专题19线段和角的定值问题（解析版）第一部分教学案类型一线段中的定值问题1．（2019秋•北仑区期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的14多5，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，运动时间为t（s），M为BP的中点，N为MQ的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当BP=12BQ时，t＝12；④M，N两点之间的距离是定值．其中正确的结论（填写序号）思路引领：根据线段中点的定义和线段的和差关系即可得到结论．解：∵AB＝30，AC比BC的14多5，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC；故①正确；∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度，∴BP＝30﹣2t，BQ＝t，∵M为BP的中点，N为MQ∴PM=12BP＝15﹣t，MQ＝MB+BQ＝15，NQ=12MQ＝7.5，∴AB＝4NQ；故②正确；∵BP=30−2t，BQ=t，BP=12 BQ，∴30−2t=t2，解得：t＝12，故③正确，∵BP＝30﹣2t，BQ＝t，∴BM=12PB＝15﹣t，∴MQ＝BM+BQ＝15﹣t+t＝15，∴MN=12MQ=152，∴MN的值与t无关是定值，故答案为：①②③④．总结提升：本题考查两点间的距离，解题的关键是求出P到达B点时的时间，以及点P与Q重合时的时间，涉及分类讨论的思想．2．（2020秋•东西湖区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝a，CD＝b，且a，b满足|a﹣2|+（b﹣6）2＝0．M为线段AB的中点，N为线段CD中点．（1）求线段AB、CD的长；（2）若线段AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长的速度也向右运动，在运动前A点表示的数为﹣2．BC＝6，设运动时间为t秒，求t为何值时，MN＝4；（3）若将线段CD固定不动，线段AB以每秒2个单位长度的速度向右运动，在运动前AD＝36，在线段AB向右运动的某一个时间段内，始终有MN+BC为定值，求出这个定值，并求出t的取值范围．思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）t秒后点M表示的数是﹣1+2t，点N表示的数是9+t，然后根据MN＝4列出方程可得答案；（3）根据题意分类讨论得到结果．解：（1）∵|a﹣2|+（b﹣6）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣6＝0，∴a＝2，b＝6，∴AB＝2，CD＝6；（2）∵运动前A点表示的数为﹣2，BC＝6，∴点B表示的数是0，点C、D表示的数分别是6和12，∵M为线段AB的中点，N为线段CD中点，∴点M、N表示的数分别是﹣1和9，t秒后点M表示的数是﹣1+2t，点N表示的数是9+t，∴|（﹣1+2t）﹣（9+t）|＝4，解得t＝14或6，答：t＝14秒或6秒时，MN＝4；（3）运动t秒后，MN＝|32﹣2t|，BC＝|28﹣2t|，当0≤t＜14时，MN+BC＝32﹣2t+28﹣2t＝60﹣4t，当14≤t≤16时，MN+BC＝32﹣2t+2t﹣28＝4，当t ＞16时，MN +BC ＝2t ﹣32+2t ﹣28＝4t ﹣60， ∴当14≤t ≤16时，MN +BC 为定值．总结提升：本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大．3．（2020秋•遵化市期末）如图，已知线段AB ＝m ，CD ＝n ，线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧，点C 在点D 的左侧），若|m ﹣12|+（6﹣n ）2＝0． （1）求线段AB ，CD 的长；（2）若点M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点，BC ＝4，求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时，点D 与点B 重合，点P 是线段AB 的延长线上任意一点，下列两个结论：①PA−PB PC是定值，②PA+PB PC是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．思路引领：（1）先由|m ﹣12|+（6﹣n ）2＝0，根据非负数的性质求出n ＝6，m ＝12，即可得到AB ＝12，CD ＝6；（2）需要分类讨论：①如图1，当点C 在点B 的右侧时，根据“M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点”，先计算出AM 、DN 的长度，然后计算MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ；②如图2，当点C 位于点B 的左侧时，利用线段间的和差关系求得MN 的长度；（3）计算①或②的值是一个常数的，就是符合题意的结论． 解：（1）∵|m ﹣12|+（6﹣n ）2＝0， ∴|m ﹣12|＝﹣（6﹣n ）2， ∴m ﹣12＝0，6﹣n ＝0， ∴n ＝6，m ＝12， ∴AB ＝12，CD ＝6；（2）如图1，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点， ∴AM =12AC =12（AB +BC ）＝8， DN =12BD =12（CD +BC ）＝5， ∴MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ＝9；如图2，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴AM =12AC =12（AB ﹣BC ）＝4， DN =12BD =12（CD ﹣BC ）＝1，∴MN ＝AD ﹣AM ﹣DN ＝12+6﹣4﹣4﹣1＝9；（3）②正确．理由如下： ∵PA+PB PC =(PC+AC)+(PC−CB)PC=2PC PC=2，∴②PA+PBPC 是定值2．总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，比较线段的长短．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．4．（2018秋•江夏区期末）已知，如图所示，一条直线上依次有A 、B 、C 三个点． （1）若BC ＝10，AC ＝3AB 的长；（2）若点D 是射线CB 上一点，点M 为BD 中点，点N 为CD 中点，求BC MN的值；（3）当点P 在线段BC 的延长线上运动时，点E 是AP 的中点，点F 是BC 的中点（E ，F 不重合）．