函数的综合问题（一次函数+反比例函数）一、以一次函数为背景的综合问题例题（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图.在平面直角坐标系中.点O 为坐标原点.直线y ＝﹣34x +3分别交x 轴.y 轴于点A .B ．∠OBA 的外角平分线交x 轴于点D ． （1）求点D 的坐标.（2）点P 是线段BD 上的一点（不与B .D 重合）.过点P 作PC ∠BD 交x 轴于点C ．设点P 的横坐标为t .∠BCD 的面积为S .求S 与t 之间的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）.（3）在（2）的条件下.PC 的延长线交y 轴于点E .BC 的延长线交DE 于点F .连AP .若sin∠BAP 10求线段OF 的长．【答案】（1）(6,0)-.（2）154584S t =+.（332 【解析】【分析】 （1）利用角平分线的性质定理和等面积法解题.（2）求面积先求底和高.利用三角形相似二次求解.（3）先根据BAP ∠的正弦值求出点P 的位置.再根据题目的顺序求出点F 的坐标.最后求OF 的长度．【详解】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H .则：DH DO =.BH BO =.当0x =时.3y =.当0y =时.4x =.(4,0)A ∴.(0,3)B -.4∴=OA .3BO BH ==.2222435AB OA OB ∴++=.4AD DO OA DH =+=+.1122ABD S AD OB AB DH ∆=⋅⋅=⋅⋅. ∴11(4)3522DH DH ⋅+⋅=⋅⋅.解得：6DH =.6OD ∴=.∴点D 的坐标为(6,0)-．（2）过点P 作PE OD ⊥于点E .则：DPE DBO ∆∆∽.点P 在直线BD 上.且点P 的横坐标为t .6DE t ∴=+.6OD =.3OB =.22226335BD OD OB ∴=++DPE DBO ∆∆∽. ∴DP DE DB OB =. 6635t +=. 解得：56)DP t +. PC BD ⊥. PDC ODB ∴∆∆∽. ∴PC DP OB OD=. ∴56)236t PC +=. 56)PC t ∴=+. 11515356)228S BD PC t t ∴=⋅⋅=⋅+=． （3）过点P 作PM AB ⊥于点M .作PN OB ⊥于点N .则：PM PN =.BM BN =.设直线BD 的解析式为：(0)y kx b k =+≠.把(6,0)D -.(0,3)B 代入y kx b =+.得：360b k b =⎧⎨-+=⎩.解得：0.53k b =⎧⎨=⎩． 点P 在直线BD 上.且点P 的横坐标为t .(,0.53)P t t ∴+.PM t ∴=-.3(0.53)0.5BM t t =-+=-.0.55AM MB AB t ∴=+=-+.10sin MP BAP AP ∠=. ∴10t AP -=. 10AP t ∴=-.222AM PM AP +=.22()2(0.55)(10t t t ∴-+-+=-.解得：12t =-.2107t =（舍).(2,2)P ∴-. PE BD ⊥.PD ∴所在直线的k 为2-.设:2PE y x a =-+.把点(2,2)P -代入.得：2(2)2a -⨯-+=.2a ∴=-.:22PE y x ∴=--.当0x =时.2y =-.0y =时.1x =-.(1,0)C ∴-.(0,2)E -.设:(0)DE y mx n m =+≠.把点(6,0)D -.(0,2)E -代入.得：602m n n -+=⎧⎨=-⎩.解得：132m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. 1:23DE y x ∴=--①. 设:(0)BC y bx c b =+≠.把(0,3)B .(1,0)C -代入.得：30c b c =⎧⎨-+=⎩.解得：33b c =⎧⎨=⎩. :33BC y x ∴=+②.联立①②.解得：3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 223332()()22OF ∴-+-【点睛】本题是一个综合应用题.考查了学生对角平分线的性质定理、三角形相似的性质与判定、一次函数的应用、解直角三角形等知识点的掌握情况.解题的时利用相关知识求出关键线段和点是解题的关键．练习题1．（2021·吉林双阳·二模）如图.在平面直角坐标系中.两条直线分别为y ＝2x .y ＝kx .且点A 在直线y ＝2x 上.点B 在直线y ＝kx 上.AB ∠x 轴.AD ∠x 轴.BC ∠x 轴垂足分别为D 和C .若四边形ABCD 为正方形时.则k ＝（ ）A ．14B ．12C ．23 D ．2【答案】C【解析】【分析】设(),2A x x .根据正方形的性质可得()3,2B x x .将()3,2B x x 代入y kx =中.即可求出k 的值．【详解】解： 设(),2A x x∠四边形ABCD 为正方形∠,AD BC AB CD ==()3,2B x x ∴将()3,2B x x 代入y kx =中23x kx = 解得23k =故选：C ．【点睛】此题考查了一次函数的几何问题.解题的关键是掌握一次函数的解析式以及性质、正方形的性质．2．（2021·山东槐荫·二模）如图.点B .C 分别在直线y ＝2x 和直线y ＝kx 上.A 、D 是x 轴上两点.若四边形ABCD 是长方形.且AB ：AD ＝1：3.则k 的值是（ ）A ．23B ．25C ．27D ．29【答案】C【解析】【分析】 设点B 的坐标为（m .2m ）.结合矩形的性质可得出OA .AB .CD 的长.由AB ：AD ＝1：3可得出AD 的长.结合OD ＝OA +AD 可求出OD 的长.进而可得出点C 的坐标.再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k 值．【详解】解：设点B 的坐标为（m .2m ）.CD ＝AB ＝2m .OA=m∠AB ：AD ＝1：3.∠AD ＝3AB ＝6m .∠OD ＝OA +AD ＝7m .∠点C 的坐标为（7m .2m ）．∠点C 在直线y ＝kx 上.∠2m ＝7km . ∠2k 7=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式.用字母表示出点C 的坐标是解题的关键. 3．（2021·山东广饶·二模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.菱形OABC 满足点O 在原点.点A 坐标为（2.0）.∠AOC ＝60°.