有关线段的动点问题

数学线段动点问题解题技巧
数学线段动点问题是数学中常见的一类问题，也是许多考试中必考的内容。

这类问题通常涉及到线段上的一个点在不同条件下的运动情况，需要通过数学方法来解决。

下面介绍一些数学线段动点问题的解题技巧。

一、确定问题类型
数学线段动点问题有很多不同的类型，如点在线段上的匀速直线运动、点在线段上的变速直线运动、点在线段上的折线运动等。

在解题之前，首先需要确定问题的类型，然后再选择相应的解题方法。

二、建立坐标系
建立坐标系是解决数学线段动点问题的关键步骤之一。

通过建立坐标系，可以将线段上的点转化为坐标系中的点，从而方便进行计算和分析。

建立坐标系时需要注意，选择合适的坐标轴方向和坐标轴单位，以便于后续计算。

三、确定参数
在解决数学线段动点问题时，需要确定一些参数，如点的初始位置、速度、加速度等。

这些参数通常可以通过题目中提供的信息来确定。

在确定参数时需要注意，要根据问题类型选择相应的参数。

四、列方程求解
通过建立坐标系和确定参数，可以将数学线段动点问题转化为一个数学模型。

然后通过列方程求解，可以得到问题的解答。

在列方程时需要注意，要根据问题类型选择相应的方程，并且要注意方程的正确性和完整性。

五、检验答案
在解决数学线段动点问题后，需要对答案进行检验。

检验答案的方法有很多种，如代入原方程检验、画图检验等。

通过检验答案可以避免计算错误和解题错误。

总之，数学线段动点问题是数学中常见的一类问题，需要掌握一定的解题技巧。

通过建立坐标系、确定参数、列方程求解和检验答案等步骤，可以有效地解决这类问题。

有关线段的动点问题1．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB的长；（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时；MN的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．3．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求证：AP=PQ；（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．4．如图，已知：线段AD=10cm，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t=6秒时，AB=cm；（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，BD的中点为F，则EF的长是否发生变化？若不变，求出EF的长；若发生变化，请说明理由．5．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD=2BD，E为线段AC上一点，CE=2AE（1）若AB=18，BC=21，求DE的长；（2）若AB=a，求DE的长；（用含a的代数式表示）（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，则的值为．6．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO 上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．（1）若AB=10cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值；（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=AB；（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．8．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（C、A在B左侧，C在D左侧）．（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．9．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．11．已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若2-++-=．m n m n|2|(18)0（1）求线段AB、CD的长；（2）M、N分别为线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请选择正确的一个并加以证明．12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．13．已知线段AB=20，点P是直线AB上一动点，M是AP的中点，N是PB的中点．如图1（1）当点P在线段AB上运动时，MN的长度是否改变？（2）当点P在线段AB的延长线上时如图2，MN的长度是否改变？14．如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，Ⅳ为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．15．如图点P为线段AB的中点，M为PB上任一点，试探究2PM与AM﹣BM之间的大小关系，并简要说明理由？16．如图，位于青年大街AB段上有四个居民小区A，C，D，B，其中AC=CD=DB．现想在AB段上建一家超市，要求各居民区到超市的路程总和最小．请你确定超市的位置，并说明你的理由．17．加油站如何选址：某公共汽车运营线路AB段上有A，B，C，D四个汽车站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？18．在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学住在A，B，C三个住宅区，如图所示（A，B，C在同一条直线上），且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在周围只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在哪里？并说明理由．。

