求曲线方程的几种常用方法 - 副本

求曲线方程的方法首先，我们来讨论一元二次方程的求解方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

我们可以利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解一元二次方程的根。

根据方程的系数a、b、c的不同取值，可以分为两个实根、两个虚根和重根三种情况。

通过求根公式，我们可以准确地求解出方程的根，并进一步得到曲线的特征和性质。

其次，我们来讨论直线和曲线的交点求解方法。

当我们需要求解一条直线与曲线的交点时，可以将直线方程代入曲线方程中，得到一个关于未知数的方程，然后通过解方程的方法求解出交点的坐标。

在实际问题中，直线和曲线的交点往往代表着某种特定的意义，比如最值点、切点等，因此求解交点的方法在实际中具有重要的应用价值。

另外，我们还可以利用数值计算的方法求解曲线方程。

当曲线方程的解析解比较复杂或者无法通过代数方法求解时，我们可以利用数值计算的方法来近似求解曲线的性质和特征。

通过选取合适的步长和迭代次数，我们可以得到曲线的近似形状、极值点、拐点等重要信息，从而更好地理解和应用曲线方程。

最后，我们还可以利用计算机软件来求解曲线方程。

随着计算机技术的发展，各种数学软件如Mathematica、Matlab等已经成为了求解曲线方程的强大工具。

通过这些软件，我们可以直观地绘制曲线图像，求解方程的根，计算曲线的各种特征参数，甚至进行曲线拟合和数据分析等工作。

因此，掌握数学软件的使用方法也是求解曲线方程的重要途径之一。

总的来说，求解曲线方程是数学中一个重要而复杂的问题，我们可以通过代数方法、几何方法、数值计算和计算机软件等多种途径来求解曲线方程，从而更好地理解和应用曲线的性质和特征。

希望本文介绍的方法能够对读者有所帮助，让大家更好地掌握求解曲线方程的技巧和方法。

【高中数学】高中数学知识点：曲线的方程曲线的方程的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

求曲线的方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件的p（M）的集合，P=M；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

求曲线的方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件的p（M）的集合，P=p（M）；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

求曲线方程的常用方法：（1）待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。

（2）直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来，从而得到其横、纵坐标之间的关系式。

（3）定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。

（4）交轨法：就是在求两动曲线交点轨迹方程时，联立方程组消去参数，得到交点的轨迹方程。

在求交点问题时常用此法。

（5）参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系，然后通过消参得出其直接关系。

（6）相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系，来求曲线方程的方法。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

