函数的奇偶性与周期性、对称性课后练习题详解

高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习（含答案）1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos 3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +−=−−=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21−B ．22−C ．23−D ．24−【答案】D 【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x −=+，因为()(4)7g x f x −−=，所以(2)(2)7g x f x +−−=，即(2)7(2)g x f x +=+−，因为()(2)5f x g x +−=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++−=，即()(2)2f x f x +−=−，所以()()()()35212510f f f +++=−⨯=−，()()()()46222510f f f +++=−⨯=−．因为()(2)5f x g x +−=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =−−=−． 因为()(4)7g x f x −−=，所以(4)()7g x f x +−=，又因为()(2)5f x g x +−=，联立得，()()2412g x g x −++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =−=−．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=−−−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f −=D ．(1)(2)g g −=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于()f x ，因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x −=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f −=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=−，(4)()g x g x −=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''−=+⇔−−=+⇔−−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x −+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]： 因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=−， 所以()()3f x f x −=，(4)()g x g x −=，则(1)(4)f f −=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x −==−−，所以()(2)(1)g x g x g x +=−+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++−=是奇函数，则=a _____，b =______． 【答案】 12−； ln 2． 【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =++−有意义，则1x ≠且101a x+≠− 1x ∴≠且11x a ≠+， 函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=−，解得12a =−， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=， 故答案为：12−；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x−+−−=++=+=+−−− 1()1ax a f x ln b x++−=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x−−++∴+−=++=−+ 2222(1)201a x a lnb x −+∴+=− 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=− 1222241,22b ln b ln a b ln ln −==−⇒=∴=−= [方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x ++−=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠−可得，()()110x a ax −+−≠，所以11a x a +==−，解得：12a =−，即函数的定义域为()()(),11,11,−∞−⋃−⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x +=−++=−−，在定义域内满足()()f x f x −=−，符合题意． 故答案为：12−；ln 2． 本课结束。

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数， 则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

高三数学周期性和对称性试题答案及解析1.设是定义在R上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】【解析】∵是定义在R上且周期为2的函数，即，∴，即①．又∵，，∴②．联立①②，解得，．∴．2.已知函数，记，，，，则()A．lg109B．2C．1D．10【答案】D【解析】∵，∴，∴，，，，故选D.【考点】1分段函数；2函数的周期性。

3.函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】因为对任意的都有，所以函数的周期为2. 由在区间上函数恰有四个不同的零点，即函数在上有四个不同的零点.即函数与函数在有四个不同的交点.所以.解得.故选D.【考点】1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.4.定义在上的函数满足，则 .【答案】.【解析】当时，，则当时，，故函数在上是周期为的周期函数，所以.【考点】1.分段函数；2.函数的周期性5.定义在上的函数满足则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，故选D.【考点】1.函数的周期性；2.分段函数；3.对数的运算6.设是周期为2的奇函数，当时，=，=______.【答案】．【解析】由题意.【考点】函数的性质及解析式.7.定义在上的函数满足，当时,,当时,.则=（）A．338B．337C．1678D．2013【答案】B【解析】因为，定义在上的函数满足，所以，，是周期为6的周期函数.又当时,,当时,.所以，，故=，选B.【考点】函数的周期性，函数的概念.8.若定义在R上的偶函数满足且时,则方程的零点个数是( )A．2个B．3个C．4个D．多于4个【答案】C【解析】由知，函数是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出和的图像，有图可知零点个数为4个.【考点】1、周期函数；2、函数的图像；3、函数的零点.9.已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间[-1,3]内，函数有4个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】 C【解析】因为，可得，所以是周期为2的函数，又因为是偶函数，且时，，所以当时，.综上时，. 由于函数有4个零点，故与直线有四个交点.如下图：恒过点，要使它们有四个交点，则直线必过，把代入，得，数形结合可得实数的取值范围是.【考点】1.函数的周期性；2.函数的零点.10.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=．【答案】【解析】由知，为函数的对称轴，所以，因为α∈(0,π)，所以，得或.【考点】函数对称性、正弦函数性质.11.给出下列五个命题：①函数在区间上存在零点；②若，则函数在处取得极值；③“”是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件；④函数的图像与函数的图像关于轴对称；⑤满足条件AC=，AB =1的三角形△ABC有两个．其中正确命题的是 .【答案】①③④【解析】①,,则在处取得极值.故正确;②如函数，，而在R上无极值.故错误；③当时，即为奇函数；由在定义域上是奇函数有，则 . 故正确.④设函数的图像上一点，则关于轴的对称点为，此点在图像上,故正确；⑤，而，故 .则这样的三角形只有1个，故错误.【考点】1.函数的零点；2.函数的极值；3.奇函数的判定；4.解三角形解的个数；5.命题的真假.12.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.13.若对任意的，函数满足，且，则（）A．0B．1C．-2013D．2013【答案】D【解析】由，且，令，可知令，可知依次类推，可得【考点】本小题主要考查抽象函数及其应用.点评：解决抽象函数问题的主要方法是“赋值法”，而且此类问题一般和函数的周期性结合考查.14.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为．【答案】-10.【解析】是定义在R上且周期为2的函数，,,又，...（1）又f(-1)=f(1), (2)由(1)(2)解得a=2,b=-4..15.设偶函数对任意，都有，且当时，,则= A．10B．C．D．【解析】解：因为f（x+3）="-1" /f(x) ，故有f（x+6）="-1" /f(x+3) ="-1/(" -1 /f(x)) =f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）="-1" /f(2.5) ="-1" /f(-2.5) ="-1/" 4×(-2.5) ="1" /10 ．故选B16.若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是A．2009B．2010C．2011D．2012【答案】D【解析】因为，所以又，所以则；故有；所以故选D17.函数与的图象关于（▲ ）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y=x对称【答案】C【解析】本题考查函数图像的对称性.函数的图像关于y轴对称；函数的图像关于x轴对称；函数的图像关于原点轴对称；设是函数图像上任意一点，即则点关于原点的对称点为于是，即的坐标满足函数的解析式，所以点是函数的图像上的点；因此函数与的图象关于原点对称.故选C18.已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（其中走为不等于l的实数）有四个不同的实根，则的取值范围是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】略19.将一张坐标纸折叠一次，使点（10，0）与（－6，8）重合，则与点（－4，2）重合的点是（）A．（4，－2）B．（4，－3）C．（3，）D．（3，－1）【答案】A【解析】略20.设是定义在上的以为周期的奇函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】根据周期为3，得到f（-2）=f（1），根据函数为奇函数，得到f（-2）=-f（2），从而求出a的取值范围．解：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f（-2）=f（-2+3）=f（1）＞1而f（-2）=-f（2）=＞1解得-1＜a＜故选C．21.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ w_w_w.k*s 5*u.c o*m于是－＝1 Þ m＝－2答案：A22.若函数的图像关于直线对称，则为A．B．C．D．任意实数【答案】B【解析】考查反函数，因为图像本身关于直线对称故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数再与原函数比较系数可得答案。

分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】 函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。