高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.4全称量词与存在量词同步检测一、选择题1. 命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x x x ∀∈++≤RC ．2,220x x x ∃∈++>RD ．2,220x x x ∃∈++≥R答案：A解析：解答：由特称命题和全称命题的关系可知“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定为2,220x x x ∀∈++>R分析：本题主要考查了特称命题与全称命题，解决问题的关键是根据存在量词，全称量词定义进行分析判断即可.2. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ．:,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ．:,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R答案：C解析：解答：命题:,cos 1p x x ∀∈≤R 是全称命题，它的否定须全称改特称，且结论否定，所以:,cos 1p x x ⌝∃∈>R ，故选C ．分析：本题主要考查了特称命题与全称命题，解决问题的关键是根据存在量词，全称量词定义进行分析判断即可.3. 已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则（ ）A ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x ≥B ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x ≥C ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x >D ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x >答案：C解析：解答：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是特称命题与全称命题的关系进行判断即可.4. 下列命题中为假命题的是（ ）A 、,log 1(0,1)a x R x a a ∃∈=->≠B 、,tan 2014x R x ∃∈=C 、,0(0,1)x x R a a a ∀∈>>≠D 、22,0()x R x ax a a R ∀∈++>∈答案：D解析：解答：因为当1x a=时，log 1a x =-，所以，“,log 1(0,1)a x R x a a ∃∈=->≠”为真命题；因为函数tan y x =的值域为实数集R ，所以命题“,tan 2014x R x ∃∈=”为真命题； 因为函数x y a =的值域为()0,+∞，所以命题“,0(0,1)x x R a a a ∀∈>>≠”为真命题； 因为当0x a == 时，220x ax a ++=，所以命民题“22,0()x R x ax a a R ∀∈++>∈”为假命题.故选D.分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据命题进行判断即可.5. 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是（ ） A.)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1 B.)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1 C.)0(∞+∉∀，x ，2x ≤1 D.)0(∞+∈∀，x ，2x ＜ 1 答案：B解析：解答：全称命题的否定为特称命题，“任意的x ”否定为“存在x 0”，同时注意否定要彻底，“2x ＞1”的否定为“2x ≤1”，由此可知选B分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定是特称命题进行具体分析判断即可.6. 已知命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤，则¬p 为 （ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+>C ．2,240x R x x ∀∉-+≤D ．2000,240x R x x ∃∉-+>答案：B解析：解答：因为命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤是全称命题，所以它的否定将全称命题改为特称命题，然后对结论否定.分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定是特称命题进行具体分析判断即可.7. 已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.R x p ∈∀⌝0:，1sin 0≥xB.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >C.:p x ⌝∃∉R ，sin 1x >D.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x答案：D解析：解答：全程命题的否定为特称命题.故D 正确.分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定为特称命题进行具体分析判断即可.8. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A ．R ∉∀x ，x x ≠2B ．R ∈∀x ，x x =2C ．R ∉∃x ，x x ≠2D ．R ∈∃x ，x x =2答案：D解析：解答： 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”是全称命题，∴命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是R ∈∃x ，x x =2 ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据命题关系进行具体分析即可. 9. 已知命题p: 存在x> 1， 使x 2-1> 0， 那么¬p 是（ ）A ．任意x> 1， 使x 2-1> 0B ．存在x> 1， 使x 2-1≤0C ．任意x> 1，使 x 2-1≤0D ．存在x≤1，使 x 2-1≤0答案：C解析：解答：：存在命题：“,x A p ∃∈”的否定为“,x A p ∀∈⌝”．所以该命题的否定为：任意x> 1，使 x 2-1≤0，选C ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是命题关系进行具体分析即可. 10. 命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ）A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <答案：D解析：解答：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是：存在R x ∈0，使得120<x ．故应选D ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是命题关系进行具体分析即可 11. 全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）A ．所有被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除答案：C解析：解答：全程命题的否定是特称命题，故C 正确.分析：本题主要考查了特称命题，全称命，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题的关系进行具体分析即可.12. ．已知命题p ：200,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．22≤≤-mB ．2-≤m 或2≥mC ．2-≤mD ．2≥m答案：D解析：解答：当命题p 为真时0m <;当命题q 为真时240m ∆=-<,解得22m -<<.qp ∨为假命题则,p q 均为假命题,所以022m m m ≥⎧⎨≤-≥⎩或解得2m ≥.故D 正确. 分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题的真假关系判定即可.13. 已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2-≤a 或1=aB ．2-≤a 或21≤≤aC ．1≥aD ．12≤≤-a答案：A解析：解答：若p 为真，则20x a -≥即2a x ≤对[1,2]x ∈恒成立，因为2x 的最小值为1，则a ≤1，若q 为真，即2220x ax a ++-=有实根，则∆=2(2)41(2)0a a -⨯⨯-≥，解得2-≤a 或a ≥1，所以命题“p 且q ”是真命题，则实数a 满足2-≤a 或1=a ，故选A. 分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据特称命题，全称命题定义进行真假判定即可.14. 给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈⋂，则x M ∈且x N ∈.