下列结论中：①EF AC+BP是定值；②EFAC−BP是定值，其中只有一个结论正确，请选择正确结论并求出其值．思路引领：（1）由AC ＝AB +BC ＝3AB 可得；（2）分三种情况：①D 在BC 之间时②D 在AB 之间时③D 在A 点左侧时；（3）分三种情况讨论：①F 、E 在BC 之间，F 在E 左侧②F 在BC 之间，E 在CP 之间③F 、E 在BC 之间，F 在E 右侧；解：（1）∵BC ＝10，AC ＝AB +BC ＝3AB ，∴AB＝5；（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之间时：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2MN，∴BCMN=2；②D在AB之间时：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴BCMN=2；③D在A点左侧时：BC＝DN﹣NB＝MN+DM﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴BCMN=2；故BCMN=2；（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．∴AE＝EP，BF＝CF，①F、E在BC之间，F在E左侧，EF＝FC﹣EC=12BC﹣AC+AE=12（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE−12AB−12AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴EFAC−BP =−12．②F在BC之间，E在CP之间，EF=12BC+CE=12BC+AE﹣AC=12（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE−12AB−12AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴EFAC−BP =−12．③F、E在BC之间，F在E右侧，EF＝CE﹣CF＝CE−12BC＝AC﹣AE−12BC＝AC﹣AE−12（AC﹣AB）=12AC﹣AE+12AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴EFAC−BP =12，∴只能是②EFAC−BP 是定值，定值为12．总结提升：本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．5．（越秀区期末）已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）（1）若在直线AB上取一点C AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，请说明P A+PB﹣2PM是一个定值．思路引领：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；列方程即可得到结论；（2）如图3，设BP＝x，则P A＝AB+BP＝8+x，PM=12AB+BP＝4+x，代入P A+PB﹣2PM即可得到结论．解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，∵AC＝3BC，设BC＝x，则AC＝3x，∵AB＝AC+BC，∴8＝3x+x，∴x＝2，∴BC＝2，AC＝6，∵点D是CB的中点，∴CD＝BD=12BC＝1，∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，设BC＝x，AC＝3BC＝3x，∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，∴x＝4，∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，∵点D是CB的中点，∴BD＝CD=12BC＝2，∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；③当点C在BA的延长线上时，明显，次情况不存在；综上所述，AD的长为7或10；（2）如图3，设BP＝x，则P A＝AB+BP＝8+x，PM=12AB+BP＝4+x，∴P A+PB﹣2PM＝8+x+x﹣2（4+x）＝0，∴P A+PB﹣2PM是一个定值0．总结提升：本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，正确的作出图形是解题的关键．6．（2020秋•奉化区校级期末）如图，已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n 满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0．（1）求线段AB，CD的长；（2）线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN＝4，求线段BC的长；（3）将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC＝24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）若6秒后，M’在点N’左边时，若6秒后，M’在点N’右边时，根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意分类讨论于是得到结果．解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，∴m﹣4＝0，n﹣8＝0，∴m＝4，n＝8，∴AB＝4，CD＝8；（2）若6秒后，M’在点N’左边时，由MN+NN’＝MM’+M’N’，即2+4+BC+6×1＝6×4+4，解得BC＝16，若6秒后，M’在点N’右边时，则MM’＝MN+NN’+M’N’，即6×4＝2+BC+4+6×1+4，解得BC＝8，（3）运动t秒后MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|，当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t，当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6，当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66，∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值．