用树形图求概率

25.2 用列举法求概率第2课时用画树状图法求概率置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣同学们，你们玩过“手心、手背”游戏吗？现有甲、乙、丙三名同学打乒乓球，想通过“手心、手背”游戏来决定其中哪两人先打.规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定.那么，你知道通过一次“手心、手背”游戏能决定甲先打乒乓球的概率是多少吗？能用列表法求解吗？[说明与建议] 说明：利用生活中常见的“手心、手背”游戏，激发学生探索问题的兴趣，从而深入思考，发现列表法难以解决，产生疑问后，教师点题，引导学生用画树状图的方法分析求解.建议：教师一定要让学生明白列表法只能解决涉及两个因素或两个过程的试验，而涉及三个因素时，列表法难以解决.——教材第139页练习经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行；（2）两辆车向右转，一辆车向左转；（3）至少有两辆车向左转.【模型建立】用树状图列举结果看起来一目了然，当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法求事件的概率很便捷.【变式变形】1.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同.若三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是（ B ）A .16B .38C .58D .232.三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每名运动员的出场顺序都发生变化的概率为 13.3.如图25－2－7，用红、蓝两种颜色随机地对A ，B ，C 三个区域分别进行涂色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色.请用画树状图法，求A ，C 两个区域所涂颜色不相同的概率.[答案：12]图25－2－74.甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次.（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回甲手中的概率是多少？ （2）若乙想使球经过三次传递后，传在自己手中的概率最大，则乙应让球开始时在谁手中？请说明理由.[答案：（1）14（2）在甲或丙手中 理由略]5.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：（1）求三辆车全部同向而行的概率；（2）求至少有两辆车向左转的概率；（3）由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的概率为25，向左转和直行的概率均为310.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整.[答案：（1）19 （2）727 （3）汽车右转的绿灯亮的时间为36秒，左转的绿灯亮的时间为27秒，直行的绿灯亮的时间为27秒][命题角度] 用画树状图法求概率树状图用于分析涉及两个或两个以上因素的试验.在画树状图时，为分析方便，一般把因素中可能出现的结果较多的安排在上面.如教材P 138例3，P 139练习，P 140习题25.2 T 4，T 6等.例1 襄阳中考同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是 38.例2 宿迁中考有2部不同的电影A ，B ，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看. （1）求甲选择A 电影的概率；（2）求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）.解：（1）甲选择A 电影的概率＝12.（2）画树状图如图25－2－8.图25－2－8共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙3人选择同一部电影的结果数为2，所以甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为28＝14.P 138练习1．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求下列事件的概率：(1)第一次摸到红球，第二次摸到绿球； (2)两次都摸到相同颜色的小球；(3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球．解：经过两次摸球所能产生的结果如下：红红，红绿，绿红，绿绿，所得的结果共有4个，并且这4个结果出现的可能性相等．(1)P (第一次摸到红球，第二次摸到绿球)＝14.(2)P (两次都摸到相同颜色的小球)＝24＝12.(3) P (两次摸到的球是一红一绿)＝24＝12.2．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6.随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？解： 所有可能出现的结果列表如下：能够整除第一次取出的数字的结果共有14种，所以P(第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字)＝1436＝718.P 139练习经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：(1)三辆车全部继续直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转．解： 根据题意，可以画出如下的树状图：从树状图上看出，所有可能的结果共有27个，它们出现的可能性相等． (1)P (三辆直行)＝127.