偏微分内容及作业
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第一章 偏微分方程方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 源头问题与当今应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 偏微分方程建模方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
实验和实地勘察结果表明，如果巷道内有障碍物或巷道结构的改变都可更快地导致 DDT 的产生。一旦爆轰产生其强大的破坏能力远超人们的想象。 因此，瓦斯爆炸之所以破坏强度如此大，就是因为产生了爆轰现象，而爆轰现象的产生又 是因为两个自由界面运动并发生重叠的结果，即火焰面追上了冲击波。所以，将瓦斯爆炸控制 在点火燃烧初期或爆燃转变为爆轰之前，具有重大的现实意义。 例 1.2 太阳风是如何影响人类的？ 太阳风就是太阳表面核爆炸后向地球方向抛洒的高能的带电粒子，称为等离子体。如果等 离子体密度不大，它们进入地球磁场后，将以带电粒子的形式在地球磁场中运动，并滑向两级
此方程叫做三维空间的热方程，其中 k 2 是一个常数，其值依赖于物体的某些性质. 二、当今应用 例 1.1 如何将瓦斯爆炸的灾害降到最低？ 在巷道内预混合气点火燃烧形成的火焰面以球形波的形式向外扩展。起初，因高温急剧膨 胀，燃烧产生的大量产物是与火焰面和冲击波协同运动的。碰到壁面后被反射，反射后一起向 着巷道开口的方向传播。
因此他推出 (1.1)
其中 a2 = T σ 是常数，这样一来，弦振动方程就第一次出现了. 这个方程含有对时间变量和空间 变量的偏导数，这时空间变量只有一维，因而称为一维波动方程. 显然，D’Alembert 的做法强烈地依赖微积分的思想，在当时微积分理论并没有完善而且也 不严密. 然而，D’Alembert 的大胆试验却为人类应用微积分、完善微积分的理论作出了重要贡 献，也因此拉开了建立偏微分方程学科的序幕！正如著名哲学家 Horace Lamb 所说的“一个不 亲自检查桥梁每一部分的坚固性就不敢过桥的旅游者，是不可能走远的；甚至在数学中，有些 事情须经冒险”. 历史源头问题之二：确定一个物体对另一物体的万有引力的大小
1.1
源头问题与当今应用
.3.
随着弦振动方程的建立，另一类物理问题的研究也推动了偏微分方程学科的发展. 十八世 纪物理学中的主要问题之一是确定牛顿提出的一个物体对另一物体产生的万有引力的大小，最 重要的情形是：太阳对一个行星，地球对它外部或内部的一个质点，地球对另一连续质量的引 力. 当两个物体的质量差得非常远时，它们是可以当质点处理的. 但是当考虑地球吸引一个质点 时，就必须考虑地球的大小. 很显然，如果要计算地球的质量分布对一个质点或对另一质量分 布的万有引力时，就必须知道地球的形状. 但在 1700 年左右就已经清楚地知道它一定是某种形 状的椭球体，也许是一个扁球. 在计算实心扁球体对一个外部质点和一个内部质点所作用的引 力时，就不能把扁球体质量当作集中在中心. 历史源头问题之三：作为实际问题，在工业上为了处理金属；作为科学问题，是企图确定地球 内部的温度 1807 年，傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的基本论文，这篇论文经拉格朗日， 拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝了. 但科学院确实想鼓励傅里叶发展他的思想，所以把热传导 问题确定为将于 1812 年授予高额奖金的课题. 傅里叶在 1811 年提交了修改过的论文，受到上 述诸人和另外一些人评审，得到了奖金，但因受到缺乏严密性的批评而未发表在当时的科学院 的《报告》里. 傅里叶对他所受到的待遇感到愤恨，他继续对热的课题进行研究，在 1822 年发 表了数学的经典文献之一《热的解析理论》(Theoorie analytique de la chaleur)，编入了他实际上 未作改动的 1811 年论文的第一部分. 此书是傅里叶思想的主要出处. 两年以后，他成为科学院 的秘书，于是他将 1811 年的论文原封不动地发表在《报告》里. 在吸收或释放热的物体内部，温度分布一般是不均匀的，在任何点上都随时间而变化. 所 以温度 T 是空间和时间的函数，这个函数依赖于物体的形状、密度、材料的比热、T 的初始分 布 (即在时刻 t = 0 时 T 的分布)以及保持于物体表面上的条件. Fourier 在他的书中考虑的第一 个主要问题是在均匀和各向同性的物体内确定作为 x，y ，z ，t 的函数的温度 T . 根据物理原理 他证明了 T 必须满足偏微分方程 k2 ∂T ∂2T ∂2T ∂2T = + + ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1.3 案例分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 习题 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
lT M ,T
k = 1, · · · , n − 1
是弦中的张力（弦振动时它被当作常数） ，M 是总质点，这些研究最终只对二
阶常微分方程的理论有贡献. 在丹尼尔 • 伯努利的解答中有两点失误：第一，只提位移是时间 的函数，这样一来，他的工作在数学上就停留在常微分方程的范围；第二，不提他认识到的那 些简单运动模式（泛音）可以迭加成更复杂的运动 (线性叠加原理). 达朗贝尔在他的论文中，从另一个角度重新考虑了 Johann Bernoulli 推出的方程 d2 y ( na )2 = (yk+1 − 2yk + yk−1 ), k = 1, · · · , n − 1 dt2 l
. II .