总结提升：本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大．7．（2022秋•平南县月考）如图AB＝48，C为线段AB的延长线上一点，M，N分别是AC，BC的中点．（1）若BC＝10，求MN的长；（2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长还是定值吗？若是，请求出MN的长；若不是，请说明理由．思路引领：（1）根据线段中点的性质，可得CM，CN的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据线段中点的性质，可得CM，CN的长，根据线段的和差，可得答案．解：（1）由已知得AC＝AB+BC＝58．由M，N分别是AC，BC的中点，得CM＝29，NC＝5．由线段的和差，得MN＝CM﹣NC＝29+5＝24；（2）若BC的长度为不定值，其它条件不变，MN的长是定值．由M，N分别是AC，BC的中点，得CM=12（AB+BC），CN=12BC，MN＝CM﹣NC=12（AB+BC）−12BC=12AB＝24．总结提升：本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出MC，NC的长是解题关键，又利用了线段的和差．类型二角中的定值问题8．（2017秋•宁海县期末）如图，已知在同一平面内OA⊥OB，OC是OA绕点O顺时针方向旋转α（α＜90°）度得到，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．（1）若α＝60即∠AOC＝60°时，则∠BOC＝°，∠DOE＝°．（2）在α的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值吗？若是定值，请求出这个值；若不是定值，请说明理由．思路引领：（1）先得到∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝150°，再根据角平分线的定义得到∠DOC＝75°，∠EOC＝30°，然后计算∠DOC﹣∠EOC得到∠DOE的度数；（2）根据角平分线的定义∠DOC=12∠BOC＝45°+12α，∠EOC=12∠AOC=12α，所以∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝45°，从而可判断∠DOE的度数是一个定值．解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，∵OD平分∠BOC，∴∠DOC=12∠BOC＝75°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠AOC＝30°，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝75°﹣30°＝45°；故答案为150°；45°；（2）在α的变化过程中，∠DOE的度数是一个定值，为45°．∵OD平分∠BOC，∴∠DOC=12∠BOC=12（90°+α）＝45°+12α∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠AOC=12α，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠EOC＝45°+12α−12α＝45°，即∠DOE的度数是一个定值．总结提升：本题考查了角度的计算：会利用几何图形计算角度的和与差．也考查了角平分线的定义．9．（2020秋•平山区校级期中）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可．解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=12×110°＝55°，∠BOF=12∠BOD=12×40°＝20°，∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣2035°．故答案为：35°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由题意∠BOC＝3t°，则∠AOC＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°＝40°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=12（110°+3t°）＝55°+32t°，∠BOF=12∠BOD=12（40°+3t°）＝20°+32t°，∴∠AOE﹣∠BOF＝（55°+32t°）−（20°+32t°）＝35°，∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值，定值为35°．总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．10．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图，已知∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，若OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）如图1，当OC 与OB 重合时，求∠MON 的度数；（2）如图2，当∠BOD 从图1位置开始绕点O 顺时针旋转m （0＜m ＜90）时，∠BOM ﹣∠DON 的值是否为定值？若是定值，求出∠BOM ﹣∠DON 的值；若不是定值，请说明理由；（3）如图2，当∠BOD 从图1位置开始绕点O 顺时针旋转m （30＜m ＜70）时，满足∠AOD +∠MON ＝7∠BOD ，求m 的值．思路引领：（1）由角平分线的定义求∠AOM ＝∠MOB =12∠AOB ，∠DON ＝∠NOC =12∠COD ，然后求∠MON ；（2）用含有m 的式子表示∠AOM 、∠BOD 和∠AOD ，然后利用角的和差关系求∠BOM ﹣∠DON ； （3）分别用含有m AOD 、∠MON 和∠BOD ，然后根据已知条件列出方程，从而得到m 的值．