2020-2021学年度重庆市高考第二次诊断性考试提前模拟数学(文)试题及答案

故 0.22 10a 2 ，解得 a 0.03 ； ……6 分 15
（2）由（1）知最后三组的频率分别为 1 ，2 ，1 ，故所抽取的 6 人中最后三组分别有 3 人、 2 人、1人， 5 15 15
从中随机抽出 2 人，有 15 种不同结果，其中两人来自同一组的结果有 4 种，所求概率为 4 . …12 分 15
， xP
5 2
p
，设点
A(0，1) ，由题知
AP
AF
，
即
1 p
yP 5
p
1
=
-
1
，
yP
-
5p ， p 2
5 ，故所求距离为 5 p p 4
5
．
5
22 5
三、解答题
22
17．（12 分）
解：（1） f (x) sin 2x
3(1 cos 2x)
3
2 sin(2 x
)
，
……2 分
3
由 2k ≤ 2x ≤2k 得 k ≤ x ≤ k 5 ， ……4 分
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 5 月调研测试卷 文科数学 参考答案
一、选择题
1～6 BCBBDB
7～12 CBABBA
第 7 题提示：由题知， b a 2b b a 1≥ 2 b a 1
a 2b a 2b
a 2b
2 1 ，当且仅当 b a a 2b
即 a 2 2 2，b 2 2 时等号成立，故选 C．
y22
1，
相减得
x1
x2 2
( y1
y2 ) k AB
ห้องสมุดไป่ตู้
0
，由（1）知
F2 (1，0) ，故

3
③已知直线 l1：ax+3y-1=0 ， l2：x+by+1=0，则 l1 l 2 的充要条件是 a
3；
b
④已知 a>0,b>0，函数 y
2ae x
b 的图象过点 （ 0,1），则 1
1
的最小值是
4
2 ，其中正确命题的序号是。
ab
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分 12 分）
（ I） 求 a， b 的值；
（Ⅱ）若当 x∈ [0,+ ∞ )是，恒有 f x ≥ k g x 成立，求 k 的取值范围；
若要功夫深，铁杵磨成针！
（Ⅲ）若
5 =2.2361，试估计
5 ln 的值（精确到
0.001）
4
请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。答题时用
若要功夫深，铁杵磨成针！
最新 高三第二次模 拟考试
数学试题（文）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共
150 分，考试时间 120 分钟。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
注意事项： 1. 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂
在其他答案标号。 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1.集合 U= x Z | x( x 7) 0 ， A={1,4,5} ， B={2,3,5}，则 A (CU B) =

2020年重庆市名校联盟高考数学二诊试卷(文科)(A卷)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|−2≤x<1}，B={x|0<x≤2}，则A∩B=()A. {x|−2≤x≤2}B. {x|−2≤x<0}C. {x|0<x<1}D. {x|1<x≤2}2.若复数z=2i+4i−1，则z=()A. −1+3iB. −1−3iC. 1+3iD. 1−3i3.观察下列不等式：1+122<32，1+122+132<53，1+122+132+142<74…照此规律，第五个不等式为()A. 1+122+132+142+152+162<116B. 1+122+132+142+152+162<136C. 1+122+132+142+152<95D. 1+122+132+142+152+162+172<137E. 1+122+132+142+152+162<106F. 1+122+132+142+152+162<1154.三个数a=log20.7，b=0.32，c=20.3的大小关系为()A. a<b<cB. b<a<cC. a<c<bD. b<c<a5.某教育机构随机抽取某校20个班级，调查各班级关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据按照[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]进行分组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则将所得数据绘制成的茎叶图可能是()A. B.C. D.6.某多面体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该多面体的表面积为()A. 2+4√2+2√3B. 2+2√2+4√3C. 2+6√3D. 8+4√27.已知向量a⃗=(√3,3)在向量b⃗ =(n,1)方向上的投影为3，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°8.已知函数的图象向左平移π6个单位后得到g(x)=cos(2x+π6)的图象，则φ的值为()A. −2π3B. −π3C. π3D. 2π39.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B1所成的夹角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘10.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为19，则A与B都发生的概率的取值范围是()A. [0,89]B. [19,59]C. [23,89]D. [0,49]11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，虚轴的一个端点为A ，若AF 与双曲线C 的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为( )A. √2+1B. √5C. 1+√52D. √312. 