北师大版-数学-八年级上册-二元一次方程组的解的情况

⎩ ⎨x - 2 y = 5 ⎨ y = b北师大版八年级上册数学第 19 讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2. 会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程． 要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1） 在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2） “未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.（3） 二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解． 要点诠释：⎧x = 2,(1) 二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： ⎨ y = 5.．(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎧3x + 1 = 0 ⎩ 也是二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1） 二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成⎧x = a 的⎩ 形式．⎩ ⎩⎧2x + y = 5(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎨2x + y = 6无解，而方程组 ⎧x + y = -1 ⎨2x + 2 y = -2 的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程 1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有 ． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；(6) x + 1 = 0 ；(7) 5x + 2 = 1 ；(8) x + 1 y = 3 ；(9) x 2 - 8 y = 0 ；(10)x + 4 y = 6 ． 2 y 2 2【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为 2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数 x 的次数为 2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程， 可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2015 春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）A ．=y+5xB ．3x+2y=2x+2yC ．x=y 2+1D ． 【答案】D ．类型二、二元一次方程的解2.（2016 春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程 x+y=7 的解的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】二元一次方程 x+y=7 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组， 使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B⎨ y = 1y = 解：A 、把 x=﹣2，y=5 代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B 、把 x=3，y=4 代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C 、把 x=﹣1，y=7 代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D 、把 x=﹣2，y=﹣5 代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误． 故选 B ．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．举一反三：【变式】若方程ax - 2 y = 4 的一个解是⎧x = 2 ，则 a= .⎩ 【答案】33.已知二元一次方程 x + 3 y = 1 ．4 2(1)用含有 x 的代数式表示 y ；(2)用含有 y 的代数式表示 x ；⎧x = -2(3)用适当的数填空，使⎨ 是方程的解． ⎩【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为 3y ＝2 - x ，化 y 的系数为 1，得y = 2 - x ． 2 3 6(2)将方程变形为 x = 2 - 3y ，化 x 的系数为 1，得 x = 4 - 6 y ． 2(3)把 x ＝-2 代入 y = 2 - x 得， y ＝1． 3 6【总结升华】用含 x 的代数式表示 y ，其实质表示为“y ＝含 x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x +3y =7，用关于 y 的代数式表示 x ，用关于 x 的代数式表示 y ．⎨ y = -5 ⎩⎨ y = -5 ⎨ y = -5⎨y = -5 ⎨ y = -5 ⎩ ⎩ 解：（1）2x =7－3y ， x = 7 - 3y；（2）3y =7－2x ， y = 7 - 2x 23类型三、二元一次方程组及方程组的解4.（2015 春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：A 是二元二次方程组，故 A 不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故 B 不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故 C 是二元一次方程组；D 不是整式方程，故 D 不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是 1 的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．⎧4x + 2 y = 2 5.判断下列各组数是否是二元一次方程组⎨⎩x + y = -1 ① 的解． ②（1） ⎧x = 3 ⎩ ⎧x = -2 （2） ⎨ y = 1 【答案与解析】解：（1）把⎧x = 3 ⎩ 代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以⎧x = 3 ⎩ 是方程①的解． 把 x ＝3，y ＝-5 代入方程②中，左边＝ 3 + (-5) = -2 ，右边＝ -1 ，左边≠右边，所以⎧x = 3 ⎩ 不是方程 ②的解． 所以⎧x = 3⎩不是方程组的解． （2） 把⎧x = -2 代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以⎧x = -2 不是方程①的解， ⎨ y = 1 ⎨ y = 1⎩ ⎩ ⎨ y = -2⎨ y = -2⎨2x - 5 y = 12再把⎧x = -2 代入方程②中，左边＝x+y ＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以⎧x = -2 是方程②的解，⎨ y = 1 但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．⎨ y = 1【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为⎧x = 1 ⎩ 的二元一次方程组． 【答案】 解：此题答案不唯一，可先任构造两个以⎧x = 1 ⎩为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可， 现举一例：∵ x ＝1，y ＝-2，∴ x+y ＝1-2＝-1．2x-5y ＝2×1-5×(-2)＝12．∴ ⎧x + y = -1 ⎩ 就是所求的一个二元一次方程组． 注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．。