直线y ＝﹣3x ＋b 与菱形OABC 有交点.则b 的取值范围是___．【答案】093b ≤≤039b ≤≤【解析】【分析】作CM ∠OA 于点M .BN ∠OA 于点N .求出B 的坐标.然后代入一次函数解析式中.求出b 的最大值.再将原点代入一次函数解析式中求出b 的最小值即可．【详解】解：作CM ∠OA 于点M .BN ∠OA 于点N .∠∠AOC =60°.∠CMO =90°.∠OM ＝12OC .∠在菱形OABC 中.A （2.0）.∠OC =OA =2=CB .∠OM =1.∠CM 2222213OC OM --＝＝.∠C 3∠B 的横坐标为3.∠OA ∠CB .∠BN =CM 3∠B 3即B 3当y =-3x +b 过O （0.0）时.b 最小.最小值为0.当y =-3x +b 过B 3时.b 最大.把B 3代入y =-3x +b .解得：b 3∠b 的取值范围为：0⩽b 3故答案为：0⩽b 3．【点睛】本题考查了菱形的性质和待定系数法.关键是求出点B 的坐标.4．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图.直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x .y 轴交于A .B 两点.点A 的坐标为（3.0）.过点B 的直线交x 轴负半轴于点C .且31OB OC =：：.在x 轴上方存在点D .使以点A .B .D 为顶点的三角形与△ABC 全等.则点D 的坐标为_____．【答案】（4.3）或（3.4）【解析】【分析】求出B C 、的坐标.分BD 平行x 轴.BD 不平行x 轴两种情况.求解计算即可．【详解】解：将点A 的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b .解得：b ＝3∠直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +3.∠点B （0.3）∠OB ：OC =3：1∠OC ＝1.∠点C （﹣1.0）.①如图.当BD 平行x 轴时.以点A B D 、、为顶点的三角形与ABC 全等.则四边形BDAC 为平行四边形则BD ＝AC ＝1+3＝4.则点D （4.3）.②当BD 不平行x 轴时.则S △ABD ＝S △ABD ′.则点D 、D ′到AB 的距离相等.∠直线DD ′∠AB .设直线DD ′的表达式为：y ＝﹣x +n .将点D 的坐标代入y ＝﹣x +n 中解得：n ＝7.∠直线DD ′的表达式为：y ＝﹣x +7.设点D ′（m .7﹣m ）.∠A .B .D′为顶点的三角形与∠ABC 全等.则BD ′＝BC ()2221+373m m +--解得：m ＝3.故点D ′（3.4）.故答案为：（4.3）或（3.4）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征.三角形全等.平行线的性质.勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．5．（2021·广东深圳·三模）定义：如图1.已知锐角∠AOB 内有定点P .过点P 任意作一条直线MN .分别交射线OA .OB 于点M .N ．若P 是线段MN 的中点时.则称直线MN 是∠AOB 的中点直线．如图2.射线OQ 的表达式为y ＝2x （x ＞0）.射线OQ 与x 轴正半轴的夹角为∠α.P （3.1）.若MN 为∠α的中点直线.则直线MN 的表达式为__________________．【答案】y ＝﹣12x +52【解析】【分析】作MD ∠x 轴于D .PE ∠x 轴于E .则//PE MD .设M （m .2m ）.由题意得PE ＝m .由P （3.1）求得m ＝1.即可求得N （5.0）.然后根据待定系数法即可求得直线MN 的解析式．【详解】解：如图.作MD ∠x 轴于D .PE ∠x 轴于E .则//PE MD .∠P 为MN 的中点.//PE MD ∠1DE MP EN PN== ∠DN=EN .即E 为DN 中点.∠PE 是MDN △中位线∠PE ＝12MD .∠M 是射线OQ 上的点.∠设M （m .2m ）.∠MD ＝2m . ∠PE ＝12MD ＝m . ∠P （3.1）. ∠m =1,OE =3 ∠M （1.2）∠OD =1.则DE =OE -OD =2 ∠EN =DE =2 ∠ON =OE +EN =5 ∠N （5.0）.设直线MN 的解析式为y ＝kx +b .把P （3.1）.N （5.0）代入得3150k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∠直线MN 的解析式为y ＝﹣12x +52. 故答案为：y ＝﹣12x +52． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式.正比例函数图象上点的坐标特征.三角形中位线定理.求得N 的坐标是解题的关键．6．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）如图.在平面直角坐标系xOy 中.ABCO 的顶点A .B 的坐标分别是(6,0)A .(0,4)B ．直线l 经过坐标原点.并与AB 相交于点D ．(1)直接写出C 点的坐标______．(2)若DOA BOC ∠=∠.试确定点D 的坐标及直线l 的解析式．(3)在（2）的条件下.动点P 在直线l 上运动.以点P 为圆心.PB 的长为半径的P 随点P运动.当P 与ABCO 的边相切时.求出P 的半径． 【答案】(1)(6,4)- (2)D 点坐标为2436(,)1313.直线l 的解析式为32y x = (3)4213935-935+【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质和A 点坐标推出线段BC 长度.求解.（2）先证DOA △与BOC 相似.求出AD 长度.再由AHD 与BOC 相似.求出AH 、HD 长度.进而求出D 点坐标.代入直线l 的解析式即可.（3）分P 与BC 、OC 、OA 、AB 相切四种情况讨论.画出图形逐个求解． (1)解：四边形ABCD 是平行四边形.A 点坐标为(6,0)∴OA =BC =6B 点坐标为(0,4)∴C 点坐标为(6,4)-(2)如图1.过D 点作DH ⊥OA 于H 点C 点坐标为(6,4)-∴222246213OC OB BC ++四边形ABCD 是平行四边形∴A C ∠=∠DOA BOC ∠=∠∴DOA BOC △△ ∴AD OABC OC=.即6213AD =解得13AD =90CBO BOA ∠=∠=.90DHA ∠=.A C ∠=∠∴AHD CBO △△∴AH HD AD BC OB OC==.