初中数学青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.3 圆周角-章节测试习题
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章节测试题1.【题文】如图，AB是半圆的直径，0是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC的中点，0D交弦AC于E，连接BE．若AC=8，DE=2，求BE的长度．【答案】【分析】连接BC，设OD＝OA＝x，在Rt△AEO中，根据求出x 的值，在Rt△ABC中求出BC的长度，再Rt△CBE中求BE的长度；【解答】解：如图，连接BCD 是弧AC的中点OD 垂直平分ACEA =EC=设OD=OA=x，则OE=x-2，即，解得x=5AB =2OA=10答：BE的长度为.2.【题文】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB长．【答案】DB=cm【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可得CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，然后由含30°角的直角三角形的性质，即可求得EC与DE的长，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠B=30°，继而求得DB的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，∠AEC=∠DEB=90°，∵∠B=∠ACD=30°，在Rt△ACE中，AC=2AE=4cm，∴CE==2（cm），∴DE=2cm，在Rt△BDE中，∠B=30°，∴BD=2DE=4cm．∴DB的长为4cm．3.【题文】如图，A，B，C，D，P是⊙O上的五个点，且∠APB=∠CPD. 与的大小有什么关系？为什么？【答案】=，理由见解析.【分析】连接OA、OB、OC、OD，根据在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等可以得出∠AOB=∠COD，然后根据相等的圆心角所对的弦相等得出答案.【解答】解：与相等．理由如下：连结OA、OB、OC、OD，如图，∵所对圆周角∠APB 圆心角∠AOB所对圆周角∠CPD 圆心角∠COD∴∠APB=∠AOB ∠CPD=∠COD，∵∠APB=∠CPD ∴∠AOB=∠COD，∴=．4.【题文】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC和BD是对角线，AB＝CD.求证：（1）AC＝DB；（2）AD∥BC【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等即可解决问题；（2）运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等即可解决问题.【解答】解：(1) ∵∴ 弧AB=弧CD∴ 弧BD=弧AC∴AC=BD（2）∵∴ 弧AB=弧CD∴∴AD∥BC5.【题文】已知⊙O中，弦AB的长等于⊙O的半径，求弦所对的圆心角和圆周角的度数．【答案】弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．【分析】画出图形，连接OA、OB，因为AB=OA=OB，所以∠AOB=60°．分两种情况，①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，则∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，由圆的内接四边形性质可得∠C+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°－∠C=150°．【解答】解：画出图形：连接OA、OB，∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°．分两种情况：①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，则∠C=∠AOB=30°；②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠ADB=180°，∴∠ADB=180°－∠C=150°．综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．6.【题文】如图，在⊙O中，， OB，OC分别交AC，BD于E、F，求证: OE=OF。
【答案】见解答.【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得出OB⊥AC，OC⊥BD，故，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴OB⊥AC，OC⊥BD，∴，∴AC=BD，∴OE=OF．7.【题文】如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，作AD，BC 于E，F，•延长BA交⊙O于G，求证：．【答案】见解答.【分析】连接AF，根据平行线的性质及在同圆中圆心角相等，则所对的弧相等求得结论．【解答】解：连接AF，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF．∴∠GAE=∠EAF．∴．8.【题文】一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为72°，另外两个扇形的圆心角度数的比为3∶5，求这两个扇形的圆心角的度数．【答案】108°，180°.【分析】根据周角是360°列方程解答即可.【解答】解：∵另外两个扇形的圆心角度数的比为3：5，设两个扇形圆心角的度数分别为3x和5x，3x+5x+72°=360°，解得x=36°，∴3x=3×36°=108°，5x=5×36°=180°，∴另外两个圆心角度数是108°和108°.故答案为：108°，180°.9.【题文】如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N在⊙O上．（1）求证：,；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则成立吗？【答案】（1）见解析；（2）成立.