高考数学一轮复习第六章数列6.2.2等差数列的性质及应用对点训练理08290150
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2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2.2 等差数列的性质及应
用对点训练 理
1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( )
A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0
B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0
C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3
D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0
答案 C
解析 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确．
2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )
A ．4025
B ．4024
C ．4023
D ．4022
答案 B
解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，
假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能． ∴a 2012>0，a 2013<0.
再根据S 4024＝a 1＋a 40242＝2012(a 2012＋a 2013)>0，
而S 4025＝4025a 2013<0，
因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.
3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a n b n
＝( ) A.23
B.2n －13n －1
C.2n ＋13n ＋1
D.2n －13n ＋4
答案 B
解析 a n b n ＝2a n 2b n ＝2n －12a 1＋a 2n －12n －12b 1＋b 2n －1＝S 2n －1T 2n －
1＝n －n －＋1＝2n －13n －1
.故选B. 4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10
解析 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.
5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．
答案 5
解析 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.
6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－78 解析 由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 7＋7d >0，7＋8d <0，
解得－1<d <－78
. 7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．
答案 8
解析 根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．
8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求通项a n ；
(2)求S n 的最小值；
(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n
n ＋c ，求非零常数c .
解 (1)因为数列{a n }为等差数列，
所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22.
又a 3·a 4＝117，
所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4. 所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n n －2×d ＝2n 2－n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18
. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2
－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c
. 因为数列{b n }是等差数列，
所以2b 2＝b 1＋b 3，
即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c
， 所以2c 2＋c ＝0，
所以c ＝－12
或c ＝0(舍去)， 故c ＝－12
.。