即1364213AH HD ==解得5413AH =.3613HD = ∴2413OH OA AH =-= ∴ D 点坐标为2436(,)1313设直线l 的解析式为y kx =.代入D 点坐标得36241313k = 解得32k∴直线l 的解析式为32y x =(3)由（2）知DOA BOC △△∴90ODA CBO ∠=∠=.即l AB ⊥ ∴OP AB ⊥又AB OC ∥OP OC ⊥设3(,)2P x x①当P 与BC 相切时.如图2动点P 在直线32y x =上 ∴P 与O 点重合.此时圆心P 到BC 的距离为OB ∴P 的半径是4.②当P 与OC 相切时.作PE y ⊥轴于E .如图3P 的半径是PB∴OP PB =.OPB △是等腰三角形 ∴EB OE =∴P 点的纵坐标为1422⨯=在32y x =中令2y =.解得43x = ∴P 点坐标为4(,2)3∴224213()23OP =+∴P 213③当P 与OA 相切时.作PF x ⊥轴于F .如图4P 的半径是PB∴PF PB = ∴2233(4)22x x x =-+解得625x =+625-代入到32y x =中 得P 点的坐标为(65,935)++或(625,935)--∴935PF =-935+∴P 的半径是935-935+④当P 与AB 相切时.如图5由直线l AB ⊥知.PD PB ≠.即不存在以PB 的长为半径的P 与OA 相切∴此种情况的P 不存在.综上所述.满足条件的P 的半径为4213935-935+【点睛】本题考查平行四边形性质、一次函数性质、相似三角形判定与性质、圆与直线相切等知识点.属于综合型题目.难度较大.熟悉掌握并运用基本知识点.分情况讨论圆与平行四边形相切是解题关键.考虑不全时容易出现漏解．7．（2022·辽宁·东北育才实验学校模拟预测）如图.已知直线l 1：y ＝2833x +与直线l 2：y＝﹣2x +16相交于点C .l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上.顶点F 、G 都在x 轴上.且点G 与点B 重合．(1)求∠ABC 的面积.(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长.(3)若矩形DEFG 从原地出发.沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移.设移动时间为t （0≤t ≤12）秒.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分的面积为S.直接写出S 关于t 的函数关系式.并写出相应的t 的取值范围． 【答案】(1)36 (2)DE ＝4.EF ＝8(3)当0≤t ＜3时.S ＝−241644333t t ++.当3≤t ＜8时.S ＝−88033t +.当8≤t ≤12时.S ＝13t 2−8t ＋48【解析】 【分析】（1）把y ＝0代入l 1解析式求出x 的值便可求出点A 的坐标．令x ＝0代入l 2的解析式求出点B 的坐标．然后可求出AB 的长．联立方程组可求出交点C 的坐标.继而求出三角形ABC 的面积．（2）已知xD ＝xB ＝8易求D 点坐标．又已知yE ＝yD ＝8可求出E 点坐标．故可求出DE .EF 的长．（3）作CM ∠AB 于M .证明Rt ∠RGB ∠Rt ∠CMB 利用线段比求出RG ＝2t ．又知道S ＝S △ABC −S △BRG −S △AFH .根据三角形面积公式可求出S 关于t 的函数关系式． (1)解：由2833x +＝0.得x ＝−4．∠A 点坐标为（−4.0）. 由−2x ＋16＝0. 得x ＝8．∠B 点坐标为（8.0）. ∠AB ＝8−（−4）＝12.由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ .解得56x y =⎧⎨=⎩ . ∠C 点的坐标为（5.6）.∠S △ABC ＝12AB •yC ＝12×12×6＝36． (2)∠点D 在l 1上且xD ＝xB ＝8. ∠yD ＝23×8＋83＝8. ∠D 点坐标为（8.8）. 又∠点E 在l 2上且yE ＝yD ＝8. ∠−2xE ＋16＝8. ∠xE ＝4.∠E 点坐标为（4.8）. ∠DE ＝8−4＝4.EF ＝8． (3)①当0≤t ＜3时.如图1.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为五边形CHFGR （t ＝0时.为四边形CHFG ）．过C 作CM ∠AB 于M .则Rt ∠RGB ∠Rt ∠CMB . ∠BG RG BM CM = .即36t RG= . ∠RG ＝2t .同理Rt ∠AFH ∠Rt ∠AMC . ∠AF HFAM CM= . 由（1）知()()5,6,4,0C A - . ∠459,6AM CM =--== .∠896t HF-= . ∠()283HF t =- . ∠S ＝S △ABC −S △BRG −S △AFH ＝36−12×t ×2t −12（8−t ）×23（8−t ）.即S ＝−241644333t t ++ ． ②当3≤t ＜8时.如图2所示.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为梯形HFGR .由①知.HF ＝23（8−t ）.∠Rt ∠AGR ∠Rt ∠AMC . ∠RG AG CM AM = .即1269RG t-= . ∠RG ＝23（12−t ）.∠S ＝12（HF ＋RG ）×FG ＝12×[23（8−t ）＋23（12−t ）]×4. 即S ＝−88033t +. ③当8≤t ≤12时.如图3所示.矩形DEFG 与∠ABC 重叠部分为∠AGR . 由②知.AG ＝12−t .RG ＝23（12−t ）.∠S ＝12AG •RG ＝12（12−t ）×23（12−t ）即S ＝13（12−t ）2. ∠S ＝13t 2−8t ＋48．【点睛】本题属于大综合题目.主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系.还要善于分解.化整为零.各个击破．8．（2021·浙江·诸暨市暨阳初级中学一模）如图.直线483y x =-+分别与x 轴.y 轴相交于点A .点B .作矩形ABCD .其中点C .点D 在第一象限.且满足AB ∠BC ＝2∠1．连接BD ．（1）求点A .点B 的坐标．（2）若点E 是线段AB （与端点A 不重合）上的一个动点.过E 作EF ∠AD .交BD 于点F .作直线AF ．①过点B 作BG ∠AF .垂足为G .当BE ＝BG 时.求线段AE 的长度．