线段上动点问题的三种考法类型一、求值问题例.数轴上有A B C 三点 A B 表示的数分别为m n ()m n < 点C 在B 的右侧2AC AB -=．(1)如图1 若多项式()371231mn x x x +--+-是关于x 的二次三项式 请直接写出m n 的值：(2)如图2 在（1）的条件下 长度为1的线段EF （E 在F 的左侧）在A B 之间沿数轴水平滑动（不与A B 重合） 点M 是EC 的中点 N 是BF 的中点 在EF 滑动过程中 线段MN 的长度是否发生变化 请判断并说明理由；(3)若点D 是AC 的中点．①直接写出点D 表示的数____________（用含m n 的式子表示）； ②若24AD BD += 试求线段AB 的长．【答案】(1)5m =- 1n =；(2)不变化 理由见解析；(3)①12m n++；②103【解析】(1)解：由题可知 n -1=0 7+m =2 ∴1n = 5m =-故答案为：5m =- 1n =(2)解：MN 的长不发生变化 理由如下： 由题意 得点C 表示的数为3设点E 表示的数为x 则点F 表示的数为1x +∴6AB = 2BC = 5AE x =+ 6AF x =+ 3EC x =- BF x =- ∴点M 是EC 的中点 N 是BF 的中点 ∴32x MC ME -==2x NF -= 即311222x x MN ME EF FN --=--=--=(3)解：①∴A B 表示的数分别为m n ()m n < 又点C 在B 的右侧 ∴AB =n -m ∴2AC AB -= ∴AC = n -m +2∴点D 是AC 的中点 ∴AD =12AC = 12（n -m +2）∴D 表示的数为：m +12（n -m +2）=12m n ++ ②依题意 点C 表示的数分别为2n + ∴AB n m =- 1122m n n mAD m +-=+-=+ ∴1122m n m n BD n +-=+-=+ 22122m nBD m n -=+=-+ ∴24AD BD += 即1242n mm n -++-+= 当20m n -+>时．()1242n mm n -++-+= 2m n -= ∴m n < ∴2m n -=不符合题意 舍去 当20m n -+<时．()1242n m m n -+--+= 103n m -= 综上所述 线段AB 的长为103.【变式训练1】如图1 点C 在线段AB 上 图中共有三条线段AB AC 和BC 若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍 则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2 已知AB ＝15cm ．动点P 从点A 出发 以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速运动；点Q 从点B 出发 以1cm /s 的速度沿BA 向点A 匀速运动 点P Q 同时出发 当其中一点到达终点时 运动停止．设移动的时间为t （s ） 当t ＝__s 时 Q 为A P 的“巧点”．【答案】是 7.5或457【解析】（1）若线段中点为C 点 AB ＝2AC 所以中点是这条线段“巧点”（2）设A 点为数轴原点 作数轴 设运动时间为t 秒；t 最大＝7.5 A ：0 P ：0+2t ＝2t Q ：15﹣t①Q为AP中点20152tt+-=∴t＝7.5；②AQ＝2PQ AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15∴AQ＝2PQ∴15﹣t＝2（3t﹣15）∴457t=；③PQ＝2AQ得3t﹣15＝2（15﹣t）∴t＝9>7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或457．故答案为：（1）是；（2）7.5或457．【变式训练2】已知：如图1 M是定长线段AB上一定点C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动运动方向如箭头所示（C在线段AM上D在线段BM上）(1)若AB＝11cm 当点C、D运动了1s 求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时总有MD＝3AC直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下N是直线AB上一点且AN﹣BN＝MN求2MN3AB的值．【答案】(1)7cm；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C、D运动了1s时CM＝1cm BD＝3cm ∴AB＝11cm CM＝1cm BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．(2)解：设运动时间为t则CM＝t BD＝3t∴AC＝AM﹣t MD＝BM﹣3t又MD＝3AC∴BM﹣3t＝3AM﹣3t即BM＝3AM∴AM=13 BM故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∴BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM∴AM＝14 AB①当点N 在线段AB 上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝14AB ∴MN ＝12AB 即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ∴MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或23【变式训练3】如图 数轴上有两点,A B 点C 从原点O 出发 以每秒1cm 的速度在线段OA 上运动 点D 从点B 出发 以每秒4cm 的速度在线段OB 上运动．在运动过程中满足4OD AC = 若点M 为直线OA 上一点 且AM BM OM -= 则ABOM的值为_______．【答案】1或53【解析】设运动的时间为t 秒 点M 表示的数为m则OC=t BD=4t 即点C 在数轴上表示的数为-t 点D 在数轴上表示的数为b -4t ∴AC=-t -a OD=b -4t由OD=4AC 得 b -4t=4（-t -a ） 即：b=-4a ①若点M 在点B 的右侧时 如图1所示：由AM -BM=OM 得 m -a -（m -b ）=m 即：m=b -a ； ∴=1b a B O mA m M m-== ②若点M 在线段BO 上时 如图2所示：由AM -BM=OM 得 m -a -（b -m ）=m 即：m=a+b ； ∴=4543b a b a a a m a AB b a a OM ----===+- ③若点M 在线段OA 上时 如图3所示：由AM -BM=OM 得 m -a -（b -m ）=-m 即：433a b a am a +-===- ∴此时m ＜0 a ＜0 ∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M 在点A 的左侧时 如图4所示：由AM -BM=OM 得 a -m -（b -m ）=-m 即：m=b -a=-5a ；而m ＜0 b -a ＞0 因此 不符合题意舍去 综上所述AB OM 的值为1或53． 类型二、证明定值问题例.如图 已知线段AB m = CD n = 线段CD 在直线AB 上运动（点A 在点B 的左侧点C 在点D 的左侧） 若()21260m n -+-=． （1）求线段AB CD 的长；（2）若点M N 分别为线段AC BD 的中点 4BC = 求线段MN 的长；（3）当CD 运动到某一时刻时 点D 与点B 重合 点P 是线段AB 的延长线上任意一点 下列两个结论：①PA PB PC -是定值 ②PA PBPC+是定值 请选择你认为正确的一个并加以说明．【答案】（1）12AB = 6CD =；（2）9；（3）②正确2PA PBPC+= 见解析 【解析】（1）由()21260m n -+-= ()212600m n ≥--≥， 12=06=0m n --， 得12m = 6n = 所以12AB = 6CD =； （2）当点C 在点B 的右侧时 如图因为点M N 分别为线段AC BD 的中点 4BC = 所以()()1124118222AM AC AB BC ==+⨯+== ()()111645222DN BD CD BC ===++= 又因为124622AD AB BC CD =++=++= 所以22859MN AD AM DN =--=--= 当点C 在点B 的左侧时 如图因为点M N 分别为线段AC BD 的中点 所以()()1111244222AM MC AC AB BC ===--== ()()111641222BN ND BD CD BC ===--== 所以126414AD AB CD BC =+-=+-= 所以14419MN AD AM DN =--=--=． 综上 线段MN 的长为9； （3）②正确 且2PA PBPC+=．理由如下： 因为点D 与点B 重合 所以BC DC =所以6AC AB BC AB DC =-=-= 所以AC BC = 所以()()222PC AC PC BC PA PB PC AC BC PCPC PC PC PC++-++-====．【变式训练1】已知线段AB ＝m CD ＝n 线段CD 在直线AB 上运动（A 在B 的左侧 C 在D 的左侧） 且m n 满足|m －12|＋（n －4）2＝0. （1）m ＝ n ＝ ；（2）点D 与点B 重合时 线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左运动．①如图1 点C 在线段AB 上 若M 是线段AC 的中点 N 是线段BD 的中点 求线段MN的长；②P是直线AB上A点左侧一点线段CD运动的同时点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动点E是线段BC的中点若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中FC－5DE是否为定值若是请求出该定值；若不是请说明理由．【解析】（1）∴|m－12|＋（n－4）2＝0 ∴m－12=0 n－4=0 ∴m=12 n=4；故答案为：12；4．（2）由题意①∴AB=12 CD=4∴M是线段AC的中点N是线段BD的中点∴AM=CM=12AC DN=BN=12BD∴MN=CM+CD+DN=12AC +CD+12BD=12AC +12CD+12BD+12CD=12(AC +CD+BD)+12CD=12(AB +CD)=8；②如图设PA=a 则PC=8+a PE=10+a依题意有：81013231a a解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t BC=4+2t∴E是线段BC的中点∴CE= BE=12BC=2+t；∴．