解：（1）∵OM 平分∠AOB ，ON 平分∠COD ，∴∠AOM ＝∠MOB =12∠AOB ，∠DON ＝∠NOC =12∠COD ， ∵∠AOB ＝80°，∠COD ＝30°， ∴∠MOC ＝40°，∠NOC ＝15°，∴∠MON ＝∠MOC +∠NOC ＝40°+15°＝55°； （2）∠BOM ﹣∠DON 为定值25°，理由如下： 由题意可知：∠AOD ＝∠AOB +∠COD +m ＝110°+m ，由（1）可知：∠AOM ＝∠MOB =12∠AOB ，∠DON ＝∠NOC =12∠COD ，∴∠BOM ＝∠AOM ＝∠12（∠AOC +m ）=12（80°+m ），∠DON =12（∠BOD +m ）=12（30°+m ），∴∠BOM﹣∠DON=12（80°+m）−12（30°+m）＝25°，∴∠BOM﹣∠DON的值为25°；（3）由（2）知：∠AOD＝110°+m，∠AOM=12（80°+m），∠DON=12（30°+m），∴∠MON＝∠AOD﹣∠AOM﹣∠DON＝110°+m−12（80°+m）−12（30°+m）＝55°，∵∠AOD+∠MON＝7∠BOD，∠BOD＝30°，∴110°+m+55°＝7×30°，∴m＝45°．总结提升：本题考查了角平分线的定义和图形的旋转，探究角与角之间的关系时，要注意先理清楚所求角与已知角的和差关系，然后再逐步求解．11．（2022秋•沁阳市期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图1，当OB、OC重合时，∠AOE﹣∠BOF＝；（2）如图2，当∠COD从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10），在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠COF＝17°时，t＝秒．思路引领：（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义解答即可；（3）根据题意得∠BOF＝（3t+17）°，故3t+17=20+32t，解方程即可求出t的值．解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=12×110°=55°，∠BOF=12∠BOD=12×40°=20°，∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°．故答案为：35°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值．由题意∠BOC＝3t°，则∠AOC＝∠AOB+3t°＝110°+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°＝40°+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOC=12(110°+3t°)=55°+32t°，∠BOF=12∠BOD=12(40°+3t°)=20°+32t°，∴∠AOE﹣∠BOF=(55°+32t°)−(20°+32t°)=35°，∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值，定值为35°；（3）根据题意得∠BOF＝（3t+17）°，∴3t+17=20+32 t，解得t＝2．故答案为2．总结提升：本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．12．（2017秋•宿豫区期末）如图，将两块直角三角尺的60°角和90°角的顶点A叠放在一起．将三角尺ADE绕点A旋转，旋转过程中三角尺ADE的边AD始终在∠BAC的内部在旋转过程中，探索：（1）∠BAE与∠CAD的度数有何数量关系，并说明理由；（2）试说明∠CAE﹣∠BAD＝30°；（3）作∠BAD和∠CAE的平分线AM、AN，在旋转过程中∠MAN的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请求出变化范围．思路引领：（1）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角的和差即可得到结论；（2）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，列方程即可得到结论；（3）根据题意得到∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．解：（1）∠BAE+∠CAD＝150°，理由：∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAE＝∠BAD+∠CAD+∠CAE＝60°+90°﹣∠CAD，∴∠BAE+∠CAD＝150°；（2）∵∠BAD+∠CAD＝60CAE+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝60°﹣∠BAD，∠CAD＝90°﹣∠CAE，∴60°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAE，∴∠CAE﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°；（3）在旋转过程中∠MAN的值不会发生变化，如图，∵∠BAD+∠CAD＝60°，∠CAE+∠CAD＝90°，∴∠BAD＝60°﹣∠CAD，∠CAE＝90°﹣∠CAD，∵AM，AN分别是∠∠BAD和∠CAE的平分线，∴∠MAD=12∠BAD＝30°−12∠CAD，∠NAC=12∠CAE＝45°−12∠CAD，∵∠MAN＝∠MAD+∠CAD+∠NAC＝30°−12∠CAD+∠CAD+45°−12∠CAD＝75°．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．13．（2022秋•晋州市期中）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP＝68°，将一块直角三角尺（∠MON＝90°）的直角顶点放在点O处，且直角三角尺在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．（1）当n＝30时，求∠PON的大小；（2）当OP恰好平分∠MON时，求n的值；（3）当n≠68时，嘉嘉认为∠AON与∠POM的差为定值，淇淇认为∠AON与∠POM的和为定值，且二人求得的定值相同，均为22°，老师说，要使两人的说法都正确，需要对n分别附加条件．请你补充这个条件：当n满足时，∠AON POM＝22°；当n满足时，∠AON+∠POM＝22°．思路引领：（1）根据角的和差关系可得答案；（2）根据角平分线的定义与角的和差关系可得答案；（3）分两种情况：OM在OP的左侧和右侧时，根据角的和差关系可得结论．