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线段或角的计数问题 阶段强化专训

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专训一：常见立体图形的分类名师点金：立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形，常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类．按柱、锥、球分类1．下列各选项中，都为柱体的是()A BC D2．在如图所示的图形中，是圆柱的有________，是棱柱的有________．(填序号)(第2题)3．(1)把图中的立体图形分类，并说明分类标准；(2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？(第3题)4．下列几何体中表面都是平面的是()A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．球体5．把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”)6．如图，按组成的面来分类，至少有一个面是平面的图形有________，至少有一个面是曲面的图形有__________．7．将下列图形按有无曲面分类．专训二：立体图形的展开与折叠名师点金：一个立体图形的平面展开图的形状由展开的方式决定，不同的展开方式得到的平面展开图一般是不一样的，但无论怎样展开，平面展开图都应体现出原立体图形面的个数与形状．1．(中考·德州)如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是()(第1题)平面展开图？(第2题)3．如图是一个长方体的平面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题．(1)如果面A是长方体的上面，那么哪一面会在下面？(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么哪一面会在上面？(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面？(第3题)4．如图是一些几何体的平面展开图，请写出这些几何体的名称．(第4题)5．(中考·青岛)如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，则第○n个几何体中，只有两个面涂色的小立方体共有________个．6．如图所示这样形状的铁皮能围成一个长方体铁桶吗？如果能，它的体积有多大？(第6题)专训三：巧用线段中点的有关计算名师点金：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．线段中点问题类型一：与线段中点有关的计算1．已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段AB＝20 cm，线段BC＝8 cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．(1)求线段MN的长；(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB＝a，BC＝b，且a＞b，其他条件都不变，你能猜出MN的长度吗？(直接写出结果)类型二：与线段中点有关的说明题2．画线段MN＝3 cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点A，使AN＝12MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM.(1)求线段BM的长；(2)求线段AN的长；(3)试说明点Q是哪些线段的中点．线段分点问题类型一：与线段分点有关的计算(设参法)3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是AD的中点，CD＝6 cm，求线段MC的长．(第3题)类型二：线段分点与方程的结合4．A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现A，B两点分别以1个单位长度/秒，4个单位长度/秒的速度同时向左运动．(1)几秒后，原点恰好在两点正中间？(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2?(第4题)专训四：线段上的动点问题名师点金：解决线段上的动点问题一般需注意：(1)找准点的各种可能的位置；(2)通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长(有可能是常数，那就是定值)，再由题意列方程求解．线段上动点与中点问题的综合1．(1)如图①，AB＝16，点D是AB上一动点，M，N分别是AD，DB的中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由．(2)如图②，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由．(3)你能用一句话描述你发现的结论吗？(第1题)线段上动点问题中的存在性问题2．如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为－2、6，O为原点，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x.(第2题)(1)PA＝________；PB＝________(用含x的式子表示)；(2)在数轴上是否存在这样的点P(不与A，B重合)，使PA＋PB＝10？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动，同时点A以5个单位长度/s的速度向左运动，点B以20个单位长度/s的速度向右运动，在运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问：AB－OPMN的值是否发生变化？请说明理由．线段和差倍分关系中的动点问题3．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．(1)出发多少秒后，PB＝2AM?(2)当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值．(3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，有下列两个结论：①MN 长度不变；②MA＋PN的值不变．