如图1 F C相遇即t=2时F C重合 D E重合则FC=0 DE=0 ∴FC-5 DE =0；∴．如图2 F C相遇前即t<2时FC =10-5t DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；∴．如图3 F C相遇后即t＞2时FC =5t-10 DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；综合上述：在整个运动的过程中FC-5 DE的值为定值且定值为0．【变式训练2】如图数轴上点A B表示的有理数分别为63 点P是射线AB上的一个动点（不与点A B重合）M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0 那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6 那么MN的长为________；（2）点P在射线AB上运动（不与点A B重合）的过程中MN的长是否发生改变？若不改变请写出求MN的长的过程；若改变请说明理由．【答案】（1）6；6；（2）不发生改变MN为定值6 过程见解析【详解】解：（1）若点P表示的有理数是0（如图1）则AP=6 BP=3．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=4 NP=23BP=2 ∴MN=MP+NP=6；若点P表示的有理数是6（如图2）则AP=12 BP=3．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=8 NP=23BP=2 ∴MN=MP-NP=6．故答案为：6；6．（2）MN的长不会发生改变理由如下：设点P表示的有理数是a（a＞-6且a≠3）．当-6＜a＜3时（如图1）AP=a+6 BP=3-a．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=23（a+6）NP=23BP=23（3-a）∴MN=MP+NP=6；当a＞3时（如图2）AP=a+6 BP=a-3．∴M是线段AP靠近点A的三等分点N是线段BP靠近点B的三等分点．∴MP=23AP=23（a+6） NP=23BP=23（a -3） ∴MN=MP -NP=6．综上所述：点P 在射线AB 上运动（不与点A B 重合）的过程中 MN 的长为定值6．【变式训练3】(1)如图1 在直线AB 上 点P 在A 、B 两点之间 点M 为线段PB 的中点点N 为线段AP 的中点 若AB n = 且使关于x 的方程()46n x n -=-无解. ①求线段AB 的长；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置有关吗？请说明理由； (2)如图2 点C 为线段AB 的中点 点P 在线段CB 的延长线上 试说明PA PBPC+的值不变.【答案】（1）①AB=4；②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关 理由见解析；（2）见解析.【详解】解：（1）①∴关于x 的方程()46n x n -=-无解．∴4n -=0 解得：n=4．故AB=4． ②线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关 理由如下： ∴M 为线段PB 的中点 ∴PM= 12PB ．同理：PN=12AP ．．∴MN=PN+PM= 12（PB+AP ）=12AB=12×4=2．∴线段MN 的长与点P 在线段AB 上的位置无关． （2）设AB=a BP=b 则PA+PB=a+b+b=a+2b ． ∴C 是AB 的中点 1122BC AB a ∴== 12PC PB BC a b ∴=+=+2212PA PB a bPC a b ++∴==+ 所以PA PBPC+的值不变.类型三、数量关系 例.数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12- 线段CE 在数轴上运动 点C 在点E 的左边且8,CE =点F 是AE 的中点．（1）如图1 当线段CE 运动到点,C E 均在,A B 之间时 若1CF = 则AB =_________ 点C 对应的数为________BE =________；（2）如图2 当线段CE 运动到点A 在C E 、之间时 画出草图并求BE 与CF 的数量关系．【答案】（1）16；2；2；（2）2BE CF = 画图见解析． 【解析】（1）数轴上A B 、两点对应的数分别是4,12- 12(4)16AB ∴=--=8,1CE CF ==7EF CE CF ∴=-=点F 是AE 的中点 7AF EF ∴== 6AC AF CF ∴=-=6AC AO CO =+= 2CO ∴= C ∴对应的数是2 2BE AB AF EF ∴=--=故答案为：16；2；2； （2）,BE AB AE CF CE EF =-=-点F 是AE 的中点 2AE EF ∴=162,8BE AB AE EF CF CE EF EF ∴=-=-=-=- 2BE CF ∴=故答案为：（1）16；2；2；（2）2BE CF = 画图见解析．【变式训练1】如图 已知线段AB 延长线段BA 至C 使CB ＝43AB ．（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm 点D 从点B 出发 点E 从点A 出发 分别以3cm/s 1cm/s 的速度沿直线AB 向左运动．①当点D在线段AB 上运动 求ADCE的值； ②在点D E 沿直线AB 向左运动的过程中 M N 分别是线段DE 、AB 的中点．当点C 恰好为线段BD 的三等分点时 求MN 的长． 【答案】（1）13（2）3 （3）12cm 或24cm ．【详解】解：（1）图形补充完整如图∵CB ＝43AB ∴CA ＝13BC AB AB -=13AC AB = 故答案为：13； （2）①AB ＝ 9cm 由（1）得 133CA AB ==（cm ） 设运动的时间为t 秒 (93)DA t =-cm (3)CE t =-cm93=33AD tCE t-=-②当3BD CD =时 ∴AB ＝ 9cm 3CA =cm ∴212CB CD ==cm ∴6CD =cm 318BD CD ==cm运动时间为：18÷3=6（秒） 则6AE =cm15BE BA AE =+=cm 3ED BD BE =-=cm∴M N 分别是线段DE 、AB 的中点．∴ 1.5DM =cm 4.5BN =cm12MN BD DM BN =--=cm当3BD CB =时 ∴AB ＝ 9cm 3CA =cm ∴12CB =cm ∴336BD CB ==cm运动时间为：36÷3=12（秒） 则12AE =cm 21BE BA AE =+=cm 15ED BD BE =-=cm ∴M N 分别是线段DE 、AB 的中点．∴7.5DM =cm 4.5BN =cm24MN BD DM BN =--=cm综上 MN 的长是12cm 或24cm ．【变式训练2】已知点C 在线段AB 上 AC ＝2BC 点D 、E 在直线AB 上 点D 在点E 的左侧（1）若AB ＝18 DE ＝8 线段DE 在线段AB 上移动 ①如图1 当E 为BC 中点时 求AD 的长； ②当点C 是线段DE 的三等分点时 求AD 的长；（2）若AB＝2DE线段DE在直线上移动且满足关系式32AD ECBE+=则CDAB＝．【答案】（1）①AD＝7；②AD＝203或283；（2）1742或116【详解】解：（1）∴AC＝2BC AB＝18 ∴BC＝6 AC＝12 ①∴E为BC中点∴CE＝3∴DE＝8 ∴CD＝5 ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②∴点C是线段DE的三等分点DE＝8∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163∴CD＝163或CD＝83∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；（2）当点E在线段BC之间时如图设BC＝x则AC＝2BC＝2x∴AB＝3x ∴AB＝2DE∴DE＝1.5x设CE＝y∴AE＝2x+y BE＝x﹣y∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y∴32AD ECBE+=∴0.532x y yx y++=-∴y＝27x∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x∴171714342==xCDAB x；当点E在点A的左侧如图设BC＝x则DE＝1.5x设CE＝y∴DC＝EC+DE＝y+1.5x∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x∴32AD ECBE+=BE＝EC+BC＝x+y∴0.532y x yx y-+=+∴y＝4x∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x ∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x∴5.51136==CD x AB x 当点E 在线段AC 上及点E 在点B 右侧时 无解 综上所述CD AB 的值为1742或116．故答案为：1742或116． 课后作业1.已知有理数a b c 在数轴上对应的点从左到右顺次为A B C 其中b 是最小的正整数 a 在最大的负整数左侧1个单位长度 BC=2AB ． （1）填空：a= b= c=（2）点D 从点A 开始 点E 从点B 开始 点F 从点C 开始 分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动 点F 追上点D 时停止动 设运动时间为t 秒．试问：①当三点开始运动以后 t 为何值时 这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？ ②F 在追上E 点前 是否存在常数k 使得DF k EF +⋅的值与它们的运动时间无关 为定值．若存在 请求出k 和这个定值；若不存在 请说明理由． 【答案】（1）-2 1 7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 【解析】（1）∴最小正数为1．