1.3,1.4条件概率,全概率公式

内等可能地投点，
AB Ω
若已知 A 发生，则 B 发生的概率为
P(B
A)
S( AB) S( A)
S( AB) S( ) S( A) S( )
P( AB) . P( A)
在古典概型和几何概型这两类等可能概率模型 中总有
P(B A) P( AB) . P( A)
条件概率旳定义
设A、B是某随机试验中旳两个事件，且 PA 0
AB Ω
P( AB) 0.38, P(B | A) 0.76
P( AB) 0.20, P(B | A) 0.40
P( AB) 0.10, P(B | A) 0.20
阐明
• 在有些问题中，事件A与事件B源自间存在 因果关系。• 若条件A是引起事件B旳原因，此时条件 概率P(B|A)表达原因A引起成果B旳概率。
( 2 ) 已知第二 次取出的是黑球 , 求第一次取出
的也是黑球的概率 .
解 记 Ai 为事件“ 第 i 次取到的是黑球 ”( i 1, 2).
(1) 在已知 A1 发生, 即第一次取到的是黑球 的条件下,
根据古典概率计算 , 取到黑球的概率为 2 ,
即有
P( A2
A1 )
2. 9
9
( 2) 在已知 A2 发生, 即第二次取到的是黑球 的条件下,
例1.21
一袋中有10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次 从中随意各取一球(不放回)，求两次取到旳都是黑球 旳概率。
三、全 概 率 公 式
设随机事件 A1, A2 , , An 满足：
1 A1, A2 , ,
n
2 Ak k 1
An 两两互不相容；
3 PAk 0 k 1, 2, n
概率P(·|A)。 条件概率是概率论中一种主要而实用旳概念。它

注意P(AB)与P(A | B)的区别！ 与 的区别！ 注意 的区别
请看下面的例子
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例2 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的 而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 乙厂生产} 设B={乙厂生产 乙厂生产 A={标准件 标准件} 标准件 所求为P(AB). 所求为
1 1 6 P( AB) = P(B|A) = = 3 3 6 P( A)
又如， 件产品中有 件正品， 件次品 件产品中有7件正品 件次品， 又如，10件产品中有 件正品，3件次品， 7件正品中有 件一等品，4件二等品 现从这 件正品中有3件一等品 件二等品. 件正品中有 件一等品， 件二等品 10件中任取一件，记 件中任取一件， 件中任取一件 B={取到一等品 ， 取到正品 取到一等品}， 取到正品} 取到一等品 A={取到正品 P(B )=3/10， ，
P( AB) P(B | A) = P( A)
为在事件A发生的条件下 事件 的条件概率. 为在事件 发生的条件下,事件 的条件概率 发生的条件下 事件B的条件概率
3. 条件概率的性质 自行验证 条件概率的性质(自行验证 自行验证) 是一事件， 设A是一事件，且P(A)>0,则 是一事件 则 1. 对任一事件 ，0≤P(B|A)≤1; 对任一事件A， 2. P ( | A) =1 ； 3.设B1,…,Bn互不相容，则 设 互不相容， P[(B1+…+Bn )| A] = P(B1|A)+ …+P(Bn|A) 而且， 而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率. 都适用于条件概率 请自行写出. 请自行写出

但 P( ABC ) ≠ P( A)P( B )P(C ) 三事件不是相互独立的, 所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们 是两两独立的。 是两两独立的。 对于多个随机事件， 对于多个随机事件 ， 若 A1，A2， An 是相 L 互独立的， 互独立的，则n 个事件中至少有一个发生的 概率为
= 1 P( A1 U A2 U L U An )
全概率公式: 1、全概率公式: 是两两互斥的事件， 设 A1 , A2 ,L , An 是两两互斥的事件，且
P ( Ai ) > 0, i = 1,2, L, n, 另有一事件 , 它总是 另有一事件B,
之一同时发生， 与 A1 , A2 ,L , An 之一同时发生，则
P(B) = ∑P( Ai )P(B｜Ai )
1500 P U Ai = 1 P( A1 A2 L A1500 ) i =1 = 1 P( A1 ) P( A2 )L P( A1 ) = 1 (1 0.002 )
1500
= 1 e1500 ln (10.002 )
≈ 1 e1500( 0.002 ) = 1 e 3 ≈ 0.95
B AB A
掷出2 例如，掷一颗均匀骰子A＝{掷出2点}， 掷一颗均匀骰子 B={掷出偶数点}，P(A )=1/6， P(A|B)=？ ={掷出偶数点 ={掷出偶数点} )=1/6， ( = 已知事件B发生 发生， 已知事件 发生，此时试验 掷骰子 所有可能结果构成的集合就是B 所有可能结果构成的集合就是 ， B中共有3个元素，它们的出现是 中共有3个元素， 中共有 等可能的，其中只有1个在集A中 等可能的，其中只有1个在集 中， 于是P( 于是 (A|B)= 1/3. )= 容易看到： 容易看到： 1 1 6 P( AB) P(A B ) = = = 3 36 P(B)

球”， 则事件 A “第一次取到黑球”， 事件 B “第二次取到黑球”． （1）法一 已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二 由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间 上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算 时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的 概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率 的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容： 一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章 随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间 也 随 之 缩 小 为 A ， 而 在 A 中 事 件 B 只 含 2 个 样 本 点 ， 故 P(B | A) 2 ． 事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这 两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)