永安市2016届高三数学（理科）典型题例《函数与导数》【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．【考点分析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．【典例分析】例题1、已知函数 f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中 a <0. (1)当 a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在区间 [1,4]上的最小值为8，求 a 的值．例题2、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．例题3、设函数f (x )＝a e xln x ＋b ·e xe·x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.例题4、已知函数()1,xf x ae x a R =--∈． （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求所有实数a 的值； （Ⅲ）对任意的*n N ∈，证明：1111ln(1)23n n++++>+【配套练习】1. 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 2.函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4 3.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2] D ．[－4，－3] 4、若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 5、已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，f ′(x )为f (x )的导函数，则y ＝f ′(x )的图像大致是( A )6、设点P 在曲线上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则|PQ|的最小值为（ ）（A ）1-ln2 （B ）（C ）1+ln2 （D ）7、若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝_______．8、已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．9．已知f(x)=33x x m -+，在区间[0,2]上任取三个数,,a b c ,均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则m 的取值范围是_______．10．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论：①f (0)f (1)>0； ②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0； ④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________．11、已知函数f (x )＝x ln x ＋mx (m ∈R )的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2.(1)求实数m 的值； (2)设g (x )＝f x －xx －1，讨论g (x )的单调性．12、已知函数f (x )＝ln x －x ，h (x )＝ln xx.(1)求h (x )的最大值；(2)若关于x 的不等式xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若关于x 的方程f (x )－x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，其中e 为自然对数的底数，求实数b 的值．13、已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x.永安市2016届高三数学（理科）典型题例《函数与导数》参考答案例题1、解：(1)当a ＝－4时，f (x )＝(4x 2－16x ＋16) x ，其中x >0.则f ′(x )＝2 5x －2 x －2x.由f ′(x )>0得0<x <25或x >2.故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)．(2)f ′(x )＝ 10x ＋a 2x ＋a 2x，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈－a 10，－a2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞时，f (x )单调递增．易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4时，即－8≤a <－2时，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4时，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上有，a ＝－10.例题2、解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝1，f ′ 0 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x max ＝－22，当且仅当“x ＝2x”即x ＝－2时等号成立，所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．例题3、【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e xln x ＋axe x－b x2e x －1＋b xex －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e xln x ＋2x e x －1＝e xx (x ln x ＋2e )，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e.设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ＝x e x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e.综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.例题4、解：（1）1)('-=x ae x f 若0≤a 则0)('<x f )(x f ∴在R 上递减 若0>a 令0)('=x f 得ax 1ln= )1ln ,(ax -∞∈∴时0)('<x f 即)(x f 在)1ln ,(a-∞递减),1(ln+∞∈a x 时0)('>x f 即)(x f 在),1(ln +∞a递增 综上 0≤a 时)(x f 递减区间为),(+∞-∞0>a 时)(x f 递减区间为)1ln ,(a -∞增区间为),1(ln+∞a（2）若1< a 则01)0(<-=a f 不满足0)(≥x f若1≥a 则01ln≤a则)(x f 在[)+∞,0递增 01)0()(min ≥-==∴a f x f 0≥∴x 时0)(≥x f 恒成立 综上得1≥a（3）由（2）得1=a 时 0)(≥x f 对0≥x 恒成立 01≥--∴x e x则1+≥x e x当且仅当0=x 时取""=n x 1=∴令 *∈N n 则nn n e n 1111+=+>n n n n n ln )1ln(1ln 1-+=+>∴)1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 131211+=-+++-+->++++∴n n n n【配套练习】1. B2. B3. C 4 C 5、 A 6、B 7、－13 8、⎝⎛⎭⎫1，839． 6m > 10．②③11、解：(1)因为f (x )＝x ln x ＋mx ，所以f ′(x )＝1＋ln x ＋m .由题意f ′(1)＝1＋ln 1＋m ＝2，得m ＝1. (2)g (x )＝f x －x x －1＝x ln x x －1(x >0，x ≠1)，所以g ′(x )＝x －1－ln xx －12.设h (x )＝x －1－ln x ，h ′(x )＝1－1x.当x >1时，h ′(x )＝1－1x>0，h (x )是增函数，h (x )>h (1)＝0，所以g ′(x )＝x －1－ln xx －12>0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数；当0<x <1时，h ′(x )＝1－1x<0，h (x )是减函数，h (x )>h (1)＝0，所以g ′(x )＝x －1－ln xx －12>0，故g (x )在(0,1)上为增函数；所以g (x )在区间(0,1)和(1，＋∞)上都是单调递增的． 