已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意实数x 都有f ′(x )=e x (2x +3)+f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)=1，对于函数f (x )，下列说法正确的是( )A. 无极值B. 有极大值，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 既有极大值又有极小值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 等差数列{a n }中，已知a 4+a 5=8，则S 8= ______ ．14. 已知圆C ：(x −1)2+(y −a)2=16，若直线ax +y −2=0与圆C 相交于A ，B 两点，且CA ⊥CB ，则实数a 的值为_______．15. 已知三棱锥A −ABC 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD,BC =CD =4,AB =AD =2√3，则三棱锥A −BCD 的外接球的大圆面积为________．16. 已知函数f(x)=x |x 2−a |，若存在x ∈[1,2]，使得f(x)<2，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 3=3S 2,a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =3n−1，令 c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n18.已知底面为正三角形的三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别是A1B1，AA1的中点，F是AB边上的点，且FB=3AF，连接EF、DB、C1B、C1D.(Ⅰ)求证：平面BC1D⊥平面ABB1A1；(Ⅱ)在线段AC上，是否存在一点M，使得平面FEM//平面BC1D，若存在，请找出点M的位置，并证明平面FEM//平面BC1D，若不存在，请说明理由．19.某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下：赞成反对总计教师120学生40总计280120(1)请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；(2)按照分层抽样从“反对”的人中先抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率．20. 已知函数f(x)=2e x−1−(a +2)x ，g(x)=−a(1+lnx)(a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x ∈[1,+∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．21. 在直角坐标系xOy 中，设点A(−1,0)，B(1,0)，Q 为△ABC 的外心．已知CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OG//AB ． (1)求点C 的轨迹Γ的方程(2)设经过f(0,√2)的直线交轨迹Γ与E ，H ，直线EH 与直线l ：y =32√2交于点M ，点P 是直线y =√2上异于点F 的任意一点．若直线PE ，PH ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问是否存在实数t ，使得1k 1+1k 2=tk 3，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．22. 在平面直角坐标系中，曲线C 1：{x =3+3cosαy =2sinα (α为参数)经过伸缩变换{x’=x3y’=y 2后的曲线为C 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 2的极坐标方程；(2)设曲线C 3的极坐标方程为ρsin(π6−θ)=1，且曲线C 3与曲线C 2相交于P ，Q 两点，求|PQ|的值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|−2≤x<1}，B={x|0<x≤2}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：C．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：本题考查复数的四则运算和共轭复数的概念，属基础题解：z=2i+4i−1=(2i+4)(−i−1)(i−1)(−i−1)=−2−6i2=−1−3i，则z=−1−3i．故选A．3.答案：A解析：本题考查归纳推理及等差数列的通项公式，解题关键是把每一个不等式与之对应的自然数联系起来，得到规律．解析：解：每个式子左边的项数就是最后一项分母的底数，也是右边分数的分母，右边分数的分母组成以3为首项，2为公差的等差数列，因此第n个不等式是1+122+⋯+1(n+1)2<3+(n−1)×2n+1=2n+1n+1，所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162<116．故选A．4.答案：A解析：本题考查利用指数对数函数的性质比较大小，属基础题．根据指数对数函数的性质可得0<b<1，a<0，c>1，进而得到结论．解：根据指数函数y=0.3x是单调减函数，0<b=0.32<0.30=1，∴0<b<1；根据对数函数y=log2x是单调增函数，，∴a<0；根据y=2x是单调增函数，0.3>0，∴c=20.3>20=1，即c>1，所以a<b<c．故选A．5.答案：A解析：题主要考查茎叶图的识别和判断，利用频分布直方图计算相应的频数是解决本题的关键，比较基础．根据频率分布直方图，分别计算每一组的频数即可得到结论．解析：解：由频率分布直方图可知：[0,5)的频数为20×0.01×5=1个，[5,10)的频数为20×0.01×5=1个，[10,15)频数为20×0.04×5=4个，[15,20)频数为20×0.02×5=2个，[20,25)频数为20×0.04×5=4个，[25,30)频数为20×0.03×5=3个，[30,35)频数为20×0.03×5=3个，[35,40]频数为20×0.02×5=2个，则对应的茎叶图为A，故选A．6.答案：A解析：解：由题意可知几何体的三棱锥，是正方体的一部分，棱长为2，所以，几何体的表面积为：12×2×2+2×12×2×2√2+12×2√2×√(2√2)2−(√2)2=2+4√2+2√3．