解：（1）当n＝30°时，∠BOM＝30°，∵∠POB＝68°，∴∠POM＝68°﹣30°＝38°，∵∠MON＝90°，∴∠PON＝90°﹣38°＝52°；（2）∵OP恰好平分∠MON，∠MON＝90°，∴∠POM＝45°，∵∠POB＝68°，∴n＝68﹣45＝23；（3）当0＜n＜68时，如图1，∠AON﹣∠POM＝22°，理由如下：∵∠POB＝68°，∴∠POM＝68°﹣n°，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°﹣n°，∴∠AON﹣∠POM＝（90°﹣n°）﹣（68°﹣n°）＝22°；当68＜n＜90时，如图2，理由如下：∵∠POB＝68°，∴∠POM＝n°﹣68°，∵∠MON＝90°，∴∠AON＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠AON+∠POM＝（90°﹣n°）+（n°﹣68°）＝22°；故答案为：0＜n＜68，68＜n＜90．总结提升：本题考查了角的和差，平角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的和与差关系，角平分线的定义的应用，分情况讨论是解题关键．14．（2021秋•迁安市期末）如图1，把∠APB放置在量角器上，P与量角器的中心重合，射线P A、PB分别对准刻度117°和153°，将射线P A绕点P逆时针旋转90°得到射线PC．（1）∠APB＝度；（2）求出∠CPB的度数；（3）小红在图1的基础上，在∠CPB内部任意做一条射线PD，并分别做出了∠CPD和∠BPD的平分线PE和PF，如图2，发现PD在∠CPB内部的不同位置，∠EPF的度数都是一个定值，请你求出这个定值．思路引领：（1）∠APB＝153°﹣117°；（2）根据∠CPB＝∠APB+∠APC，可得∠CPB的度数；（3）根据角平分线的定义得到∠EPD=12∠CPD，∠FPD=12∠BPD，再根据角的和差可得答案．解：（1）由图可得，∠APB＝153°﹣117°＝36°．故答案为：36；（2）由题意得，∠APC＝90°，∴∠CPB＝∠APB+∠APC＝36°+90°＝126°．答：∠CPB的度数是126°；（3）∵∠CPD和∠BPD的平分线是PE和PF，∴∠EPD=12∠CPD，∠FPD=12∠BPD，∴∠EPF ＝∠EPD +∠FPD =12∠CPD +12∠BPD =12∠CPB ＝63°．∴当PD 在∠CPB 内部的不同位置时，∠EPF 的度数都是一个定值是63°． 总结提升：本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义和角的和差是解题关键． 15．（2022秋•硚口区期末）∠AOB 与它的补角的差正好等于∠AOB 的一半 （1）求∠AOB 的度数；（2）如图1，过点O 作射线OC ，使∠AOC ＝4∠BOC ，OD 是∠BOC 的平分线，求∠AOD 的度数； （3）如图2，射线OM 与OB 重合，射线ON 在∠AOB 外部，且∠MON ＝40°，现将∠MON 绕O 顺时针旋转n °，0＜n ＜50，若在此过程中，OP 平分∠AOM ，OQ 平分∠BON ，试问∠AOP−∠BOQ∠POQ的值是定值吗？若是，请求出来，若不是，请说明理由．思路引领：（1）设∠AOB ＝x °，根据题意列方程即可得到结论；（2）①当OC 在∠AOB 的内部时，②当OC 在∠AOB 外部时，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（3）根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论． 解：（1）设∠AOB ＝x °，依题意得：x ﹣（180﹣x ）=12x ∴x ＝120答：∠AOB 的度数是120°（2）①当OC 在∠AOB 的内部时，∠AOD ＝∠AOC +∠COD 设∠BOC ＝y °，则∠AOC ＝4y °， ∴y +4y ＝120，y ＝24，∴∠AOC ＝96°，∠BOC ＝24°， ∴OD 平分∠BOC ， ∴∠COD =12∠BOC ＝12°， ∴∠AOD ＝96°+12°＝108°，②当OC 在∠AOB 外部时，同理可求∠AOD ＝140°， ∴∠AOD 的度数为108°或140°； （3）∵∠MON 绕O 顺时针旋转n °， ∴∠AOM ＝（120+n ）° ∵OP 平分∠AOM ， ∴∠AOP ＝（120+n 2）°∵OQ 平分∠BON ， ∴∠MOQ ＝∠BOQ ＝（40+n 2）°，∴∠POQ ＝120+40+n ﹣∠AOP ﹣∠NOQ ， ＝160+n −120+n 2−40+n 2=160+n −160+2n2=80°， ∴∠AOP ﹣∠BOQ =120+n 2−40+n2=40°， ∴∠AOP−∠BOQ∠POQ=4080=12．总结提升：本题考查了角的计算，余角和补角的定义，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用． 16．（2019秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β是α的差余角．例如：若α＝110°，则α的差余角β＝20°．（1）如图1，点O 在直线AB 上，射线OE 是∠BOC 的角平分线，若∠COE 是∠AOC 的差余角，求∠BOE 的度数；（2）如图2，点O 在直线AB 上，若∠BOC 是∠AOE 的差余角，那么∠BOC 与∠BOE 有什么数量关系； （3）如图3，点O 在直线AB 上，若∠COE 是∠AOC 的差余角，且OE 与OC 在直线AB 的同侧，∠AOC−∠BOC∠COE请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ，根据题意得到∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°，于是得到结论；α （2）根据角的和差即可得到结论；（3）如图3，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ，如图4，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，于是得到结论． 解：（1）∵OE 是∠BOC 的角平分线， ∴∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ， ∵∠COE 是∠AOC 的差余角，∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝60°， ∴∠BOE ＝30°；（2）∵∠BOC 是∠AOE 的差余角，∴∠AOE ﹣∠BOC ＝∠AOC +∠COE ﹣∠COE ﹣∠BOE ＝∠AOC ﹣∠BOE ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC +∠BOE ＝90°；（3）答：是，理由：如图3，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOE ＝90°，∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值）；如图4，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝90°， ∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣（90°+∠COE ）＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值），综上所述，∠AOC−∠BOC∠COE为定值．