12、【解析】 (1)因为h (x )＝ln x x (x >0)，所以h ′(x )＝1－ln xx2.由h ′(x )>0，且x >0，得0<x <e.由h ′(x )<0，且x >0，得x >e.所以函数h (x )的单调递增区间是(0，e]，单调递减区间是[e ，＋∞)，所以当x ＝e 时，h (x )取得最大值1e.(2)因为xf (x )≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即x ln x －x 2≥－2x 2＋ax －12对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≤ln x ＋x ＋12x对一切x ∈(0，＋∞)恒成立，设φ(x )＝ln x ＋x ＋12x ，因为φ′(x )＝x 2＋x －12x 2＝ x －3 x ＋4x2， 故φ(x )在(0,3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，φ(x )min ＝φ(3)＝7＋ln3，所以a ≤7＋ln3. (3)因为方程f (x )－x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，即ln x －x －x 3＋2e x 2－bx ＝0恰有一解，即ln x x＝x 2－2e x＋b ＋1恰有一解．由(1)知，h (x )在x ＝e 时，h (x )max ＝1e ，而函数k (x )＝x 2－2e x ＋b ＋1在(0，e]上单调递减，在[e ，＋∞)上单调递增，故x ＝e 时，k (x )min ＝b ＋1－e 2，故方程ln x x＝x 2－2e x ＋b ＋1恰有一解时当且仅当b ＋1－e 2＝1e ，即b ＝e 2＋1e－1.13、解：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x－a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x－2.令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x－x 2，则g ′(x )＝e x－2x ，由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＞0，故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 因此，当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x.(3)证明：法一：①若c ≥1，则e x ≤c e x .又由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x. 所以当x ＞0时，x 2＜c e x .取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x. ②若0＜c ＜1，令k ＝1c＞1，要使不等式x 2＜c e x 成立，只要e x ＞kx 2成立．而要使e x ＞kx 2成立，则只要x ＞ln(kx 2)，只要x ＞2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－2x ＝x －2x，所以当x ＞2时，h ′(x )＞0，h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增． 取x 0＝16k ＞16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增，又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2,5k ＞0，所以h (x 0)＞0. 即存在x 0＝16c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x. 法二：对任意给定的正数c ，取x 0＝4c，由(2)知，当x ＞0时，e x ＞x 2，所以e x ＝e x 2·e x 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，当x ＞x 0时，e x＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＞4c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1cx 2.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x. 法三：首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有13x 3＜e x.证明如下：令h (x )＝13x 3－e x ，则h ′(x )＝x 2－e x .由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x，从而h ′(x )＜0，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，所以h (x )＜h (0)＝－1＜0，即13x 3＜e x.取x 0＝3c ，当x ＞x 0时，有1c x 2＜13x 3＜e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x.。
点4 函数及其表示
一、填空题
1.(2016·全国卷Ⅱ文科·T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 ( )
A.y=x
B.y=lgx
C.y=2x
1
【解题指南】对数lgx 中x 为正数,函数y=10lgx 不是最简形式,需化简,化简后再比较.
【解析】选D.y=10lgx =x,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R ;函数y=lgx 的定义域为(0,+∞),值域为R ;函数y=2x 的定义域为R ,值域为(0,+∞);函数
y=的定义域与值域
均为(0,+∞).
2.(2016·浙江高考文科·T12)设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x ∈R ,则实数a= ,b= .
【解题指南】两边式子各自展开各个项的系数相等.
【解析】f(x)-f(a)=x 3+3x 2+1-a 3-3a 2-1
=x 3+3x 2-a 3-3a 2,
(x-b)(x-a)2=x 3-(2a+b)x 2+(a 2+2ab)x-a 2b,
所以22322a b 3,a 2ab 0,a b a 3a ,⎧--=⎪+=⎨⎪-=--⎩解得a 2,b 1.⎧=-⎨=⎩ 答案:-2 1
3.(2016·江苏高考T5)函数
y=错误!未找到引用源。
的定义域是 .
【解题指南】令3-2x-x 2≥0,解不等式即可.
【解析】由3-2x-x 2≥0得x 2+2x-3≤0,即(x-1)(x+3)≤0,解得-3≤x ≤1. 答案:[-3,1]
关闭Word文档返回原板块。
考点4 函数及其表示
一、填空题
1.(2016·全国卷Ⅱ文科·T10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是 ( )
A.y=x
B.y=lgx
C.y=2x
1
【解题指南】对数lgx 中x 为正数,函数y=10lgx 不是最简形式,需化简,化简后再比较.
【解析】选D.y=10lgx =x,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x 的定义域和值域都是R ;函数y=lgx 的定义域为(0,+∞),值域为R ;函数y=2x 的定义域为R ,值域为(0,+∞);函数
y=
的定义域与值域
均为(0,+∞).
2.(2016·浙江高考文科·T12)设函数f(x)=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x ∈R ,则实数a= ,b= .
【解题指南】两边式子各自展开各个项的系数相等.
【解析】f(x)-f(a)=x 3+3x 2+1-a 3-3a 2-1
=x 3+3x 2-a 3-3a 2,
(x-b)(x-a)2=x 3-(2a+b)x 2+(a 2+2ab)x-a 2b,
所以22322a b 3,a 2ab 0,a b a 3a ,⎧--=⎪+=⎨⎪-=--⎩解得a 2,b 1.⎧=-⎨=⎩ 答案:-2 1
3.(2016·江苏高考T5)函数
y=错误！未找到引用源。
的定义域是 .
【解题指南】令3-2x-x 2≥0,解不等式即可.
【解析】由3-2x-x 2≥0得x 2+2x-3≤0,即(x-1)(x+3)≤0,解得-3≤x ≤1.
答案:[-3,1]
关闭Word文档返回原板块。
