无约束极值问题

⽆约束问题的极值条件
有时候，我们希望根据⼀定的条件找到优化问题的极值点；另外⼀些时候，我们得到若⼲候选解，希望判断候选解中哪些是真正的极值点。

这其中涉及⾮线性规划的极值条件问题。

所谓⾮线性规划的极值条件，是指⾮线性规划模型最优解所要满⾜的必要或充分条件。

本⽂介绍⽆约束⾮线性规划问题的极值条件。

1. 极值点的必要条件和充分条件
⼀阶必要条件 设实值函数 在点 处可微，若是⽆约束优化问题 的局部极⼩点，则有
其中，表⽰函数 在点 处的梯度。

⼆阶必要条件 设实值函数在点处⼆阶可微，若是⽆约束优化问题 的局部极⼩点，则有
且
其中，表⽰函数 在点 处的梯度，表⽰函数 在点 处的海赛矩阵，表⽰矩阵是半正定的。

⼆阶充分条件 设实值函数在点处⼆阶可微，若 且 ，则为⽆约束问题的严格局部极⼩值。

（注：需要海赛矩阵正定）
以上结论对⼀般函数成⽴。

针对凸函数（海赛矩阵恒正定），有以下充要条件
充要条件 设为定义域上的可微凸函数，则为⽆约束问题的全局极⼩点的充要条件是。

2. 驻点性质判定
所谓驻点，即⼀阶导数值为0的点。

如果函数在此点⼆阶可微，可利⽤该点处的海赛矩阵来判定驻点的性质。

假定为函数的驻点，并且该驻点处的海赛矩阵为，则有以下结论：
1. 若是正定的，则驻点为极⼩点（局部或全局）；
2. 若是负定的，则驻点为极⼤点（局部或全局）；
3. 若是不定的，则驻点为鞍点（即⾮极值点）；
4. 若是半定的（半正定或半负定），则驻点可能是极值点，也可能不是极值点，须视⾼阶导数性质⽽定。

基本牛顿法无约束多维极值问题原理一、概述无约束多维极值问题是数学中的一个重要问题，涉及到优化理论和实际问题中的多种场景。

针对这类问题，基本牛顿法是一种常用的求解方法，具有较高的收敛速度和效率。

本文将介绍基本牛顿法在无约束多维极值问题中的应用，以及其原理和相关概念。

二、基本牛顿法概述1. 基本牛顿法的基本思想基本牛顿法是一种迭代方法，用于求解无约束多维极值问题的极小点。

其基本思想是利用目标函数的二阶导数信息来逼近极小点。

通过不断更新当前点的位置，使得目标函数在迭代过程中逐渐趋向最小值点。

2. 基本牛顿法的迭代公式设目标函数为f(x)，在点x_k处的梯度为g_k，二阶导数矩阵为H_k，则基本牛顿法的迭代公式为：x_(k+1) = x_k - H_k^(-1) * g_k其中，H_k^(-1)为H_k的逆矩阵，代表了目标函数曲率信息的逆。

通过不断更新x_k的值，可以逐步逼近极小点的位置。

三、基本牛顿法的收敛性分析1. 收敛速度基本牛顿法具有较高的收敛速度。

在目标函数满足一定条件（如凸性和光滑性）的情况下，基本牛顿法通常能够在很少的迭代次数内达到较高的精度要求。

2. 局部收敛性基本牛顿法在局部收敛性上表现较好。

当初始点距离极小点较近时，通常能够快速收敛到极小点附近。

3. 全局收敛性基本牛顿法在全局收敛性上存在一定的局限性。

对于非凸函数或者特定类型的目标函数，可能会出现收敛到局部极小点而非全局极小点的情况。

四、基本牛顿法的应用举例1. 无约束多维极小化问题基本牛顿法广泛应用于无约束多维极小化问题的求解中。

在机器学习和优化理论中，经常需要对多维目标函数进行极小化操作，基本牛顿法能够快速有效地求解该类问题。

2. 凸优化问题在凸优化问题的求解中，基本牛顿法也具有良好的应用效果。

由于凸函数的特殊性质，基本牛顿法往往能够在很少的迭代次数内找到全局极小点。

五、基本牛顿法的改进与扩展1. 阻尼牛顿法阻尼牛顿法是基本牛顿法的一种改进形式，通过引入阻尼因子来增加迭代的稳定性和收敛性。

牛顿法求解无约束多维优化问题一、基本思想牛顿法是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种显性线性方程来求解。

在k x 邻域内用一个二次函数()x ϕ来近似代替原目标函数，并将()x ϕ的极小值点作为对目标函数()f x 求优的下一个迭代点1k x +。

经多次迭代，使之逼近目标函数()f x 的极小值点。

二、数学模型将目标函数()f x 作二阶泰勒展开，设1k x +为()x ϕ的极小值点1()0k x ϕ+∇=21()()()0k k k k f x f x x x +∇+∇-=121[()]()(0,1,2,3)k k k k x x f x f x k +-=-∇∇=这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。