判断两个结论的正误．(第3题)专训五：巧用角平分线的有关计算名师点金：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线入手找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．角平分线的夹角问题(分类讨论思想)1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD 的夹角是多少度？(第2题)巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)3．如图，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．(第3题)巧用角平分线解决角的推理证明问题(转化思想)4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．(第4题)专训六：巧用角平分线的有关计算名师点金：时钟时针、分针转动角度的问题，要注意时针转动一大格，转过角度为周角的十二分之一，即30°.每一个大格之间又分为五个小格，每个小格对应的角度是6°.注意时针与分针转动角度的速度比是1∶12，时针转动30°，分针转动360°；分针与秒针转动角度的速度比是1∶60，分针转动6°(一个小格)，秒针转动360°.利用时间求角度类型一：按固定时间求角度1．(1)从上午11时到下午1时30分，这期间时针转过了________；下午1：30，时针、分针的夹角是________．(2)3点20分时，时针与分针的夹角是多少度？类型二：按动态时间求角度2．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题，他想和大家一起来讨论相关问题．(1)分针每分钟转6度，时针每分钟转________度．(2)你能指出下面各个图中时针与分针之间夹角的大小吗？图①的钟面角为________度，图②的钟面角为________度．(第2题)(3)12：00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？利用角度求时间(方程思想)3．如图，观察时钟，解答下列问题：(1)在2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角？(第3题)(2)小明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°，下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为90°，那么小明外出了多长时间？答案专训一1．C 2.④；①③⑥3．解：(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体．(答案不唯一)(2)③是圆柱，圆柱的上、下底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是完全相同的五边形，侧面是5个长方形．相同点：两者都有两个底面．不同点：圆柱的底面是圆，五棱柱的底面是五边形．圆柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成．4．C 5.有 6.①③④⑤⑥；②③④⑥7．解：有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦.专训二1．B2．解：图①②③④⑥都是正方体的平面展开图．3．解：(1)如果面A是长方体的上面，那么面C会在下面．(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么向外折时面B会在前面，向里折时面D会在前面．4．解：①三棱锥；②四棱锥；③五棱锥；④三棱柱；⑤圆柱；⑥圆锥．点拨：棱锥和棱柱的共同点是棱锥、棱柱都是以底面多边形的边数来命名的，如三棱锥是指底面为三角形的棱锥，而五棱柱是指底面为五边形的棱柱．它们的不同点是棱柱的侧棱互相平行，而棱锥的侧棱交于一点．5．(8n－4)点拨：从下往上数只有两个面涂色的小立方体个数，图①中：第一层4个，第二层0个；图②中：第一层4个，第二层4个，第三层4个；图③中：第一层4个，第二层4个，第三层4个，第四层8个，故第○n个几何体中涂两个面的小立方体有[4n＋4(n－1)]个，即(8n－4)个．6．解：能围成，体积为40×70×65＝182 000(cm3)．答：体积为182 000 cm3.专训三1．解：(1)分两种情况：①当点C在线段AB上时，如图①，因为M为AB的中点，所以MB＝12AB＝12×20＝10(cm)．因为N为BC的中点，所以BN＝12BC＝12×8＝4(cm)，所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)；(第1题)②当点C在线段AB的延长线上时，如图②，因为M为AB的中点，所以MB＝12AB＝12×20＝10(cm)．因为N为BC的中点，所以BN＝12BC＝12×8＝4(cm)，所以MN＝MB＋BN＝10＋4＝14(cm)．(2)MN＝12(a＋b)或MN＝12(a－b)．2．解：如图．(第2题)(1)因为BN＝3BM，所以BM＝12MN.因为MN＝3 cm，所以BM＝12×3＝1.5(cm)．(2)因为AN＝12MN，MN＝3 cm.所以AN＝1.5 cm.(3)因为MN＝3 cm，MQ＝NQ，所以MQ＝NQ＝1.5 cm. 所以BQ＝BM＋MQ＝1.5＋1.5＝3(cm)，AQ＝AN＋NQ＝1.5＋1.5＝3(cm)．所以BQ＝QA.所以点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点．3．解：设AB ＝2k cm ，则BC ＝4k cm ，CD ＝3k cm ，AD ＝2k ＋4k ＋3k ＝9k(cm )．因为CD ＝6 cm ，即3k ＝6，所以k ＝2，则AD ＝18 cm .又因为M 是AD 的中点，所以MD ＝12AD ＝12×18＝9(cm )．所以MC ＝MD －CD ＝9－6＝3(cm )．4．解：(1)设运动时间为x 秒，依题意得x ＋3＝12－4x ，解得x ＝1.8. 答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间． (2)设运动时间为t 秒．①B 与A 相遇前：12－4t ＝2(t ＋3)，即t ＝1； ②B 与A 相遇后：4t －12＝2(t ＋3)，即t ＝9. 答：1秒或9秒后，恰好有OA ∶OB ＝1∶2. 专训四1．解：(1)能．MN ＝DM ＋DN ＝12AD ＋12BD ＝12(AD ＋BD)＝12AB ＝8. (2)能．