(2)P (两辆右转，一辆左转)＝327＝19. (3) P (至少有两辆车向左转)＝727. P 139习题25.2 复习巩固 1．把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：(1)抽出的牌是黑桃6； (2)抽出的牌是黑桃10； (3)抽出的牌带有人像； (4)抽出的牌上的数小于5；(5)抽出的牌的花色是黑桃．解：13张黑桃牌中有1张点数为6，1张点数为10，3张带人像，4张点数小于5， ∴下列事件的概率分别为 (1) P (黑桃6)＝113.(2) P (黑桃10)＝113.(3) P (带有人像)＝313.(4) P (牌上的数小于5)＝413.(5) P (花色是黑桃)＝1.2．有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有1～12这十二个整数．投掷这个正十二面体一次，求下列事件的概率：(1)向上一面的数字是2或3；(2)向上一面的数字是2的倍数或3的倍数．解：所有可能性有12种，向上一面出现2或3各1种，向上一面是2或3的倍数可能为2，3，4，6，8，9，10，12，共8种．∴(1)P(数字是2或3)＝16.(2)P(数字是2的倍数或3的倍数)＝812＝23.3．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球. 求下列事件的概率：(1)两次取出的小球的标号相同； (2)两次取出的小球标号的和等于4.解：经过两次摸球所能产生的结果如下：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)，并且出现的可能性相等．(1) P (两次取出的小球的标号相同)＝14.(2) P (两次取出的小球的标号的和等于4)＝316.综合运用4．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少？解：从图形可知，蚂蚁共有6种走法，并且每种走法的机会都是均等的，能获得食物的路径有2种，所以P (获得食物)＝26＝13.5．第一盒中有2个白球、1个黄球，第二盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求下列事件的概率：(1)取出的2个球都是黄球；(2)取出的2个球中1个白球、1个黄球． 解：列表如下：(1)取出的2个球都是黄球的结果共有1种，故P (2个球都是黄球)＝16.(2)取出的2个球中1个白球、1个黄球共有3种，故 P (1个白球、1个黄球)＝36＝12.6．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少？解：不妨用A 表示雄鸟，用B 表示雌鸟，画树状图如下图：共8种可能性，恰好有2只雄鸟的可能性有3种，故P(恰有2只雄鸟)＝38.拓广探索7．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？解： 用A 和B 分别代表两把锁，相应地，三把钥匙分别用a 、b 、c 来表示，则可列表如下：从表中可以看出共有6种结果，它们出现的可能性相等． ∴P (一次开锁)＝26＝13.8．如图所示的两张图片形状完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起．从四张图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？解： 用A 和a 、B 和b 表示两幅画，则可画如下图所示的树状图：由树状图看出，共12种结果，能合成一张完整图片的结果有4种， ∴P (合成一张完整图片)＝412＝13.9．盒中有x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．(1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，写出表示x 和y 关系的表达式．(2)往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为12，求x 和y 的值．解：(1)依题意，得x x ＋y ＝38， 解得y ＝53x.∴表示x 和y 关系的表达式为y ＝53x.(2)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋y ＝38，x ＋10x ＋y ＋10＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝25.[当堂检测]11．（2012•泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（ ）A.61 B. 31C. 21D. 322．（2012•山西）在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，在随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是（ ）A.41 B. 31C. 21D. 323．（2012•三明）在一个不透明的盒子里有3个分别标有数字5，6，7的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为（ ）Ａ.32 Ｂ.95Ｃ.94 Ｄ.314. （2012•青岛）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）A.41 B. 43 C. 31 D. 21 5．（2011•孝感）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是____________...参考答案2 A 3. Ａ 4. D ; 5. 43[当堂检测]11．将1，2，3三个数字随机生成的点的坐标，列成下表．