对于二次函数，海塞矩阵H 是一个常矩阵，其中各元素均为常数，因此，无论从任何点出发，只需一步就可以找到极小值点。

从牛顿法迭代公式的推导过程中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确2()()()()()1()()()2k k T k k T k k f x x f x f x x x x x f x x x ϕ≈=+∇-+-∇-定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。

因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿迭公式，有时会使函数值上升。

三、算例分析算例1、2212()(4)(8)f x x x =-+-取初始点[1,1]Tx =初步分析，目标函数为二次函数，经过一次迭代即可得到。

编制程序及计算结果如下：symsx1x2;f=(x1-4)^2+(x2-8)^2;v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);e=1e-12;x0=[1,1]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;while(norm(g1)>e)p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;end;kx0结果：k=1x0=48正如分析所得，迭代一次即可得出极小值点。

2011-2012 第一学期期末考试最优化理论与方法试题答案答案：1.非线性规划极值问题的特点：（1）非线性规划的极值有可能在边界上取得，也可能在可行域的任一点处取得。

即极值问题可能在可行域内。

（2）目标函数如果是凸函数，定义域为凸规划时，它们的任一点局部极值点极为全局极值点。

（3）非线性凸规划问题的极值点存在的充要条件是库恩塔克条件（凸函数极值点处的梯度向量为零）。

2.凸规划的定义：（1）目标函数为凸函数（2）约束条件图形特征表现为凹函数。

凸规划的可行域为凸集，任意一极小点都为全局极小点，且极小点的合集为一凸集。

证明：任意一个极小点都为全局极小点。

假设X＊为凸规划问题的一个局部极小点，则对于X＊的一个充分小的邻域N i(X＊)内任一点X（X＊）都有f(X)f(X＊)。

设Y是凸规划可行域上的一个局部极小点，λ为任意小的正数，那么：λ* X＊+(1-λ)*Y N i(X＊),则根据上面的叙述有：f(λ* X＊+(1-λ)*Y)f(X＊)。

又f(X)为凸函数，根据凸函数的性质有：f(λ* X＊+(1-λ)*Y)λ* f(X)+ (1-λ) * f(Y) ∴f(Y)≥f(X＊),即任意一个极小值点为全局极小点。

证明：凸规划极小值点的合集是一个凸集。

根据凸函数的性质3，小于某一个熟知的凸函数点的合集为一个凸集，即Sβ=，Sβ为凸集，故凸规划极小点的合集是一个凸集。

3.迭代算法：为了求f(X)的最优解，首先给出一个初试估计（），如果按照某一算法得到（），并使（）比（）更优（例如：对于最小值问题而言，有f（（））f（（））），再按照该算法得到比（）更优的点（）,…。

以此类推，可得到一个解的数列（），若数列（）末尾有极限（），即（）（）,那么一般认为数列（）收敛于解（）。

常用的迭代终止准则：（1）相继两次迭代的绝对误差：（）（）ε；（）（）ε.（2）相继两次迭代的相对误差：（）（）（）ε;（）（）（）ε.（3）目标函数梯度模的足够小：（）ε.其中ε，ε，ε，ε，ε0.4.斐波那契算法：一种对称地把区间缩短的方法，它以最少的次数把区间缩短为所要求的长度（斐波那契长度满足），但每次的缩短率不同。