总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键．17．（2018秋•荔城区期末）如图∠AOB＝120°，把三角板60°的角的顶点放在O处．转动三角板（其中OC边始终在∠AOB内部），OE始终平分∠AOD．（1）【特殊发现】如图1，若OC边与OA边重合时，求出∠COE与∠BOD的度数．（2）【类比探究】如图2，当三角板绕O点旋转的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），∠COE与∠BOD的度数比是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由．（3）【拓展延伸】如图3，在转动三角板的过程中（其中OC边始终在∠AOB内部），若OP平分∠COB，请画出图形，直接写出∠EOP的度数（无需证明）思路引领：（1）∵OC边与OA边重合，如图1，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，②当60°≤∠AOC≤120°时，如图3，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；（3）①0°≤∠AOC＜60°时，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，②当60°≤∠AOC≤120°时，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，根据角的和差和角平分线的定义即可得到结论；．解：（1）∵OC边与OA边重合，如图1，∴∠AOD＝60°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣60°＝60°，∵OE平分∠AOD，∴∠COE=12∠AOD＝30°；（2）①0°≤∠AOC＜60°时，如图2，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD，∴∠COE＝∠COD﹣∠EOD＝60°−12∠AOD，∵∠DOB＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣∠AOD，∴∠COE：∠BOD=1 2；②当60°≤∠AOC≤1203，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD，∴∠COE＝∠EOD﹣∠COD=12∠AOD﹣60°，∵∠DOB＝∠AOD﹣∠AOB＝∠AOD﹣120°，∴∠COE：∠BOD=1 2；（3）①0°≤∠AOC＜60°时，设∠AOC＝α，∠BODD＝β，∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴α+β＝60°，∴∠AOD＝60°+α，∠BOC＝60°+β，∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，∴∠AOE=12∠AOD＝30°+12α，∠BOP=12∠BOC＝30°+12β，∴∠POE＝∠AOB﹣∠AOE﹣∠BOP＝120°﹣（30°+12α）﹣（30°+12β）＝30°；②当60°≤∠AOC≤120°时，设∠AOC＝α，∠BOD＝β，∵∠AOB＝120°，∠COD＝60°，∴∠BOC＝120°﹣∠AOC＝60°﹣∠BOD，∴120°﹣α＝60°﹣β，∴α﹣β＝60°，∴∠AOD＝120°+β，∠BOC＝60°﹣β，∵OE始终平分∠AOD，OP平分∠COB，∴∠DOE=12∠AOD＝60°+12β，∠BOP=12∠BOC＝30°−12β，∴∠POE＝∠DOE﹣∠BOD﹣∠BOP＝（60°+12α）﹣β﹣（30°−12β）＝30°；综上所述，∠POE＝30°．总结提升：本题考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．第二部分 配套作业1．（2022秋•成都期末）已知点O 为数轴原点，点A 在数轴上对应的数为a ，点B 对应的数为b ，A 、B 之间的距离记作AB ，且|a +4|+（b ﹣10）2＝0．（1）求线段AB 的长；（2）设点P 在数轴上对应的数为x ，当P A +PB ＝20时，求x 的值；（3）如图，M 、N 两点分别从O 、B 出发以v 1、v 2的速度同时沿数轴负方向运动（M 在线段AO 上，N 在线段BO 上），P 是线段AN 的中点，若M 、N 运动到任一时刻时，总有PM 为定值，下列结论：①v 2v 1的值不变；②v 1+v 2的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．思路引领：（1）根据非负数的和为0，各项都为0即可求解； （2）应考虑到A 、B 、P 三点之间的位置关系的多种可能解题；（3）设运动时间为t ，首先得到PM ＝AP ﹣AM ＝3−12v 2t +v 1t ，由M 、N 运动到任一时刻时，总有PM 为定值，得到PM ＝3，t ＝1时，t ＝2时，于是得到结论． 解：（1）∵|a +4|+（b ﹣10）2＝0， ∴a ＝﹣4，b ＝10，∴AB ＝|a ﹣b |＝14，即线段AB 14；（2）如图1，当P 在点A 左侧时．P A +PB ＝（﹣4﹣x ）+（﹣x +10）＝20，即﹣2x +6＝20，解得 x ＝﹣7； 如图2，当点P 在点B 的右侧时，P A +PB ＝（x +4）+（x ﹣10）＝20，即2x ﹣6＝20，解得 x ＝13； 如图3，当点P 在点A 与B 之间时，P A +PB ＝x +4+10﹣x ＝20，不存在这样的x 的值， 综上所述，x 的值是﹣7或13；（3）①v 2v 1的值不变．如图4，设运动时间为t ，理由如下：∵PM ＝AP ﹣AM=12AN ﹣（OA ﹣OM ） =12（AB ﹣BN ）﹣OA +OM =12（14﹣v 2t ）﹣4+v 1t ＝3−12v 2t +v 1t ，∵M 、N 运动到任一时刻时，总有PM 为定值， 而t ＝0时，PM ＝3， t ＝1时，PM ＝3−12v 2+v 1， t ＝2时，PM ＝3﹣v 2+2v 1， ∴3﹣v 2+2v 1＝3−12v 2+v 1＝3， ∴v 1v 2=12，即：v 2v 1的值不变，值为2．