如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点在函数y=x 的图象上的概率是（ ）A ．0.3B ．0.5 C.3 D.3２. 准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是（ ） A.31 B. 41 C. 51 D. 61 ３. （2011•台湾）一签筒内有四支签，分别标记号码1，2，3，4．已知小武以每次取一支且取后不放回的方式，取两支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为（ ） A.43 B. 32 C. 21 D. 314. （2011•深圳）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是________ .5. 在一个不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，它们除颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后将它放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一球，则两次都摸到红球的概率是________.参考答案2. Ａ3. B 4 .94［解析］画树状图得： ∴一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为偶数的有4种情况， ∴指针指向的数字和为偶数的概率是94.5. 254[能力培优]专题一 有放回抽取下求事件的概率1. 【2012·内江】如图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是 .2.随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率是 ．3.小华和小丽两人玩数字游戏，先由小丽心中任意想一个数记为x ，再由小华猜小丽刚才想的数字，把小华猜的数字记为y ，且他们想和猜的数字只能在1、2、3、4这四个数字中． （1）请用树形图或列表法表示出他们想和猜的所有情况；（2）如果他们想和猜的数字相同，则称他们“心灵相通”．求他们“心灵相通”的概率； （3）如果他们想和猜的数字满足∣x -y ∣≤1，则称他们“心有灵犀”．求他们“心有灵犀”的概率．专题二 无放回抽取下求事件的概率4. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，其中甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（ ）A.124B.112 C.16D.135. 6张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这6张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等. （1）从这6张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？（2）从这6张卡片中随机抽取2张，利用列表或画树形图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？6.【2011·乐山】在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y ．（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数y=﹣x+6图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy ＞6，则小明胜；若x 、y 满足xy ＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平？知识要点：1.当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.2.当一次试验要涉及三个或者更多个因素时，通常采用树形图法.温馨提示：1.随机抽取两个等价于无放回抽取.2.“至少”或者“至多”包含几种情况一定要分清.规律总结：修改游戏规则问题，两种最快的方法：（1）利用前一问的列表或者画图的结果将规则修改公 平；（2）利用前一问得到的概率，修改规则. 如第6题中P （小明胜）=412=13；P （小红胜）=612=12. 修改规则为xy ＞6时，得2分，xy<6时，得3分.正三角形 A 正方形 B D 正六边形 正五边形 C E 正八边形 正十边形 F参考答案1.29【解析】此格点图共有36个格点，要想△ABC 的面积为1，那么符合要求的点如下图：从图上可知，符合要求的点共有8个，所以恰好能使△ABC 的面积为1的概率是29. 2.87【解析】画出树形图∵随机掷一枚质地均匀的硬币三次，∴根据树状图可知至少有一次正面朝上的概率是87． 3.【解（2）根据（1）得所有可能的情况有16种，想和猜的数相同的情况有4种， ∴P（心灵相通）=41164=； （3）根据（1）得所有可能的情况有16种，数字满足|x ﹣y|≤1的情况有10种， ∴P（心有灵犀）=105168=． 4.B5.【解】（1）∵这6个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，()31==62P 单独一种能镶嵌.（2由上表可知，共有30种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中能进行平面镶嵌的 结果有8种，分别是：AB ， AD ， BE ， CF ， BA ， DA ， EB ， FC . ()843015P ==两种能镶嵌. 6.