故选：A．判断几何体的形状，画出直观图，然后求解表面积．本题考查空间几何体的三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．7.答案：A解析：本题考查向量的投影，属于简单题．向量a⃗=(√3,3)在向量b⃗ =(n,1)方向上的投影为|a⃗|cosθ=3，求出|a⃗|，即可求解．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，由题知|a⃗|cosθ=3，又|a⃗|=√(√3)2+32=2√3，∴cosθ=32√3=√32，∵θ∈[0°,180°]，∴θ=30°．故选A．8.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和诱导公式，属于基础题．利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和诱导公式即可求得φ的值．解：函数的图象向左平移π6个单位长度，得到函数的图象，又，所以，|φ|<π，则φ=π3，故选C ．9.答案：B解析：本题主要考查的是异面直线所成角的求法，属于基础题．可根据正方体的特征得出异面直线AC 与A 1B 1所成的角等于直线AC 与AB 所成的角，即可求解． 解：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，由于AB//A 1B 1，所以异面直线AC 与A 1B 1所成的角等于直线AC 与AB 所成的角， 即∠BAC 为异面直线AC 与A 1B 1所成的角(或其补角)， 在△ABC 中，∠BAC =45°，故异面直线AC 与A 1B 1所成的夹角为45°， 故选B ．10.答案：D解析：本题主要考查了对立事件、独立事件发生的概率计算及基本不等式的运用，属于中档题． 设事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=x ，P(B)=y ，则P(AB)=P(A)P(B)，代入由基本不等式求解即可．解：设事件A ，B 发生的概率分别为P(A)=x ，P(B)=y ， 则P(AB)=P(A)P(B)=(1−x)·(1−y)=19，即1+xy =19+x +y ≥19+2√xy ，当且仅当x =y 时取“=”， 所以√xy ≤23或√xy ≥43(舍去)， 所以0≤xy ≤49．所以P(AB)=P(A)·P(B)=xy ∈[0,49]． 故选D ．11.答案：C解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查运算能力，属于中档题．设出F(c,0)，A(0,b)，双曲线C 的一条渐近线y =ba x ，运用两点的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值． 解：由题意可设F(c,0)，A(0,b)，若AF 与双曲线C 的一条渐近线y =ba x 垂直， 可得b−00−c ⋅ba =−1，即为ac =b 2，由b 2=c 2−a 2， 即有c 2−ac −a 2=0， 由e =c a 可得e 2−e −1=0， 解得e =1+√52(负的舍去)，故选：C ．12.答案：D解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值． 解：因为对任意实数x 都有f ′(x)=e x (2x +3)+f(x)，即f′(x )−f (x )e x=2x +3，所以[f (x )e x]′=2x +3，即f (x )e x=x 2+3x +c ，c 为常数，所以f (x )=(x 2+3x +c )e x ． 又因为f(0)=1，所以f (0)=(02+3×0+c )e 0=1，解得c =1，所以f (x )=(x 2+3x +1)e x ，则f′(x )=(x 2+5x +4)e x ．当x ∈(−∞, −4)∪(−1, +∞)时，f′(x )>0，当x ∈(−4, −1)时，f′(x )<0， 所以函数f(x)在(−∞, −4),(−1, +∞)上单调递增，在(−4, −1)上单调递减，所以x=−4是极大值点，x=−1是极小值点，所以函数f(x)既有极大值又有极小值．故选D．13.答案：32解析：解：∵等差数列{a n}中a4+a5=8，=4(a1+a8)∴S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)=32故答案为：32由等差数列的性质和求和公式可得S8=4(a4+a5)，代值计算可得．本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14.答案：−1解析：本题考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系，由题求出圆C的圆心，半径，由直线ax+y−2=0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，得到AB，由此利用圆心(1,a)到直线ax+y−2=0的距离=2√2，即可求出a，属中档题．为d=2解：由题知圆C的圆心为(1,a)，半径为r=4，∵直线ax+y−2=0与圆C相交于A，B两点，且CA⊥CB，∴AB=√42+42=4√2，=2√2，∴圆心(1,a)到直线ax+y−2=0的距离为d=√a2+1∴a=−1．故答案为−1．15.答案：9π解析：本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于难题．利用已知三棱锥A−BCD的特点AB=AC=AD，先确定△ABD的外心O，及外接圆的半径，然后证明O也是三棱锥A−BCD的外接球的球心，即可解答．解析：解：∵如图取BD的中点E，连接AE，CE．则AE⊥BD，CE⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AE⊥平面BCD，又∵CE⊂平面BCD，∴AE⊥CE．设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．∵AB=AD，∴圆心O在AE所在的直线上．∴r2=BE2+OE2=BE2+(r−AE)2．∵在Rt△BCD中，BD=√16+16=4√2，∴BE=EC=2√2．∴在Rt△ABE中，AE=√12−8=2，∴r2=8+(r−2)2，解得r=3．∴OE=1．在Rt△OEC中，OC=√OE2+EC2=3，∴OA=OB=OC=OD=3．∴点O是三棱锥A−BCD的外接球的球心，则球半径R=3．