最大的负整数为小-1 a 在最大的负整数左侧1个单位长度 ∴点A 表示的数a 为-1-1=-2 点B 表示的数b 为1 ∴AB=1-（-2）=3∴223=6BC AB ==⨯ ∴点C 表示的数为c=1+6=7 故答案为：-2 1 7；（2）①依题意 点F 的运动距离为4t 点D 、E 运动的距离为t,∴点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t 1-t 7-4t,当点F 追上点D 时 必将超过点B ∴存在两种情况 即DE=EF 和DF=EF 如图 当DE=EF 即E 为DF 的中点时()21=274t t t ----+ 解得 t=1如图 当EF=DF 即F 为DE 中点时()74=21t t t ---+-2 解得t=52综上所述 当ｔ=１秒和ｔ＝52时 满足题意． ②存在 理由：点D 、E 、F 分别表示的数为-2-t 1-t 7-4t,如图 F 在追上E 点前 ()74-2=93DF t t t =---- ()74-1=63EF t t t =---()()93639633DF k EF t k t k k t +⋅=-+-=+-+ 当DF k EF +⋅与t 无关时 需满足3+3k=0 即k=-1时 满足条件．故答案为：（1）-2 1 7；（2）①t=1或t=52；②k=-1 2．已知点C 在线段AB 上 2AC BC = 点D 、E 在直线AB 上 点D 在点E 的左侧．若18AB = 8DE = 线段DE 在线段AB 上移动．(1)如图1 当E 为BC 中点时 求AD 的长；(2)点F （异于A B C 点）在线段AB 上 3AF AD = 3CE EF += 求AD 的长． 【答案】(1)7；(2)3或5【解析】(1)2AC BC = 18AB = 6BC ∴= 12AC = 如图1E 为BC 中点 3CE BE ∴==8DE = ∴8311BD DE BE =+=+= ∴18117AD AB DB =-=-=(2)Ⅰ、当点E 在点F 的左侧 如图2或∵3CE EF += 6BC = ∴点F 是BC 的中点 ∴3CF BF == ∴18315AF AB BF =-=-= ∴153AD AF ==∵3CE EF += 故图2（b ）这种情况求不出； Ⅱ、如图3 当点E 在点F 的右侧或12AC 3CE EF CF +== ∴9AF AC CF =-=∴39AF AD ==3AD ∴=．∵3CE EF += 故图3（b ）这种情况求不出； 综上所述：AD 的长为3或5．3.已知线段AB 点C 在直线AB 上 D 为线段BC 的中点．(1)若8AB = 2AC = 求线段CD 的长．(2)若点E 是线段AC 的中点 请写出线段DE 和AB 的数量关系并说明理由． 【答案】(1)3或5(2)2AB DE = 理由见解析【解析】(1)解：如图1 当C 在点A 右侧时∴8AB = 2AC = ∴6C AB C B A =-= ∴D 是线段BC 的中点 ：∴132CD BC ==； 如图2 当C 在点A 左侧时∴8AB = 2AC = ∴10BC AB AC =+= ∴D 是线段BC 的中点 ∴152CD BC ==；综上所述 3CD =或5； (2)解：2AB DE =．理由是：如图3 当C 在点A 和点B 之间时∴E 是AC 的中点 D 是BC 的中点 ∴2AC EC = 2BC CD = ∴222AB AC BC EC CD DE =+=+=； 如图4 当C 在点A 左侧时同理可得：()2222AB BC AC CD CE CD CE DE =-=-=-=； 如图5 当C 在点B 右侧时同理可得：()2222AB AC BC EC CD EC CD DE =-=-=-=．4.已知：如图1 M 是定长线段AB 上一定点 C 、D 两点分别从M 、B 出发以1cm/s 、3cm/s 的速度沿直线BA 向左运动 运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上 D 在线段BM 上）(1)若AB ＝11cm 当点C 、D 运动了1s 求AC +MD 的值． (2)若点C 、D 运动时 总有MD ＝3AC 直接填空：AM ＝ BM ． (3)在（2）的条件下 N 是直线AB 上一点 且AN ﹣BN ＝MN 求2MN3AB的值． 【答案】(1)7cm ；(2)13；(3)13或23【解析】(1)解：当点C 、D 运动了1s 时 CM ＝1cm BD ＝3cm ∴AB ＝11cm CM ＝1cm BD ＝3cm∴AC +MD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝11﹣1﹣3＝7cm ．(2)解：设运动时间为t 则CM ＝t BD ＝3t ∴AC ＝AM ﹣t MD ＝BM ﹣3t 又MD ＝3AC ∴BM ﹣3t ＝3AM ﹣3t 即BM ＝3AM ∴AM =13BM 故答案为：13．(3)解：由（2）可得：∴BM ＝AB ﹣AM ∴AB ﹣AM ＝3AM ∴AM ＝14AB①当点N 在线段AB 上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝14AB ∴MN ＝12AB 即2MN 3AB =13． ②当点N 在线段AB 的延长线上时 如图∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ∴MNAB=1,即2MN 3AB =23．综上所述2MN 3AB ＝13或235．如图 在数轴上A 点表示的数为a B 点表示的数为b C 点表示的数为c b 是最大的负整数 且a c 满足()2390a c ++-=．点P 从点B 出发以每秒3个单位长度的速度向左运动 到达点A 后立刻返回到点C 到达点C 后再返回到点A 并停止．（1）=a ________ b =________ c =________．（2）点P 从点B 离开后 在点P 第二次到达点B 的过程中 经过x 秒钟 13PA PB PC ++= 求x 的值．（3）点P 从点B 出发的同时 数轴上的动点M N 分别从点A 和点C 同时出发 相向而行 速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度 假设t 秒钟时 P 、M 、N 三点中恰好有一个点是另外两个点的中点 请直接写出所有满足条件的t 的值．【答案】（1）3- 1- 9；（2）13x =或1x =或53x =或233x =；（3）167t = 12617 8 12 【详解】解：（1）∴b 是最大的负整数 且a c 满足()2390a c ++-=∴b=-1 a+3=0 c -9=0 ∴a=-3 c=9．故答案为：-3；-1；9．（2）由题意知 此过程中 当点P 在AB 上时． ∴PA+PB=AB=b -a=-1-(-3)=2． ∴()13-=13-2=11PC PA PB =+． 又∴BC=c -b=9-(-1)=10．∴PB=PC-BC=11-10=1．当P从B到A时如图所示：∴PB=1 可以列方程为：3x=1解得：x=1；当P从A到C时分两种情况讨论：①当P在线段AB之间时如图所示：可以列方程为：3x=3,解得：x=1②当P在线段BC之间时如图所示：∴PA+PB+PC=13 AB=2 BC=10∴PB+PC=10∴PA=13-10=3∴PB=PA-AB=3-2=1可列方程为：3x=5解得：53x=．当P从C到B时如图所示：可列方程为：3x=23 解得：233x=．综上所述13x=或1x=或53x=或233x=．（3）当点从为PN中点时当0<t<23时点P向A运动．此时P=-1-3t M=-3+4t N=9-5t．（-1-3t）+（9-5t）=2（-3+4t）解得t=78（舍去）．当23≤t≤43时点P从A返回向B运动．此时P=-3+3（t-23）=3t-5．3t-5+9-5t=2（-3+4t）解得t=1．当P为MN中点时t>43．（9-5t）+（-3+4t）=2（3t-5）解得t=167．当点N为PM中点时t>43．（-3+4t）+（3t-5）=2（9-5t）,解得t=2617．综上所述t的值为1167或2617．6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时得到一个很有意思的结论请跟随他们一起思考.（1）发现：如图1 线段12AB=点,,C E F在线段AB上当点,E F是线段AC和线段BC的中点时线段EF的长为_________；若点C在线段AB的延长线上其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整）得到的线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.（2）应用：如图3 现有长为40米的拔河比赛专用绳AB其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 小明所在学习小组认为此法可行于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF请你尝试着“复原”他们的做法：①在图中标出点E、点F的位置并简述画图方法；②请说明①题中所标示,E F点的理由.【答案】（1）6；补图见解析12EF AB=（2）①见解析（答案不唯一）②见解析.【详解】解：（1）点,,C E F在线段AB上时因为点E是线段AC的中点所以CE=12AC因为点F是线段BC的中点所以CF=12BC所以EF=CE+CF=12AC+12BC=12AB又AB=12 所以EF=6．当点C 在线段AB 的延长线上时 如图2此时 EF=EC -FC∴12AC -12BC=12AB. 答案为：6；EF=12AB. （2）①图3如图 在CD 上取一点M 使CM CA = F 为BM 的中点 点E 与点C 重合. （答案不唯一） ②因为F 为BM 的中点 所以MF BF =. 因为,AB AC CM MF BF CM CA =+++= 所以222()2AB CM MF CM MF EF =+=+=. 因为40AB =米 所以20EF =米.因为20AC BD +<米 40AB AC BD CD =++=米 所以20CD >米.因为点E 与点C 重合 20EF =米 所以20CF =米 所以点F 落在线段CD 上. 所以EF 满足条件. 7．问题背景整体思想就是从问题的整体性质出发 突出对问题的整体结构的分析 把握它们之间的关联 进行有目的、有意识的整体处理 整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．(1)如图1 A、B、O三点在同一直线上射线OD和射线OE分别平分∴AOC和∴BOC则∴DOE的度数为（直接写出答案）．(2)当x＝1时代数式a3x+bx+2021的值为2020 当x＝﹣1时求代数式a3x+bx+2021的值．