【解】（1）画树形图：所以共有12个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其中满足y=﹣x+6的点有（2，4），（4，2），所以点（x ，y ）在函数y=﹣x+6图象上的概率=212=16； （2）满足xy ＞6的点有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4个；满足xy ＜6的点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6个， 所以P （小明胜）=412=13；P （小红胜）=612=12； ∵13≠12，∴游戏规则不公平． 游戏规则可改为：若x 、y 满足xy≥6，则小明胜；若x 、y 满足xy ＜6，则小红胜．“一次抽取2个”概率类问题的探究引例：一个盒子里有6个除颜色外其余都相同的玻璃球，3个红色，1个黄色，2个白色，现随机从盒子中一次取出2个球，求这两个球都是白球的概率是多少？分析；大家知道求解概率问题我们常用列树状图或列表的方法解决．现在我们仍遵循常规的思路来探索解决．我们用A 1、A 2、A 3分别表示3个红球，B 表示黄球，C1、C 2 表示两个白球，列表如下：列出表格之后有的同学不加深入的思考分析，观察表格便机械地得出共有36种可能的结果，其中一次取出2个白球（C 1C 1C 1C 2或C 2C 1、C 2C 2）共有4种情况，因而两个球都是白球的概率为P =364=91． 熟不知上述辛辛苦苦探究得到的答案是错误的，原因出在何处呢？仔细分析上述解法，从列表中可以发现：6种情况（A 1A 1、A 2A 2、A 3A 3、BB 、C 1C 1、C 2C 2）根本不会出现，（因为一个球不可能取2次）；其次一次取两个球，表中列出的A 2A 1、A 1A 2……等等，实际上是一种情况，因而表格中的以对角线为分界线的右上部分与左下部分是相同的（重复），所以我们计算出现的所有可能的情况时只需选择右上部分情况加以统计即可．共有5+4+3+2+1=15，其中均为白球只有（C 1C 2）1种情况，因此随机从盒子中一次取出2个球，这两个球都是白球的概率为P =151． 爱因斯坦说过：“从新的角度看待旧的问题，需要有创造性的想象能力”．如果我们把表中的表示“球”的字母A 1、A 2、B 、C 1、C 2，看作线段的端点，那么一次取2个球，就可以看作以这2个字母为端点连成一条线段，显然线段A 2A 1、A 1A 2表示同一条线段，从而说明一次取2个球（先取球A 1再取球A 2 与先取到球A 2再取到球A 1）实际上是一种情况，因此一次取2个问题的概率，我们可以借助计算线段的条数模型来计算．。

第2课时用画树状图法求概率【知识与技能】理解并掌握列表法和树状图法求随机事件的概率.并利用它们解决问题，正确认识在什么条件下使用列表法，什么条件下使用树状图法.【过程与方法】经历用列表法或树状图法求概率的学习，使学生明白在不同情境中分析事件发生的多种可能性，计算其发生的概率，解决实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度】通过求概率的数学活动，体验不同的数学问题采用不同的数学方法，但各种方法之间存在一定的内在联系，体会数学在现实生活中应用价值，培养缜密的思维习惯和良好的学习习惯.【教学重点】会用列表法和树状图法求随机事件的概率.区分什么时候用列表法，什么时候用树状图法求概率.【教学难点】列表法是如何列表，树状图的画法.列表法和树状图的选取方法.一、情境导入，初步认识播放视频《田忌赛马》，提出问题，引入新课.齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢.已知田忌的马比齐王的马略逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马.田忌屡败后，接受了孙膑的建议，结果两胜一负，赢了比赛.（1）你知道孙膑给的是怎样的建议吗？（2）假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢的概率是多少呢？【教学说明】情境激趣，在最短时间内激起学生的求知欲和探索的欲望.二、思考探究，获取新知1.用列表法求概率课本第136页例2.分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有36种.我们用怎样的方法才能比较快地既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？以第一个骰子的点数为横坐标，第二个骰子的点数为纵坐标，组成平面直角坐标系第一象限的一部分，列出表格并填写.【教学说明】教师引导学生列表，使学生动手体会如何列表，指导学生体会列表法对列举所有可能的结果所起的作用，总结并解答.指导学生如何规范的应用列表法解决概率问题.由例2可总结得：当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.运用列表法求概率的步骤如下：①列表；②通过表格确定公式中m、n的值；③利用P（A）=m/n计算事件的概率.思考把“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，还可以使用列表法来做吗？答：“同时掷两个骰子”与“把一个骰子掷两次”可以取同样的试验的所有可能结果，因此，作此改动对所得结果没有影响.2.树状图法求概率.课本第138页例3.分析：分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键.弄清题意后，先让学生思考，从3个口袋中每次各随机地取出1个球，共取出3个球，就是说每一次试验涉及到3个步骤，这样的取法共有多少种呢？你打算用什么方法求得？介绍树状图的方法：第一步：可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行.第二步：可能产生的结果有C、D和E，三者出现可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D、E.