其中真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：解答：因为0x =时，20x =，所以①是假命题；由200x x <得，001,x <<所以②是真命题；由交集的定义，若x M N ∈⋂，则x M ∈且x N ∈，③是真命题，故选C .分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据所给特称命题，全称命题进行具体分析即可.15. 下列命题正确的个数是（ ）①已知复数1z i i =-（），z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若,x y 是实数，则“22x y ≠”的充要条件是“x y ≠或x y ≠-”；③命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“01,2≤--∈∀x x R x ”；A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C解析：解答：①已知复数1z i i =-（），z 在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为1z i =+，为第一象限；②若,x y 是实数，则“22x y ≠”的充要条件是“x y x y ≠≠-或” 是错误的，因为“22x y ≠”的充要条件是“x y ≠且x y ≠-”；③命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“01,2≤--∈∀x x R x ”是正确的，特称命题的否定是全称命题．分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据所给命题判定真假即可.二、填空题16. “0x ∀>，1x +>”的否定是 ．答案：0,x 使1x +解析：解答：根据含有量词的否定命题的规则，可写出：0,x 使1x +≤. 分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题关系判定即可. 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+2x+3＞0，如果命题￢p 是真命题，那么实数a 的取值范围是．答案：a≤1 3解析：解答：根据命题￢p是真命题，等价于命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，解得a的取值范围，从而得出当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围．解析：因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，这时就有4120aa>⎧⎨∆=-<⎩，解得a＞13，因此当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围是a≤13．故答案：a≤1 3分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题关系求解对应参数即可.18. 已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为．答案：∀n∈N，2n≤1000解析：解答：由于特称命题的否定是全称命题，因而￢p：∀n∈N，2n≤1000．故答案为：∀n∈N，2n≤1000．分析：本题主要考查了全称命题，解决问题的关键是根据命题p是特称命题，所以特称命题的否定是全称命题．19. 下列命题是全称命题并且是真命题的是．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x02﹣3x0+6＜0成立．答案：②解析：解答：①含有全称量词“每个”，所以为全称命题．当二次函数的二次项系数小于时，二次函数的图象开口向下，所以①为假命题．②含有全称量词“任意”，所以为全称命题．∵c≤0，∴b+c≤b．∵a≤b+c，∴a≤b．所以②为真命题．③含有特称量词“存在一条”，所以不是为全称命题．所以③不满足条件．④含有特称量词“存在一个”，所以不是为全称命题．所以④不满足条件．故答案为：②．分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是先确定各命题中是否含有全称量词，然后再判断真假．20. 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a”．命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 02＋2ax 0＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a 的取值范围为____________答案：(－∞，－2]∪{1}解析：解答：若p 是真命题，即a≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a≤1；若q 是真命题，即x 02＋2ax 0＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p ∧q”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a≤－2或a ＝1.分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是特称命题与全称命题的真假进行分析计算即可.三、解答题21. 设命题 2000:,20p x R x ax a ∃∈+-=；命题22:,42 1.q x R ax x a x ∀∈++≥-+.如果命题“p q ∨为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．答案：解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q 为真时，（a ＋2）x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴a ＋2＞0且16－4（a ＋2）（a －1）≤0，即a≥2.由题意得，命题p 和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，得a≤－1∪0≤a ＜2当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈∅；∴实数a 的取值范围为（－∞，－1]∪[0,2）解析：分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是由题意，命题p 与命题q 一真一假，化简命题p 与命题q 为真时实数a 的取值范围，从而求得．22. 已知命题p ：任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，命题q ：存在0R x ∈，使得200(1)10x a x +-+<．若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围．答案：解：p 真，任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，即2a x ≤在[1,2]x ∈恒成立，[]21,4x ∈ 则a ≤1 ；q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p, q 中必有一个为真,另一个为假 当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 ； 当p 假q 真时，有a 1a 3a 1⎧⎨-⎩＞＞或＜得a ＞3 ∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞3解析： 分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是：若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，则 p, q 中必有一个为真,另一个为假．先分别求出p, q 为真时，a 的取值范围：p 真，2min 1a x ≤=（），q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 ，当p 假q 真时，有a 1a 3a 1⎧⎨-⎩＞＞或＜得a ＞3∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞323. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：（1）p ：对任意的x ∈R ，x 2+x+1=0都成立；答案：解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，￢p ：存在一个x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立”； （2）p ：∃x ∈R ，x 2+2x+5＞0．答案：解：由于“∃x ∈R”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p ：对任意一个x 都有x 2+2x+5≤0，即“∀x ∈R ，x 2+2x+5≤0”．解析： 分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．24. 命题p:“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q:“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。