(3)①如图2 点C是线段AB上一定点点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB 向左、向右匀速运动若点E的运动速度是点D运动速度的3倍且整个运动过程中始终满足CE＝3CD求ACAB的值；②如图3 在①的条件下若点E沿直线AB向左运动其它条件均不变．在点D、E运动过程中点P、Q分别是AE、CE的中点若运动到某一时刻恰好CE＝4PQ求此时AD AB的值．【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①14；②112或512【解析】(1)解：如图1 ∴射线OD和射线OE分别平分∴AOC和∴BOC∴∴DOC =12∴AOC∴COE=12∴BOC∴∴DOE=∴DOC+∴COE∴∴DOE=12∴AOC+12∴BOC=12(∴AOC+∴BOC)∴∴AOC+∴BOC=180° ∴∴DOE=12×180°=90°故答案为：90°．(2)∴当x＝1时代数式a3x+bx+2021的值为2020∴a +b+2021=2020 ∴a+b=-1 ∴-a-b=1当x＝﹣1时a3x+bx+2021= -a-b+2021=1+2021=2022．(3)①如图2设点D运动的路程为x则点E运动的路程为3x∴CE＝BC+BE=BC+3x CD=CA+AD=CA+x∴CE＝3CD∴BC+3x= 3CA+3x∴CB=3AC∴AB=CB+AC=4AC∴ACAB=14．②根据① 设AC=m则CB=3m AB=4m设点D运动的路程为AD=x则点E运动的路程为EB=3x当点E在C点的右侧时如图3∴CE ＝BC -BE =3m -3x CD =CA +AD =m +x ∴点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点 ∴PE =12AE QE =12CE ∴PQ =PE -QE =12AE -12CE =11()222mAE CE AC -== ∴CE ＝4PQ ∴3m -3x =4×2m 解得x =3m故AD =3m∴AD AB=13412mm =． 当点E 在C 点的左侧 且在点A 的右侧时 如图4∴CE ＝BE -BC =3x -3m CD =CA +AD =m +x ∴点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点 ∴PE =12AE QE =12CE ∴PQ =PE +QE =12AE +12CE =11()222mAE CE AC +== ∴CE ＝4PQ ∴3x -3m =4×2m解得x =53m 故AD =53m ∴AD AB =53412mm =． 当点E 在A 点的左侧时 如图5∴CE ＝BE -BC =3x -3m CD =CA +AD =m +x ∴点P 、Q 分别是AE 、CE 的中点 ∴PE =12AE QE =12CE ∴PQ =PE +QE =12AE +12CE =11()222mAE CE AC +== ∴CE ＝4PQ ∴3x -3m =4×2m解得x =53m 故AD =53m ∴ADAB =553412mm =． 综上所述ADAB 的值为112或512． 8．已知：如图1 点M 是线段AB 上一定点 AB ＝12cm C 、D 两点分别从M 、B出发以1cm /s 、2cm /s 的速度沿直线BA 向左运动 运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上 D 在线段BM 上）（1）若AM ＝4cm 当点C 、D 运动了2s 此时AC ＝ DM ＝ ；（直接填空） （2）当点C 、D 运动了2s 求AC +MD 的值．（3）若点C 、D 运动时 总有MD ＝2AC 则AM ＝ （填空） （4）在（3）的条件下 N 是直线AB 上一点 且AN ﹣BN ＝MN 求MNAB的值． 【答案】（1）2 4；（2）6 cm ；（3）4；（4）13MN AB =或1． 【详解】（1）根据题意知 CM ＝2cm BD ＝4cm ∴AB ＝12cm AM ＝4cm ∴BM ＝8cm∴AC ＝AM ﹣CM ＝2cm DM ＝BM ﹣BD ＝4cm 故答案为：2cm 4cm ； （2）当点C 、D 运动了2 s 时 CM ＝2 cm BD ＝4 cm ∴AB ＝12 cm CM ＝2 cm BD ＝4 cm∴AC +MD ＝AM ﹣CM +BM ﹣BD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝12﹣2﹣4＝6 cm ； （3）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2MC∴MD ＝2AC ∴BD +MD ＝2（MC +AC ） 即MB ＝2AM∴AM +BM ＝AB ∴AM +2AM ＝AB ∴AM ＝13AB ＝4 故答案为：4；（4）①当点N 在线段AB 上时 如图1∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝4 ∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4 ∴13MN AB =； ②当点N 在线段AB 的延长线上时 如图2∴AN ﹣BN ＝MN又∴AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ＝12 ∴1MNAB=； 综上所述13MN AB =或1故答案为13MN AB =或1． 9．如图 数轴正半轴上的A B 两点分别表示有理数a b O 为原点 若3a = 线段5OB OA =.（1）=a ______ b =______；（2）若点P 从点A 出发 以每秒2个单位长度向x 轴正半轴运动 求运动时间为多少时；点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍；（3）数轴上还有一点C 表示的数为32 若点P 和点Q 同时从点A 和点B 出发 分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向C 点运动 P 点到达C 点后 再立刻以同样的速度返回 运动到终点A 求点P 和点Q 运动多少秒时 P 、Q 两点之间的距离为4. 【答案】（1）3a = 15b =；（2）9或92；（3）8或503【详解】解：（1）∴数轴正半轴上的A B 两点分别表示有理数a b |a|=3 线段OB=5OA ∴a=3 b=15 故答案为：3 15；（2）设运动时间为t 秒时 点P 到点A 的距离是点P 到点B 距离的3倍． 由题意得：AB=15-3=12 当点P 在A 、B 之间时 有 2t=3（12-2t ） 解得：t=92；当点P 在B 的右边时 有 2t=3（2t -12） 解得t=9；即运动时间为92或9秒时 点P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的3倍；（3）根据题意 由点C 为32 则 AC=32-3=29 BC=32-15=17 ∴点P 运动到点C 所需要的时间为：2914.52t ==秒 点Q 运动到点C 所需要的时间为：17171t ==秒 则可分为两种情况进行分析： ①当点P 还没有追上点Q 时 有：1224t t +-=解得：8t =；②当点P 运动到点C 返回时 与点Q 相遇后 与点Q 相距4 则有：2124292t t ++-=⨯解得：503t =. 10．已知数轴上三点M O N 对应的数分别为－3 0 1 点P 为数轴上任意一点 其对应的数为x ．(1)如果点P 到点M 点N 的距离相等 那么x 的值是______；(2)数轴上是否存在点P 使点P 到点M 点N 的距离之和是5？若存在 请直接写出x 的值；若不存在 请说明理由．(3)如果点P 以每分钟3个单位长度的速度从点O 向左运动时 点M 和点N 分别以每分钟1个单位长度和每分钟4个单位长度的速度也向左运动 且三点同时出发 那么几分钟时点P 到点M 点N 的距离相等.（直接写出答案） 【答案】（1）1-；（2）x= 3.5-或1.5；（3）4t 3=分钟或t=2分钟时点P 到点M 点N 的距离相等．【详解】解：（1）∴M O N 对应的数分别为-3 0 1 点P 到点M 点N 的距离相等 ∴x 的值是1-．故答案为1-； （2）存在符合题意的点P ；∴点M 为-3 点N 为1 则点P 分为两种情况 ①点P 在N 点右侧 则(1)(3)5x x -++= 解得： 1.5x =； ②点P 在M 点左侧 则(3)(1)5x x --+-= 解得： 3.5x =-； ∴ 3.5 1.5x =-或=.（3）设运动t 分钟时 点P 对应的数是-3t 点M 对应的数是-3-t 点N 对应的数是1-4t ． ①当点M 和点N 在点P 同侧时 因为PM=PN 所以点M 和点N 重合 所以：-3-t=1-4t解得t ＝43符合题意．②当点M 和点N 在点P 两侧时 有两种情况．情况1：如果点M 在点N 左侧 PM=-3t -（-3-t ）=3-2t ．PN=（1-4t ）-（-3t ）=1-t ． 因为PM=PN 所以3-2t=1-t 解得t=2．此时点M 对应的数是-5 点N 对应的数是-7 点M 在点N 右侧 不符合题意 舍去．情况2：如果点M在点N右侧PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因为PM=PN 所以2t-3=t-1解得t=2．此时点M对应的数是-5 点N对应的数是-7 点M在点N右侧符合题意．综上所述三点同时出发43分钟或2分钟时点P到点M 点N的距离相等．11．如图P是定长线段AB上一点C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时总有PD＝2AC请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下Q是直线AB上一点且AQ﹣BQ＝PQ求PQAB的值．（3）在（1）的条件下若C、D运动5秒后恰好有1CD AB2=此时C点停止运动D点继续运动（D点在线段PB上）M、N分别是CD、PD的中点下列结论：①PM﹣PN的值不变；②MNAB的值不变可以说明只有一个结论是正确的请你找出正确的结论并求值．【答案】（1）点P在线段AB上的13处；（2）13；（3）②MNAB的值不变.【详解】解：（1）由题意：BD=2PC∴PD=2AC ∴BD+PD=2（PC+AC）即PB=2AP ∴点P在线段AB上的13处；（2）如图：∴AQ-BQ=PQ ∴AQ=PQ+BQ∴AQ=AP+PQ ∴AP=BQ ∴PQ=13AB ∴13PQAB=（3）②MNAB的值不变.理由：如图当点C停止运动时有CD=12 AB∴CM=14AB ∴PM=CM-CP=14AB-5∴PD=23AB-10 ∴PN=1223（AB-10）=13AB-5∴MN=PN-PM=112AB当点C停止运动D点继续运动时MN的值不变所以111212ABMNAB AB==.。

