【龙门亮剑全国版】高三数学一轮 第三章 第二节 等差数列及其性质课时提能精练 理

第二节 等差数列高考目标:1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数的关系.一.知识梳理1.等差数列的定义2.等差数列的通项公式3.等差中项4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广(2) 若{n a }是等差数列,且m+n=p+q, 则 q p n m a a a a +=+5.等差数列的前n 项和公式 d n n na S n 2)1(1-+=)(21n n a a nS +=6.等差数列的前n 项公式与函数的关系(最值)7.等差数列与等差数列各项的和有关的性质①等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的2k 倍...,,232k k k k k S S S S S --；②若等差数列的项数为)(2+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；③若等差数列的项数为()+∈-Nn n 12，则()n n a n S1212-=-，且n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇④两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和n n T S ,之间的关系为1212--=n n n n T S b a .二.典例解析类型一.等差数列中基本量的计算例1.(1)(09.山东)在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则=6a .(2)(10.辽宁)设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,若24,363==S S ,则=9a . (3)设}{n a 为等差数列,n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,已知75,1154==S a ,n T 为数列}{nS n的前n 项和,求n T习题1.已知等差数列}{n a 中,公差0>d ,又14,454132=+=⋅a a a a . (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)记数列11+⋅=n n n a a b ,数列}{n b 的前n 项和记为n S ,求n S .习题2.(10.浙江)设d a ,1为实数,首项为1a ,公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,满足01565=+S S .(1)若55=S ,求6S 及1a ; (2)求d 的取值范围.类型二.等差数列的判定例2.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和, )(+∈=N n nS b nn .求证:数列}{n b 是等差数列.总结:四种方法判定是等差数列习题3. (09.湖北)已知数列}{n a 的前n 项和2211+⎪⎭⎫⎝⎛--=-n n n a S (n 为正整数).令n n n a b 2=,求证:数列}{n b 是等差数列,并求数列}{n a 的通项公式.习题4.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ,211=a . (1)求证: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列; (2)求n a 的表达式.类型三.等差数列的性质例3.(1)(10.全国Ⅱ)如果等差数列}{n a 中,12543=++a a a ,那么=+++721a a a .(2)等差数列}{n a 的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 . (3)已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n n B A ,,且3457++=n n B A n n ,则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是 .习题5.(1)在等差数列}{n a 中,27,39963741=++=++a a a a a a ,则数列}{n a 的前9项和=9S .(2)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 .类型四.等差数列前n 项和的最值问题例 4.已知等差数列}{n a 满足)(2*21N n a a a n n n ∈+=++,它的前n 项和为n S ,且72,1063==S a ,若3021-=n n a b ,求数列}{n b 的前n 项和的最小值.习题6.等差数列}{n a 中,01<a ,129S S =,该数列前多少项的和最小?(多种方法)三.课后作业1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足12323=-S S ,则数列}{n a 的公差为 . 2.在等差数列}{n a 中,公差为d ,且5104S S =,则=da 1. 3.(09.辽宁)已知}{n a 为等差数列,且0,12347=-=-a a a ,则公差d 为 . 4.(09.湖南)设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,已知11,362==a a ,则=7S . 5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若36,963==S S ,则=++987a a a .6.(09.海南.宁夏) 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知38,12211==+-+-m m m m S a a a ,则=m ( )A.38B.20C.10D.97.(10.福建理)设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若6,11641-=+-=a a a ,则当n S 取最小值时,n = .8.数列}{n a 的前n 项和n S 满足2)1(41+=n n a S 且0>n a . (1)求1a ,2a ;(2)求数列}{n a 的通项公式;(3)令n n a b -=20,问:数列}{n b 的前多少项和最大? 9.在数列}{n a 中, )(33,3*111N n a a a n n n ∈+==++(1)设nnn a b 3=.证明:数列}{n b 是等差数列; (2)求数列}{n a 的前n 项和n S . 10.若数列}{n a 满足),(11*1为常数d N n d a a nn ∈=-+,则称数列}{n a 为调和数列.已知数列}1{nx 为调和数列, 且2002021=+++x x x ,则=+165x x .。

2019-2020学年高三数学第一轮复习讲解 第2讲等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 等差数列如何定义的？ 提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．定义中的常数叫什么？提示：公差．温馨提示：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(但可以说从第3项或第4项起是一个等差数列)；(2)概念中的“同一个常数”十分重要．如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同一个常数，那么这个数列就不是等差数列．(2)等差中项什么是等差中项？提示：由三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.2．通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，n ∈N *. 3．等差数列的前n 项和已知条件 首项a 1，公差d 首项a 1，末项a n选用公式 S n ＝na 1＋n (n －1)2 d S n ＝n (a 1＋a n )2温馨提示：在d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，一次项系数为d ；S n 是关于n 的二次函数，二次项系数为d2，且常数项为0.4．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1．(2014·海淀区高三年级第二学期期中练习)等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( )A ．14B ．18C ．21D ．27解析：选A.依题意得{a 1＋d ＝a 1＋5d ＝9，由此解得d ＝1，a 1＝2，a 6＝a 1＋5d ＝7，a 1a 6＝14，故选A. 2．(2013·高考安徽卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2解析：选A.由等差数列性质及前n 项和公式，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.3．(2014·深圳市高三年级第一次调研考试)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：选C.