【分析】 (1)先利用HL定理判定Rt△OCM和Rt△ODN全等,再根据全等三角形的性质可得: ∠AOM=∠BON,最后根据同圆中,相等的圆心角所对的弧相等即可求证,(2)通过C点是OA的中点可得:OC=,根据直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半可得∠OMC＝30°,根据直角三角形性质可得: ∠MOC＝60°,同理可得∠NOD＝60°,所以∠MON＝60°,所以∠MOC＝∠NOD＝∠MON,根据同圆中相等的圆心角所对弧相等即可求证.【解答】解:(1)连结OM,ON,因为OM=ON,OA=OB,∵AC=DB,∴OC=OD,在Rt△OCM和Rt△ODN中,,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,∴∠AOM=∠BON,∴,(2).10.【题文】如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求弧BE的度数和弧EF的度数．【答案】BE的度数为80°，EF的度数为50°．【分析】 (1)根据弧的度数等于它所对圆心角的度数,先连接AE,根据平行四边形的性质,对角相等可得∠B=50°,然后再根据等腰三角形的性质利用三角形内角和定理计算出∠BAE即可求解,(2)根据平行线的性质可求∠EAF=∠B=50°.【解答】解:(1)连接AE,因为平行四边形ABCD, ∠D=50°,所以∠B=∠D=50°,所以∠BAE=180°－2∠B=180°－2×50°=80°,所以弧BE的度数是80°,又因为AD∥BC,所以∠EAF=∠B=50°,所以弧EF的度数是50°.11.【答题】如图，⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25°，则∠AOB的度数为______．【答案】50°【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系和圆周角定理解答即可.【解答】解：∵OA⊥BC，∴；由圆周角定理，得∠AOB=2∠CDA=50°．12.【答题】如图，已知AB,CD是⊙O的直径，CE是弦，且AB∥CE,∠C=35°，则的度数为______【答案】35°【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】解：∵AB∥CE∴∠DOB=∠C=35°∵OC=OE∴∠COE=180°-35°×2=110°∴∠BOE=180°-110°-35°=35°∴的度数为35°.13.【答题】如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝______．【答案】40°【分析】根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”得∠AOC=∠BOD，再得出∠AOB=∠COD.【解答】解：∵在⊙O中，，∴∠AOC=∠BOD，∴∠AOC-∠BOC=∠BOD-∠BOC，∴∠AOB=∠COD=40°.故答案为40°.14.【答题】如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB=______【答案】108°【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】设∠COD=∠A=x°，表示出∠AOB=（180﹣2x）°和∠OCD=∠ODC=，然后利用三角形内角和定理求解+180﹣2x=180，解得：x=36，可求∠AOB=（180﹣2x）°=108°，故答案为：108°．15.【答题】如图，已知AB是⊙O的直径，C、D、E、F、G是上的点，且有，则∠OCG=______．【答案】30°【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】解：∵,∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG,∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=180°，∴∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOG=∠BOG=30°，∴∠COG=∠COD+∠DOE+∠EOF+∠FOG=120°,∵OC=OG，∴∠OCG=∠OGC=（180°-120°）=30°.故答案为30°.16.【答题】如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=______．【答案】3【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】因为弦AC∥DE,所以弧AD等于弧CE,又因为∠AOD=∠BOE,所以弧AD等于弧BE,所以弧CE等于弧BE,所以CE=BE=3,故答案为:3.17.【答题】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D为的中点，若∠B=50°，则∠A的度数为______度．【答案】65【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】连接OD、OC，∵点D为的中点，∴∠AOD=∠COD，∵∠B=50°，∴∠AOC=100°，∴∠AOD=∠COD=50°，∴∠A=∠ODA=65°，故答案为：65．18.【答题】如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是______°．【答案】60【分析】根据等腰三角形的性质和圆的性质解答即可.【解答】∵CD=OD=OE，∴∠C=∠DOC=20°，∴∠EDO=∠E=40°，∴∠EOB=∠C+∠E=20°+40°=60°．故答案是：60．19.【答题】如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为______．【答案】【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】连接BO，与圆交于E,连接AE,,所以AB+CD所对圆心角是180°，所以，CD=AE,∠A=90°BE=，半径是．20.【答题】如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是______．【答案】2【分析】根据弧、弦、圆心角之间的关系解答即可.【解答】如下图，作点C关于直径AB的对称点C1，连接DC1，交AB于点P，此时PC+PD最短.∵点C和点C1关于AB对称，点C是上半圆上的三等分点，∴AB垂直平分CC1，点C1是下半圆上的三等分点，∴PC=PC1，∠AOC1=60°，∴PC+PD=PD+PC1=DC1，∵点D是的中点，∴为半圆O，∴∠AOD=30°，∴∠DOC1=∠DOA+∠AOC1=90°，∴在Rt△DOC1中，DC1=，∴PC+PD的最小值为.。