第三步：可能产生的结果有两个，H和I.两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I.（如果有更多的步骤可依上继续.）第四步：把各种可能的结果对应竖写在下面，就得到了所有可能的结果的总数，从中再找出符合要求的个数，就可以计算概率了.“树状图”如下：由树状图可以看出，所有可能的结果共有12种，即：ACH、ACI、ADH、ADI、AEH、AEI、BCH、BCI、BDH、BDI、BEH、BEI，这些结果出现的可能性相等.P（一个元音）=5/12；P（两个元音）=4/12=1/3，P（三个元音）=1/12；P（三个辅音）=2/12=1/6.【教学说明】教师引导：元素多，怎样才能解出所有结果的可能性？引出树状图，详细讲解树状图各步的操作方法，学生尝试按步骤画树状图.学生结合列表法，理解分析，体会树状图的用法，体验树状图的优势.【归纳结论】画树状图求概率的基本步骤：①明确试验的几个步骤及顺序.②画树状图列举试验的所有等可能的结果.③计数得出m,n的值.④计算随机事件的概率.思考什么时候用“列表法”方便？什么时候用“树状图”法方便？一般地，当一次试验要涉及两个因素（或两步骤），且可能出现的结果数目较多时，可用“列表法”，当一次试验要涉及三个或更多的因素（或步骤）时，可采用“树状图法”.三、运用新知，深化理解在一只不透明的盒子里装有用“贝贝”（B）、“晶晶”（J）、“欢欢”（H）、“迎迎”（Y）和“妮妮”（N）五个福娃的图片制成的五张外形完全相同的卡片.小华设计了四种卡片获奖的方案（每个方案都是前后共抽两次，每次从盒子里抽取一张卡片）.（1）第一次抽取后放回盒子并混合均匀，先抽到“B”后抽到“J”；（2）第一次抽取后放回盒子并混合均匀，抽到“B”和“J”（不分先后）；（3）第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B”后抽到“J”；（4）第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B”和“J”（不分先后）；问：（1）上述四种方案，抽中卡片的概率依次是_____，_____，_____，_____；（2）如果让你选择其中的一种方案，你会选择哪种方案？为什么？【教学说明】这是只涉及两个步骤的试验，一般情况下用列表法求解，但第（3）、（4）种方案中涉及到“不放回”的问题，我们选择树状图法更好.学生交流合作，教师指导分析列表或画树状图.【答案】(1)1/25，2/25，1/20，1/10；(2)选择方案（4），因为方案（4）获奖的可能性比其它几种方案获奖的可能性大.四、师生互动，课堂小结1.为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，通常有哪些方法求出各种可能的结果？2.列表法和画树状图法分别适用于什么样的问题？如何灵活选择方法求事件的概率？【教学说明】教师提出问题，让学生进行回顾思考，并相互交流.1.布置作业：从教材“习题25.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.由于前面已学过一般的列举法，学生在小学或其他学科中接触过“列表法”，因此本节课除了继续探究更为复杂的列举法外，还引入了树状图这种新的列举方法，以学生的生活实际为背景提出问题，在自主探究解决问题的过程中，自然地学习使用这种新的列举方法.在列举过程中培养学生思维的条理性，并把思考过程有条理、直观、简捷地呈现出来，使得列举结果不重不漏.25.2 用列举法求概率第2课时用画树状图法求概率一、导学1.导入课题：猜一猜：假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同．如果3枚卵全部成功孵化，则3只雏鸟中恰有3只雌鸟的概率是多少？问题：你能用列表法列举所有可能出现的结果吗？本节课我们学习用画树状图法列举所有可能出现的结果. (板书课题)2.学习目标：会用画树状图法求出事件发生的概率.3.学习重、难点：重点：用画树状图法列举所有可能出现的结果.难点：画树状图.4.自学指导：（1）自学内容：教材第138页至第139页的例3.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：认真阅读思考后，弄清树状图的画法及作用.（4）自学参考提纲：①本次试验涉及到 3 个因素，用列表法不能（能或不能）列举所有可能出现的结果.②摸甲口袋的球会出现 2 种结果，摸乙口袋的球会出现3 种结果，摸丙口袋的球会出现2 种结果.画树状图为:③由树形图得，所有可能出现的结果有12 种，它们出现的可能性相等.满足只有一个元音字母的结果有5 种，则P（一个元音）=5 12.满足只有两个元音字母的结果有4 种，则P（两个元音）=1 3 .满足三个全部为元音字母的结果有 1 种，则P（三个元音）=1 12.满足全是辅音字母的结果有 2 种，则P（三个辅音）=1 6 .④你还能用别的方法列举出全部结果吗？试试看.（A,C,H ）,(A,C,I),(A,D,H),(A,D,I),(A,E,H),(A,E,I),(B,C,H),(B,C,I),(B,D,H),(B,D,I),(B,E,H ),(B,E,I).二、自学学生可参考自学指导进行自学.三、助学1.师助生：(1)明了学情：了解学生是否会画树状图.(2)差异指导：教师对个别突出的个性或共性问题进行适时点拨引导.2.生助生：引导学生通过合作交流解决疑点.四、强化1.画树状图法适用的条件，树状图的画法及作用.2.练习：（1）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：①三辆车全部继续直行；②两辆车向右转，一辆车向左转；③至少有两辆车向左转. 解：设三辆汽车分别为甲、乙、丙，它们经过十字路口时所有可能发生的结果用树状图表示如下：由图可知，所有可能的结果有27种，这些结果出现的可能性相等.