MN ＝MD －DN ＝12AD －12BD ＝12(AD －BD)＝12AB ＝8.(3)若点D 在线段AB 或线段AB 的延长线上，点M ，N 分别是AD ，DB 的中点，则MN ＝12AB.2．解：(1)|x ＋2|；|x －6| (2)存在．分三种情况：①当点P 在A ，B 之间时，PA ＋PB ＝8，故舍去；②当点P 在B 点右边时，PA ＝x ＋2，PB ＝x －6，因为(x ＋2)＋(x －6)＝10，所以x ＝7；③当点P 在A 点左边时，PA ＝－x －2，PB ＝6－x ，因为(－x －2)＋(6－x)＝10，所以x ＝－3.所以当x ＝－3或7时，PA ＋PB ＝10， (3)AB －OPMN 的值不发生变化，理由如下： 设运动时间为t s .则OP ＝t ，OA ＝5t ＋2，OB ＝20t ＋6，所以AP ＝OA ＋OP ＝6t ＋2，AB ＝OA ＋OB ＝25t ＋8，ON ＝12OB ＝10t ＋3，所以AB －OP ＝24t ＋8，AM ＝12AP ＝3t ＋1，所以OM ＝OA －AM ＝5t ＋2－(3t ＋1)＝2t ＋1，所以MN ＝OM ＋ON ＝12t＋4，所以AB －OP MN ＝24t ＋812t ＋4＝2，故AB －OPMN 的值不发生变化．3．解：(1)设出发x 秒后，PB ＝2AM ，则PA ＝2x ，PB ＝24－2x ，所以AM ＝x ，所以24－2x ＝2x ，即x ＝6.所以出发6秒后，PB ＝2AM.(2)因为BM ＝AB －AM ＝24－x ，PB ＝24－2x ，所以2BM －BP ＝2(24－x)－(24－2x)＝24，即2BM －BP 为定值．(3)易知PA ＝2x ，AM ＝PM ＝x ，所以PB ＝2x －24，所以PN ＝12PB ＝x －12，所以①MN ＝PM －PN ＝x －(x －12)＝12. 所以MN 长度不变，为定值，即结论①正确； ②MA ＋PN ＝x ＋x －12＝2x －12，所以MA ＋PN 的值是变化的，即结论②不正确． 专训五1．解：(1)如图①，当OC 落在∠AOB 的内部时， 因为OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，所以∠BOM ＝12∠AOB ＝12×100°＝50°，∠BON ＝12∠BOC ＝12×60°＝30°. 所以∠MON ＝∠BOM －∠BON ＝50°－30°＝20°.(第1题)(2)如图②，当OC 落在∠AOB 的外部时， 因为OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，所以∠BOM ＝12∠AOB ＝12×100°＝50°，∠BON ＝12∠BOC ＝12×60°＝30°. 所以∠MON ＝∠BOM ＋∠BON ＝50°＋30°＝80°. 综上可知，∠MON 的度数为20°或80°.点拨：本题已知没有图，作图时应考虑OC 落在∠AOB 的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．2．解：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.又因为这四个角的和是180°，所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝12×180°＝90°.即两折痕BC与BD的夹角为90°.点拨：本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．3．解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝12∠AOB＝12(∠AOC＋∠BOC)＝32x.又因为∠COD＝∠AOD－∠AOC，所以19°＝32x－x，解得x＝38°.所以∠AOB＝3x＝3×38°＝114°.点拨：根据图形巧设未知数，用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程，求出角的度数，体现了方程思想的运用．4．解：∠DOE＝∠COF.理由如下：因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝12∠AOB.因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝12∠BOC.所以∠DOB＋∠BOF＝12∠AOB＋12∠BOC＝12∠AOC，即∠DOF＝12∠AOC.又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝12∠AOC，所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE ＝∠COF.点拨：欲找出∠DOE与∠COF的关系，只要找到∠DOF与∠EOC的关系即可．而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠AOC＝2∠EOC，即可转化成∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．专训六1．解：(1)75°；135°沪科版 七年级 数学 上21(2)时针每小时转30°，分针每分钟转6°.时针从指向12开始转过的角度为313×30°＝100°，分针从指向12开始转过的角度为20×6°＝120°，120°－100°＝20°，即3点20分时，时针与分针的夹角是20°.2．解：(1)0.5 (2)30；22.5(3)设x 分钟后分针与时针再次重合，则6x －0.5x ＝360，解得x ＝72011，即经过72011分钟会再次出现时针与分针重合的现象．72011×0.5°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫36011°，72011×6°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4 32011°. 答：时针转了⎝ ⎛⎭⎪⎫36011°，分针转了⎝ ⎛⎭⎪⎫4 32011°. 3．解：(1)设从2时经过x 分钟，分针与时针的夹角为直角，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10－112x ×6°＝90°，解得x ＝30011. 答：在2时30011分时，时针和分针的夹角为直角．(2)设小明外出了y 分钟，则时针走了0.5y 度，分针走了6y 度．根据题意，列方程为6y ＝90＋0.5y ＋90，解得y ＝36011.答：小明外出了36011分钟．点拨：在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系．。