∵{a 4＋a 7＝a 5＋a 6a 5>0，∴{ a 5a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.4．(2013·高考重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1a 5，∴(1＋d )2＝1×(4d ＋1)，∴d 2－2d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝2.∴S 8＝8×1＋8×72×2＝64.答案：645．在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是________． 解析：∵a 1＝40，d ＝37－40＝－3， ∴a n ＝40＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋43，令a n <0，即－3n ＋43<0，解得n >433，故第一个负数项是第15项，即a 15＝－3×15＋43＝－2. 答案：－2等差数列的判断与证明(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．(2)两个正项数列{a n }，{b n }(n ∈N *)中，已知a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列，证明：数列{b n }是等差数列．[证明] (1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又a n ＝－2S n ·S n －1， ∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0. ∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． 由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)由题意知{2b 2n ＝a n ＋a n ＋1， ①a 2n ＋1＝b 2n b 2n ＋1. ②又∵{a n }，{b n }为正项数列，∴a n ＋1＝b n ·b n ＋1，代入①式得2b 2n ＝b n －1·b n ＋b n ·b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)， ∴数列{b n }是等差数列．等差数列的判定方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝S nn(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，∴b n ＝S n n ＝a 1＋12(n －1)d .法一：b n ＋1－b n ＝a 1＋12nd －a 1－12(n －1)d ＝d2(常数)，∴数列{b n }是等差数列． 法二：b n ＋1＝a 1＋12nd ，b n ＋2＝a 1＋12(n ＋1)d ，∴b n ＋2＋b n ＝a 1＋12(n ＋1)d ＋a 1＋12(n －1)d＝2a 1＋nd ＝2b n ＋1. ∴数列{b n }是等差数列．等差数列基本量的计算(1)(2014·江西南昌市模拟测试)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．5B ．10 C.52 D.54 (2)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，∴S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52.(2)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.又S m ＝m (a 1＋a m )2＝m (a 1＋2)2＝0，∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2， ∴m ＝5.[答案] (1)C (2)C(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．2．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)知a n ＝3－2n ， ∴S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35得2k －k 2＝－35.即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.等差数列的性质及最值(1)(2014·河北石家庄市质量检测)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11 (2)(2014·湖北武汉市武昌区联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21[解析] (1)由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17.又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10，故选C. (2)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.[答案] (1)C (2)C(1)等差数列的性质：①项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．②和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 a ．S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； b ．S 2n －1＝(2n －1)a n .(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：①函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．②邻项变号法：a ．a 1>0，d <0时，满足{a m ≥a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；b ．当a 1<0，d >0时，满足{a m ≤a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．(1)(2014·广东江门模拟)等差数列{a n }前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于( )A ．3B ．6C ．17D ．51(2)等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．解析：(1)由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.(2)法一：由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列， 可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ， 即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.法二：由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)×d 2， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，从而S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴S m m ＋S 3m 3m ＝2×S 2m 2m，∴S 2m ＝S 3m3＋S m ＝30＋30＝60. 答案：(1)A (2)60函数与方程思想在数列中的应用(2013·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.[答案] －49(1)本题运用了函数与方程思想，首先根据等差数列列出关于a 1与d 的方程组，再将nS n 转化为函数f (x )＝x 33－10x 23，利用函数求极值，从而求得nS n 的最小值．(2)在等差数列中还可利用函数与方程思想，将S n 转化为关于n 的二次函数，利用函数图象研究数列的性质．4．数列{a n }中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0.(1)求数列的前n 项和S n ；(2)求使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围． 解：(1)因为a n ＋1－a n －3＝0，所以a n ＋1－a n ＝3， 即数列{a n }是等差数列，公差d ＝3.又a 1＝－23，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝－23n ＋12n (n －1)·3，即S n ＝32n 2－492n .(2)S n ＝32n 2－492n 的对应函数为f (x )＝32x 2－492x ，它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为x ＝496.当x ≥496时，函数f (x )是增函数．因为8<496<9，且496－8<9－496，所以f(8)<f(9)．综上，可知使得数列{S n}是递增数列的n的取值范围是{n|n≥8，n∈N*}．。

系
的关系,掌握函数与方程
、化归与转化、分类讨论
等思想的运用,提高解题
效率.