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第一章 偏微分方程方法
学习目标与要求 1. 熟练掌握用微元分析法，对遵循守恒律或变分原理的现象建立偏微分方程模型. 2. 掌握偏微分方程定界问题． 3. 掌握 MATLAB 程序求解偏微分方程．
1.1 源头问题与当今应用
一、历史源头问题 历史源头问题之一：来自音乐审美和研究那些利用空气发声的乐器 声音都是由发音体发出的一系列频率、振幅各不相同的振动复合而成，这些振动中有一个 频率最低的振动，由它发出的音就是基音，其余为泛音，而响度较小、频率加倍的辅助音被称 为谐音. 飞利浦 • 拉莫（Jean-Philippe Rameau)在 1726 年关于乐声的和谐阐明了如下事实：一声 音的频率是基音频率的整数倍则称为乐声是和谐的. 由此激起了人们运用数学来研究乐声的和 谐问题. 1713-1714 年，布鲁克 • 泰勒 (Brook Taylor)再次研究了这一古老的主题，他导出了一根伸 张的振动弦的基频，他得到的是一个二阶常微分方程 a2 x ¨ = sy ˙ y ˙ 这里 s ˙= √ x ˙2 + y ˙ 2 ，而微商 s ˙ ，x ˙ ，y ˙ 是对时间取的，并且给出了 y = Asin(x/a) 作为弦在任何 √
l l π，
时刻的形状，这里 a =
是弦的长度. Taylor 关于基频的结果 (按照现代的记号)是 F =
1 2l
T σ
其中 T 为弦的张力，σ = m/g ，m 是单位长度的质量，而 g 为重力加速度.
.2.
第一章
偏微分方程方法
关于偏微分方程第一次真正意义上的成功来自于对以小提琴弦为典型代表的弦振动问题的 重新进攻. 1746 年，达朗贝尔在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，受 1727 年约 翰 • 伯努利 (Johann Bernoulli)给他儿子丹尼尔 • 伯努利的一封信和一篇论文的启发，考虑了一 根无重量的弹性弦，在弦上等间隔的地方放置着 n 个等质量的质点. 弦被当成“小珠的弦” ，即 弦被看成由 n 个离散的、相等的、等间隔的，并且彼此间用没有重量的柔软的弹性绳相连接的 重物构成. 为了处理连续的弦，重物的数目允许变成无穷多个，同时每一个“珠子”的大小和 质量都减小，使得当“珠子”个数增加时总质量趋近连续弦的质量. Johann 考虑：如果弦的长 度是 l，第 k 个质点的横坐标是 xk ,k = 1, · · · , n − 1（在 x = l 处的第 n 个质点是不动的） ，那么 l xk = k · n ，k = 1, · · · , n. 通过分析第 k 个质点的力，约翰 • 伯努利已经证明，如果 yk 是第 k 个质点的位移，则 d2 y ( na )2 = (yk+1 − 2yk + yk−1 ), dt2 l 其中 a2 =
l 他用 y (x, t) 代替 yk ，用 ∆x 代替 n ，于是上述方程变为
∂2y y (x + ∆x, t) − 2y (x, t) + y (x − ∆x, t) = a2 [ ]. ∂t2 (∆x)2 然后他注意到当 n 变成无穷时，∆x 趋于 0，方括号内的表达式就变成了 了
2 ∂2y 2∂ y = a ， ∂t2分方程方法
1.自由界面 (冲击波、火焰面)的形成 由于爆炸产物体积不断加大，使得膨胀速度随其膨胀程度而下降，导致冲击波与火焰面和 爆炸产物相脱离。脱离后具有高速的冲击波继续独自地向前传播，形成了运动着的两个自由界 面：冲击波和火焰面。
2.DDT 现象 由于壁面反射触发火焰抖动、皱折，火焰面扭曲，增大了火焰面积，加快了火焰面卷吸未 燃气体的速度，使普通燃烧转变为爆燃，这又促使火焰面的传播速度加快，并逐渐追上冲击波， 最终爆燃转变为爆轰，即所谓的 DDT （deflagration to detonation transition）现象。
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第一章 偏微分方程方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 源头问题与当今应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 偏微分方程建模方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