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线段或角的计数问题 整合提升密码

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专训一：线段或角的计数问题名师点金： 1.几何计数问题应用广泛，解决方法是“有序数数法”，数数时要做到不重复、不遗漏．2．解决计数类问题时有时要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想．3．回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系．线段条数的计数问题1．先阅读文字，再解答问题．(第1题)如图，在一条直线上取两点，可以得到1条线段，在一条直线上取三点可得到3条线段，其中以A1为左端点的线段有2条，以A2为左端点的线段有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有_____________________________________________________________________ ___条，以A3为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＝______(条)；(2)在一条直线上取五个点，以A1为左端点的线段有______条，以A2为左端点的线段有________条，以A3为左端点的线段有________条，以A4为左端点的线段有______条，共有______＋______＋______＋______＝______(条)；(3)在一条直线上取n个点(n≥2)，共有________条线段．(4)某学校七年级共有6个班进行辩论赛，规定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级这6个班的辩论赛共要进行多少场？(5)乘火车从A站出发，中间经过5个车站后方可到达B站，那么A，B两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？平面内直线相交所得交点与平面的计数问题2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．(第2题)列表如下：直线条数最多交点个数平面最多分成部分数1 0 22 1 43 3 7………(1)当直线条数为5时，最多有________个交点，可写成和的形式为________；把平面最多分成________部分，可写成和的形式为________；(2)当直线条数为10时，最多有________个交点，把平面最多分成________部分；(3)当直线条数为n(n≥2)时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？关于角的个数的计数问题3．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，已知∠BAC，如果过角的顶点A：(1)如图①，在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)如图②，在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)如图③，在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)专训二：分类思想在线段和角的计算中的应用名师点金：解答有关点和线的位置关系、线段条数或长度、角的个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形，而根据题意又可能出现多种情况，就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．)分类思想在线段的计算中的应用1．已知线段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四点，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝12AC，DN＝14DB，求线段MN的长．2．如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.(1)若点P在数轴上(不与A，B重合)，且PA＋PB＝6，求点P对应的数；(2)若点M在数轴上(不与A，B重合)，且MA∶MB＝1∶3，求点M对应的数；(3)若点A的速度为5个单位长度/秒，点B的速度为2个单位长度/秒，点O 的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点O恰为线段AB的中点？(第2题)分类思想在角的计算中的应用3．如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线OD，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．(第3题)4．已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若OC在∠AOB内部，探究∠MON与∠AOB的数量关系；(2)若OC在∠AOB外部，且OC不与OA，OB重合，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论)(第4题)专训三：几种常见的热门考点名师点金：本章知识从大的方面可分为两部分，第一部分是立体几何的初步知识，第二部分是平面图形的认识，这些都是几何学习的基础．本章主要考查立体图形的识别，图形的展开与折叠，直线、射线、线段及角的有关计算．立体图形的平面展开图是中考中常见考点，通常以选择，填空形式呈现．立体图形的识别1．在①球体；②柱体；③圆锥；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体(指由四个或四个以上多边形所围成的立体图形)的是()A．①②③④⑤B．②和③C．④D．④和⑤2．如图所示的立体图形中，是柱体的是________．(填序号)(第2题)图形的展开与折叠3．小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的表面展开图可能是()(第3题)4．如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体(第4题)的容积是(包装材料厚度不计)()A．40×40×70B．70×70×80C．80×80×80D．40×70×80直线、射线、线段5．下列关于作图的语句中正确的是()A．画直线AB＝10厘米B．画射线OB＝10厘米C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交6．如图，已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB的长度之比为()(第6题)A．3∶4B．2∶3C．3∶5D．1∶27．开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为________________________．8．乘火车从A站出发，沿途经过4个车站方可到达B站，那么需要安排________种不同的车票．9．如图，已知AB和CD的公共部分BD＝13AB＝14CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10 cm，求AB，CD的长．(第9题)角及角的有关计算10．有下列说法：(1)两条射线所组成的图形叫做角；(2)一条射线旋转而成的图形叫做角；(3)两边成一条直线的角是平角；(4)平角是一条直线．其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．411．4点10分，时针与分针的夹角为()A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对12．如图所示，两块三角板的直角顶点O重合在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是________度．(第12题)13．若一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角的度数为________．14．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE 平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD的度数．(第14题)数学思想方法的应用a．数形结合思想15．往返于A，B两个城市的客车，中途有三个停靠站．(1)共有多少种不同的票价(任何两站票价均不相同)?(2)要准备多少种车票？b．方程思想16．互为补角的两个角的度数之比是5∶4，这两个角的度数分别是多少．17．