高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广

类比法在万有引力场教学中的应用孙红霞【期刊名称】《网友世界·云教育》【年(卷),期】2014(000)013【摘要】用类比的方法将静电场的高斯定理和环路定理推广到万有引力场的“高斯定理”和“环路定理”，定义了万有引力场强和万有引力势。

通过引力场的“高斯定理”得出了两种特殊对称性引力场分布及物体所受引力规律，简化了积分运算；通过引力场的“环路定理”得出地球周围物体的万有引力势能。

%By way of analogy,the Gauss theorem of electrostatic field and loop theorem to the Gauss theorem of gravitational field "and"loop theorem ",defined the gravitational field and the gravitational potential.The gravitational field of the"Gauss theorem"of the two kinds of special symmetric gravitationalfield and the force law of gravity, simplifies the integral operation;by the gravitational field of the earth"loop theorem"objects around the gravitational potential energy.【总页数】2页(P242-243)【作者】孙红霞【作者单位】铁岭师范高等专科学校【正文语种】中文【相关文献】1.以类比为刀刃,行庖丁解牛之术——类比法在高中物理教学中的应用研究 [J], 何志锋2.范例法在《医学物理学》教学中的应用(二)--引力场与静电场 [J], 吴静;张鹏程3.类比法与万有引力场的描述 [J], 王敏4.类比法研究万有引力场的高斯定理 [J], 周国全; 黄华玲5.关联法和类比法在生物化学教学中的应用研究 [J], 易杨因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

高斯定理和环路定理高斯定理和环路定理是电磁学中两个重要的基本定律。

它们描述了电场和磁场的分布和变化规律，是理解电磁现象的基础。

本文将对高斯定理和环路定理进行详细介绍。

一、高斯定理高斯定理又称为高斯电场定理，它是描述电场分布的基本原理之一。

高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内部电荷的代数和与真空介电常数的乘积。

具体来说，如果一个闭合曲面内部有正电荷和负电荷，那么通过这个曲面的电场通量将等于正电荷和负电荷的代数和除以真空介电常数。

高斯定理的数学表达式为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示曲面上的电场通量，Q表示曲面内部的电荷总量，ε0为真空介电常数。

高斯定理的应用非常广泛。

例如，在计算电场分布时，可以通过选择适当的高斯曲面来简化计算。

通过高斯定理，可以快速得到电场在各个位置的大小和方向。

高斯定理也被用于推导其他电场分布的公式，如电偶极子和球壳电场的公式。

二、环路定理环路定理又称为安培环路定理，它是描述磁场分布的基本原理之一。

环路定理表明，磁场沿着一个闭合回路的线积分等于该回路内部电流的代数和乘以真空磁导率。

具体来说，如果一个闭合回路内部有电流通过，那么沿着这个回路的磁场线积分将等于电流的代数和除以真空磁导率。

环路定理的数学表达式为：∮B·dl = μ0I其中，∮B·dl表示回路上的磁场线积分，μ0为真空磁导率，I表示回路内部的电流。

环路定理的应用也非常广泛。

例如，在计算磁场分布时，可以通过选择适当的环路来简化计算。

通过环路定理，可以快速得到磁场在各个位置的大小和方向。

环路定理也被用于推导其他磁场分布的公式，如长直导线和环形线圈的磁场公式。

三、高斯定理与环路定理的关系高斯定理和环路定理是电磁学中两个基本定理，它们描述了电场和磁场的分布与变化规律。

虽然它们描述的是不同的物理量，但在某些情况下，它们是相互关联的。

例如，在静电场中，高斯定理可以推导出库仑定律，即电荷间的相互作用力与它们之间的距离成反比。

《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》读了这篇文章, 我觉得这俩个定理的应用于推广最大的特点是应用类比的方法。

通过在万有引力场中定义引力场强矢量和万有引力势，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中，然后举例说明了这两个定理分别在某些质量对称分布的问题和天文上的应用。

用类比的方法从静电场的高斯定理和环路定理导出了万有引力场中的“高斯定理”和“环路定理”并定义了引力场强度矢量。

说实话，做出这个结论并不是很难，就是简单套用公式逐一对比并定义新的常量，但是把高斯定理和环路定理推广到另一个完全不同的力学领域的思维方式确实很难得。

我个人认为物理科学不仅仅要的是知识渊博，更为重要的是一种全新的思维方式，一种不同于传统敢于创新的理念。

比如说这个推广，我们学生往往把高斯和环路定理局限在电学知识领域，哪里会认为这两个定理还可以继续向广度方向进一步推广，然而这篇文章的作者却独具慧眼发现并很好地总结了这个规律。

首先，文章讲了高斯定理的推广。

由库伦定律和万有引力定律得出质量对应于电荷量，并进一步深入，和电场强度类似，在万有引力场中定义了一个引力场强度矢量，也就是引力常数g，就这样依葫芦画瓢的出一个引力场“高斯定理”。