总结提升：此题主要考查了一元一次方程的应用，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．2．（2022秋•江岸区校级月考）已知：如图，一条直线上依次有A 、B 、C 三点． （1）若BC ＝60，AC ＝3AB ，求AB 的长；（2）若点D 是射线CB 上一点，点M 为BD 的中点，点N 为CD 的中点，求BC MN的值；（3）当点P 在线段BC 的延长线上运动时，点E 是AP 中点，点F 是BC 中点，下列结论中： ①AC+BP EF是定值；②|AC−BPEF|是定值．其中只有一个结论是正确的，请选择正确结论并求出其值．思路引领：（1）由AC＝AB+BC＝3AB可得；（2）分三种情况：①D在BC之间时②D在AB之间时③D在A点左侧时；（3）分三种情况讨论：①F、E在BC之间，F在E左侧②F在BC之间，E在CP之间③F、E在BC之间，F在E右侧；解：（1）∵BC＝60，AC＝AB+BC＝3AB，∴AB＝30；（2）∵点M为BD中点，点N为CD中点，∴BM＝BD，DN＝NC，①D在BC之间时：BC＝BD+CD＝2MD+2DN＝2∴BCMN=2；②D在AB之间时：BC＝DC﹣DB＝2DN﹣2MB＝2（BN+2MB）﹣2MB＝2BN+2MB＝2MN，∴BCMN=2；③D在A点左侧时：BC＝DN+NB＝MN+DN﹣NB＝MN+MB﹣NB＝MN+MN+NB﹣NB＝2MN，∴BCMN=2；故BCMN=2；（3）点E是AP的中点，点F是BC的中点．∴AE＝EP，BF＝CF，①EF＝FC﹣EC=12BC﹣AC+AE=12（AC﹣AB）﹣AC+AE＝AE−12AB=12AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC﹣2AE+AB，∴|AC−BPEF|=2．②EF=12BC+CE=12BC+AE﹣AC=12（AC﹣AB）+AE﹣AC＝AE−12AB−12AC，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴|AC−BPEF|=2．③EF＝CE﹣CF＝CE−12BC＝AC﹣AE−12BC＝AC﹣AE−12（AC﹣AB）=12AC﹣AE+12AB，BP＝AP﹣AB＝2AE﹣AB，∴AC﹣BP＝AC+AB﹣2AE，∴|AC−BPEF|=2．总结提升：本题考查线段之间量的关系，结合图形，能够考虑到所有分类是解题的关键．3．（2016秋•启东市校级月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM；（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MN+PN的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．思路引领：（1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可．（2）AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论．（3）P A＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN=12PB＝x﹣12，分别表示出MN，MN+PN的长度，即可作出判断．解：（1）如图1，设出发x秒后PB＝2AM，当点P在点B左边时，P A＝2x，PB＝24﹣2x，AM＝x，由题意得，24﹣2x＝2x，解得：x＝6；当点P在点B右边时，P′A＝2x，P′B＝2x﹣24，AM＝x，由题意得：2x﹣24＝2x，方程无解；综上可得：出发6秒后PB＝2AM．（2）∵AM＝x，BM＝24﹣x，PB＝24﹣2x，∴2BM﹣BP＝2（24﹣x）﹣（24﹣2x）＝24；（3）选①；如图2，∵P A＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x﹣24，PN=12PB＝x﹣12，∴①MN＝PM﹣PN＝x﹣（x﹣12）＝12（定值）；②MN+PN＝12+x﹣12＝x（变化）．总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．4．（2022秋•高新区期中）如图，线段AB＝12，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB＝2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值．思路引领：（1）由题意表示：AP＝2t，则PB＝12﹣2t，根据PB＝2AM列方程即可；（2）把BM＝12﹣t和BP＝12﹣2t代入2BM﹣BP中计算即可；（3）分别代入求MN和MA+PN的值，发现①正确；②不正确．解：（1）如图1，由题意得：AP＝2t，则PB＝|12﹣2t|，∵M为AP的中点，∴AM＝t，由PB＝2AM得：|12﹣2t|＝2t，即12﹣2t＝2t或2t﹣12＝2t，t＝3，答：出发3秒后，PB＝2AM；（2）如图1，当P在线段AB上运动时，BM＝12﹣t，2BM﹣BP＝2×（12﹣t）﹣（12﹣2t）＝24﹣2t﹣12+2t＝12，∴当P在线段AB上运动时，2BM﹣BP为定值12；（3）选①；如图2，由题意得：MA＝t，PB＝2t﹣12，∵N为BP的中点，∴PN=12BP=12（2t﹣12）＝t﹣6，①MN＝P A﹣MA﹣PN＝2t﹣t﹣（t﹣6）＝6，∴当P在AB延长线上运动时，MN长度不变；所以选项①叙述正确；②MA+PN＝t+（t﹣6）＝2t﹣6，∴当P在AB延长线上运动时，MA+PN的值会改变．所以选项②叙述不正确．总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度．5．（2021秋•双流区期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB＝m，CD＝n，且m，n满足|m﹣4|+（n﹣8）2＝0，点M，N分别为AB，CD中点．（1）求线段AB，CD的长；（2）线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN＝4，求此时线段BC的长；（3）若BC＝24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．思路引领：（1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）若6秒后，M’在点N’左边时，若6秒后，M’在点N’右边时，根据题意列方程即可得到结论；（3）根据题意分类讨论于是得到结果．