如图，C，D，E将线段AB分成2∶3∶4∶5四部分，M，P，Q，N分别是AC，CD，DE，EB的中点，且MN＝21，求线段PQ的长度．(第17题)c．分类讨论思想18．已知同一平面内四点，过其中任意两点画直线，仅能画4条，则这四个点的位置关系是()A．任意三点不在同一条直线上B．四点在同一条直线上C．最多三点在同一条直线上D．三点在同一条直线上，第四点在这条直线外19．已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，若OD平分∠AOC，则∠BOD等于________．d．转化思想20．如图所示，一观测塔的底座部分是四棱柱，现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点D′，再进入顶部的观测室，已知AB＝BC＝CD，试确定使扶梯的总长度最小的点M，N的位置．(第20题)答案专训一1．解：(1)3；2；1；3；2；1；6 (2)4；3；2；1；4；3；2；1；10(3)n （n －1）2(4)七年级进行辨论赛的有6个班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级这6个班的辩论赛共要进行6×（6－1）2＝15(场)． (5)从A 站出发，中间经过5个车站后方可到达B 站，类似于一条直线上有7个点，此时共有线段7×（7－1）2＝21(条)，即A ，B 两站之间最多有21种不同的票价．因为来往两站的车票起点与终点不同，所以A ，B 两站之间需要安排21×2＝42(种)不同的车票．2．解：(1)10；1＋2＋3＋4；16；1＋1＋2＋3＋4＋5(2)45；56(3)当直线条数为n(n ≥2)时，最多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n （n －1）2(个)交点； 把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2＋1部分． 3．解：(1)显然这条射线会和∠BAC 的两条边都组成一个角，这样一共就有1＋2＝3(个)角．(2)再在图①的角的内部增加一条射线，即为图②，显然这条射线会和图①中的三条射线再组成三个角，所以图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)在角的内部作三条射线，即在图②中再增加一条射线，同样这条射线会和图②中的四条射线再组成四个角，所以图③中共有1＋2＋3＋4＝10(个)角．(4)综上可知，如果在一个角的内部作n 条射线，则图中共有1＋2＋3＋…＋n ＋(n ＋1)＝（n ＋1）（n ＋2）2(个)角． 专训二1．解：因为AB ＝12，AC ∶CD ∶DB ＝1∶2∶3，所以AC ＝16AB ＝12×16＝2，CD ＝13AB ＝12×13＝4，DB ＝12AB ＝12×12＝6.因为AM ＝12AC ，DN ＝14DB ，所以MC ＝12AC ＝2×12＝1，DN ＝14DB ＝6×14＝32.①当点N 在点D 右侧时，如图①，MN ＝MC ＋CD ＋DN ＝1＋4＋32＝132；(第1题)②当点N 在点D 左侧时，如图②，MN ＝MC ＋CD －DN ＝1＋4－32＝72.综上所述，线段MN 的长为132或72.点拨：首先要根据题意，画出图形．由于点N 的位置不确定，故要考虑分类讨论．2．解：(1)①当点P 在A ，B 之间时，不合题意，舍去；②当点P 在A 点右边时，点P 对应的数为2；③当点P 在B 点左边时，点P 对应的数为－4.(2)①当点M 在线段AB 上时，点M 对应的数为0；②当点M 在线段BA 的延长线上时，点M 对应的数为3；③当点M 在线段AB 的延长线上时，不合题意，舍去．(3)设运动x 秒时，点B 运动到点B′，点A 运动到点A′，点O 运动到点O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在点O′两侧，则BB′＝2x ，OO′＝x ，AA′＝5x ，所以点B′对应的数为2x －3，点O′对应的数为x ，点A′对应的数为5x ＋1， 所以O′A′＝5x ＋1－x ＝4x ＋1，O ′B′＝x －(2x －3)＝3－x ，所以 4x ＋1＝3－x ，解得x ＝0.4.即0.4秒后，点O 恰为线段AB 的中点．3．解：(1)设∠BOC ＝x ，则∠AOC ＝2x ，由题意得90°－2x ＋30°＝x ，解得x ＝40°.所以∠BOC ＝40°.因为∠AOC ＝2∠BOC ，所以∠AOB ＝∠BOC ＝40°.(2)情况一：当OD 在∠AOC 内部时，如图①，由(1)易得∠AOC ＝80°.因为∠AOC ＝4∠AOD ，所以∠AOD ＝20°，所以∠COD ＝∠AOC －∠AOD ＝80°－20°＝60°. (第3题)情况二：当OD 在∠AOC 外部时，如图②，由(1)易得∠AOC ＝80°.因为∠AOC ＝4∠AOD ，所以∠AOD ＝20°，所以∠COD ＝∠AOD ＋∠AOC ＝20°＋80°＝100°.综上所述，∠COD 的度数为60°或100°.4．解：(1)因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC.所以∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝12∠AOB.(2)情况一：如图①，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)，∠NOB ＝12∠BOC.所以∠MON ＝∠MOB ＋∠NOB ＝∠MOC －∠BOC ＋12∠BOC ＝∠MOC －12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠BOC)－12∠BOC ＝12∠AOB.(第4题)情况二：如图②，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠AOM ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC ＝12(∠AOB ＋∠AOC)＝12∠AOB ＋12∠AOC.所以∠MON ＝∠AOM ＋∠AON ＝12∠AOC ＋(∠NOC －∠AOC)＝∠NOC －12∠AOC ＝12∠AOB ＋12∠AOC －12∠AOC ＝12∠AOB.情况三：如图③，因为OM 和ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ，所以∠MOC ＝12∠AOC ，∠NOC ＝12∠BOC. 所以∠MON ＝∠MOC ＋∠NOC ＝12∠AOC ＋12∠BOC ＝12(∠AOC ＋∠BOC)＝12(360°－∠AOB)＝180°－12∠AOB.综上所述，∠MON 与∠AOB 的数量关系是∠MON ＝12∠AOB 或∠MON ＝180°－12∠AOB.专训三1．D 2.②③ 3.C 4.D 5.D 6.A7．两点确定一条直线 8.309．解：因为BD ＝13AB ＝14CD ，所以CD ＝43AB.因为F 是CD 的中点，所以DF ＝12CD ＝12×43AB ＝23AB.因为E 是AB 的中点，所以EB ＝12AB ，所以ED ＝EB －DB ＝12AB －13AB ＝16AB.所以EF ＝ED ＋DF ＝16AB ＋23AB ＝56AB ＝10 cm ，所以AB ＝12 cm ，所以CD ＝43AB ＝16 cm .10．A 11.B 12.135 13.40°14．解：设∠BOC ＝2x°，则∠AOE ＝5x°，∠AOD ＝8x°.因为O 是直线AB 上一点，所以∠AOB ＝180°，所以∠COE ＝(180－7x)°.因为OE 平分∠AOC ，所以∠AOE ＝∠COE ，即5x ＝180－7x ，解得x ＝15，所以∠AOD ＝8×15°＝120°，所以∠BOD ＝180°－∠AOD ＝180°－120°＝60°.15．解：(1)根据题意画出示意图，如图所示，线段有AC ，AD ，AE ，AB ，CD ，CE ，CB ，DE ，DB ，EB ，共有10条，因此有10种不同的票价．(2)同一路段，往返时起点和终点正好相反，所以要准备20种车票．(第15题)16．解：设这两个角的度数分别为5x°、4x°.由题意得5x ＋4x ＝180，9x ＝ 180，x ＝ 20.5x ＝100，4x ＝80.答：这两个角的度数分别为100°和80°.17．解：设AC ＝2x ，则CD ＝3x ，DE ＝4x ，EB ＝5x ，由M ，N 分别是AC ，EB 的中点，得MC ＝x ，EN ＝2.5x.由题意，得MN ＝MC ＋CD ＋DE ＋EN＝x ＋3x ＋4x ＋2.5x ＝21，即10.5x ＝21，所以x ＝2，则PQ ＝12CD ＋12DE ＝3.5x＝7.点拨：解答此题的关键是设出未知数，利用线段长度的比及中点建立方程，求出未知数的值，进而求解．体现了方程思想在解题中的应用．18．D19.60°或20°20．解：画出四棱柱的侧面展开图，点M，N的位置如图(2)所示，则M，N的位置在四棱柱的位置如图(1)所示．(第20题)。