这种“高斯定理”在某些具有对称性的问题中可以大大简化原本复杂的积分运算过程。

其次，文章讲到环路定理的推广。

它在万有引力场中引入了引力势和引力势能。

如此根据电势能和电势公式就能相应得出引力势能和引力公式。

作者还将这个公式代入到卫星环绕问题中去进行进一步检验。

万有引力场中的高斯定理说明了穿过闭合曲面的引力场强通量只和它包围的质量有关。

万有引力场中的环路定理说明了万有引力沿闭合路径的环流为0。

静电场和万有引力场，最大的共同之处就是都是力的作用形式相似。

两个物体相互作用，形成相互作用力。

力的表达形式也极为相似。

这应该是促使作者做出将高斯定理与环路定理向万有引力场推广的一个重要表象。

我想很多人读到这篇文章，肯定会不以为意，因为高斯定理和环流定理在万有引力中的推广很好理解，如果让我们自己推导的话应该也不会有太大的问题。

引力场中高斯定理的应用
王宁;孙彩霞;齐玉红
【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(024)004
【摘要】本文用类比的方法将静电场中的高斯定理的形式推广到万有引力场中,从而引出万有引力场中的"高斯定理".通过万有引力场中的"高斯定理",将某些质量分布具有对称性的物体引起的引力场强的计算得到简化.
【总页数】3页(P78-80)
【作者】王宁;孙彩霞;齐玉红
【作者单位】黄河科技学院实验中心,河南,郑州,450006;黄河科技学院数理部,河南,郑州,450006;郑州大学,河南,郑州,450006
【正文语种】中文
【中图分类】O314
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1.高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广 [J], 陈国云;骆成洪;辛勇;黄国庆;文小庆;赵书毅
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引力场中的高斯定理引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价.Ⅰ、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致.引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线.引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS 的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS.引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线.引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积.Ⅱ、通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关.证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm.以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm.（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S′，根据（1）通过此球面的事情感兴趣,要勤奋地工作!”。

高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理是物理学界以及数学界较为重要的定理之一，它可以被广泛地用于万有引力场的研究中。

首先，我们需要了解高斯定理的核心部分——高斯梯度定理：它指出了引力场的数学表示和图像的梯度的空间表示之间的联系，即：万有引力场的空间表示有一个正定的悬赏函数，和任意点的梯度之间存在明确的联系，此外，这个悬赏函数的倒数是一个完全定义的单值函数，接下来，我们就可以用这个悬赏函数来求出万有引力场的强度以及各种有关物理量。

另一方面，万有引力场对空间上某点上发生的结构变化也有着重要的影响，它可以通过高斯梯度定理来计算这种变化。

高斯梯度定理中，梯度是一个十分重要的概念，它是三维空间中某点处的万有引力场变化速率。

对此，高斯定理可以让我们通过知道梯度 at 点 P 的方向和大小来推断出空间上某个点处的引力场的强度和变化情况，也就是我们可以根据某点的梯度来计算出空间上的点的引力场的强度以及计算出不同空间上的点之间的引力场是否在变化。

至此，我们可以看出，高斯定理在万有引力场的有效应用中发挥了重要作用，它提供了万有引力场变化情况的推断，可以让我们很快的分析出物体之间的引力场变化情况，这样使我们可以进一步研究万有引力场，更好的理解它。

此外，高斯定理也有许多其它的应用，例如他可以用于空气动力学，静电学以及地学等领域。

J．SH A N X I A G R I C．U N l V．(N“，“，砸f Sf i r小P E dj，j o，I)高斯公式在农林院校大学物理保守场中的推算贾国荣(山西农业大学文理学院．山西太谷030801)摘要：通过数学上高斯公式和保守场的定义．推导出农林院校大学物理中的两个保守场：电场和万有引力场。

把数学中的高斯公式运用到两个保守场中．结合类比思想．分别得出电场中的高斯定理和万有引力场中的高斯定理．并分别举例说明高斯定理在电场和万有引力场中的运用。

万有引力场如同电场一样．是有源场。

对于具有高对称性的质量系。

万有引力高斯定理可简化万有引力场的求解过程。

关键词：高斯公式；电场；万有引力场；高斯定理中图分类号：()411文献标识码：A文章编号：167卜8151(2013)05一0454一04E xt ensi on of G a u s g L a w i n t he C on ser vat i v e Fi el d of A gr i cu l t ur aI U ni V er s i t y Phys i csJ i a G uO r O ng((】J f Z r gr¨．，A r f^“，l d S(i P玎(P．S^“n．r iA gr i(“““，’“f U"i vPr^i f j．丁么i g¨S^Ⅱ，1．r i03080J(、^i"“)A bs t r a ct：The t w o c()ns er vat i ve f i el ds of agr i c uI t ur a I uni ver s i t y physi cs．eI e ct r()st at i c f i el d and uni ve r sa l gr avi t at i ona lfi el d，w er e dedu ced t hr()ugh t he m at h em at i cal de f i ni t i on of(二a us F1aw a nd c()ns er vat i ve fi el d．【?()m bi ned w i t h anal ogi ca l t houg ht．t he(j aus分t heor em of el e ct r o st at i c f i el d a nd uni ve r sa l gr avi t at i ona l f i eI d w er e ca l c ul a t e d a nd t he appl i ca t i ons of gaus s。