∴大圆面积S=πR2=9π．故答案为9π．16.答案：(−1,5)解析：本题考查由导数求函数的单调性、最值，求解不等式存在性问题，属于中档题．由题意可得f(x)<2可得−2<x3−ax<2，即为−x2−2x <−a<−x2+2x，等价为(−x2−2x)min<−a<(−x2+2x )max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a的范围．解：当x∈[1,2]时，f(x)=|x3−ax|，由f(x)<2可得−2<x3−ax<2，即为−x2−2x <−a<−x2+2x，设g(x)=−x2−2x ，导数为g′(x)=−2x+2x2，当x∈[1,2]时，g′(x)≤0，即g(x)递减，(可由单调性的定义得到)，可得g(x)min=−4−1=−5，即有−a>−5，即a<5；设ℎ(x)=−x2+2x ，导数为ℎ′(x)=−2x−2x2，当x∈[1,2]时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)递减，(可由减+减=减得到)，可得ℎ(x)max=−1+2=1.即有−a<1，即a>−1．综上可得，a的范围是−1<a<5．故答案为：(−1,5)．17.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则有{3a1+3×22d=3×(2a1+d)a1+(2n−1)d=2[a1+(n−1)d]+1，解得{a1=0d=1,所以a n=a1+(n−1)d=n−1；(2)由(1)知，c n=a n b n=(n−1)·3n−1，则T n=c1+c2+c3+⋯+c n=0×30+1×31+2×32+⋯+(n−1)·3n−1所以3T n=0×31+1×32+2×33+⋯+(n−2)·3n−1+(n−1)·3n，以上两式相减得：−2T n=31+32+⋯+3n−1−(n−1)·3n=3(1−3n−1)1−3−(n−1)·3n=1×3n−3−(n−1)·3n=(32−n)·3n−32，所以T n=(n2−34)·3n+34．解析：本题考查了等差数列通项公式，等差数列求和公式的运用，错位相减法求和，属于中档题．(1)根据，建立方程组，求出首项和公差即可得到数列{a n}的通项公式；(2)由(1)可得c n=a n b n=(n−1)·3n−1，然后用错位相减法求和即可得到答案．18.答案：证明：(Ⅰ)由题意可知，平面ABB1A1⊥平面A1B1C1，因为△A1B1C1为等边三角形，且D为A1B1的中点，故C 1D⊥A1B1.因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1，故C 1D⊥平面ABB1A1，因为C1D⊂平面BC1D，故平面BC1D⊥平面ABB1A1.(Ⅱ)当点M为线段AC的中点时，平面FEM//平面BC1D.如图，取AB中点O，连接CO，DO，取AC中点M，连接EM，MF，由三棱柱性质可知，四边形C1DOC为平面四边形，因为FB=3AF，且O为线段AB中点，故F为线段AO中点，又M为线段AC中点，故MF//CO，又C1D//CO，故MF//C1D，因为MF⊄平面BC1D，C1D⊂平面BC1D，故MF//平面BC1D，连接A1O，同理可得EF//平面BC1D，因为EF∩MF=F，EF⊂平面FEM，FM⊂平面FEM，故平面FEM//平面BC1D.解析：(Ⅰ)由题意可证明C1D⊥A1B1，又平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1，可证C1D⊥平面ABB1A1，即可证明平面BC1D⊥平面ABB1A1．(Ⅱ)取AB中点O，连接CO，DO，取AC中点M，连接EM，MF，可证四边形C1DOC为平面四边形，F为线段AO中点，可证MF//C1D，有MF//平面BC1D，连接A1O，同理可得EF//平面BC1D，由EF∩MF=F，EF⊂平面FEM，FM⊂平面FEM，即可证明平面FEM//平面BC1D.本题主要考查了面面垂直的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，考查了转化与化归思想，空间想象能力和推论论证能力，属于中档题．19.答案：解：(1)表格补充如下：故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为30000×80200= 12000；(2)由分层抽样可知，所抽取的6人中的2名学生记为a，b，4名教师记为1，2，3，4，随机选出3人进行深入调研，不同选法有：(a,b，1)，(a,b，2)，(a,b，3)，(a,b，4)，(a,1，2)，(a,1，3)，(a,1，4)，(a,2，3)，(a,2，4)，(a,3，4)，(b,1，2)，(b,1，3)，(b,1，4)，(b,2，3)，(b,2，4)，(b,3，4)，(1,2，3)，(1,2，4)，(1,3，4)，(2,3，4)，共20种，恰有1名学生的选法有：(a,1，2)，(a,1，3)，(a,1，4)，(a,2，3)，(a,2，4)，(a,3，4)，(b,1，2)，(b,1，3)，(b,1，4)，(b,2，3)，(b,2，4)，(b,3，4)，共12种，故深入调研中恰有1名学生的概率P=1220=35．解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．(1)表格补充完整，由此可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数．(2)由分层抽样可知，所抽取的6人中的2名学生记为a，b，4名教师记为1，2，3，4，随机选出3人进行深入调研，利用列举法能求出深入调研中恰有1名学生的概率．20.