②若点P 是线段AD 上的一个动点.连结PF .将∠DFP 沿PF 所在直线翻折.使得点D 的对应点D 落在线段BD 或线段AB 上．直接写出线段AE 长的取值范围．【答案】（1）A （6.0）.B （0.8）.（2）①4.②02AE <≤555-5AE ≤≤ 【解析】 【分析】（1）分别令483y x =-+中x =0、y =0.求出与之对应的y 、x 值.由此即可得出点A .点B 的坐标.（2）①由题意证()BEF BGF HL ∆≅∆.得出AF ＝AD .设BE ＝x .EF ＝0.5x .AE ＝10－x .即可求出线段AE 的长度.② D 在线段AB 上时：（考虑以F 为圆心的圆与AB 相交的情况）.分情况讨论即可． 【详解】（1）令483y x =-+中x =0.则y =8.()0,8B ∴.令483y x =-+中y =0.则x =6.()6,0A ∴.（2）①由BE ＝BG . BF BF ∴=.()BEF BGF HL ∴∆≅∆.∠BDA ＝∠BFE ＝∠BFG ＝∠AFD .可得：AF ＝AD . 6,8OA OB ==.22226810AB OA OB ∴++=.又 AB ∠BC ＝2∠1.5BC AD ∴==.5AF ∴=.设BE ＝x .EF ＝0.5x .AE ＝10－x . 在Rt △AEF 中：222(10)(0.5)5x x -+=. 可得x ＝6.AE ＝4.②当D 在BD 上时. 当P 与A 重合时.AE 最长. 即AF BD ⊥时.AE 最长.AFD BFA BAD ∆∆∆.12DE AF AD AF BF AB ===. 14DF BF ∴=. //EF AD .14AE DF EB FB ∴==. 15AE AB ∴=. ∴当02AE <≤时.可把D 翻折到BD 上.当D 在线段AB 上时：当DP ＝D P 时.D 与A 重合. PF 为AD 中垂线.PF 为BAD ∆中位线. AE ＝5.（若此时E 再上移.以F 为圆心.FD 为半径作圆.与AB 不会有交点.所以=5AE 最大）.当FE ＝FD 时：D 与 E 重合.设,EF FD x ==则2BE x =.5,102BF x AE x =-.由55BF FD +=.555x x +=.55255551x -∴=+.2555555102AE --∴=-=即555AE -=最小 ∴当D 在AB 上时555-5AE ≤≤．综上.02AE <≤555-5AE ≤≤． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质和勾股定理.解题关键是理解题意.熟练掌握相关性质．9．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图.平面直角坐标系中.O 是坐标原点.直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C .与x 轴交于点A .与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴.交直线34y x =于点D .连接OC .AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________.__________）. （2）求证：四边形OADC 是平行四边形.（3）动点P 从点O 出发.沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动.直到点D 为止.动点Q 同时从点D 出发.沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动.直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒． ①当1t =时.CPQ 的面积是__________．②当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时.请直接写出此时t 的值． 【答案】（1）3-.5.0.（2）见解析.（3）①12.②510510 【解析】 【分析】（1）代入C 点坐标即可得出k 值确定直线的解析式.进而求出A 点坐标即可. （2）求出AD 点坐标.根据CD OA =.//CD OA .即可证四边形OADC 是平行四边形. （3）①作CH OD ⊥于H .设出H 点的坐标.根据勾股定理计算出CH 的长度.根据运动时间求出PQ 的长度即可确定CPQ ∆的面积.②根据对角线相等确定PQ 的长度.再根据P 、Q 的位置分情况计算出t 值即可． 【详解】解：（1）直线15(0)y kx k =+≠经过点(3,6)C .3156k ∴+=. 解得3k =-.即直线的解析式为315y x =-+.当0y =时.5x =.(5.0)A ∴.（2）线段CD 平行于x 轴.D ∴点的纵坐标与C 点一样.又D 点在直线34y x =上.当6y =时.8x =. 即(8,6)D .835CD ∴=-=.5OA =.OA CD ∴=. 又//OA CD .∴四边形OADC 是平行四边形.（3）①作CH OD ⊥于H .H 点在直线34y x =上.∴设H 点的坐标为3(,)4m m .2223(3)(6)4CH m m ∴=-+-.2223(8)(6)4DH m m =-+-.由勾股定理.得222CH DH CD +=.即2222233(3)(6)(8)(6)544m m m m -+-+-+-=.整理得245=m 或8（舍去）. 3CH ∴=.228610OD =+=.∴当1t =时.10118PQ OD t t =--=--=. 11831222CPQ S PQ CH ∆∴=⋅=⨯⨯=. ②10OD =.当05t 时.102PQ t =-. 当510t 时.210PQ t =-.当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时.PQ AC =.22(53)6210AC =-+当05t 时.102210t -=解得510t =当510t 时.210210t -=. 解得510t =综上.当点P .Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时t 的值为510510 【点睛】本题主要考查一次函数的性质.熟练掌握待定系数法求解析式.平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键．10．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校模拟预测）直线y kx k =+与x 轴交于A .与y 轴交于C 点.直线BC 的解析式为1y x k k=-+.