等知识综合考查时,多为中档难题,复习中一定要认真对待,注重基础.
等差数列是一种特殊的数列,是本章知识的重点内容之一,复习时要 重点把握等差数列的定义、等差数列的性质、等差数列的通项公 式及变形、等差数列的前n项和Sn与最值等方面的问题,在新课标中, 强调创设具体的问题情境加强对等差数列知识的应用.同时指明了 等差数列与一次函数的关系,要加以重视.预测在2013年高考中,本节 知识可出现在填空题与选择题和综合题中,以考查等差数列的性质 为主,多为容易题,在解题中重点考查等差数列的概念及其中包含的 函数与方程、化归与转化等思想方法.与函数、不等式、解析几何
. 【解析】(1)∵S10=S11,∵a11=S11-S10=0,∴a11=a1+10d=a1-20=0,∴a1=20.
(2)3d=a4-a1=7-1=6,∴d=2,∴S5=5×a1+ d=25.
(3)a7-a5=2d=4,d=2,a1=a11-10d=21-20=1,Sk=k+
故k=3.
5 4
2
n1
n1
【点评】等差数列的定义是判定或证明一个数列为等差数列的基 本方法之一,利用它解题时务必注意式子an-1-an=d的要求是对于任意 n≥2的正整数成立.
变式训练3 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n.设bn= 是等差数列.
,证明:数列{bn}
【解析】∵an+1=2an+2n,∴ =
+1,∴
-
2
a
n
n
=1 1,
由等差数列的定义可知,数列{ }是以1为首项,以1为公差的等差

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( )A ．[－4，＋∞)B ．[－3,5]C ．[－4,5]D ．(－4,5]【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－4x 的对称轴的方程为x ＝2，∴函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]的最小值为f (2)＝－4，最大值为f (5)＝5，∴其值域为[－4,5]．【答案】 C2．函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，那么( )A ．a ∈(－∞，－1)B ．a ＝2C ．a ≤－2D ．a ≥2【解析】 ∵函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 为二次函数且开口向上，其对称轴方程为x ＝－2(a －1)6＝1－a 3. 若使y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在(－∞，1)上是减函数，则1－a 3≥1，解得a ≤－2. 【答案】 C 3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x|)＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵f (x )在R 上为减函数且f (|1x|)＜f (1)， ∴|1x|＞1， 即|x |＜1且x ≠0，得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.【答案】 C4．(2009年邵武模拟)定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域上都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.【答案】 C5．若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a ＞3或a ＜－1D ．－1＜a ＜3【解析】 若a 2－2a －3≠0，则f (x )为二次函数，定义域和值域都为R 是不可能的．若a 2－2a －3＝0，即a ＝－1或3；当a ＝3时，f (x )＝1不合题意；当a ＝－1时，f (x )＝－4x ＋1符合题意．【答案】 B6．函数y ＝f (x )对于任意x 、y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，当x ＞0时，f (x )＞1，且f (3)＝4，则( )A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝3B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝3C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝2D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝2【解析】 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－1－f (x 2)＝f (x 1－x 2)－1＞1－1＝0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为增函数．又∵f (3)＝f (1)＋f (2)－1＝f (1)＋f (1)＋f (1)－1－1＝3f (1)－2，∴f (1)＝2.【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (3a －1)x ＋4a log a x(x ＜1)(x ≥1)是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________． 