2024年人教版七年级上册数学阶段拔尖专训12 线段与角相关问题中的数学思想的应用

2024年人教版七年级上册数学阶段拔尖专训12 线段与角相关问题中的数学思想的应用


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阶段拔尖特训
(2)如图②，若点 C 是线段 AB 延长线上的一点，求线段
EF 的长度.
【解】因为点 E ， F 分别是线段 AC ， BC 的中点，所




以 EC ＝ AC ， CF ＝ BC .
又因为 AC － BC ＝ AB ＝20 cm，所以 EF ＝ CE － CF


观察分析，从宏观上寻求解决问题的方法.
阶段拔尖特训
3. 某学校七年级数学兴趣小组在一次课外活动中，对“线段
中点”问题进行探究，已知线段 AB ＝20 cm，点 C 是直
线 AB 上的一点，点 E ， F 分别是线段 AC ， BC 的中点.
(1)如图①，若点 C 是线段 AB 上任意一点，求线段 EF 的


×90°＝45°.
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(2)如图②，过点 O 作射线 OG ，当 OG 恰好为∠ AOD 的
平分线时，判断∠ BOD 与∠ COG 的数量关系.
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【解】因为∠ COD ＝∠ COG ＋∠ GOD ＝90°，所以
∠ GOD ＝90°－∠ COG . 因为 OG 为∠ AOD 的平分
【解】因为 AD ＝9 cm， BD ＝2cm，
所以 AB ＝ AD － BD ＝7 cm.当点 E

