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函数的单调性

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(2)若对任意的x ∈ [1,+∞), f ( x) > 0恒成立, 试求实数a的取值范围.
过
程
1 2 3 x －x+ ， 2 2 （1）写出函数 f(x)图象的顶点坐标及其单调递增、递减区间； （2）若函数的定义域和值域都是[1, a] (a>1)，求 a 的值。
例 4、已知函数 f(x)=
【能力提高】 能力提高】
单调性的证明及应用
函数的单调性定义及应用、证明函数的单调性的步骤和方法
1. 理解增函数、减函数的定义，并会运用定义判定或证明一些简单函数的增减性； 教学重点 2. 能结合函数的图象划分函数的单调区间； 3. 能用单调性解决一些最值，不等式问题。
【知识回顾】 知识回顾】
1、如果函数 y＝f(x)在区间 M 上为增函数或为减函数，则称在 M 上具有 、M 称 f(x) 的 . 2、一次函数 y＝kx＋b，当 k＞0 时，在 上是 函数、当 k＜0 时，在 上是 函数、 3、奇函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，那么它在区间[－b，－a]上是 ；偶函数 y＝ .（填增减性） f(x)在区间[a，b]上是减函数，那么它在区间[－b，－a]上是
1、在区间（0，2）上是增函数的是………………………………………………………（ (A)y=－x+1 (B)y= x (C)y= x2－4x＋5 (D)y= ）
2 x
2、函数 y=f(x)是单调函数，则方程 f(x)=a………………………………………………（ (A)至少一个解 (B)至多一个解 (C)恰一个解 (D)无穷多个解
教
a （a＞0）的单调区间为 x 【基础练习】 基础练习】 基础练习
4、函数 y＝x+
.（记住这个结论）
1、奇函数 f（x）在[3，7]上单调递增且最小值为 5，那么在[－7，－3]上………………（ (A)递增，最小值为-5 (B)递减，最小值为－5 (C)递增，最大值为－5 (D)递减，最大值为－5 学 2、函数 f（x）在[a，b]上单调并且 f（a） ·f（b）＜0，则方程 f（x）=0 在[a，b]上……（ (A)至少一解 (B)至多一解 (C)恰一解 (D)无解
2
8、函数 f (x) =x2－2x＋2 在区间[t，t＋1]上的最小值为 g (t ) ，求 g (t ) 的表达式及其最值。
第3页
青蓝学习社 快乐学习· 快乐学习·责任教学
课堂作业 课堂作业
教学设计方案 jiaoxueshejifangan
课后作业 本节课教学计划完成情况： 本节课教学计划完成情况：照常完成□ 学生的接受程度：完全能接受 学生的接受程度 完全能接受□ 学生的课堂表现：很积极□ 课后记 提前完成□ 延后完成□
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姓名 学科 课题名称
教学设计方案 jiaoxueshejifangan
学生姓名 年级
Hale Waihona Puke 曾京勇 数学李梓荣 高一
填写时间 教材版本
第（１）课时 共 （１）课 时
2009-12-4 人教版
上课时间
函数的单调性
同步教学知识内容
2009-12-5
教学目标 个性化学习问题解决
例1、 求函数 f ( x) = log 2 ( x 2 + 2 x) 的单调区间． 程
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教 例 2、用定义证明函数 f ( x ) = x +
教学设计方案 jiaoxueshejifangan
1 的单调性。 x
学 例 3、已知函数f ( x) =
x2 + 2x + a 1 , x ∈ [1,+∞), (1)当a = , 求函数f ( x)的最小值; x 2
）
）
3、函数 f(x)=x2＋mx＋n 满足 f(2＋t)=f(2－t),那么 a=f(1)，b=f(2)，c=f(4)的大小关系是………… （ ） (A)b＜a＜c (B)a＜b＜c (C) b＜c＜a (D) c＜b＜a 过 4、函数 y=(2k＋1)x+b 在 R 上为减函数，则 k∈ .
【典型例题】 典型例题】
）
3、函数 y=f(x)在 A 上是增函数，在 B 上也是增函数，则在 A∪B 上的单调性为………（ (A)增函数 (B)减函数 (C)不确定 (D)先增后减
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）
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4、函数 f(x)=x2＋px＋3 在 (−∞,1] 上单调递减，在 (1,+∞) 上单调递增，则 p=
部分能接受□ 一般□
不能接受□ 不积极□ 分 存在问题
比较积极□
学生上次的作业完成情况：数量 配合需求：家 长： 学管师： 学管师： 备 注
% 完成质量
提交时间
教研组长审批
教研主任审批
注：此表用作每次课的教学设计方案。 此表用作每次课的教学设计方案。
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.
5、函数 y = log 1 ( − x + 6 x − 8) 的单调递减区间为
2 2
.
6、已知函数 y =
ax + 1 在区间(－2，＋∞)上是增函数，试求 a 的取值范围 x+2
___________________________。
7、函数 f ( x ) = log 0.3 ( x − ax − a ) 在 ( −∞,1 − 3 ) 上递增，求实数 a 的取值范围