② 满足三辆车全部继续直行（记为事件A ）的结果有1种，所以（）P A =127. ②两辆车向右转，一辆车向左转（记为事件B ）的结果有3种，所以（）PB ==31279. ③至少有两辆车向左转（记为事件C ）的结果有7种，所以（）P C =727. （2）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有3只雌鸟的概率是多少？解：设3枚卵分别为甲、乙、丙，它们卵化后的可能结果如下：由图可知，所有可能的结果有8种.这些结果出现的可能性相等.其中满足3只雏鸟中恰有3只雌鸟（记为事件A ）的结果有1种，所以P （A ）=18.（3）一只蚂蚁要在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是多少？解：用树状图表示蚂蚁的路径如下：其中“1”表示没有食物，“2”表示有食物.由图可知，所有可能出现的结果有6种，这些结果出现的可能性相等.蚂蚁能获得食物（记为事件A ）的结果有2种.所以（）P A ==2163. 五、评价 1.学生的自我评价(围绕三维目标)：怎样画树状图？何时用画树状图法比较方便？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：教师对学生在学习中的态度、情感、方法、成果及不足进行归纳总结.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本节课引入一种新的列举方法——画树状图法，让学生感受到这种方法的简捷性和实用性.通过求较复杂概率的数学活动，针对不同的数学问题，采用不同的数学方法，体验各种方法之间存在的内在联系，体会数学在现实生活中的应用价值，培养学生缜密的逻辑思维习惯和发散性思维.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（C ）A. 23B. 12C. 13D. 142.(10分)有一箱子装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个二位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，若先后取出2张牌组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的二位数为6的倍数的概率为（A ）A. 16B. 14C. 13D. 123.(10分)从1、2、-3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是负数的概率是23.4.(10分)一天晚上，小伟帮助妈妈清洗两个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，求颜色搭配正确和颜色搭配错误的概率各是多少？解：杯盖与茶杯的搭配结果如下：由图可知，共有4种搭配结果，其中颜色搭配正确（记为事件A ）的结果有2种，所以（）P A ==2142.其中颜色搭配错误（记为事件B ）的结果有2种，所以（）P B ==2142. 5.(30分) 妞妞和爸爸玩“石头、剪刀、布”游戏.每次用一只手可以出“石头”“剪刀”“布”三种手势之一，规则是“石头”赢“剪刀”、“剪刀”赢“布”、“布”赢“石头”，若两人出相同手势，则算打平.(1)你帮妞妞算算爸爸出“石头”手势的概率是多少？解：爸爸可能出“石头”“剪刀”和“布”共3种手势，所以爸爸出“石头”手势的概率为13. (2)妞妞决定这次出“布”手势，妞妞赢的概率有多大？妞妞出“布”，爸爸可能出三种手势中的任意一种，而只有爸爸出“石头”，妞妞才能赢，所以妞妞赢的概率为13. (3)妞妞和爸爸出相同手势的概率是多少？列举出妞妞和爸爸出的手势结果如下：由图可知共有9种可能的结果，且每种结果出现的可能性相等.其中两人出相同手势（记为事件A ）的结果有3种，所以（）PA ==3193. 二、综合应用（20分） 6.(20分)第一个盒中有2个白球、1个黄球，第二个盒中有1个白球、1个黄球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个盒中随机取出1个球，求下列事件的概率：（1）取出的2个球都是黄球；（2）取出的2个球中1个白球，1个黄球.解：分别从两个盒中随机取出1个球的可能结果如下图所示：共有6种可能的结果，且每种结果出现的可能性相等.（1）所有的结果中，满足取出的2个球都是黄球（记为事件A ）的结果有1种，所以（）P A =16. （2）取出的2个球中1个白球，1个黄球（记为事件B ）的结果有3种，所以（）P B ==3162. 三、拓展延伸（10分）7.(10分) 两张图片形状完全相同,把两张图片全部从中间剪断,再把四张形状相同的小图片混合在一起.从四张图片中随机地摸取一张，接着再随机地摸取一张，则两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？解：设第一张图片为A ，剪断的两张分别为A1，A2；第二张图片为B ，剪断的两张分别为B1，B2.列举出所有结果如下：共有12种可能的结果，且每种结果出现的可能性相等.其中恰好合成一张完整图片（记为事件A ）的结果有4种，所以（）P A ==41123.。

用树状图求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。

用表格求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。

当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率。