曲线方程求曲线的轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系f (x ，y )＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．(4)相关点法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，首先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得到要求的轨迹方程．(5)交轨法：动点P (x ，y )是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．(6)参数法：当动点P (x ，y )的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f (x ，y )＝0. 方法规律：(1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法； (2)双动点的轨迹问题——相关点法； (3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法．类型一 已知方程判断曲线例一 方程||x －1＝1－（y －1）2表示的曲线为( ) A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．一个半圆D ．两个圆解：原方程等价于⎩⎨⎧x 2－2||x ＋1＝1－（y －1）2，||x ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1＝1－（y －1）2，x ≥1， 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1＝1－（y －1）2，x ≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1， 或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. ∴原方程表示(x －1)2＋(y －1)2＝1(x ≥1)和(x ＋1)2＋(y －1)2＝1(x ≤－1)两个半圆．故选B.类型二 直接法求曲线的轨迹方程例二 线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，||AB ＝2a ，||CD ＝2b ，动点P 满足||P A ·||PB ＝||PC ·||PD ，求动点P 的轨迹方程．解：以AB 中点O 为原点，直线AB 为x 轴，直线CD 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，设P (x ，y )，易知A (－a ，0)，B (a ，0)，C (0，－b )，D (0，b )，类型三 几何法求曲线的轨迹方程例三 如图，过点P (2，4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．∴线段AB 的中点为(1，2)，满足方程x ＋2y －5＝0(x ≥0，y ≥0)． 综上得M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0(x ≥0，y ≥0)． 解法二：设M (x ，y )，则A (2x ，0)，B (0，2y )．∵P A ⊥PB ，M 为AB 中点，∴||PM ＝12||AB ，即（x －2）2＋（y －4）2 ＝12（2x －0）2＋（0－2y ）2， 化简得x ＋2y －5＝0(x ≥0，y ≥0)，即为所求． 解法三：设M (x ，y )．∵M (x ，y )为线段AB 中点，∴A (2x ，0)，B (0，2y )． ∵P A ⊥PB ，∴P A →·PB →＝0.类型四 定义法求曲线的轨迹方程例四 一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．解：两圆的方程可以分别化为C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4，C 2：(x －3)2＋y 2＝100， ∴两圆的圆心分别为C 1(－3，0)，C 2(3，0)，半径分别为r 1＝2，r 2＝10. 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，两切点为T 1，T 2. 由平面几何的知识知：||MC 1＝r 1＋r ，||MC 2＝r 2－r ， ∴||MC 1＋||MC 2＝r 1＋r 2.∴动圆圆心M 到C 1与C 2的距离之和为定值．由椭圆的定义知，动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，以12(r 1＋r 2)＝12(2＋10)＝6为长半轴长的椭圆，其方程为x 236＋y 227＝1.1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )解：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1>0，x 2＋y 2－4＝0或x ＋y ＋1＝0，故选C.5．设点M (0，－5)，N (0，5)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为( ) A ．y 2169＋x 225＝1(x ≠0)B ．y 2169＋x 2144＝1(x ≠0)C ．x 2169＋y 225＝1(y ≠0)D ．y 2169＋x 225＝1(y ≠0)解：∵|PM |＋|PN |＝36－10＝26>|MN |，且P 不与M ，N 共线，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点，且去掉长轴端点的椭圆．又c ＝5，a ＝13，∴b ＝a 2－c 2＝132－52＝12.∴顶点P 的轨迹方程为y 2169＋x 2144＝1(x ≠0)．B.7．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是____________．解：由角平分线定义和绝对值定义知||x ＝||y ，即||x －||y ＝0.故填||x －||y ＝0.8．已知在直角坐标系中，两定点坐标为A (－4，0)，B (4，0)，一动点M (x ，y )满足条件|||MA →－||MB →|＝12||AB→，则点M 的轨迹方程是____________． 解：很明显M 的轨迹为一双曲线， 故可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．易知c ＝4，由2a ＝12||AB →＝4，得a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故M 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1.故填x 24－y 212＝1.9．若△ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是(0，0)和(4，0)，AB 边上中线的长为3，求顶点A 的轨迹方程．解：设AB 的中点为M (x 1，y 1)，由||MC ＝3知M 点轨迹方程为(x 1－4)2＋y 21＝9(y 1≠0)．设A (x ，y )，则⎩⎨⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2，代入点M 的轨迹方程得顶点A 的轨迹方程为x 2＋y 2－16x ＋28＝0(y ≠0)．10．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.求动点P 的轨迹方程．解：∵点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称， ∴点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．12 已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1，0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0，得k 2>32.由求根公式得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又∵点A 是PB 的中点，∴x 2＝2x 1，③ 将③代入①②中，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2⎝⎛⎭⎫k 2>32，解得k 2＝94，k ＝±32. ∴直线m 的斜率为－32或32.解法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，y 1＝3＋y 22.①又∵点A ，B 在椭圆C 上， ∴x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，k PB ＝±32.∴直线m 的斜率为－32或32.。

高中曲线方程的求解方法
曲线方程是高中数学的重中之重內容，都是一整难题。

曲线方程的定义:在直角坐标系中，如果曲线c上的一点(被认为是一组点或适合某些条件的点轨迹)与二元方程f(x，y)=0的实解建立了以下关系:
(1)曲线上各点的坐标都是这个方程的解;
(2)以该方程解为坐标的点都是曲线上的点。

然后，这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程曲线。

找到曲线方程的步骤如下:
(1)建立合适的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意点m的坐标;
(2)用合适的条件写一组p(M)，P = { M | P(M)};
(3)条件p(M)用坐标表示，并列出公式f(x，y)= 0;
(4)方程f(x，y)=0被简化为最简单的形式;
(5)简化方程的解是坐标的点都在曲线上。

求解曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法(Unfinished coefficient method)这种方法需要事先知道曲线的方程，先把它建立起来，然后根据条件列出方程(组)来求解未知数。