＝ AC ＋ CM ＝8＋3＝11(cm).所以 x ＝
cm，所以 AM

.综上所述，当 x
小三奥数--线段和角的计数问题

小三奥数--线段和角的计数问题

第一讲 线段与角的计数问题教室 姓名 学号【知识要点】一、定义在直线上任意取出两点之间的部分叫做线段，所取出的两点叫做该线段的端点。

由一点引出两条射线就组成了角。

角有一个顶点，这两条射线都称做角的边，一个角有两条边。

二、线段与角的计数方法仔细观察，寻找规律。

有条理、有次序地计数，才能做到不重复、不遗漏。

1、线段的计数方法：线段总数＝1+2+3+…+n 。

（n 为基本线段数） 基本线段就是指内部不含有其他线段的线段。

2、角的计算公式：角总数＝1+2+3+…+n 。

（n 为基本角数） 基本角就是指内部不含有其他角的角。

【例题精讲】★例1：数一数，下图中有多少条线段？A B C D E F★例2：下图中有多少条线段？★例3：下图中有几个锐角？★★例4：5个同学打乒乓球，如果每2个人打一盘，一共要打多少盘？★★例5：乘火车从北京到上海，共经过9个火车站（包括北京站和上海站），那么有几种不同的票价（不同的车站之间的票价都互不相同）？有几种不同的火车票？★★★例6：上海开往杭州的列车，除了起点和终点外，还要停靠4个站，问：要准备几种不同的车票？A BCD EFG O AB C D【为了掌握】★1、右图中共有（ ）条线段。

★2、右图中有（ ）条线段。

★3、某班有21名同学，每两人握一次手，一共要握多少次手？★4、右图中有几条线段？★5、放暑假了，三年级（2）班的王老师要求小朋友互相用电话联系，如果每两个小朋友要通一次电话，那么全班24个小朋友一共要通（ ）次电话。

老师也加入进来的话，要通（ ）次电话。

（写出过程）【为了优秀】★★1、右图中有几个角？★★2、图中一共有多少条线段？★★3、右图中有多少条线段？B★★4、数一数图中共有多条线段？【为了竞赛】★★★1、右图中有几条线段？【温馨提示】下节课我们将学习图形计数问题，请作好预习。