与x 轴交于B ． （1）如图1.求点A 的横坐标.（2）如图2.D 为BC 延长线上一点.过D 作x 轴垂线于点E .连接CE .若CD CA =.设ACE 的面积为S .求S 与k 的函数关系式.（3）如图3.在（2）的条件下.连接OD 交AC 于点F .将CDF 沿CF 翻折得到△FCG .直线FG 交CE 于点K .若345ACE CDO ∠-∠=︒.求点K 的坐标．【答案】（1）1-.（2）211(0)22S k k k =-≠.（3）459(,)1717-． 【解析】 【分析】（1）令0y =.求x .（2）过点D 作y 轴的垂线.先证明90ACB ∠=︒.再由K 型全等.得E 点坐标.即可求出S 与k 的函数关系式.（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系.得出2DOE ADE ∠=∠.再利用垂直平分线性质构造2ADE AME ∠=∠.通过解直角三角形求出求出k 的值.再求点K 的坐标． 【详解】解：（1）∠直线y kx k =+与x 轴交于A .与y 轴交于C 点.∠当0x =时.y k =.当0y =时.0kx k +=.得：1x =-.∠(0,)C k .(1,0)A -. ∠点A 的横坐标为1-．（2）过点D 作DH y ⊥轴于点H .∠DH OH ⊥.CO AO ⊥. ∠DHC COA ∠=∠. ∠90HDC DCH ∠+∠=︒.对直线BC ：当0x =时.y k =.当0y =时.2x k =.∠()2,0B k .∠2OB k =. ∠1OA OC k =.21OC k OB k k==. 又∠90AOC COB ∠=∠=︒. ∠AOC COB △∽△. ∠OAC OCB ∠=∠. ∠90OAC OCA ∠+∠=︒. ∠90OCBOCA.即：90ACB ∠=︒.∠AC BD ⊥.90DCA ∠=︒. ∠90DCH ACO ∠+∠=︒. ∠HDC OCA ∠=∠. 又∠DC CA =.∠()DHC COA AAS △≌△. ∠DH OC =.CH AO =. ∠(1,0)A -.(0,)C k .∠1CH OA ==.DH CO k ==. ∠(,0)E k -.(,1)D k k -+. ∠1()1AE k k =---=-+.∠21111(1)(0)2222S EA CO k k k k k =⋅⋅=⋅-⋅=-≠.（3）连接AD .过AD 的中点N 作NM AD ⊥交DE 于点M .连接AM .（3）连接AD .过AD 的中点N 作NM AD ⊥交DE 于点M .连接AM .DC AC ⊥.DE OA ⊥.90DEA DCA ∴∠=∠=︒.∴在四边形AEDC 中.180DEA DCA ∠+∠=︒.180EAC EDC ∠+∠=︒. ∴点A 、D 、E 、C 四点共圆.AD 为圆的直径.点N 为圆心.ACE ADE ∴∠=∠.MN 是AD 的中垂线.DM AM ∴=. ADE DAM ∴∠=∠.2AME ADE ∴∠=∠.DC AC =.45ADC ∴∠=︒.45CDO ADO ∴∠=︒-∠.又345ACE CDO ∠-∠=︒.3(45)45ADE ADO ∴∠-︒-∠=︒.即：390ADE ADO ∠+∠=︒.在EDO ∆中.90ADE ADO DOE ∠+∠+∠=︒.2DOE ADE AME ∴∠=∠=∠.设AM DM x ==.则：1ME DE DM k x =-=+-.222AE ME AM +=.222(1)(1)k k x x ∴-+++-=.解得：211k x k+=+.212111k kME k k k +∴=+-=++.DOE AME ∠=∠.tan tan DOE AME ∴∠=∠.∴DE AE OE ME=.即：1121k kk k k+-+=+. 解得：3k =.(0,3)C ∴.(3,4)D -.(3,0)E -.∴直线OD 的解析式为：43y x =-.直线AC 的解析式为：33y x =+. 直线EC 的解析式为：3yx .由4333y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩.解得：9131213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴点9(13F -.12)13. 点D 和点G 关于点C 对称.(3,2)G ∴.∴直线GF 的解析式为：79248y x =+. 由379248y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩.解得：4517917x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点K 的坐标为459(,)1717-． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K 型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识.是一个代数几何综合题．对于比较复杂的条件.需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件.可以从等量关系.倍数关系入手．二、反比例函数的综合问题例题（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图1.在平面直角坐标系xOy中.线段AB在x轴的正半轴上移动.且AB=1.过点A、B作y轴的平行线分别交函数y1＝1x（x＞0）与y2＝3x（x＞0）的图象于C、E和D、F.设点A的横坐标为m（m＞0）．(1)D点坐标.F点坐标.连接OD、OF.则△ODF面积为.（用含m的代数式表示）(2)连接CD、EF.判断四边形CDFE能否是平行四边形.并说明理由.(3)如图2.经过点B和点G（0.6）的直线交直线AC于点H.若点H的纵坐标为正整数.请求出整数m的值．【答案】(1)（m+1.11m+）.（m+1.31m+）.1.(2)不能.理由见详解.(3)1或2或5．【解析】【分析】（1）表示出D.F的坐标.再用三角形面积公式即可得出结论.（2）再表示出C.E的坐标.求出CE.DF的长度.判定出CE≠DF.因为//CE DF.从而四边形CDFE不是平行四边形.（3）先用m表示出BG的解析式.进而表示出H的坐标.最后根据61m+是正整数.建立方程即可得出结论．(1)解：∵设点A的横坐标为m.且AB=1.∴D（m+1.11m+）.F（m+1.31m+）.OB=m+1.∴DF=31m+-11m+＝21m+.∴S△ODF=12×（m+1）×21m+=1.故答案为：（m +1.11m +）.（m +1.31m +）.1. (2)解：不能.