人教版高中数学必修1-1.2课本延伸：复合函数

高中数学函数(hánshù)概念及其性质知识总结新人教版必修1高中数学函数(hánshù)概念及其性质知识总结新人教版必修1数学必修(bìxiū)1函数概念及性质〔知识点总结(zǒngjié)〕〔一〕函数的有关(yǒuguān)概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数某，在集合B中都有唯一确定的数f(某)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(某)，某∈A．其中，某叫做自变量，某的取值范围A叫做函数的定义域；与某的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(某)|某∈A}叫做函数的值域．2如果只给出解析式y=f(某)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式注意：○子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．定义域补充能使函数式有意义的实数某的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的某零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：〔1〕构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等〔或为同一函数〕〔2〕两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法那么，不管采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域(2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的根底.(3).求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等.3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(某),点P(某，y)的集合C，叫做函数y=f(某),(某∈A)的图象．C上每一点的坐标(某，y)均满足函数关系y=f(某)，反过来，y为坐标的点(某，y)，均在C上.即记为C={P(某,y)|y=f(某),某图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与交点的假设干条曲线或离散点组成.(2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出某,y的一些对应值并列表，以内描出相应的点P(某,y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来B、图象变换法〔请参考必修4三角函数〕常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。

高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。

本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。

1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。

2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。

（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。

（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。

（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。

3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。

（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。

（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。

4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。

链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。

通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。

5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。

具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。

f(x)+f(x－2) ≤3
又f ( x) f ( x 2) f ( x2 2x)
解此类题型关 由题意有f ( x2 2x) f (8)
键在于充分利用题 f ( x)为R＋上的 增函数
目所给的条件，本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。
练习：
求函数y x2 4x 3的单调区间。
注意： 在原函数定义域内讨论函数的单调性
例2：设y=f(x)
解：y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成
的单调增区间
由已知得2<u<6 2<2-x<6
是(2,6)，求函 数y=f(2－x)的
x （－4，0） y=f(u)在（2，6）上是增函数， u 2 x在x (4, 0)上是减函数，
即f(x2) f(x1)<0,f(x1)>f(x2)
由函数单调性定义知，f(x)是R上的减函数
练习：已知函数f(x)对任意x,y R,总有f(x+y)=f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)<0,f(1)=- 2 3
(1)求证:f(x)是R上的减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
且f(x－1)<f(x2－1),
1 x 1 1 易错点
求x的取值范围。
1 x2 1 1
注： 在利用函数的
单调性解不等式的 时候，一定要注意 定义域的限制。
x 1 x2 1
0 x2


0
x2
21
x
2
保证实施的是等价 转化

高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。

本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。

一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。

一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。

二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。

2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。

3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。

三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。

2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。

四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。

1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。

2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。

3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。

综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。

它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。

通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。

希望本文对大家的学习有所帮助！。