一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案)

一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。

连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。

3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。

学生做题前请先回答以下问题问题1：什么是存在性问题？问题2：一次函数背景下解决存在性问题的思考方向是什么？问题3：等腰直角三角形存在性根据什么分类？如何确定点的位置？一次函数之等腰直角三角形存在性（一）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P是第四象限内一点，且△ABP 为等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题2.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D是线段OA的中点，点P 是第一象限内一点，且使△BDP是等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A. B.C.(2，8)，(8，2)，(4，4)D.(2，5)，(5，3)，(4，4)答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题3.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中点．点P 是平面内一点，若△ABP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题4.如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△AOG的面积为△ABC面积的．（1）过点C作CE⊥AD于E，延长CE交AB交于F，则点F的坐标为( )A.(0，2)B.(0，4)C.(2，0)D.(4，0)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与几何综合5.（上接试题4）（2）在（1）的条件下，点P是平面内一点，若△CFP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，则点P的坐标为( )A.(4，4)，(-2，2)B.(6，8)，(8，6)，(4，4)C.(6，8)，(8，6)，(-2，2)D.(6，8)，(8，6)，(4，4)，(-6，4)，(-4，-8)，(-2，2)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数之存在性问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：回顾本套试题，主要训练的什么内容？问题2：等腰直角三角形存在性的特征是什么？分类标准是什么？对应的操作如何进行？问题3：对比等腰三角形存在性和等腰直角三角形存在性，它们有什么相同和不同？请分条描述．第 11 页共 11 页。

一次函数之矩形存在性问题问题背景研究一个一次函数$f(x)=kx+b$，其中$k$和$b$是常数。

现在有一个问题：对于任意$k$和$b$，是否存在一条与$x$轴和$y$轴分别相交于四个整点的矩形，使得这个矩形内部恰好有两个整点落在$f(x)$上？问题解答我们可以分两步来回答这个问题。

首先，回忆一下函数图像中与$x$轴和$y$轴相交于整点的情形。

不难发现，$f(x)=kx+b$与$x$轴相交于$x=-\frac{b}{k}$，与$y$轴相交于$(0,b)$。

因此，只要存在一个解，满足$-\frac{b}{k}$和$0$都是整数，即可得到一条相交于四个整点的直线。

其次，我们来看如何确定这个直线是否与$f(x)$恰好有两个整点的交点。

由于$f(x)$是一次函数，在$x$增大的过程中，它的取值是连续变化的。

因此，如果$f(x)$在某个区间内恰好取到了两个整数，那么在这个区间内必然存在一个值$x_0$，使得$f(x_0)$就是这两个整数的平均值。

因此，我们只需要找到这样一个区间，使得这个区间的两个整数均落在$f(x)$上，即可得到一条与$f(x)$恰好有两个整点的相交点。

综上，我们可以得出结论：对于任意$k$和$b$，都存在一条与$x$轴和$y$轴分别相交于四个整点的矩形，使得这个矩形内部恰好有两个整点落在$f(x)$上。

结论说明这个结论具有较强的普遍适用性。

首先，由于我们并没有对$k$和$b$的取值范围进行限制，因此这个结论适用于所有一次函数$f(x)=kx+b$的情况。

其次，由于我们利用了$f(x)$的连续性，因此这个结论也适用于所有连续函数的情况。

最后，由于我们没有涉及到任何特定的整点或整数的性质，因此这个结论也是普遍成立的。

参考文献无。

一次函数综合之3—存在性问题之等腰三角形【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标．（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．如图，先求C1、C2的坐标：C3、C4同理可求，下求C5．【代数法】表示线段构相等．【解析法】【方法总结】几何法：（1）两圆一线作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）分类讨论①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；（4）列出方程求解．典例剖析例1 直线y＝﹣x+6与x轴相交于点B，与y轴相交于点A．（1）求直线AB与坐标轴围成的面积；（2）在x轴上一动点P，使△ABP是等腰三角形，求出所有P点的坐标．例2 如图，直线l1：y＝﹣3x+3交y轴于C，与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），且直线l1、l2交于点B（2，m）．（1）求m的值和直线l2的函数表达式；（2）若点Q为y轴上一点，且△BDQ为等腰三角形，求出点Q的坐标．跟踪训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．（1）求一次函数y＝k1x+b的解析式；（2）在y轴上求一点P，使△POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．2．一次函数y1＝kx+b的图象l1经过点A（2，﹣12）并且与y轴相交于点B，直线l2：y2＝﹣x+3与y轴交于点C，点C与点B关于x轴对称，y2与x轴交于点D，y1与y2相交于点E．（1）求直线l1的解析式；（2）请在y轴上找一点P，使得△BDP为等腰三角形，求出此时点P的坐标．过关精练1．已知如图，点A（6，0），点B（0，8）．（1）求直线AB的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△P AB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+b与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，4），与直线l2：y＝x相交于点C．（1）求直线l1的函数表达式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△POC是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．3．一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，9），并与直线y＝x相交于点B，与x轴相交于点C，其中点B的横坐标为3．（1）求B点的坐标和k，b的值；（2）在y轴上是否存在点P使△P AB是等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A，B，且OA＝8，OB＝6．（1）求直线AB的解析式．（2）在x轴上是否有在点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）在x轴上是否存在点N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接写出点N的坐标；如果不存在，说明理由．。