函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。

工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。

因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。

关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。

我们先来看看一元函数的极值条件。

1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。

此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。

如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。

驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。

驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。

开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。

1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。

大学数学多元函数的极值与最优化在大学数学中，多元函数的极值与最优化是一个重要的概念和应用领域。

本文将探讨多元函数的极值及最优化问题，并介绍相关的概念、定理和求解方法。

1. 多元函数的极值概念多元函数是指具有多个变量的函数，其自变量可以是两个或更多个。

对于一个多元函数，极值是指函数取得的最大值或最小值。

极值在数学和实际应用中都具有重要意义。

2. 多元函数的极值存在条件在一些简单的函数中，我们可以通过观察来判断极值是否存在。

然而，对于复杂的多元函数，我们需要利用数学方法来判断。

2.1 判别条件对于一个二元函数 f(x, y)，其极值存在的必要条件是梯度向量 (∇f(x, y)) 的模等于零，并且二阶偏导数满足某些条件。

具体的判别条件可以通过海森矩阵进行判断。

2.2 驻点和临界点在判断多元函数的极值时，我们还需要关注驻点和临界点。

驻点是指梯度向量为零的点，而临界点指的是函数在该点的导数存在的点。

3. 多元函数的最优化问题多元函数的最优化问题是一类常见的数学问题，包括最大值、最小值和最优解等。

求解这类问题的方法可以有很多种。

3.1 条件极值问题条件极值问题是指在特定条件下求解函数最值的问题。

例如，求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值。

常用的方法有拉格朗日乘数法和求解方程组法。

3.2 无约束极值问题无约束极值问题是指在没有任何限制条件的情况下，求解函数的最值问题。

常用的方法包括导数法、海森矩阵法和牛顿法等。

3.3 数学建模中的最优化问题最优化问题在实际应用中扮演着重要角色，尤其是在数学建模中。

数学建模问题通常需要通过构建数学模型来描述实际问题，并利用最优化方法来解决。

常见的数学建模最优化问题包括最短路径问题、最大流问题和线性规划等。

4. 多元函数的极值与最优化问题的应用多元函数的极值与最优化问题在科学、工程、经济学和管理学等领域有广泛的应用。

4.1 在自然科学中的应用多元函数的极值与最优化在物理学、化学和生物学等自然科学中有着广泛的应用。

一、数学建模的理解例子：二、经典最优化方法1、微分与极值2、无约束极值问题3、约束极值问题三、无约束优化问题数值解法（向量）1、最优梯度法（梯度下降法）2、牛顿法3、共轭梯度法4、阻尼牛顿法5、变尺度法1.1 无约束优化的一般形式无约束非线性规划问题为其最优解通常都是局部最优解，寻找全局最优解需要对局部最优解进行比较以后得到（如果能够求出所有局部最优解的话）。

1.2 最优性条件是最优解的必要条件为；充分条件为，且正定。

1.3 下降法的基本思想在迭代的第k步，确定一个搜索方向和一个步长，使沿此方向、按此步长走一步到达下一点时，函数值下降。

其基本步骤为1）选初始解；2）对于第次迭代解，确定搜索方向并在此方向确定搜索步长令，使<；3）若符合给定的迭代终止原则，停止迭代，最优解；否则，转2。

搜索方向的选择（不同方向产生不同的算法）：1）最速下降法（梯度法）2）牛顿法3）拟牛顿法：利用第和步得到的，用BFGS公式，DFP公式，GM公式等迭代公式构造正定矩阵近似代替，或直接构造近似代替，从而由，或得到下降方向d k+1。

搜索步长的确定——线性搜索：用二分法、黄金分割法（即0.618法）、Fibonacci 法，牛顿切线法和割线法，插值方法等近似方法求一维优化问题：来确定步长。

2.1 非线性最小二乘拟合问题有一组数据要拟合一个已知函数y=f(x, t), x=(x1,x2,…,xm),, x为待定系数。

记误差，，拟合误差定义为的平方和，于是问题表示为如下的优化模型：当对（的某些分量）是非线性函数时，称非线性最小二乘拟合。

四线性规划1、线性规划的数学模型某工厂安排生产1、2两种产品，2、线性规划的图解法单纯形及其求解法1.1 线性规划的图解法线性规划的图解法只能用于求解两个决策变量（2维）的情形。

由于线性规划的约束条件和目标函数均为线性函数，所以对于2维情形，可以在平面坐标系下画出可行域和目标函数的等值线。

无约束优化问题的极值条件1.引言无约束优化问题是在没有任何限制条件下，寻找一个函数的最大值或最小值的问题。

在数学和工程领域中，无约束优化问题的极值条件是非常重要的，本文将介绍这些极值条件，帮助读者更好地理解和应用于实际问题。

2.极值条件的定义对于一个无约束优化问题，设函数f(x)在某个点x*处连续可导，若x*是f(x)的极值点，则需要满足以下条件：2.1一阶导数条件函数f(x)在x*处的一阶导数为零，即f'(x*)=0。

这意味着在极值点处，函数的斜率为零。

2.2二阶导数条件函数f(x)在x*处的二阶导数存在并满足以下条件之一：-f''(x*)>0，此时x*是f(x)的极小值点。

-f''(x*)<0，此时x*是f(x)的极大值点。

3.极值点的判别方法为了确定一个无约束优化问题的极值点，我们可以使用以下方法：3.1利用一阶导数判别极值点通过计算函数f(x)的一阶导数，找到一阶导数为零的点，并判断其是否为极值点。

如果一阶导数f'(x)在x*处变号，即从正数变为负数或从负数变为正数，那么x*是f(x)的极值点。

3.2利用二阶导数判别极值点利用函数f(x)的二阶导数f''(x)的正负性来判别极值点的类型。

如果f''(x*)>0，则x*是f(x)的极小值点；如果f''(x*)<0，则x*是f(x)的极大值点。

3.3综合利用一阶导数和二阶导数判别极值点结合一阶导数和二阶导数的信息，我们可以获得更准确的极值点判断。

当f'(x*)=0且f''(x*)>0时，x*是f(x)的极小值点；当f'(x*)=0且f''(x*)<0时，x*是f(x)的极大值点。

4.例子为了更好地理解无约束优化问题的极值条件，下面给出一个简单的例子：假设我们要找到函数f(x)=x^2的极值点。