AC为邻边作平行四边形如图D1-3所示,要使得游船正好航行到B处,则|v1|cosα=|v2|,即cosα=.又θ=π-α,所以cosθ=cos(π-α)=-cosα=-,故选B.16.B作出示意图,如图D1-4所示,设图中重力为G,两只胳膊的拉力分别为F1,F2,F1与F2的合力为F'',则|G|=|F''|.由余弦定理得|F''|2=4002+4002-2×400×400×cos=3×4002(N2),解得|F''|=400N.所以|G|=400N.所以该学生的体重约为≈69(kg).故选B.图D1-517.B过球心O,点A以及晷针的轴截面如图D1-5所示,其中CD为晷面,GF为晷针所在直线,EF为点A处的水平面,GF⊥CD,CD∥OB,∠AOB=40°,∠OAE=∠OAF=90°,所以∠GFA=∠CAO=∠AOB=40°.故选B.18.C由题意知,可分为两种,且仅有两种情况.第一种情况,球碰撞CD与AB边内沿后进入角落C的球袋中,如图D1-6所示.根据台球碰撞障碍物后也遵从反射定律知,AE=EF=FC,于是根据图形的对称性知E,F分别为CD与AB的三等分点,则DE=DC=AD,所以tanα=tan∠AED=.第二种情况,球碰撞BC与AD边内沿后进入角落C的球袋中,如图D1-7所示.同理,由第一种情况的解法知M,N分别为BC,AD的三等分点,所以BM=BC=AB=AB,所以tanα=.综上可知,选C.图D1-6图D1-719.C对于A,因为C(1)=,C(2)=,不满足C(k)≤,故A不正确;对于B,因为C(1)=,不满足C(k)≤,故B不正确;对于C,因为C(1)=,C(2)==0,C(3)==0,C(4)=,满足C(k)≤,故C正确;对于D,因为C(1)=,不满足C(k)≤,故D不正确.综上所述,故选C.20.C42H24因为表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标分别是10,14,18,…,H的下标分别是8,10,12,…,所以表格中所给的稠环芳烃的分子式中C的下标构成等差数列,设为{am},则首项a1=10,公差为4,所以其通项公式为am=10+(m-1)·4=4m+6,表格中所给的稠环芳烃的分子式中H的下标构成等差数列,设为{bm},首项b1=8,公差为2,所以其通项公式为bm=8+(m-1)·2=2m+6.易知m=n-1,所以并n苯的分子式为C4n+2H2n+4(n≥4,n∈N),所以并十苯的分子式为C42H24.第8页共8页。