实验和实地勘察结果表明，如果巷道内有障碍物或巷道结构的改变都可更快地导致 DDT 的产生。一旦爆轰产生其强大的破坏能力远超人们的想象。 因此，瓦斯爆炸之所以破坏强度如此大，就是因为产生了爆轰现象，而爆轰现象的产生又 是因为两个自由界面运动并发生重叠的结果，即火焰面追上了冲击波。所以，将瓦斯爆炸控制 在点火燃烧初期或爆燃转变为爆轰之前，具有重大的现实意义。 例 1.2 太阳风是如何影响人类的？ 太阳风就是太阳表面核爆炸后向地球方向抛洒的高能的带电粒子，称为等离子体。如果等 离子体密度不大，它们进入地球磁场后，将以带电粒子的形式在地球磁场中运动，并滑向两级
此方程叫做三维空间的热方程，其中 k 2 是一个常数，其值依赖于物体的某些性质. 二、当今应用 例 1.1 如何将瓦斯爆炸的灾害降到最低？ 在巷道内预混合气点火燃烧形成的火焰面以球形波的形式向外扩展。起初，因高温急剧膨 胀，燃烧产生的大量产物是与火焰面和冲击波协同运动的。碰到壁面后被反射，反射后一起向 着巷道开口的方向传播。
因此他推出 (1.1)
其中 a2 = T σ 是常数，这样一来，弦振动方程就第一次出现了. 这个方程含有对时间变量和空间 变量的偏导数，这时空间变量只有一维，因而称为一维波动方程. 显然，D’Alembert 的做法强烈地依赖微积分的思想，在当时微积分理论并没有完善而且也 不严密. 然而，D’Alembert 的大胆试验却为人类应用微积分、完善微积分的理论作出了重要贡 献，也因此拉开了建立偏微分方程学科的序幕！正如著名哲学家 Horace Lamb 所说的“一个不 亲自检查桥梁每一部分的坚固性就不敢过桥的旅游者，是不可能走远的；甚至在数学中，有些 事情须经冒险”. 历史源头问题之二：确定一个物体对另一物体的万有引力的大小
1.1
源头问题与当今应用
.3.
随着弦振动方程的建立，另一类物理问题的研究也推动了偏微分方程学科的发展. 十八世 纪物理学中的主要问题之一是确定牛顿提出的一个物体对另一物体产生的万有引力的大小，最 重要的情形是：太阳对一个行星，地球对它外部或内部的一个质点，地球对另一连续质量的引 力. 当两个物体的质量差得非常远时，它们是可以当质点处理的. 但是当考虑地球吸引一个质点 时，就必须考虑地球的大小. 很显然，如果要计算地球的质量分布对一个质点或对另一质量分 布的万有引力时，就必须知道地球的形状. 但在 1700 年左右就已经清楚地知道它一定是某种形 状的椭球体，也许是一个扁球. 在计算实心扁球体对一个外部质点和一个内部质点所作用的引 力时，就不能把扁球体质量当作集中在中心. 历史源头问题之三：作为实际问题，在工业上为了处理金属；作为科学问题，是企图确定地球 内部的温度 1807 年，傅里叶向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的基本论文，这篇论文经拉格朗日， 拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝了. 但科学院确实想鼓励傅里叶发展他的思想，所以把热传导 问题确定为将于 1812 年授予高额奖金的课题. 傅里叶在 1811 年提交了修改过的论文，受到上 述诸人和另外一些人评审，得到了奖金，但因受到缺乏严密性的批评而未发表在当时的科学院 的《报告》里. 傅里叶对他所受到的待遇感到愤恨，他继续对热的课题进行研究，在 1822 年发 表了数学的经典文献之一《热的解析理论》(Theoorie analytique de la chaleur)，编入了他实际上 未作改动的 1811 年论文的第一部分. 此书是傅里叶思想的主要出处. 两年以后，他成为科学院 的秘书，于是他将 1811 年的论文原封不动地发表在《报告》里. 在吸收或释放热的物体内部，温度分布一般是不均匀的，在任何点上都随时间而变化. 所 以温度 T 是空间和时间的函数，这个函数依赖于物体的形状、密度、材料的比热、T 的初始分 布 (即在时刻 t = 0 时 T 的分布)以及保持于物体表面上的条件. Fourier 在他的书中考虑的第一 个主要问题是在均匀和各向同性的物体内确定作为 x，y ，z ，t 的函数的温度 T . 根据物理原理 他证明了 T 必须满足偏微分方程 k2 ∂T ∂2T ∂2T ∂2T = + + ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
1.3 案例分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 习题 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
lT M ,T