理由如下： ∵设点A 的横坐标为m . ∴C （m .1m ）.E （m .3m）. ∴CE =3m -1m ＝2m.DF =132111m m m -+++＝.∴CE ≠DF . ∵//CE DF .∴四边形CDFE 不是平行四边形. (3)解：设直线BG 的解析式为：y =kx +6.将B （m +1.0）代入y =kx +6得：k （m +1）+6=0. ∴k =-61m +. ∴直线BG 的解析式为：y =-661x m ++. 当x =m 时.16661y m m m =-+=⋅++. ∴点H （m .61m +）. ∵m ＞0. ∴m +1＞1.∵点H 的纵坐标为正整数. ∴m +1=2或3或6. ∴m =1或2或5． 【点睛】本题是反比例函数综合题.主要考查了待定系数法.平行四边形的判定.用含参数表示线段和坐标是解题的关键． 练习题1．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图是反比例函数3y x=和7y x=-在x 轴上方的图象.x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A .B .点P 在x 轴上．则点P 从左到右的运动过程中.△APB 的面积是（ ）A ．10B ．4C ．5D ．从小变大再变小【答案】C 【解析】 【分析】设AB 与y 轴交于点C .连接OA 、OB ．根据题意可知APB AOB S S =△△.再根据AOBBOCAOCSSS=+结合反比例函数比例系数k 的几何意义.即得出答案．【详解】如图.设AB 与y 轴交于点C .连接OA 、OB ．由题意可知APB △和AOB 同底.等高. ∴APB AOB S S =△△． ∵1173522AOBBOCAOCS SS=+=⨯-+⨯=. ∴5APBS=．故选C ． 【点睛】本题考查反比例函数比例系数k 的几何意义．掌握在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上任意一点向坐标轴作垂线.这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1||2k .且保持不变是解题关键．2．（2021·山东滨州·一模）如图.O 为坐标原点.四边形OACB 是菱形.OB 在x 轴的正半轴上.sin ∠AOB ＝45.反比例函数y ＝48x在第一象限内的图象经过点A .与BC 交于点F .则点F 的坐标为（ ）A ．616120）B ．616120）C ．6146120- D ．6146120- 【答案】C 【解析】 【分析】先作AD ⊥x 轴.FE ⊥x 轴.再设点A 的坐标.可表示OD .AD .然后根据4sin 5AOB ∠=.求出tan AOB ∠.进而求出m 的值.即可求AD .OA .再根据菱形的性质得∠CBE ＝∠AOB .可知4tan 3CBE ∠=.设FE ＝a .可表示BE .OE .可表示点F .再将点F 的坐标代入反比例函数关系式求出a .可得答案． 【详解】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D .过点F 作FE ⊥x 轴于点E .如图.设A48)m m（,.则OD ＝m .48AD m=．∵4sin 5AOB ∠=. 令AD =4x .AO =5x .根据勾股定理.得22=3x OD AO AD -=. ∴4tan 3AD AOB DO ∠==. ∴484m 3m =． ∵m ＞0. ∴m ＝6． ∴488AD m==．∴2210OA OD AD =+=.∵四边形OACB 是菱形. ∴OB ＝OA ＝10.BC OA ∥． ∴∠CBE ＝∠AOB ． ∴4tan tan 3CBE AOB ∠=∠=． 设FE ＝a .则34BE a =.3=10+4OE a . ∴310+,)4Fa a （. ∴3(10)484a a +=. 解得：20461a -+=.舍去）． ∴61+5OE .∴-20+46161+5F （，． 故选：C ． 【点睛】这是一道关于反比例函数和菱形的综合问题.考查了菱形的性质.勾股定理.锐角三角函数.反比例函数图象上的点等．3．（2021·山东济南·二模）如图.在平面直角坐标系中.菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O .已知点B 坐标是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.双曲线y =6x经过点A .则菱形ABCD 的面积是( )A ．2B ．18C 252D ．25【答案】C 【解析】 【分析】过点A 作AE ⊥x 轴于点E .过点B 作BG ⊥AE 于G .交y 轴于点F .设()6,0A m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.可得632AG m =-.BG =m +2.再根据菱形的性质及勾股定理可得方程.解方程即可求得m 的值.可求得OE .AE .进而求得OA .AC .OB .BD .最后利用菱形的面积公式即可求得． 【详解】解：过点A 作AE ⊥x 轴于点E .过点B 作BG ⊥AE 于G .交y 轴于点F .如图.∵双曲线y =6x经过点A . ∴设()6,0A m m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭.则OE =m .6AE m=． ∵点B 坐标是32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴BF =2.OF =32．∴GE =OF =32.632AG m =-.BG =m +2．∵菱形ABCD 的对称中心恰好是原点O . ∴AO =CO .BO =DO .AO ⊥BO ． 由勾股定理可得：OB 2+OA 2=AB 2． ∴BF 2+OF 2+AE 2+OE 2=AG 2+BG 2．即：()22222236632222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.得24180m -=. 解得：32m =32m =舍去)． ∴32OE =232AE == ∴()22223252222OA AE OE ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭． ∴AC =2OA 2∵222235222OB BF OF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭. ∴BD =2OB =5． ∴11252=525=222ABCD S AC BD =⋅⨯菱形． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质.