例1、一个袋中有除颜色外其余特征均相同的4个珠子，其中2个白色，2个黑色，若从这个袋中任意取2个珠子，则其颜色不同的概率是______.例2、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定，游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？例3、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，不放回，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例4、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，放回摇匀，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例5、大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去．大双：A袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，B袋中放着分别标有数字4，5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票．小双：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由；（2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．1、在4张卡片上分别写有1-4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.2、箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______.3、一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.4、完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率。

第2课时用树状图法求概率前事不忘，后事之师。

《战国策·赵策》原创不容易，【关注】，不迷路！【知识与技能】1.会用画树状图法列举试验的所有结果.2.掌握用树状图求简单事件的概率.【过程与方法】通过生活中简单的例子，掌握画树状图的方法，进而掌握用树状图求概率的一般步骤.【情感态度】通过小组讨论，培养学生合作、探究的意识和品质.【教学重点】用树状图求概率.【教学难点】如何正确地画出树状图.一、情境导入，初步认识活动1：将一枚质地均匀的硬币连掷三次，问：(1)列举出所有可能出现的结果.(2)求结果为一次正面，两次反面的概率.教师问：该问题可以用列表法来解决吗?请试一试看(学生分组讨论).经探究发现，上述问题用列表法不易解决，因为列表法适用于试验只需两步完成的事件，而上述掷硬币需三步完成，所以不易用列表来解决，这就需要一种新的方法来解决——树状图法.二、思考探究，获取新知如何用树状图来解决［活动1］中的问题呢？先让我们一起来画树状图.从所画树状图可知共有正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反8种结果，而结果为一次正面两次反面的结果，有正反反，反正反，反反正3种，∴P(一次正面，两次反面)=3 8【教学说明】列表法求概率适用的对象是两步完成或涉及两个因素的试验，而树状图法既运用于两步完成的试验，又适用于三步及三步以上较复杂的试验.例1小明和小华做“剪刀、石头、布”的游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若两人出的相同，则为平局.(1)怎样表示和列举一次游戏的所有可能结果?(2)用A、B、C表示指定事件：A：“小明胜”B.“小华胜”C.“平局”分别求出事件A、B、C的概率.【教学说明】本例为教材P129“动脑筋”，教师要求学生先小组讨论，后独立完成，再以小组交流的方法去完成，过程见P130.例2教材P130例2【教学说明】用列表法或画树状图法都可以不重不漏地列举出试验所有可能出现的结果，只是适用的范围不同，一般来讲，可用列表法解决的问题都可以用树状图来解决，反过来，就不一定.画树状图时，一定要看清题意，注意试验是几步完成，一般来讲试验几步完成.树状就“分枝”几次；树状图可以横着画，也可以竖着画.四、运用新知，深化理解1.要从小强、小红和小华三人中随机选取两人作为旗手，则小强和小红同时入选的概率是()2.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过的每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是()3.一套书共有上、中、下三册，将他们任意摆放到书架的同一层上，这三册书从左到右恰好成上、中、下顺序的概率为________.4.三个同学同一天生日，他们做了一个游戏：买来了三张相同的贺卡各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张，则他们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是________.5.一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少?【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的掌握.【答案】1.B2.B3.164.135.解：画树形图如下：P（1个男婴，2个女婴）=38.四、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾用树状图求概率的方法，特别要注意树状图的画法.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问，请与同学们交流.1.教材P131第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课由次掷硬币引出用树状图概率，与上节课“两次掷硬币”用列表法求概率相比较，让同学们学会比较、观察、探究问题的能力，加深对求概率知识的掌握.【素材积累】司马迁写《史记》汉朝司马迁继承父业，立志著述史书。