例1：下图中有几个三角形？例2：图中分别有几个三角形？BEB E B E。

七年级数学上册 专题提升五 线段、角的计算及思想方法分层训练 (新版)浙教版

七年级数学上册 专题提升五 线段、角的计算及思想方法分层训练 (新版)浙教版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————专题提升五线段、角的计算及思想方法线段的计算1．已知线段AB＝8cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为( )A．2cm B．4cm C．2cm或6cm D．4cm或6cm2．如图，点C，D，E在线段AB上，已知AB＝12cm，CE＝6cm，求图中所有线段的长度和．第2题图3．已知：如图，B，C两点把线段AD分成2∶5∶3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．第3题图4．如图，点C 在线段AB 上，AC ＝8cm ，CB ＝6cm ，点M ，N 分别是AC ，BC 的中点．第4题图(1)求线段MN 的长；(2)若C 为线段AB 上任意一点，满足AC ＋CB ＝a cm ，其他条件不变，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；(3)若C 在AB 的延长线上，且满足AC －CB ＝b cm ，其他条件不变，MN 的长度为____________．(直接写出答案)角度的计算5．如图，已知∠EOC 是平角，OD 平分∠BOC ，在平面上画射线OA ，使∠AOC 和∠COD 互余，若∠BOC ＝50°，则∠AOB 是____________．第5题图6．已知一个角的余角的补角是这个角的补角的45，求这个角的度数．7．如图，点O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．若∠BOE＝12∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度数．第7题图8．如图，从点O出发引四条射线OA，OB，OC，OD，已知∠AOC＝∠BOD＝90°.(1)若∠BOC＝35°，求∠AOB与∠COD的大小；(2)若∠BOC＝46°，求∠AOB与∠COD的大小；(3)你发现了什么？(4)你能说明上述的发现吗？第8题图9．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE.第9题图(1)如图1，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；(2)如图2，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．10．已知射线OC在∠AOB的内部．(1)如图1，若已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOB的补角比∠BOC的余角大30°.①求∠AOB的度数；②过点O作射线OD，使得∠AOC＝3∠AOD，求出∠COD的度数；(2)如图2，若在∠AOB的内部作∠DOC，OE，OF分别为∠AOD和∠COB的平分线．则∠AOB ＋∠DOC＝2∠EOF，请说明理由．第10题图直线与数轴11．在如图所示的数轴上，点A是BC的中点，点A，B对应的实数分别为1和－3，则点C对应的实数是____________．第11题图12．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，－5，x.(1)求线段AB的长；(2)若A，B，C三点中有一点是其他两点的中点，求x的值；(3)若点C在原点，此时A，C，B三点分别以每秒1个单位，2个单位，4个单位向数轴的正方向运动，当A，B，C三点中有一点是其他两点的中点时，求运动的时间．第12题图13．如图，请按照要求回答问题：第13题图(1)数轴上的点C表示的数是____________；线段AB的中点D表示的数是____________；(2)线段AB的中点D与线段BC的中点E的距离DE等于多少？(3)在数轴上方有一点M，下方有一点N，且∠ABM＝120°，∠CBN＝60°，请画出示意图，判断BC能否平分∠MBN，并说明理由．14．已知：如图，数轴上两点A 、B 所对应的数分别为－3，1，点P 在数轴上从点A 出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点Q 在数轴上从点B 出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设点P 的运动时间为t 秒．(1)直接写出线段AB 的中点所对应的数，以及t 秒后点P 所对应的数(用含t 的代数式表示)；(2)若点P 和点Q 同时出发，求点P 和点Q 相遇时的位置所对应的数；(3)若点P 比点Q 迟1秒出发，问点P 出发几秒后，点P 和点Q 刚好相距1个单位长度，并问此时数轴上是否存在一个点C ，使其到点A 、点P 和点Q 这三点的距离和最小，若存在，直接写出点C 所对应的数，若不存在，试说明理由．第14题图参考答案专题提升五 线段、角的计算及思想方法1．C 2.60cm3．设AB ＝2x ，则BC ＝5x ，CD ＝3x ，AD ＝10x ，∵M 为AD 的中点，∴AM ＝5x ，∴BM ＝5x －2x ＝3x ＝6，解得：x ＝2，∴CM ＝7x －5x ＝2x ＝4cm ，AD ＝10x ＝20cm .4．(1)因为点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，所以MC ＝12AC ＝12×8＝4cm ，CN ＝12CB ＝12×6＝3cm ，MN ＝MC ＋CN ＝4＋3＝7cm .(2)因为点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，所以MC ＝12AC ，CN ＝12CB ，MN ＝MC ＋CN ＝12AC ＋12CB ＝12(AC ＋CB)＝a 2cm . (3)b2cm5．115°或15°6．设这个角为x 度，由题意得：180－(90－x)＝45(180－x)，解得x ＝30.答：这个角为30°.7．设∠BOE＝x ，∵∠BOE ＝12∠EOC ，∴∠EOC ＝2x.∵∠DOE＝72°，∴∠DOB ＝12∠AOB＝72°－x ，∴2(72°－x)＋x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，∴∠EOC ＝72°.8．(1)∵∠BOC＝35°，∠AOC ＝90°， ∴∠AOB ＝90°－35°＝55°. 同理，∠COD ＝55°.(2)∵∠BOC＝46°，∠AOC ＝90°， ∴∠AOB ＝90°－46°＝44°. 同理，∠COD ＝44°. (3)∠AOB＝COD.(4)∵∠AOB＝90°－∠BOC，∠COD ＝90°－∠BOC，∴∠AOB ＝∠COD. 9．(1)45°； (2)不变，∠DOE ＝45°.10．(1)①设∠BOC＝x ，∠AOC ＝2x ，则∠AOB＝3x ，180°－3x ＝90°－x ＋30°，x ＝30°，则∠AOB＝90°.②∠AOD ＝20°，则∠COD＝40°或80°.(2)∵OE，OF 分别为∠AOD 和∠CO B 的平分线，∴∠AOD ＝2∠EOD，∠BOC ＝2∠COF，∠AOB ＋∠COD＝2∠EOD＋2∠COD＋2∠COF ＝2∠EOF.11．2＋ 312．(1)线段AB 的长为9(2)①点C 为AB 中点时，x ＝－12，②点A 为BC 中点时，x ＝13，③点B 为AC 中点时，x＝－14.(3)1秒，145秒，134秒．13．(1)2.5 －2 (2)线段BC 的中点E 表示的数是0.75，DE ＝2＋0.75＝2.75. (3)如图：第13题图BC 平分∠MBN，理由是：∵∠ABM ＝120°，∴∠MBC ＝180°－120°＝60°.又∠CBN＝60°，∴∠MBC ＝∠CBN ，即BC 平分∠MBN.14．(1)AB 中点对应的数为－1，t 秒后点P 所对应的数为－3＋2t. (2)设相遇时间为t 秒，则2t ＋t ＝4，t ＝43，则－3＋2×43＝－13.答：相遇时的位置所对应的数为－13.(3)①P、Q 没相遇，则2t ＋t ＝3－1，t ＝23，此时C 所对应的数为－3＋2×23＝－53.②P 、Q 相遇后再分开，则2t ＋t ＝3＋1，t ＝43，此时C 所对应的数为0－1×43＝－43.答：点P 出发23秒后，P 、Q 相距1个单位长度，此时C 点表示－53，或点P 出发43秒后，P 、Q 相距1个单位长度，此时点C 表示－43.。