【解析】 ∵当x ≥1时，y ＝log a x 单调递减，∴0＜a ＜1；而当x ＜1时，f (x )＝(3a －1)x ＋4a 单调递减，∴a ＜13； 又函数在其定义域内单调递减，故当x ＝1时，(3a －1)x ＋4a ＞log a x ，得a ＞17， 综上可知，17＜a ＜13. 【答案】 17＜a ＜138．y ＝1－x 1＋x 的递减区间是______，y ＝1－x 1＋x的递减区间是______． 【解析】 y ＝1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1， 定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴该函数的递减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．对于函数y ＝1－x 1＋x，其定义域为－1＜x ≤1. 由复合函数的单调性知它的递减区间为(－1,1]．【答案】 (－∞，－1)和(－1，＋∞) (－1,1]9．(2008年湖南高考)设[x ]表示不超过x 的最大整数，如[2]＝2，[54]＝1，对于给定的n ∈N *，定义C x n ＝n (n －1)…(n －[x ]＋1)x (x －1)…(x －[x ]＋1)， x ∈[1，＋∞)，则C 328＝________；当x ∈[2,3)时，函数C x 8的值域是________． 【解析】 当x ＝32时，[32]＝1，C 328 ＝832＝163； 当x ∈[2,3)时，[x ]＝2，C x n ＝n (n －1)x (x －1)， C x 8＝8×7x (x －1)＝56x (x －1). 又∵当x ∈[2,3)时，f (x )＝x (x －1)∈[2,6)， ∴56x (x －1)∈(283，28)，∴C x 8∈(283，28]． 【答案】 163 (283，28] 三、解答题(10、11每题15分，12题16分，共46分)10．判断f (x )＝1＋x x在(0,1]上的单调性． 【解析】 f (x )＝1＋x x在(0,1]上为减函数． 证明如下：证法一：设x 1，x 2∈(0,1]，且x 1＜x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝1＋x 1x 1－1＋x 2x 2＝x 2＋x 1x 2－x 1－x 2x 1x 1·x 2 ＝x 2－x 1＋x 1x 2(x 1－x 2)x 1·x 2 ＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)x 1x 2 ∵x 1，x 2∈(0,1]且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0,1－x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )＝1＋x x在(0,1]上是减函数． 证法二：∵f (x )＝1＋x x ＝1x＋x ＝x －12＋x 12，∴f′(x)＝－12x－32＋12x－12＝－12x3＋1 2x＝x－1 2x3又∵0＜x≤1，∴x－12x3≤0(当且仅当x＝1时取等号)，∴f(x)在(0,1]上为减函数．11．(2009年广州模拟)已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．【解析】(1)若n＜0，则n＝f(0)＝0，矛盾．若n≥0，则n＝f(n)＝n2，解得n＝0或1，所以f(x)的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m＞0，即m＞－2，令g′(x)＝1－1x＋m＞0，得x＞1－m，所以g(x)在(1－m，＋∞)上为增函数，同理可得g(x)在(－m,1－m)上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m＞－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.12．已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求f(x) 的最大值；(3)若对于任意x∈[0,1]，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)对于条件③，令x1＝x2＝0，得f(0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，∴f(0)＝0.(2)设0≤x1<x2≤1，则x2－x1∈(0,1]，∴f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0，即f(x2)≥f(x1)．故f(x)在[0,1]上是单调递增的，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.(3)∵f(x)在x∈[0,1]上是增函数，∴f (x )∈[0,1]．又∵4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0， ∴4f 2(x )－8f (x )＋5≥4a [1－f (x )]．当f (x )≠1时，a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54[1－f (x )]. 令y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54[1－f (x )]＝4[1－f (x )]2＋14[1－f (x )]＝1－f (x )＋14[1－f (x )]≥1， ∴a ≤1.当f (x )＝1时，4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ＝4－4(2－a )＋5－4a ＝4－8＋4a ＋5－4a ＝1≥0恒成立，∴a ≤1.。