答案：解：(1)易知函数f(x)=2e x−1−(a+2)x的定义域为R，则f′(x)=2e x−1−(a+2)，当−(a+2)≥0，即a≤−2时，f′(x)>0对任意x∈R恒成立，故函数f(x)为R上的增函数；当−(a+2)<0，即a>−2时，令f′(x)<0，得，令f′(x)>0，得，故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，综上，当a≤−2时，f(x)在R上单调递增；当a>−2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增；(2)由f(x)≥g(x)，即2e x−1−(a+2)x≥−a(1+lnx)，得alnx+2e x−1−(a+2)x+a≥0，令ℎ(x)=alnx+2e x−1−(a+2)x+a，则ℎ′(x)=ax+2e x−1−(a+2)=2xe x−1−(a+2)x+ax，由(1)知，函数y=2e x−1−2x在区间[1,+∞)上单调递增，∴当x≥1时，2e x−1−2x≥2e0−2=0，即在[1,+∞)上恒有e x−1≥x，∴在[1,+∞)上，ℎ′(x)⩾2x2−(a+2)x+ax =(2x−a)(x−1)x，①当a≤2时，ℎ′(x)≥0在区间[1,+∞)上恒成立，即ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(1)=0(符合题意)；②当a>2时，由ℎ′(x)=2xe x−1−(a+2)x+ax，设φ(x)=2xe x−1−(a+2)x+ax，得φ′(x )=−ax 2+2e x−1， 可知φ′(x )在[1,+∞)上单调递增，又φ′(1)=2−a <0，φ′(√a)=2e √a−1−1>0， 故φ′(x )在(1,√a)上存在唯一零点x 0，当x ∈(1,x 0)时，φ′(x )<0，即ℎ′(x)在(1,x 0)上单调递减， 此时ℎ′(x )<ℎ′(1)=0，所以ℎ(x)在x ∈(1,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(1)=0与已知矛盾(不符合题意)； 综上，实数a 的取值范围为(−∞,2]．解析：本题主要考查了导数的运用，运用导数研究函数的单调性和最值，涉及导数中的不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于较难题．(1)先求出函数f(x)的导函数，然后对a 分类讨论，确定导函数符号即可得到函数f(x)的单调性； (2)根据f(x)≥g(x)，得到alnx +2e x−1−(a +2)x +a ≥0，令ℎ(x)=alnx +2e x−1−(a +2)x +a ，则ℎ′(x)=ax +2e x−1−(a +2)=2xe x−1−(a+2)x+ax，然后对a 分类讨论，讨论函数的单调性和最值，即可得到实数a 的取值范围．21.答案：解：(1)设C(x,y)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则G(x 3,y3)，Q(0,y3)， 根据|QA|=|QC|， 可得x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)当直线EF 的斜率不存在时，t =2．当直线EF 的斜率存在时，设斜率为k.则直线EH 的方程为y =kx +√2，点M 的坐标为(√22k,3√22)． 把直线方程代入椭圆方程可得(k 2+3)x 2+2√2kx −1=0，设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，P(a,√2)(a ≠0)． 则x 1+x 2=−2√2kk 2+3，x 1x 2=−1k 2+3，∴1k 1=1y −√2=x 1−a kx 1，1k 2=x 2−a kx 2，1k 3=1k −√2a ．又∵1k 1+1k 2=tk 3，∴x 1−a kx 1+x 2−a kx 2=2k −2√2a ．故存在常数t =2满足条件．解析：(1)设C(x,y)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得G(x 3,y3)，Q(0,y3)，根据|QA|=|QC|，即可得出． (2)当直线EF 的斜率不存在时，t =2.当直线EF 的斜率存在时，设斜率为k.则直线EH 的方程为y =kx +√2，点M 的坐标为(√22k ,3√22).把直线方程代入椭圆方程可得(k 2+3)x 2+2√2kx −1=0，设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)，P(a,√2)(a ≠0).利用根与系数的关系可得1k 1=1y −√2=x 1−a kx 1，1k 2=x 2−a kx 2，1k 3=1k−√2a.又1k 1+1k 2=tk 3，即可得出． 本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．题目应该为CG +2QG =0 QG 平行于AB22.答案：解：(1)∵{x′=x3y′=y 2， ∴{x =3x′y =2y′． ∵{x =3+3cosαy =2sinα(α为参数)， ∴{3x′=3+3cosα2y′=2sinα， ∴{x′=1+cosαy′=sinα， ∴C 2普通方程为(x′−1)2+y′2=1， 即C 2的极坐标方程为ρ=2cosθ； (2)∵ρsin (π6−θ)=1，∴C 3直角坐标方程为x −√3y −2=0， ∵C 2是以(1,0)为圆心，1为半径的圆， ∴C 2圆心到直线C 3的距离为：d =|1−0−2|2=12，∴|PQ |=2√1−(12)2=√3.解析：本题考查坐标系及参数方程．(1)求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；(2)C2是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin(π6−θ)=1，直角坐标方程为x−√3y−2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。

高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 1 页 （共 13 页）高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）文科数学试题卷文科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合22{|230},{|log 1}A x x x B x x =--≤=>，则=B A YA ．(2)+∞，B ．]3,2(C ．]3,1[- D. ),1[+∞- 2. 欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，7πi 5e 表示的复数位于复平面中的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率分布直方图如下图，测试成绩的分组为[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150],若低于70分的人数是175人，则该校高三年级的学生人数是A ．350B ．500C ．600D ．10004．