解：（1）∵|m﹣4|+（n﹣8）2＝∴m﹣4＝0，n﹣8＝0，∴m＝4，n＝8，∴AB＝4，CD＝8；（2）若6秒后，M′在点N′左边时，由MN+NN′＝MM′+M′N′，即2+4+BC+6×1＝6×4+4，解得BC＝16，若6秒后，M′在点N′右边时，则MM′＝MN+NN′+M′N′，即6×4＝2+BC+4+6×1+4，解得BC＝8．综上，BC＝16或8；（3）运动t秒后MN＝|30﹣4t|，AD＝|36﹣4t|，当0≤t＜7.5时，MN+AD＝66﹣8t，当7.5≤t≤9时，MN+AD＝6，当t≥9时，MN+AD＝8t﹣66，∴当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值．总结提升：本题主要考查了非负数的性质以及数轴和两点间的距离等知识，解答本题的关键是掌握两点间的距离公式，解答第三问注意分类讨论思想，此题难度不大．6．（2021秋•洛川县校级期末）已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．思路引领：（1AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE=12∠AOC=12（110°+3t°）、∠BOF=12∠BOD=12（40°+3t°），最后根据∠AOE﹣∠BOF求解可得；解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=12∠AOB=12×110°＝55°，∠BOF=12∠COD=12×40°＝20°，∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，如图2，由题意∠BOC＝3t°，则∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，。
线段和角的动态综合题1.如图，点C在线段AB上，AC=8cm，CB=6cm，点M，N分别是AC，BC的中点.（1）求线段MN的长；（2）若点C在线段AB上，AC+CB=a（cm）,其他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？并说明理由.你能用一句话描述你发现的结论吗？（3）若点C在线段AB的延长线上，AC-BC=bcm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由.2.如图。
在数轴上有A. B. 、C.D四个点。
且AB=2，CD=4.已知A表示的数是−10，C表示的数是16，若线段AB以每秒6个单位长度的速度向右运动，同时线段CD以每秒2个单位长度向左运动。
(1)经过多少秒，BC=8?(2)当BC=8时，点B表示的数是多少?(3)若P是线段AB上一点,当点B与点C重合时,是否存在关系式BD APPC-=3?若存在，求出PC的长度；若不存在，请说明理由.3.如图，已知A. B. C是数轴上三点，点C表示的数为6，BC=4，AB=12.(1)写出数轴上点A. B表示的数；(2)动点P、Q分别从A. C同时出发,点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,M为AP的中点,点N在线段CQ上,且CN=13CQ,设运动时间为t(t>0)秒。
①求数轴上点M、N表示的数(用含t的式子表示)；②t为何值时,原点O恰为线段PQ的中点.4.如图,已知直线l有两条可以左右移动的线段：AB=m,CD=n,且m,n满足|m−4|+(n−8)2=0.(1)求线段AB，CD的长；(2)线段AB的中点为M，线段CD中点为N，线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，MN=4，求线段BC的长；(3)将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，M、N分别为AB、CD中点，BC=24，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值。
线段与角【知识要点】1. 线段线段具有比两个端点，是直线的一部分；把线段向一方无限延伸就可以得到射线。
线段与直线的重要性质： （1） 两点之间，线段最短；（2） 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
分线段计数公式：在线段上取n-2个点，若端点记在内时，线段上共有n 个点，此线段被分成的各类线段总条数：(1)(1)212n n n --+⋅⋅⋅++=2. 角角看做一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。
小于平角的角可以分为：锐角、直角、钝角。
它们的范围：0°﹤锐角﹤90°，直角=90°，90°﹤钝角﹤180°。
（1） 两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
（2） 同角（或等角）的余角（或补角）相等。
【例题讲解】例1 已知：AB ∶BC ∶CD=2∶3∶4，E ，F 分别是AB 和CD 的中点，且EF=12厘米(cm)，求AD 的长(如图1－6)．例2 在直线l 上取 A ，B 两点，使AB=10厘米，再在l 上取一点C ，使AC=2厘米，M ，N 分别是AB ，AC 中点．求MN 的长度(如图1－7)．例3 如图1－8所示．在一条河流的北侧，有A，B两处牧场．每天清晨，羊群从A出发，到河边饮水后，折到B处放牧吃草．请问，饮水处应设在河流的什么位置，从A到B羊群行走的路程最短？例4将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形．问其中最长的一段的取值范围．例6若时钟由2点30分走到2点50分，问时针、分针各转过多大的角度？例7时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转多少度时，分钟与时针第一次重合(图1－11)？例8 在4点与5点之间，时针与分针在何时(1)成120°(图1－12)；(2)成90°(图1－12)．练习十一1．如图1－14所示．B，C是线段AD上两点，M是AB的中点，N是CD的中点．若MN=a，BC=b，求AD．2．如图1－15所示．A2，A3是线段A1A4上两点，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3．求线段A1A4上所有线段之和．3．如图1－16所示．两个相邻墙面上有A，B两点，现要从A点沿墙面拉一线到B点．问应怎样拉线用线最省？4．互补的两角之差是28°，求其中一个角的余角．5．如图1－17所示．OB平分∠AOC，且∠2∶∠3∶∠4=2∶5∶3．求∠2，∠3，∠4．6．在晚6点到7点之间，时针与分针何时成90°角？7．在4点到6点之间，时针与分针何时成120°角？。