动点问题经典练习题1、（宁夏回族自治区)已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止)，过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2)当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为（4，3),点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点;动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t （秒）．(1)求线段AB 的长;当t 为何值时，MN ∥OC ? （2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式, 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值,最小值是多少？(3）连接AC ,那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值;若不存在，请说明理由．C PQBA MNCD2、（河北卷）如图,在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16,动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发,当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒)． （1)设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形?(3）是否存在时刻t ,使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值;若不存在，请说明理由;（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内(0≤t ≤1;1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）;若不存在,请简要说明理由．3、(山东济宁)如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

(完整版)有关线段的动点问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN有关线段的动点问题1．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB的长；（2）若P为射线BA上的一点（点P不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在射线BA上运动时；MN的长度是否发生改变若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，（1）写出数轴上点B所表示的数；（2）点P所表示的数；（用含t的代数式表示）；（3）M是AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．3．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以1cm/s和2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）．已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC．（1）线段AP与线段AB的数量关系是：；（2）若Q是线段AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求证：AP=PQ；（3）若C、D运动5秒后，恰好有CD=AB，此时C点停止运动，D点在线段PB上继续运动，M、N分别是CD、PD的中点，问的值是否发生变化若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．4．如图，已知：线段AD=10cm，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t=6秒时，AB= cm；（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，BD的中点为F，则EF的长是否发生变化若不变，求出EF的长；若发生变化，请说明理由．5．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，CD=2BD，E为线段AC上一点，CE=2AE（1）若AB=18，BC=21，求DE的长；（2）若AB=a，求DE的长；（用含a的代数式表示）（3）若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，则的值为．6．如图，在射线OM上有三点A、B、C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm（如图所示），点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．（1）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的三等分点，求点Q的运动速度．（2）若点Q运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距70cm．（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求的值．7．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s 的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．（1）若AB=10cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值；（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= AB；（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．8．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（C、A在B左侧，C在D左侧）．（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．9．如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式=3，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由．10．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM 上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM= AB．（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．11．已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB上运动（A在B左侧，C在D左侧），若2-++-=．m n m n|2|(18)0（1）求线段AB、CD的长；（2）M、N分别为线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；（3）当CD运动到某一时刻时，D点与B点重合，P是线段AB延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请选择正确的一个并加以证明．12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．13．已知线段AB=20，点P是直线AB上一动点，M是AP的中点，N是PB的中点．如图1（1）当点P在线段AB上运动时，MN的长度是否改变（2）当点P在线段AB的延长线上时如图2，MN的长度是否改变14．如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP 的中点．（1）出发多少秒后，PB=2AM（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM﹣BP为定值．（3）当P在AB延长线上运动时，Ⅳ为BP的中点，下列两个结论：①MN长度不变；②MA+PN的值不变．选择一个正确的结论，并求出其值．15．如图点P为线段AB的中点，M为PB上任一点，试探究2PM与AM﹣BM之间的大小关系，并简要说明理由16．如图，位于青年大街AB段上有四个居民小区A，C，D，B，其中AC=CD=DB．现想在AB 段上建一家超市，要求各居民区到超市的路程总和最小．请你确定超市的位置，并说明你的理由．17．加油站如何选址：某公共汽车运营线路AB段上有A，B，C，D四个汽车站，如图所示，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好18．在同一个学校上学的小明、小伟、小红三位同学住在A，B，C三个住宅区，如图所示（A，B，C在同一条直线上），且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆接送车去上学，由于车位紧张，准备在周围只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在哪里并说明理由．。