已知点1(2,)8在幂函数()nf x x =的图象上，设a f =，(ln π)b f =，2c f =， 则a ，b ，c 的大小关系为 A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<[机密]2020年 4月25日前分) )高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 2 页 （共 13 页）5. 已知点22(sin,cos )33P ππ落在角θ的终边上，且02θπ∈（，），则θ的值为 A ．3π B ．23π C ．53π D ．116π6. 已知:p x k ≥，2:11q x <+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞-D ．(,1)-∞-7. 某街道招募了志愿者5人，其中1人来自社区A ，2人来自社区B ，2人来自社区C ．现从中随机选取2个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这2人来自不同社区的概率为A ．35 B ．34C ．710 D ．458.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->, 1()2f x =, 2()2f x =-,且12||x x -最小值为2π,若将()y f x =的图象沿x 轴向左平移ϕ(0)ϕ>个单位，所得图象关于原点对 称，则实数ϕ的最小值为 A.12πB.6π C.3π D.712π 9. 设实数x 、y满足y =54y x +-的最大值为 A ．12- B ．2- C ．12D ．210. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线C 交于M ，N 两点，若4PF MF =u u u r u u u r，则||MN =A ．32B ．3C ．92D ．911. 已知(34)2,1()log ,1aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩对任意1x ，2(,)x ∈-∞+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，那么实数a 的取值范围是A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．4(,2]3D ．4(,4]312. 两球1O 和2O 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．3(2π B．4(2π C．6(2π D．12(2π-高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 3 页 （共 13 页）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13. 设非零向量,a b r r 满足()a a b ⊥-r r r ，且||2||b a =r r，则向量a r 与b r 的夹角为________． 14. 在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h (单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系式24.9 6.510h t t =-++，则该运动员在2t =时的瞬时速度是 (/)m s ． 15. 设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos sin cos sin a B C b A C c +=，则ABC △外接圆的面积是 ．16. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ,若12||2||MF MF =,则双曲线C 的离心率为 ．三、解答题：共70分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题卡相应的位置上．第17题:第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分为12分）一奶茶店制作了一款新奶茶，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（杯）的相关数据如下表：（Ⅰ）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新奶茶每杯的成本为元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： ，，参考数据：514195i ii x y ==∑，．x y y x y x 7.71221ni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑$$a y bx =-$521453.75i i x ==∑高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 4 页 （共 13 页）18．（本小题满分为12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设31log ()n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12111...2nT T T +++<．19.（本小题满分为12分）如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，．（Ⅰ）求证：FD ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）若三棱锥B ADF -的体积为13， 求点A 到面BDF 的距离．（第19题图）20.（本小题满分为12分）已知函数，．(为自然对数的底数)（Ⅰ）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；（Ⅱ）当时，函数在上是否存在极值?若存在，请求出这个极值；若不存在，请说明理由．ABCD ⊥ADEF ABCD ADEF AF DE ∥AF FE ⊥222AF EF DE ===()()xf x e ax a =+∈R ()ln xg x e x =e 0x ≥()0f x >a 1a =-()()()M x g x f x =-[1,]e BADCFE高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 5 页 （共 13 页）21.