《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》读后感课本中从电场到磁场，我们学习或是解题过程中总是免不了要运用到高斯定理和静电环路定理作为解题的第一步骤。

因此我们知道了电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问。

本篇文章则利用了类比的科学研究方法，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中。

进一步引入引力场强度，引力势能，引力场强通量，说明了万有引力场是一种有源场，并引入引力环流的概念，说明了，万有引力场也是一种无旋场。

文章中通过大量的计算，公式的推导，结合利用牛顿万有引力定律和微积分，万有引力势能导出第一、第二字宙速度，用万有引力场中的高斯定理等求解相关的问题来证明了其类比假设的正确性。

最值得注意的就是其中的类比方法，有时在学习或是生活中适当地掺入类比的思想，不仅可以全面提高分析问题和解决问题的能力，或许还会受到其他更多的意想不到的效果。

电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问题。

高斯定理的定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。

高斯定理的说明：高斯定理反映了静电场是有源场这一特性，它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。

环路定理静电场环路定理：在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于0. 与静电场力作功和路径无关是一致的.这种力场也叫保守力场或势场.安培环路定理：在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。

万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

引力场：引力场中的某点的是该点位置的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引力场强满足叠加原理万有引力场中高斯定理:万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形式万有引力场中的环路定理：即引力场强在闭合回路上的积分为零，称为万有引力场中的环路定理引力势能：在量值上等于将物体。

高斯定理摘要：高斯定理是电磁学的一条重要定理，它不仅在静电场中有重要的应用，而且也是麦克斯韦电磁场理论中的一个重要方程。

本文比较详细的介绍了高斯定理，并提供了数学法、直接证明法等方法证明它，总结出应用高斯定理应注意的几个问题，从中可以发现高斯定理在解决电磁学相关问题时的方便之处。

最后把高斯定理推广到万有引力场中去。

关键词：高斯定理；应用；万有引力场Gaussian theoremAbstract:Gaussian theorem is an important theorem of electromagnetism. It not only has important application in electrostatic field, but also is an important equation in Maxwell electromagnetic field theory. This thesis introduces the Gaussian theorem in detail and proves it by using many methods such as the mathematical method and the direct proof method etc.It also introduces the several problems that we should pay attention to when we apply and use Gaussian theorem. It can be found convenient when we use the Gaussian theorem to solve the problems related to the electromagnetism. The last part of this thesis is to introduce the Gauss Theorem to the Gravitational Field.Key words: Gaussian theorem; Application; Gravitational field目录1高斯定理的表述 (3)1.1数学上的高斯公式 (3)1.2静电场的高斯定理 (3)1.3磁场的高斯定理 (4)2.1.1静电场的高斯定理 (5)2.1.2磁场的高斯定理 (6)2.2高斯定理的直接证明 (7)2.3高斯定理的另一种证明 (8)3 高斯定理的应用 (10)4将高斯定理推广到万有引力场中 (13)4.1静电场和万有引力场中有关量的类比 (13)4.2万有引力场中的引力场强度矢量 (13)4.3万有引力场中的高斯定理 (14)5 结束语 (14)参考文献 (15)谢辞................................................................................................ 错误!未定义书签。

高斯定理在力学中的推广及应用
高斯定理（Gauss’s theorem）是创建霍普夫斯基力学的数学基础。

该定理最初是由力学表示的，在推广到其他物理问题中也很有用。

它
的内容是，对于某个区域所有的质量点的外场，其外力总和等于这个
区域内力的积分。

如果把这个定理应用于力学中，可以推广出不同的
有关力学现象的数学模型，从而为解决力学问题提供更有效的解决方案。

高斯定理在力学中的推广和应用有：
（1）运动学中的坐标变换：可以用高斯定理来研究在不同坐标系下同
一物体运动的位置和速度变化情况，这有助于更好地理解物体在不同
坐标系中运动行为。