k = 1, · · · , n − 1
是弦中的张力（弦振动时它被当作常数） ，M 是总质点，这些研究最终只对二
阶常微分方程的理论有贡献. 在丹尼尔 • 伯努利的解答中有两点失误：第一，只提位移是时间 的函数，这样一来，他的工作在数学上就停留在常微分方程的范围；第二，不提他认识到的那 些简单运动模式（泛音）可以迭加成更复杂的运动 (线性叠加原理). 达朗贝尔在他的论文中，从另一个角度重新考虑了 Johann Bernoulli 推出的方程 d2 y ( na )2 = (yk+1 − 2yk + yk−1 ), k = 1, · · · , n − 1 dt2 l
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第一章 偏微分方程方法
学习目标与要求 1. 熟练掌握用微元分析法，对遵循守恒律或变分原理的现象建立偏微分方程模型. 2. 掌握偏微分方程定界问题． 3. 掌握 MATLAB 程序求解偏微分方程．
1.1 源头问题与当今应用
一、历史源头问题 历史源头问题之一：来自音乐审美和研究那些利用空气发声的乐器 声音都是由发音体发出的一系列频率、振幅各不相同的振动复合而成，这些振动中有一个 频率最低的振动，由它发出的音就是基音，其余为泛音，而响度较小、频率加倍的辅助音被称 为谐音. 飞利浦 • 拉莫（Jean-Philippe Rameau)在 1726 年关于乐声的和谐阐明了如下事实：一声 音的频率是基音频率的整数倍则称为乐声是和谐的. 由此激起了人们运用数学来研究乐声的和 谐问题. 1713-1714 年，布鲁克 • 泰勒 (Brook Taylor)再次研究了这一古老的主题，他导出了一根伸 张的振动弦的基频，他得到的是一个二阶常微分方程 a2 x ¨ = sy ˙ y ˙ 这里 s ˙= √ x ˙2 + y ˙ 2 ，而微商 s ˙ ，x ˙ ，y ˙ 是对时间取的，并且给出了 y = Asin(x/a) 作为弦在任何 √
l l π，
时刻的形状，这里 a =
是弦的长度. Taylor 关于基频的结果 (按照现代的记号)是 F =
1 2l
T σ
其中 T 为弦的张力，σ = m/g ，m 是单位长度的质量，而 g 为重力加速度.
.2.
第一章
偏微分方程方法
关于偏微分方程第一次真正意义上的成功来自于对以小提琴弦为典型代表的弦振动问题的 重新进攻. 1746 年，达朗贝尔在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，受 1727 年约 翰 • 伯努利 (Johann Bernoulli)给他儿子丹尼尔 • 伯努利的一封信和一篇论文的启发，考虑了一 根无重量的弹性弦，在弦上等间隔的地方放置着 n 个等质量的质点. 弦被当成“小珠的弦” ，即 弦被看成由 n 个离散的、相等的、等间隔的，并且彼此间用没有重量的柔软的弹性绳相连接的 重物构成. 为了处理连续的弦，重物的数目允许变成无穷多个，同时每一个“珠子”的大小和 质量都减小，使得当“珠子”个数增加时总质量趋近连续弦的质量. Johann 考虑：如果弦的长 度是 l，第 k 个质点的横坐标是 xk ,k = 1, · · · , n − 1（在 x = l 处的第 n 个质点是不动的） ，那么 l xk = k · n ，k = 1, · · · , n. 通过分析第 k 个质点的力，约翰 • 伯努利已经证明，如果 yk 是第 k 个质点的位移，则 d2 y ( na )2 = (yk+1 − 2yk + yk−1 ), dt2 l 其中 a2 =
l 他用 y (x, t) 代替 yk ，用 ∆x 代替 n ，于是上述方程变为
∂2y y (x + ∆x, t) − 2y (x, t) + y (x − ∆x, t) = a2 [ ]. ∂t2 (∆x)2 然后他注意到当 n 变成无穷时，∆x 趋于 0，方括号内的表达式就变成了 了
2 ∂2y 2∂ y = a ， ∂t2分方程方法
1.自由界面 (冲击波、火焰面)的形成 由于爆炸产物体积不断加大，使得膨胀速度随其膨胀程度而下降，导致冲击波与火焰面和 爆炸产物相脱离。脱离后具有高速的冲击波继续独自地向前传播，形成了运动着的两个自由界 面：冲击波和火焰面。
2.DDT 现象 由于壁面反射触发火焰抖动、皱折，火焰面扭曲，增大了火焰面积，加快了火焰面卷吸未 燃气体的速度，使普通燃烧转变为爆燃，这又促使火焰面的传播速度加快，并逐渐追上冲击波， 最终爆燃转变为爆轰，即所谓的 DDT （deflagration to detonation transition）现象。