（本小题满分12分）已知圆22:(2)24C x y ++=与定点(2,0)M ，动圆I 过M 点且与圆C 相切，记动圆圆心I 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点M ,且与曲线E 交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若ABP ∆为等边三角形，求直线l 的方程.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点的直角坐标为(2,0)，直线和曲线交于、两点，求的值．xOy l t O x C l C M l C A B 11||||MA MB +高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 6 页 （共 13 页）23.【选修4-5：不等式选讲】(本小题满分10分）已知2()2f x x a =+.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()15f x x +-≥的解集；（Ⅱ）若对于任意实数x ，不等式23()2x f x a +-<成立，求实数a 的取值范围.高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 7 页 （共 13 页）高2020届高三学业质量调研抽测（第二次）文科数学参考答案及评分意见一、选择题：15:;610:;1112:DCBCD BDAAC DD :::． 二、填空题：13. 14．13.1- 15．π416三、解答题：17．解：（Ⅰ）由表中数据，计算，1(120110907060)905y =++++=，...............2分则5152221419559.59032453.7559.5i ii i i x y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑$，$90329.5394a y bx =-=+⨯=$， 所以关于的线性相关方程为$32394y x =-+．..........................................6分（Ⅱ）设定价为元，则利润函数为(32394)(7.7)y x x =-+-，其中，................8分则232640.43033.8y x x =-+-，所以640.4102(32)x =-≈⨯-（元），.........................11分 为使得销售的利润最大，确定单价应该定为元．........................................12分 18．解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，所以2n ≥，121n n a S -=+，.............................2分3π1(8.599.51010.5)9.55x =⨯++++=yxx 7.7x ≥10高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 8 页 （共 13 页）两式相减化简得13n na a +=(2)n ≥，.....................................................4分又11a =，所以23a =，213a a =符合上式，所以{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，所以13n n a -=．..........................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知31log ()n n n b a a +=g 13log 3321n nn -=⨯=-，所以2(121)2n n n T n +-==，.....8分所以22212111111111......1...121223(1)n T T T n n n+++=+++<++++⋅⋅-.......................10分11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-．...........................................12分19．解：（Ⅰ）证明：作DH AF ⊥于H ， ∵，，∴，∴，...............2分 ∵，∴，∴，∴，即，................4分 ∵面面，为两个面的交线，∴面．.......................6分（Ⅱ）因为平面平面，，所以平面，AF FE ⊥222AF EF DE ===1HF DH ==45HDF ∠=︒2AF =1AH =45ADH ∠=︒90ADF ∠=︒DF AD ⊥ABCD ⊥ADEF AD FD ⊥ABCD ABCD ⊥ADEF AB AD ⊥AB ⊥ADEF高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 9 页 （共 13 页），所以，又AD DF ==..............9分∴，BDF S =V ，设点A 到面BDF 的距离为h ,则1133h =，h =．.....12分 20．解：（Ⅰ）∵对于任意实数，恒成立， ∴若，则为任意实数时，恒成立；....................................1分 若，恒成立，即在上恒成立，........................2分 设，则，......................................3分 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 所以当时，取得最大值，， 所以的取值范围为，综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为．................5分111||1||333B ADF ADF V S AB AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=1AB=BD =0x ≥()0f x >0x =a()0x f x e =>0x >()0xf x e ax =+>xe a x>-0x >()xe Q x x=-22(1)()x x xxe e x e Q x x x --⋅'=-=(0,1)x ∈()0Q x '>()Q x (0,1)(1,)x ∈+∞()0Q x '<()Q x (1,)+∞1x =()Q x max ()(1)Q x Q e ==-a (,)e -+∞0x ≥()0f x >a (,)e -+∞高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 10 页 （共 13 页）（Ⅱ）依题意，， 所以，....................................6分 设，则，.........................................8分 当，，故在上单调增函数， 因此在上的最小值为，即，...................10分 又，所以在上，，所以在上是增函数，即在上不存在极值．.............12分21．