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函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法
函数单调性的判断方法有导数法、定义法、性质法和复合函数同增异减法。

首先对函
数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增
函数，小于零是减函数。

(1)证明一个函数的单调性的'方法：定义法，导数法；
(2)推论一个函数的单调性的常用方法：定义法，导数法，图象法，化归常用函数法，运用无机函数单调性规律。

3.常用复合函数单调性规律：
(1)若函数f(x),g(x)在区间d上均为减(减至)函数，则函数f(x)+g(x)在区间d上仍
为减(减至)函数。

(2)若函数f(x)在区间d上为增(减)函数，则函数-f(x)在区间d上为减(增)函数。

(3)无机函数f[g(x)]的单调性的推论分后两步：ⅰ考量函数f[g(x)]的定义域；ⅱ利
用内层函数t=g(x)和外层函数y=f(t)确认函数f[g(x)]的单调性，法则就是“同增异减至”，即为内外函数单调性相同时为增函数，内外层函数单调性恰好相反时为减至函数。

函数的单调性

函数的单调性

函数的单调性
单调性定义的几种变形形式：
设任意x1，x2∈[a，b]且x(x2 ) x2
0
⇔f(x)在[a，b]上是增函数
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
⇔f(x)在[a，b]上是减函数．
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增
调性。
x
1
在(－1，＋∞)上的单
函数单调性的应用（二）求函数的最值与比较 函数值的大小
} ①x1<x2 D
②f(x)是增函数
f(x1)<f(x2)
例1：求函数f(x)=x2-2x+3在[1，4]上的值域。
例2：求函数f(x)=
2x 1 x2
在[1，4]上的最值。
例3：求函数f(x)= x 1 - 6 2x 的值域。
且满足f( )<f(a), 求a的取值范围.
例5：已知函数f(x)＝
则不等式
f(a2－4)>f(3a)的解集为( ) A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)
函数的单调区间(一)求函数的单调区间
例1：求函数y＝x－|1－x|的单调增区间。
1 2x
例2：求函数y=
的单调增区间。
函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减 函数．
单调性的有关结论：
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增 (减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数， 则－f(x)为减(增)函数，
3．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调 性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；
函数的单调性知识点

函数的单调性知识点

函数的单调性知识点在数学的广阔天地中，函数的单调性是一个非常重要的概念。

它就像是函数的“性格特征”，帮助我们更好地理解函数的变化规律。

让我们从最基础的开始理解。

什么是函数的单调性呢？简单来说，就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种有规律的变化趋势。

如果函数值随着自变量的增大而增大，那这个函数在相应的区间就是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那就是单调递减的。

为了更准确地判断函数的单调性，我们通常会使用一些方法。

其中，最常见的就是利用导数。

对于一个可导的函数，如果它的导数大于零，那么函数在这个区间就是单调递增的；如果导数小于零，就是单调递减的。

比如说，对于函数\（f(x) ＝x^2\），它的导数是\（f'（x) ＝2x\）。

当\（x ＞ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当\（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减。

除了导数，我们还可以通过函数的定义来判断单调性。

假设我们有一个函数\（f(x)＼），对于区间\（I\）内的任意两个自变量\（x_1\）和\（x_2\），如果当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼），那么函数\（f(x)＼）在区间\（I\）上就是单调递增的；如果都有\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼），那就是单调递减的。

再来看一些常见函数的单调性。

一次函数\（y ＝ kx ＋ b\）（＼（k ＼neq 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（R\）上单调递增；当\（k ＜0\）时，函数在\（R\）上单调递减。

反比例函数\（y ＝＼frac{k}｛x}＼）（＼（k ＼neq 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（（＼infty, 0)＼）和\（（0, ＋＼infty)＼）上分别单调递减；当\（k ＜ 0\）时，函数在\（（＼infty, 0)＼）和\（（0, ＋＼infty)＼）上分别单调递增。

函数的单调性

函数的单调性

4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。

A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。

如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下： （1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； （4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。

C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点） （3）复合法：)(x f y =增 增 减 减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。