反比例函数图象上点的坐标特征.勾股定理,利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．4．（2021·广东深圳·三模）如图.在反比例函数y ＝4x （x ＞0）的图象上有动点A .连接OA .y＝k x （x ＞0）的图象经过OA 的中点B .过点B 作BC ∥x 轴交函数y ＝4x 的图象于点C .过点C 作CE ∥y 轴交函数y ＝kx 的图象于点D .交x 轴点E .连接AC .OC .BD .OC 与BD 交于点F ．下列结论：①k ＝1.②S △BOC ＝32.③S △CDF ＝316S △AOC .④若BD ＝AO .则∠AOC ＝2∠COE ．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③④【答案】D 【解析】 【分析】设4(,)A m m .则OA 的中点B 为1(2m .2)m.即可求得1k =.即可判断①.表示出C 的坐标.即可表示出BC .求得1323222BOC m S m ∆=⨯⨯=.即可判断②.计算出916CDF S ∆=.3AOC S ∆=.即可求得316CDF AOC S S ∆∆=.即可判断③.先证F 是BD 的中点.然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出2BFO CBD BCO COE ∠=∠+∠=∠.根据等腰三角形的性质得出AOC BFO ∠=∠.从而得到2AOC COE ∠=∠.即可判断④．【详解】解：动点A 在反比例函数4(0)y x x =>的图象上.∴设4(,)A m m.OA ∴的中点B 为1(2m .2)m.(0)ky x x =>的图象经过点B . 1212k m m∴=⋅=.故①正确.过点B 作//BC x 轴交函数4y x=的图象于点C . C ∴的纵坐标2y m=. 把2y m =代入4y x=得.2x m =.2(2,)C m m∴.13222mBC m m ∴=-=.1323222BOC m S m ∆∴=⨯⨯=.故②正确.如图.过点A 作AM x ⊥轴于M ．4(,)A m m .1(2B m .2)m .2(2,)C m m .过点C 作//CE y 轴交函数ky x=的图象于点D .交x 轴点E . 1(2,)2D m m∴. ∴直线OC 的解析式为21y x m =.直线BD 的解析式为2152y x m m=-+. 由221152y x m y x m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩.解得5454x m y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 5(4F m ∴.5)4m.12159()(2)22416CDF S m m m m ∆∴=--=.AOC AOM COE AMEC AMEC S S S S S ∆∆∆=+-=梯形梯形.142()(2)32AOC S m m m m∆∴=+-=.316CDF AOC S S ∆∆∴=.故③正确. 1(2B m .2)m .1(2,)2D m m .5(4F m .5)4m.F ∴是BD 的中点.CF BF ∴=.CBD OCB ∴∠=∠.//BC x 轴.COE BCO ∴∠=∠.2BFO CBD BCO COE ∴∠=∠+∠=∠.若BD AO =.则OB BF =.AOC BFO ∴∠=∠.2AOC COE ∴∠=∠．故④正确.故选：D ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合.反比例函数系数k 的几何意义.待定系数法求一次函数的解析式.直角三角形斜边上中线的性质.平行线的性质.解题的关键是利用参数解决问题.学会构建一次函数确定交点坐标．5．（2021·江苏扬州·一模）如图.正方形的顶点A .C 分别在y 轴和x 轴上.边BC 的中点F 在y 轴上.若反比例函数12y x=的图象恰好经过CD 的中点E .则OA 的长为______．【答案】62【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明CFO CEH ≌△△.由CO 和 CH 的值表示NO .NB .进而得出CNB BMA ≌△△.由AM =ON 得出a 与b 的关系.再将点E 代入反比例函数关系式.求出a和b 的值.即可求解． 【详解】解：过E 作EH x ⊥轴于H .设CO a =.CH b =.过点B 作y 轴的平行线交x 轴于点N .作AM MN ⊥于点M . ∵四边形ABCD 是正方形. ∴BC CD =.90BCD ∠=︒． ∵90∠=∠=︒EHC FOC . ∴OFC ECH ∠=∠．∵点F 与点E 分别是BC .CD 的中点. ∴CF CE =.∴()CFO CEH AAS △△≌. ∴OF =CH ．∵点F 是BC 的中点.OF BN ∥. ∴ON OC a ==.22NB OF b ==. 同理()CNB BMA AAS △△≌.则2MA BN b ==.2MB CN a ==.2AM b ON a ===. 故2a b =. 则点(),E a b a +. 将点E 的坐标代入12y x=. 得()12a a b +=.而2a b =.解得：2b =22a =2262OA MN BM BN a b ==+=+= 故答案为：62 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质.反比例函数图象上点的坐标特征.正方形的性质等.解题的关键是正确作出辅助线.构造全等三角形．6．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图.在平面直角坐标系中.反比例函数y kx=（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点.△MON 的面积为3.5.若动点P 在x 轴上.则PM +PN 的最小值是______．【答案】52【解析】 【详解】设点M （a .b ）.N （c .d ）.先求出a 2+b 2＝c 2+d 2＝25.再求出ac ()227k c a -=.同理：bd ()227k b d -=.即可得出ac ﹣bc ＝0.最后用两点间的距离公式即可得出结论． 【解答】 解：如图.设点M （a .b ）.N （c .d ）. ∴ab ＝k .cd ＝k . ∵点M .N 在⊙O 上. ∴a 2+b 2＝c 2+d 2＝25.作出点N 关于x 轴的对称点N '（c .