解：（Ⅰ）设圆的半径为，题意可知，点满足：，，所以，由椭圆定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，.................................3分 所以 ，故轨迹方程为：()ln xxM x e x e x =-+1()ln 1(ln 1)1x x x x e M x e x e x e x x'=+-+=+-⋅+1()ln 1h x x x=+-22111()x h x x x x-'=-+=[1,]x e ∈()0h x '≥()h x [1,]e ()h x [1,]e (1)0h =1()ln 1(1)0h x x h x=+-≥=0x e >[1,]e 1()(ln 1)10xM x x e x'=+-⋅+>()M x [1,]e ()()()M x g x f x =-[1,]e I r I ||IC r =||IM r =||||IC IM +=I ,C M 2a c ==b =E高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 11 页 （共 13 页）． .................................................5分 （Ⅱ）直线的方程为，联立 消去得. 直线恒过定点，在椭圆内部，所以恒成立，设，，则有， ..................7分设的中点为，则，， 直线的斜率为（由题意知0k ≠），又P 为直线上的一点，所以 , ......................................9分当为等边三角形时，,解得，即直线的方程为或． (12)分22162x y +=l (2)y k x =-2212(62)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩y ()222231601212k x k x k +--+=(2)y k x =-(2,0)0∆>11(,)A x y 22(,)B x y 21221231k x x k +=+212212631k k x x -⋅=+21221)|||31k AB x x k +=-==+AB 00(,)Q x y 202631k x k =+02231k y k =-+PQ 1k-3x =3P x =2023(1)|||31P k PQ x x k +=-=+ABP ∆|||PQ AB =22223(1)1)31231k k k k ++=++1k =±l 20x y --=20x y +-=高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 12 页 （共 13 页）22．解：（Ⅰ）将222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩中参数消去得20x y --=，............................2分将代入2sin 8cos ρθθ=，得28y x =， ∴直线和曲线的直角坐标方程分别为20x y --=和28y x =．........................5分（ii ）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得2320t --=， 设、两点对应的参数为、，则，，且12t t +=，1232t t =-， ∴16=，.............................. ..........8分 ∴12=．..............................10分 23.解:（Ⅰ）当时，()|1||24||1|5f x x x x +-=++-≥，则得； .................................................2分 得； ..................................................3分t cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩l C l C A B 1t 2t 1||||MA t =2||||MB t=1212||||||8t t t t +=-==1212121212||||||11111||||||||||||t t t t MA MB t t t t t t +-+=+===2a =22415x x x <-⎧⎨---+≥⎩83x ≤-212415x x x -≤≤⎧⎨+-+≥⎩01x ≤≤高2020届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 13 页 （共 13 页） 得， ....................................................4 分 所以的解集为....................................5分 （Ⅱ）对于任意实数，不等式成立， 即恒成立，又因为，................................7分要使原不等式恒成立，则只需，由得所以实数的取值范围是. ...................................................10分12415x x x >⎧⎨++-≥⎩1x >()15f x x +-≥8(,][0,)3-∞-+∞U x 23()2x f x a +-<22322x x a a +-+<2222322323x x a x x a a +-+≤+--=-232a a -<2232a a a -<-<13a <<a (1,3)。