数学动点问题是一个常见的题目类型，以下是一例子：
例题：数轴上有线段AB=8（单位长度），CD=12（单位长度），线段AB以6单位/秒，CD以2单位/秒同时向右运动，那么从点B与点C重合到点A与点D重合经过多少秒。

分析：
1. 首先，我们需要理解题目中的基本概念。

在这个问题中，线段AB和CD都在移动，因此它们的位置是不断变化的。

2. 我们需要找出点B和点C重合的时间。

当它们重合时，线段AB 和CD的长度相等，即8单位长度和12单位长度。

3. 接下来，我们需要找出点A和点D重合的时间。

当它们重合时，线段AB和CD的长度再次相等，即8单位长度和12单位长度。

4. 最后，我们需要计算这两个时间之间的差值，即从点B与点C 重合到点A与点D重合经过的秒数。

解答：
1. 当点B与点C重合时，线段AB和CD的长度相等，即8单位长度和12单位长度。

由于AB以6单位/秒运动，CD以2单位/秒运动，因此需要时间t1=(12-8)/(6-2)=1 秒。

2. 当点A与点D重合时，线段AB和CD的长度再次相等，即8单位长度和12单位长度。

由于AB以6单位/秒运动，CD以2单位/秒运动，因此需要时间t2=(12+8)/(6-2)=5 秒。

3. 从点B与点C重合到点A与点D重合经过的秒数为t=t2-t1=5-1=4 秒。

答案：从点B与点C重合到点A与点D重合经过4秒。

初一线段动点问题解题技巧
初一线段动点问题是初中数学中的一个重要知识点，主要涉及
到线段的长度、位置等变化问题。

解题时，我们可以采用以下技巧：
1. 确定变量，首先，我们需要确定线段的两个端点的坐标，并
引入一个表示动点的变量，通常用字母表示。

例如，若线段的两个
端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，动点P的坐标为(x, y)，我们
就可以用变量(x, y)来表示动点P的位置。

2. 建立方程，根据题目所给条件，我们可以建立关于动点P的
方程。

例如，如果题目要求动点P到线段AB的距离为定值，我们可
以利用距离公式建立方程。

如果题目要求动点P满足某种条件，也
可以根据条件建立相应的方程。

3. 求解问题，根据建立的方程，我们可以利用代数运算、方程
组的解法等方法，求解动点P的坐标或满足条件的范围。

4. 分类讨论，有时候，线段动点问题可能会涉及到不同情况的
讨论，比如动点P在线段AB的延长线上的位置、线段AB的中点等
情况，我们需要根据具体情况进行分类讨论，分别建立方程并求解。

5. 检查答案，最后，我们需要将求得的动点坐标代入原题中，检查是否满足题意，确保答案的正确性。

总的来说，初一线段动点问题的解题技巧主要包括确定变量、建立方程、求解问题、分类讨论和检查答案等步骤。

通过灵活运用这些技巧，我们可以更好地解决线段动点问题。

七年级—线段的动点问题（含答案）一．解答题（共40小题）1．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点C在原点位置，点B表示的数为﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含义为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如B﹣C为﹣4﹣0＝﹣4．A﹣B B﹣C D﹣C E﹣D F﹣E10﹣4﹣1x2（1）在数轴上表示出A，D两点；（2）当点A与点F的距离为3时，求x的值；（3）当点M以每秒1个单位长度的速度从点B出发向左运动时，同时点N从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，到达点C后立即以同样的速度反方向运动，那么出发秒钟时，点D 到点M，点N的距离相等（直接写出答案）．2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B 之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．3．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s 的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？5．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由6．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ＝AB；（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．7．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．8．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，①AB＝cm．②求线段CD的长度．（2）①点B沿点A→D运动时，AB＝cm；②点B沿点D→A运动时，AB＝cm．（用含t的代数式表示AB的长）（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化，若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．9．如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．10．已知线段AB＝a，MN＝b（a，b为常数，且a＞2b），线段MN在直线AB上运动（点B、M在点A的右侧．点N在点M的右侧）．点P是线段AB的中点，点Q是线段MN的中点．（1）如图1，当点N与点B重合时，求线段PQ的长度（用含a，b的代数式表示）；（2）如图2，当线段MN运动到点B、M重合时，求线段AN、PQ之间的数量关系式；（3）当线段MN运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段AN、BM、PQ三者之间的数量关系式．11．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为﹣6，3，点P是射线AB上一个动点（不与点A，B重合）．M 是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为．（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．12．已知点C在线段AB上，且AC＝6，BC＝4，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）如果AC＝a，BC＝b，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？（3）如果我们这样叙述它：“已知点C与线段AB在同一直线上，线段AC＝6，BC＝4，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．13．如图，C是线段AB上一点，AB＝20cm，BC＝8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．已知P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点P运动时间为xs．（1）AC＝cm；（2）当x＝s时，P、Q重合；（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．14．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t＝3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变．请解答下面问题：（1）B、C两点之间的距离是米．在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为米/分．（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？（3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？（4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）15．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN 的长度吗？并说明理由；16．（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．17．如图，点B、C是线段AD上的两点，点M和点N分别在线段AB和线段CD上．（1）当AD＝8，MN＝6，AM＝BM，CN＝DN时，BC＝；（2）若AD＝a，MN＝b①当AM＝2BM，DN＝2CN时，求BC的长度（用含a和b的代数式表示）②当AM＝nBM，DN＝nCN（n是正整数）时，直接写出BC＝．（用含a、b、n的代数式表示）18．如图所示．（1）若线段AB＝4cm，点C在线段AB上（如图①），点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN长．（2）若线段AB＝acm，点C在线段AB的延长线上（如图②），点M、N分别是线段AC、BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请写出你的结论，并说明理由．19．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照如图回答下列问题：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度到达点B，那么终点B表示的数是，A、B两点间的距离是．（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度到达点B，那么终点B表示的数是；A、B两点间的距离为．（3）一般地，如果A点表示的数为a，将A点向右移动x个单位长度，再向左移动y个单位长度到达点B，请你求出终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？20．已知多项式﹣2x2y﹣a+3xy2﹣4y+5次数是4，项数是b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b．（1）填空：a＝，b＝，并在数轴上标出A、B两点的位置．（2）数轴上是否存在点C，C点在A点的右侧，且点C到A点的距离是点C到B点的距离的2倍？若存在，请求出点C表示的数；若不存在，请说明理由．（3）点D以每秒2个单位的速度从A点出发向左运动，同时点E以3个单位每秒的速度从B点出发向右运动，点F以每秒4个单位的速度从O点出发向左运动．若P为DE的中点，DE＝16，求PF的长．21．如图，M是定长线段AB上一个定点，点C在线段AM上，点D在线段BM上．点C、点D分别从点M、点B出发，分别以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA左运动，运动方向如箭头所示．（1）若AB＝20cm，当点C、D运动了2s时，求AC+MD的长度；（2）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，若AM＝ncm，求AB的长；（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且MN+BN＝AN，求的值．22．如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm．（1）AC＝cm；（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s 的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？23．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．（1）分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；（2）当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；（3）若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ＝8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．24．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数﹣24，﹣10，8，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：P A＝，PC＝；（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由25．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A，B是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．（1）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是，A，B两点间的距离为（2）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动68个单位长度，再向左移动156个单位长度，那么终点B 表示的数是，A，B两点间的距离是．（3）一般地，如果A点表示数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动P个单位长度，那么，请你猜想终点B表示什么数？A，B两点间的距离为多少？26．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是；点P表示的数是（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．27．在数轴上点A表示的数是8，B是数轴上一点，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）①写出数轴上点B表示的数，②写出点P表示的数（用含t的代数式表示）（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速前进，若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？（3）在（2）的情况下，若M为AP的中点，N为PB的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请画出图形，并求出线段MN的长．．28．如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为﹣2、0、3、12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）当t＝0秒时，AC的长为，当t＝2秒时，AC的长为．（2）用含有t的代数式表示AC的长为．（3）当t＝秒时AC﹣BD＝5，当t＝秒时AC+BD＝15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC＝2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．29．如图，数轴上的点O和A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）线段BA的长度为；（2）当t＝3时，点P所表示的数是；（3）求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；（4）在运动过程中，若OP中点为Q，则QB的长度是否发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请直接用含t的代数式QB的长度．30．（1）观察思考如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．31．在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝15cm，AB＝30cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM 方向以1cm/s的速度匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CO匀速向点O运动（点Q运动到点O时停止运动）．如果两点同时出发，请你回答下列问题：（1）已知点P和点Q重合时P A＝AB，求OP的长度；（2）在（1）题的条件下，求点Q的运动速度．32．如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8．（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一点，且M为P A的中点，N为PB的中点．请你画出图形，观察MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．33．如图，已知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）数轴上点B对应的数是，点P对应的数是（用t的式子表示）；（2）动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点P可以追上点Q？（3）M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长．34．如图，射线OM上有三点A、B、C，满足OA＝20 cm，AB＝60 cm，BC＝10 cm，点P从点O出发，沿OM方向以1 cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，＝．（2）若点Q运动速度为3 cm/秒，经过秒P、Q两点相距70 cm．35．如图，先在数轴上画出表示点A的相反数的点B，再把点A向右移动10个单位，得到点C．（1）点B表示的数为；点C表示的数为；B、C两点之间的距离为个单位长度；（2）动点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，动点Q从C点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，若点P、Q相遇在点D，求点D对应的数．（3）动点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向左运动，动点Q从C点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，若点Q在点E处追上点P，则求点E对应的数．36．阅读下列材料：点A、点B在数轴上分别表示两个有理数，A、B两点之间的距离表示为AB．（1）当点A在原点时，若点B表示的数为5时，则AB＝|5﹣0|＝5；若点B表示的数为﹣5时，则AB ＝|﹣5﹣0|＝|﹣5|＝5；若点B表示的数为a时，则AB＝|a﹣0|＝|a|，当a＞0，AB＝a，当a＝0，AB＝0，当a＜0，AB＝﹣a（2）当A、B都不在原点时，A表示的数为a，B表示的数为b，则AB＝|a﹣b|，当a﹣b＞0时，AB＝|a ﹣b|＝a﹣b；当a﹣b＝0时，AB＝|a﹣b|＝0；当a﹣b＜0时，AB＝|a﹣b|＝﹣（a﹣b）．根据上述材料，回答下列问题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：（1）化简|a|＝|c|＝|a+b|＝|a﹣b|＝（2）若点C表示的数为x，当|x+1|+|x﹣2|取得的值最小时，x的取值范围？37．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是；（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．①用代数式表示A、B两点之间的距离；②如果|AB|＝2，求x值．38．如图，有两段线段AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上运动．点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15（1）点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是，线段BC＝（2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，若BC＝6（单位长度），求t的值（3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，设M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为．39．如图，点C在线段AB上，AC＝12厘米，CB＝8厘米，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AB＝a厘米，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？用一句简洁的语言表述你发现的规律；（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝b厘米，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．40．如图，A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝4OA，点M以每秒2个单位长度的速度从点A 开始向左运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动（点M和点N同时出发）（1）数轴上点B对应的数是线段AB的中点C对应的数是（2）经过几秒，点M，点N到原点的距离相等（3）当M运动到什么位置时，点M与点N相距20个单位长度？七年级—线段的动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点C在原点位置，点B表示的数为﹣4，下表中A﹣B，B﹣C，D﹣C，E﹣D，F﹣E的含义为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如B﹣C为﹣4﹣0＝﹣4．A﹣B B﹣C D﹣C E﹣D F﹣E10﹣4﹣1x2（1）在数轴上表示出A，D两点；（2）当点A与点F的距离为3时，求x的值；（3）当点M以每秒1个单位长度的速度从点B出发向左运动时，同时点N从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，到达点C后立即以同样的速度反方向运动，那么出发1或4秒钟时，点D到点M，点N的距离相等（直接写出答案）．【解】（1）如图所示，∵点B表示的数为﹣4，点C在原点位置∴A：6，D：﹣1；（2）①当点F在点A左侧时，则点F表示的数为6﹣3＝3，点E表示的数为3﹣2＝1，∴x＝1﹣（﹣1）＝2；②当点F在点A右侧时，则点F表示的数为6+3＝9，点E表示的数为9﹣2＝7，∴x＝7﹣（﹣1）＝8；（3）设出发x秒后，点D到点M，点N的距离相等，由题意得：﹣1﹣（﹣4﹣x）＝6﹣3x﹣（﹣1）或﹣1﹣（﹣4﹣x）＝3x﹣6﹣（﹣1）解得：x＝1或x＝4故答案为：1或4．2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B 之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是15；点C表示的数是3；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．【解】（1）点B表示的数是﹣3+18＝15；点C表示的数是﹣3+18×＝3．故答案为：15，3；（2）点P与点Q相遇前，4t+2t＝18﹣6，解得t＝2；点P与点Q相遇后，4t+2t＝18+6，解得t＝4；（3）假设存在，当点P在点C左侧时，PC＝6﹣4t，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴6﹣4t+2t＝4，解得t＝1．此时点P表示的数是1；当点P在点C右侧时，PC＝4t﹣6，QB＝2t，∵PC+QB＝4，∴4t﹣6+2t＝4，解得t＝．此时点P表示的数是．综上所述，在运动过程中存在PC+QB＝4，此时点P表示的数为1或．3．定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．【解】（1）当DP＝2PE时，DP＝DE＝10cm；当2DP＝PE时，DP＝DE＝5cm．综上所述：DP的长为5cm或10cm．（2）①根据题意得：（1+2）t＝15，解得：t＝5．答：当t＝5秒时，点P与点Q重合．②（I）点P、Q重合前：当2AP＝PQ时，有t+2t+2t＝15，解得：t＝3；当AP＝2PQ时，有t+t+2t＝15，解得：t＝；（II）点P、Q重合后，当AP＝2PQ时，有t＝2（t﹣5），解得：t＝10；当2AP＝PQ时，有2t＝（t﹣5），解得：t＝﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3秒、秒或10秒时，点P是线段AQ的三等分点．4．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度；（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，其他条件不变，求MN的长度；（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s 的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【解】（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC＝5厘米，CN＝BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC，CN＝BC，∴MN＝CM+CN＝AC+BC＝a；（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t＝；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t＝；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或或．5．【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点是这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝4或6或8cm；【解决问题】（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由【解】（1）如图，当C是线段AB的中点，则AB＝2AC，∴线段的中点是这条线段的“巧点”．故答案为：是；（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，∴AC＝12×＝4cm或AC＝12×＝6cm或AC＝12×＝8cm；故答案为：4或6或8；（3）t秒后，AP＝2t，AQ＝12﹣t（0≤t≤6①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除．②当P为A、Q的巧点时，Ⅰ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅱ．AP＝AQ，即，解得s；Ⅲ．AP＝AQ，即，解得t＝3s；③当Q为A、P的巧点时，Ⅰ．AQ＝AP，即，解得s（舍去）；Ⅱ．AQ＝AP，即，解得t＝6s；Ⅲ．AQ＝AP，即，解得s．6．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝10，线段AB的中点表示的数为3；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣2+3t；点Q表示的数为8﹣2t．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ＝AB；。