（2）力学学习中的力定式：可以利用高斯定理来推导着名的力定式，
它给出了一种描述任何物体受力作用时质心上运动行为的公式。

（3）转动力学中的定转矩定律：可以用高斯定理推导定转矩定律，用
来研究各种与转动力学相关的问题，从而更好地理解物体的旋转行为。

（4）势能的传递：高斯定理可以用来理解势能的传递，即可以用来估
算势能的传递方向，以及在物体受力的情况下物体如何发生变形。

（5）热传导场中的温度变化：高斯定理可以用于热传导场中温度变化
的研究，它可以有助于更好地理解热源对物体温度分布的影响。

对高斯定理和环路定理本质的思考 摘要：高斯定理和安培环路定理都是物理和数学中非常重要的定理，本文旨在探索二者的本质，以及从这些本质中导出的一些规律和应用。

由于所学有限所以探索范围有限，还要老师帮助拓展。

关键字：高斯定理 环路定理 流量 静电场 磁场学完第一学期的大物，我发现有两个很重要，即高斯定理和安培环路定理，高斯定理是揭示了通过某一闭合曲面的矢量通量就等于从这一闭合曲面所围立体产生的矢量（流量），安培环路定理的物理意义是向量场A 沿有向闭曲线的环流量等于向量场A 的旋度rotA 通过该闭曲线所张成的曲面∑的通量，∑的法相量与闭合曲线的正向符合右手规则。

高斯定理的物理意义看起来很通俗易懂。

现在我们先看看高斯定理在真空中的静电场中的应用，任何封闭曲面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以0ε。

这里的电场强度可以是空间所有电场的叠加，也可以只由所包围电荷产生电场的叠加，因为由电场线的连续性可知，从一侧穿过曲面的电场线必从另一侧穿出，所以闭合曲面外的电荷对闭合曲面的电场强度通量无贡献，虽然对各点的场强有影响。

库仑定律和高斯定理是静电场中的两条重要规律近年来, 一些文献对两者是否等价等有关问题提出了不同的见解。

我认为二者不可等价，二者的使用各有长处。

因为, 若电荷分布已知, 则由库仑定律和叠加原理可以唯一地确定任意场点的场强，但仅由高斯定理q E*dS=ε∑⎰ （1） 即使电荷分布已知, 仍然不能唯一确定场强的分布,因为如果是某一满足（1）式的场，则在原来基础上叠加上任意一个涡旋场之后所得的电场仍然满足（1）式，若要唯一确定电场,还必须加上静电场的环路定路定理（即静电场的径向性）E *d l =0⎰ （2） 而（2）式也是在库仑定律的基础上导出的，所以二者不等价。

由高斯定理的本质，我们同样可以用它研究经典力学中的引力场，万有引力定律指出, 在空间中的任意两个物体之间都存在万有引力的作用, 万有引力的大小与两个物体的质量乘积成正比, 与两物体的中心距离的平方成反比, 方向沿两者的中心连线。

1问题的提出与闭合面外的质量无关。

将地球看做一个半径为R的均3 对万有引力场中的高斯定理的应用匀球体，密度为ρ，假定沿直径开应用一：求万有引力场场强。

一条通道，若有质量为m的质点沿（1）单个质点： 。

通道做无摩擦运动，证明此运动为简谐运动。

列出受力大小公式，经（相当于质量集中在球壳中心）。

过化简发现受到的万有引力大小是（3）均匀质量的实心球体：当r<R时，一个和质点所在面的半径r成正比的量，即质点在地球内部受到了一r>R时，。

个线性回复力的作用，方向和质点（4）无限长的棒：表示质量的线密度）。

相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的是简谐运动。

（5）无限大的平面： 。

联想到静电场的高斯定理： 通过（6）两个无限大的平行平面：两板之间；两板之外一个任意闭合曲面S的电通量等于该面所包围的所有电荷的（表示质量的面密度）。

代数和Σq除以ε，与闭合面外的电荷无关。

这就是著名的电场应用二：求万有引力场中的引力位，或引力位差。

中的高斯定理的表述。

（1）单个质点：（无限远为零势能点）。

既然牛顿的万有引力定律和库仑定律公式有着十分相似的形式，并且库仑定律能够推导出电（2）均匀质量球壳：当r<R时， ；当r>R时，场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。

2 万有引力场中的高斯定理简单证明过程（3）均匀质量的实心球体：当r<R时，先给几个定义和公式：万有引力强度，用表示，定义式；当r>R时， （无限远为零势能点）。

为，但正方向为从内到外，与实际方向相反。

（4）无限长的棒：（表示质量的线密度）。

对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是：（5）无限大的平面： 。

（6）两个无限大的平行平面：两板之间（1）万有引力通量，（注意负号）。

两（外）边（表示质量的面密度）。

（2）仿照，令，这里的命应用三：反物的质猜想。

名为真空介电常数。

推导证明：如果在已知正质量和一个高斯面的总的通量的前提下，或与能够证明具有-m的物质（反物质）的存在，甚至能够借此发现这种反物质，因为公式中的质量和是代数和。