二元一次方程组知识总结及训练◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：〔1〕选定几个未知数；〔2〕依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；〔3〕解方程组，得到方程组的解；〔4〕检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩的解，求〔m+n 〕的值．【分析】由方程组的解的定义可知21x y =⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21x y =⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，〔m+n 〕=〔－1+0〕=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程．例2 〔2008，长沙市〕“5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．假设启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•假设启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．〔1〕每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？〔2〕工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样表达你的社会责任感？【解答】〔1〕设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．〔2〕由3×〔4×41+5×32〕=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改良技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者发动其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做奉献．例3 〔2006，海南〕某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据以下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】此题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 〔2004，昆明市〕为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．〔1〕求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？〔2〕在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B•型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？〔每辆汽车运土石都以准载重量满载〕【分析】〔1〕可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是〔12x+1〕万m 3，3，可列方程x+3x+12x+1=11.8； 〔2〕设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解． 【解答】〔1〕设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是〔12x+1〕万m 3． 由题意得：x+3x+12，． ，．答：3，3，3．〔2〕设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩ 答：每辆A 型汽车每次运土石10t ，每辆B 型汽车每次运土石15t ．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．◆强化训练一、填空题1．假设2x m+n －1－3y m －n －3+5=0是关于x ，y 的二元一次方程，则m=_____，n=_____．2．在式子3m+5n －k 中，当m=－2，n=1时，它的值为1；当m=2，n=－3时，它的值是_____．3．假设方程组026ax y x by +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=-⎩，则a+b=_______． 4．已知方程组325(1)7x y kx k y -=⎧⎨+-=⎩的解x ，y ，其和x+y=1，则k_____．5．已知x ，y ，t 满足方程组23532x t y t x =-⎧⎨-=⎩，则x 和y 之间应满足的关系式是_______．6．〔2008，宜宾〕假设方程组2x y b x by a +=⎧⎨-=⎩的解是10x y =⎧⎨=⎩，那么│a －b │=_____． 7．某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_______，每条裤子售价为_______．8．〔2004，泰州市〕为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8：00至21：00用电每千瓦时0.55元〔“峰电”价〕，21：00至次日8：00•用电每千瓦时0.30元〔“谷电”价〕，王老师家使用“峰谷”电后，•五月份用电量为300kW ·h ，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”______kW ·h ．二、选择题9．二元一次方程3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知x a y b=⎧⎨=⎩是方程组||223x x y =⎧⎨+=⎩的解，则a+b 的值等于〔 〕A．1 B．5 C．1或5 D．0 11．已知│2x－y－3│+〔2x+y+11〕2=0，则〔〕A．21xy=⎧⎨=⎩B．3xy=⎧⎨=-⎩C．15xy=-⎧⎨=-⎩D．27xy=-⎧⎨=-⎩12．在解方程组278ax bycx y-=⎧⎨+=⎩时，一同学把c看错而得到22xy=-⎧⎨=⎩，正确的解应是32xy=⎧⎨=⎩，那么a，b，c的值是〔〕A．不能确定B．a=4，b=5，c=－2C．a，b不能确定，c=－2 D．a=4，b=7，c=213．〔2008，河北〕如图4－2所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，•每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是〔〕A．20g B．25g C．15g D．30g14．