线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．模块一：线段的动点问题1．主要分析步骤：（1）数形结合，画图；（2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；（3）根据题中的等量关系列方程，并解方程．2．动点问题求解的几个辅助工具：（1）数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值；②两点间的距离=右端点表示的数-左端点表示的数．例如：a ，b 两点的距离可表示为b a -，也可表示为||a b -或者||b a -．特别地，||a 可以看成a 和0两点的距离，||b 可以看成b 和0两点的距离，如果||||a b =，那么有a b =或a b =-．（2）点在数轴上运动时，满足左减右加一个点表示的数为a ，若向左运动b 个单位后表示的数为a b -；一个点表示的数为a ，若向右运动b 个单位后所表示的数为a b +．（3）数轴上线段中点公式：如图，线段ab 的中点所表示的数是a b +2．模块二：动线段问题模块一线段的动点问题已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一动点，对应数为x.（1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x 值，若不存在，请说明理由．（3）若A 、B 点和P 点（P 点在原点）同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P 为线段AB 的中点？第几分钟的时候P 到A 和B 的距离相等？学习是件很有意思的事（1）∵点P 为线段AB 的三等分点，∴AP AB 1=3或BP AB 1=3①当AP AB 1=3时，得到2=2x+，得x =0②当BP AB 1=3时，得到x 4-=2，得x =2∴P 对应的数为0或2．（2）假设存在点P ，则PA =+2x ，PB x =-4，∴||||x x +2+-4=10解得，x =-4或x =6．（3）①设经过t 分钟后，P 为AB 的中点则A 表示的数为t -2-，B 表示的数为t 4-2，P 表示的数为t -，则由题意得，t t t -2-+4-2=-2，得到t =2.②设经过x 分钟后，P 到A 和B 的距离相等.则A 表示的数为x -2-，B 表示的数为x 4-2，P 表示的数为x -，∴PA x x =-2-+=2，PB x x x=4-2+=4-∴||x 4-=2解得x =2或x =6．已知数轴上顺次有A 、B 、C 三点，分别表示数a 、b 、c ，并且满足()2a +|b +|=+1250，b 与c 互为相反数．两只电子小蜗牛甲、乙分别从A ，C 两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒．（1）求A 、B 、C 三点分别表示的数，并在数轴上表示A 、B 、C 三点（2）运动多少秒时，甲、乙到点B 的距离相等？（3）当点B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点C 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后B 点到点A 、点C的距离相等？（1）∵()2a +|b +|=+1250，∴a +12=0，b +5=0，解得a =-12，b =-5.又∵b 与c 互为相反数，∴c =5，∴A 、B 、C 三点分别表示的数是-12，-5，5．表示在数轴上是：学习是件很有意思的事（2）设运动x 秒时，甲、乙到点B 的距离相等．则甲所表示的数为x -12+2，乙所表示的数为x5-3则依题意，得x x 72=10-3-，解得x =3或x 17=5．答：运动3s 或者s 175时，甲、乙到点B 的距离相等．（3）设t 分钟后点B 到点A 和点C 的距离相等．则点A 所表示的数为t -12-5，点B 所表示的数为t -5-，点C 所表示的数为t 5-20．则由题意得，t t t t5-20+5+=-5-+12+5解得：t 3=23或者t 17=15．如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点，点C 表示的数为6，BC =4，AB =12.（1）写出数轴上点A 、B 表示的数；（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN CQ 1=3，设运动时间为()t t >0秒.t 为何值时，OM=2BN．（1）C Q 表示的数为6，4BC =，OB ∴=6-4=2，∴B 点表示2.AB =12Q ，AO ∴=12-2=10，A ∴点表示-10；（2）由题意得，点P 表示的数为t -10+6，点Q 表示的数为t 6-3，则点M 表示的数为t t -10-10+6=-10+32，又∵CN CQ 1=3，∴点N 表示的数为t 6-，由题意可得t t -10+3=24-，即t t -10+3=8-2，解得t 18=5或t =2．如图，A 是数轴上表示-30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点A 、B 、C 在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A 运动的速度是6个单位长度每秒，点B 和C 运动的速度是3个单位长度每秒.设三个点运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，线段AC =6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求PM PN 2-=2时t的值．学习是件很有意思的事（1）A 表示的数为t -30+6，B 表示的数为t 10+3，C 表示的数为t18+3||AC t =48-3=6，解得t =18或t =14（2）P 表示的数为t -15+3，M 表示的数为t 35+2，N 表示的数为t 39+2则PM t 3=-202，PN t 3=-242由题意得，PM PN 2-||t t 3=3-40--24=22解得，t 28=3或443．如图5-1，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．（1）如果点P 是AB 的中点，则x =________；（2）如图5-2，点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB OP MN-的值是否发生变化？请说明理由.图5-1图5-2（1）x =1；（2）AB OP MN-的值不发生变化.由题意，O 为原点，设运动时间为t 分钟.则P 表示的数为t ，A 表示的数为t -1-5，B 表示的数为t 20+3，则M 表示的数为t -1-42，N 表示的数为t 20+32．则AB t =25+4，OP t =，MN t =12+2，则AB OP MN-=2为定值．如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足20cm OA =，60cm AB =，10cm BC =（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发.学习是件很有意思的事（1）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？（3）当点P 运动到线段AB 上时，取OP 和AB 的中点E ，F ，求OB AP EF -的值．（1）设O 为原点，则A 表示的数为20，B 表示的数为80，C 表示的数为90，设经过的时间t 秒后，PA =2PB.则P 表示的数为t ，PA t =20-，PB t =-80，∴t t 20-=2-80，可得t =60或t =140当t =60秒时，可得Q 的速度为550÷60=6（cm/s ）或者130÷60=2（cm/s ）当t =140秒时，可得Q 的速度为550÷140=14（cm/s ）或者330÷140=14（cm/s ）（2）设经过t 秒，P 、Q 两点相距70cm ，则P 表示的数为t ，Q 表示的数为903t -，∴PQ t =90-4=70，解得t =5或t =40∴t =5或t =40时，满足P 、Q 两点相距70cm（3）P 表示的数为t ，E 表示的数为t 2，F 表示的数为50，EF 的长度为()t t 50-20<<802OB =80，AP t =-20，所以OB AP EF-=2．模块二动线段问题如图，数轴上线段2AB =（单位长度），4CD =（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.（1）问运动多少时8BC =（单位长度）；（2）当运动到8BC =（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式BD AP PC-=3，若存在，求线段PC 的长；若不存在，请说明理由．（1）A 表示的数为t -10+6，B 表示的数为t -8+6，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2由BC=8得到t t t-8+6-16+2=8⇒=4或t=2.（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16.（3）存在关系式BD AP PC-=3.设运动时间为t秒，设P原来表示的数为x，A表示的数为t6-10，B表示的数为t6-8，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2，P表示的数为x t+6BD t=28-8，AP x=+10，PC t x=8+-16代入BD APPC-=3，解得x t=15-8或者x t33=-82，所以PC t x=8+-16=1或12．模块一线段的动点问题已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为-20，B 点对应的数为100.（1）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；（2）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．（1）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20+4，由题得，t t 100-6=-20+4，可得t =12，此时C 对应的数为28（2）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20-4，由题得，t t 100-6=-20-4，可得t =60s ，此时D表示的数为-260．如图2-1，点A 、B 分别在数轴原点O 的左右两侧，且OA OB 1+50=3，点B 对应数是90．（1）求A 点对应的数；（2）如图2-2，动点M 、N 、P 分别从原点O 、A 、B 同时出发，其中M 、N 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P 向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t 秒，问当t 为何值时，点M 、N 之间的距离等于P 、M 之间的距离；（3）如图2-3，将（2）中的三动点M 、N 、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q 为线段MN 的中点，R 为线段OP 的中点，求RQ RO PN 22-28-5．图2-1图2-2图2-3（1）A 对应的数为-120．（2）M 表示的数为2t ，N 表示的数为t -120+7，P 表示的数为t90-8||MN t =-120+5||PM t t s =10-90⇒=14．（3）N 表示的数为t -120-7，M 表示的数为t -2，P 表示的数为t 90+8，Q 表示的数为t 9-60-2，R 表示的数为t 45+4(.)()()RQ RO PN t t t 22-28-5=105+85⨯22-2845+4-5210+15=0．如图3-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB AC 1=2，点C 对应的数是200．（1）若300BC =，求点A 对应的数；（2）如图3-2，在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足4MR RN =（不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）；（3）如图3-3，在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32QC AM -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．图3-1图3-2图3-3（1）∵BC AC 1=300=2∴AC =600∵C 对应的数是200，则A 对应的数为200-600=-400（2）设t 秒时，MR RN =4则P 表示的数为t -400-10，R 表示的数为t -400+2，Q 表示的数为t 200-5，∵M 为PR 的中点，∴M 表示的数为t-400-4∵N 为RQ 的中点，∴N 表示的数为t 3-100-2()MR t t t =-400+2--400-4=6（M 在左，R 在右）()RN t t t 37=-100---400+2=300-22（N 在右，R 在左）MR RN t t t s 7⎛⎫=4⇒6=4⨯300-⇒=60 ⎪2⎝⎭.∴经过s 60时满足MR RN =4（3）设运动时间为t 秒，则P 表示的数为t -800-10，Q 表示的数为t -5.M 为PQ 的中点，则M 表示的数为t t t -800-10-515=-400-22.()QC t t =200--5=200+5，t AM 1515⎛⎫=-400--400-= ⎪22⎝⎭∴()QC AM t 3315-=200+5⨯-=300222为定值.模块二动线段问题如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点同时从P 、B 出发分别以1cm/s 和2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）．已知C 、D 运动到任一时刻时，总有PD AC =2．（1）线段AP 与线段AB 的数量关系是______________；（2）若Q 是线段AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求证：AP PQ =；（3）若C 、D 运动5秒后，恰好有CD AB 1=2，此时C 点停止运动，D 点在线段PB 上继续运动，M 、N 分别是CD 、PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB 的值．（1）根据C 、D 的运动速度知：2BD PC =，PD AC =2Q ，∴()BD PD PC AC +=2+，即2PB AP =，∴点P 在线段AB 上的13处，即AB AP =3.故答案为：AB AP =3；（2）证明：如图1，由题意得AQ BQ >，AQ AP PQ ∴=+，又AQ BQ PQ -=Q ，AQ BQ PQ ∴=+，AP BQ ∴=.由（1）得，AP AB 1=3，PQ AB AP BQ AB 1∴=--=3.（3）运动5秒时，cm PC =5，cm BD =10.由（1）可知AP AB 1=3设AP x =，则AC AP PC x =-=-5，PB x =2，PD PB BD x =-=2-10.CD AB 1=2Q ，()x x x x 1∴+2-10=⨯3⇒=102则D 仍为动点，设A 为原点AB AP =3=30Q ∴B 表示的数为30，设运动了t 秒（t >5）则D 表示的数为t 30-2，因为M 为CD 的中点，所以M 表示的数为t 5+30-22因为N 为PD 的中点，所以N 表示的数为t 10+30-22t t MN 10+30-25+30-25=-=222MN AB 512∴==3012为定值.。