﹣d ）. ∴MN'即为PM+PN 的最小值 ∴S △OMN 12=k 12+（b +d ）（a ﹣c ）12-k ＝3.5. ∴ad ﹣ bc ＝7. ∴kc ka a c-=7. ∴ac ()227k c a -=.同理：bd ()227k b d -=.∴ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0.∵M（a.b）.N'（c.﹣d）.∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50.∴MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式.判断出ac-bd=0是解本题的关键．7．（2021·江苏常州·二模）如图.在平面直角坐标系中.正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝kx（k＞0.x＞0）的图象上.CD在x轴上.点B在y轴上.已知CD＝2．(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由.(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q.求点Q的横坐标．【答案】(1)点A在反比例函数图象上.理由见解析(2)Q317+【解析】【分析】（1）过点P作x轴垂线PG.连接BP.可得BP＝2.G是CD的中点.所以P（23. （2）易求D（3.0）.E（43.待定系数法求出DE的解析式为y3﹣3联立反比例函数与一次函数即可求点Q．(1)解：点A在该反比例函数的图象上.理由如下：过点P作x轴垂线PG.连接BP.∵P是正六边形ABCDEF的对称中心.CD＝2.∴BP ＝2.G 是CD 的中点. ∴PG=BO=BC 3sin 602︒=3 ∴P （3.∵P 在反比例函数y ＝kx（k ＞0.x ＞0）的图象上.∴k ＝3 ∴y 23由正六边形的性质.A （3. ∴点A 在反比例函数图象上.(2)解：由（1）得D （3.0）.E （3. 设DE 的解析式为y ＝mx +b .∴3043m b m b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴333m b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩. ∴y 3﹣3由方程23333y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得x 3172+.∴Q 317+ ．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质.正六边形的性质.将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标结合是解题的关键． 8．（2021·山东菏泽·三模）如图.反比例函数()0ky k x=≠的图像过等边BOC 的顶点B .2OC =.点A 在反比例函数的图象上.连接AC .AO ．(1)求反比例函数()0ky k x=≠的表达式. (2)若四边形ACBO 的面积是33求点A 的坐标． 【答案】(1)3y =(2)点A 的坐标为1,232⎛ ⎝【解析】 【分析】（1）过点B 作BD x ⊥轴于点D .根据等边三角形的性质得到1OD =,2BC =,利用勾股定理求得BD 的长度.得到点B 的坐标.将点B 的坐标代入反比例函数解析式中求出k 即可求解.（2）利用三角形的面积公式和已知条件求出AOC △的面积.设出点A 的坐标.利用三角形面积公式进行计算即可求解． (1)解：过点B 作BD x ⊥轴于点D .BOC 是等边三角形.2OC =.112OD CD OC ∴===,2BC OC OB ===.2222213BD CB CD ∴=--.∴点B 的坐标为(1,3--.把点B 的坐标代入k y x=中 (133k ∴=-⨯-=∴ 所以反比例函数表达式为3y =.(2)解： 1=23332BOC AOC AOC ABCD S S S S +=⨯=四边形△△△23AOCS∴=设点A 的坐标为3n ⎫⎪⎪⎝⎭. 12322n ∴⨯⨯.∴23n =331223=. ∴点A 的坐标为1,232⎛ ⎝．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式.反比例函数系数k 的几何意义.反比例函数图象上点的坐标特征.三角形的面积公式．先由三角形的面积求出反比例函数解析式是此题的突破点．9．（2021·吉林·三模）如图.在平面直角坐标系中.矩形ABCO 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（4.2）.双曲线ky x =（x ＞0）的图象交BC 于点D .若BD＝32．求反比例函数的解析式及点F 的坐标．【答案】5y x =.点F 的坐标为54,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意BD 线段的长度以及B 点坐标.求得D 的坐标.进而根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式.然后根据图象上点的坐标特征设出F 的纵坐标.代入反比例函数解析式.即可求得F 的坐标． 【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形.顶点B 的坐标为（4.2）. ∴//BC x 轴.∴点D 纵坐标和点B 纵坐标相同. ∴设D （x .2）.∵32BD =.∴BD BC CD =-. 即342x =-. ∴52x =. ∴5,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵双曲线()0ky x x=>的图象交BC 于点D .∴252k =. 得5252k =⨯=.∴所求反比例函数表达式为：()50y x x=>. ∴点F 横坐标和点B 横坐标相同. ∴设F （4.y ）. ∴将点F 坐标代入5y x=. 即54y =. ∴点F 的坐标为54,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式.反比例函数图象上点的坐标特征.求得D 的坐标是解题的关键．10．（2022·广东江门·一模）反比例函数y 1＝1k x（k 1＞0）和y 2＝22(0)k k x >在第一象限的图象如图所示.过原点的两条射线分别交两个反比例图象于A .D 和B .C(1)求证：AB ∥CD .(2)若k 1＝2.S △OAB ＝2.S 四边形ABCD ＝3.求反比例函数y 2＝2k x（k 2＞0）的解析式． 【答案】(1)见解析 (2)245y x=【解析】。