4辆板车和5辆卡车一次能运27t货，10辆板车和3辆卡车一次能运20t货，设每辆板车每次可运xt货，每辆卡车每次能运yt货，则可列方程组〔〕A．452710327x yx y+=⎧⎨-=⎩B．452710320x yx y-=⎧⎨+=⎩C．452710320x yx y+=⎧⎨+=⎩D．427510203x yx y-=⎧⎨-=⎩15．七年级某班有男女同学假设干人，女同学因故走了14名，•这时男女同学之比为5：3，后来男同学又走了22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有〔〕A．39名B．43名C．47名D．55名16．某校初三〔2〕班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，•捐款情况如下表：捐款/元 1 2 3 4人数 6 7表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．假设设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组．〔〕A．272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D．2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩17．甲，乙两人分别从两地同时出发，假设相向而行，则ah相遇；假设同向而行，则bh 甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度为〔〕A．a bb+倍B．ba b+倍C．b ab a+-倍D．b ab a-+倍18．学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，•但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺张数，•信封个数分别为〔〕A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150三、解答题19．解以下方程组：〔1〕〔2008，天津市〕35821x yx y+=⎧⎨-=⎩〔2〕〔2005，南充市〕271132x yyx-=⎧⎪⎨--=⎪⎩20．〔2008，山东省〕为迎接2008年奥运会，•某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”．该厂主要用甲、乙两种原料，•已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，•生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，•如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？21．〔2008，重庆市〕为支持四川抗震救灾，重庆市A，B，C三地现在分别有赈灾物资100t，100t，80t，需要全部运往四川重灾地区的D，E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t．〔1〕求这批赈灾物资运往D，E两县的数量各是多少？〔2〕假设要求C地运往D县的赈灾物资为60t，A地运往D县的赈灾物资为xt〔x 为整数〕，B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t．则A，B•两地的赈灾物资运往D，E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：〔3〕已知A，B，C三地的赈灾物资运往D，E两县的费用如表所示：为及时将这批赈灾物资运往D，E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在〔2〕问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？22．〔2003，常州市〕甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg〔第二次多于第一次〕，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg．〔1〕乙班比甲班少付出多少元？〔2〕甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？答案1．3；－1 2．－7 3．8 4．k=3355．15y－x=6 6．1 7．20元80元8．1009．•C 10．C 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．A 17．C 18．A 19．〔1〕由②得y=2x－1 ③把③代入①得：3x+5〔2x－1〕=8即x=1把x=1代入③得y=1∴原方程组的解为11 xy=⎧⎨=⎩〔2〕化简方程组，得27 63 x yx y=+⎧⎨+=⎩④代入⑤，得y=－3．将y=－3代入，得x=1故原方程组的解是：13 xy=⎧⎨=-⎩20．设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，根据题意，得4520000, 31030000.x yx y+=⎧⎨+=⎩①×2－②得：5x=10000．∴x=2000．把x=2000代入①得：5y=12000．∴y=2400．答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．21．〔1〕设这批赈灾物资运往D县的数量为a〔t〕，运往E县的数量为b〔t〕．由题意，得280,220.a ba b+=⎧⎨=-⎩解得180,100. ab=⎧⎨=⎩答：这批赈灾物资运往D县的数量为180t，运往E县的数量为100t．〔2〕由题意，得1202225x x x-<⎧⎨--≤⎩解得40,45.xx>⎧⎨≤⎩即40<x≤45，∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41t，运往E县59t；B地的赈灾物资运往D县79t，运往E县21t．方案二：A地的赈灾物资运往D县42t，运往E县58t；B地的赈灾物资运往D县78t，运往E县22t．方案三：A地的赈灾物资运往D县43t，运往E县57t；B地的赈灾物资运往D县77t，运往E县23t．方案四：A地的赈灾物资运往D县44t，运往E县56t；B地的赈灾物资运往D县76t，运往E县24t．方案五：A地的赈灾物资运往D县45t，运往E县55t；B地的赈灾物资运往D县75t，运往E县25t．〔3〕设运送这批赈灾物资的总费用为w元，由题意，得w=220x+250〔100－x〕+200〔120－x〕+220〔x－20〕+200×60+210×20=－10x+60800．因为w随x的增大而减小，且40<x≤45，x为整数．所以，当x=41时，w有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w=60390〔元〕．22．〔1〕乙班共付出70×2=140〔元〕，乙班比甲班少付出189－140=49〔元〕．〔2〕设甲班第一次买苹果xkg，第二次买苹果ykg〔x<y〕．①当x≤30时，则y>30〔否则，x+y≤60<70〕．依题意有703 2.5189x yx y+=⎧⎨+=⎩或者7032189x yx y+=⎧⎨+=⎩解之，得2842xy=⎧⎨=⎩或者4921xy=⎧⎨=⎩〔不合题意，舍去〕②假设30<x≤50，则30<y≤50，或y>50，当y>50，x+y>80>70，不合题意．当30<y≤50时，70×2.5=175<189，也不合题意．③假设x>50，y>x，则x+y>70，不合题意．故甲班第一次买苹果28kg，第二次买苹果42kg．。