(2)直译法是直接表达移动点所满足的主题条件，从而获得水平坐标和垂直坐标之间的关系式。

(3)定义方法是从曲线的定义中直接得到曲线方程。

(4)轨道相交法:在寻找两条运动曲线交点的轨迹方程时，联立方程剔除参数，得到交点的轨迹方程。

这种方法常用于解决交叉问题。

(5)参数法是通过中间变量找出Y和X之间的间接关系，然后通过参数消去得到其直接关系。

(6)相关点法是通过寻找运动点和已知运动点之间的关系来寻找曲线方程的方法。

一道题浅析求曲线方程的几种常见的方法黑龙江省伊春市第二中学朴健丽求曲线的方程一般要根据已知条件，找出题中的等量关系。

然后用曲线上的任意一点),(y x P 的坐标表示出等量关系，化简整理最后得到曲线的方程。

求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

求曲线方程的方法由很多，常见的方法有定义法，直接法，相关点法，参数法，向量法。

一．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点轨迹方程。

它的基本步骤是建系、设点、列式、代换、化简、证明。

例题：已知点O 是原点,点Q 是圆C ：22(1)1x y -+=上的一个动点，当点Q 在圆C 上运动时求OQ 的中点P 的轨迹方程.解法1：直接法：设动点P 的坐标为),(y x 1-=x y k CP ，x y k OP =OP CP ⊥ ∴1-=⋅OP CP k k ∴1-=⋅-x y y ∴点P 的轨迹方程为11(22=+-y x 点评：找到题中的等量关系，斜率相乘为-1，然后把等式坐标化，最后得出曲线的方程。

二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

垂直平分线的定义，圆的定义，椭圆的定义，双曲线的定义，抛物线的定义等各种已知的曲线的定义。

例题：已知点O 是原点,点Q 是圆C ：22(1)1x y -+=上的一个动点，当点Q 在圆C 上运动时求OQ 的中点P 的轨迹方程.x y o Q P xyo QP解法2：定义法设动点P 的坐标为),(y x 取OC 的中点为D , D 、P 分别为OC 、OQ 中点∴2121==QC PD ，根据圆的定义可知，点P 的轨迹是以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21为圆心，21为半径的圆∴点P 的轨迹方程为11(22=+-y x 点评：要想用定义法解题的前提是学生必须要熟悉已经学过的圆锥曲线的定义，看到题中的条件能识别出满足某个圆锥曲线的定义。

求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。

通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。

这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。

2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。

通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。

例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。

3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。

例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。

4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。

通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。

例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。

5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。

数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。

6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。

通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。

这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。

以上是求曲线方程的六种常用方法。

根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。

求曲线方程常用方法例析河北省 杨新兰求动点轨迹方程的基本思想方法的实质是形数对应、形数结合与转化的一个具体的应用．根据动点的不同的运动性质和规律，采用不同的解题方法．下面举例介绍求曲线方程的几种常用方法．一、条件直译法如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，可以把这些关系直接译成含“x ，y ”的等式．此类解法适合较简单的问题．例1 如图，已知动点M 到定点A(1，0)与定直线l ：x = 3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程．解：设M(x ，y)是轨迹上任意一点，作MN ⊥l 于N ，则|MA|＋|MN| = 4，即－|x －3|．当3≤x ≤7－x ，即y 2=－12(x －4) (3≤x≤4)；当－1≤x ＜3＋1，即y 2= 4x (0≤x ＜3)．∴动点M 的轨迹方程2212(4),(34),4.(03).y x x y x x ⎧=--≤≤⎪⎨=≤<⎪⎩评析：求曲线轨迹方程知要注意一些隐含条件，当轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x 、y 的取值范围．二、坐标代换法有时动点所满足的几何条件不易求出，但动点P(x ，y)依赖于另一动点Q(x ，y)，而Q(x ，y)又在某已知曲线上，则可先写出关于x 1，y 1的方程，再将x 1，y 1换成x ，y ，就得到原动点的轨迹．例2 过定点A(a ，b)任作互相垂直的两直线1l 与2l ，且1l 与x 轴交于M 点，2l 与y 轴交于N 点，求线段MN 中点P 的轨迹方程．解：设M(x 1，0)，N(0，y 1)，P(x ，y)，由题意得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,211y y x x ⇒ ⎩⎨⎧==.2,211y y x x ① ∵1l ⊥2l ，∴ (x 1－a)2＋b 2＋(y 1－b)2＋a 2= x 21＋y 21，化简得：2ax 1＋2by 1－a 2－b 2= 0 ．②① 代入②得：2ax ＋2by －a 2－b 2= 0 ．评析：此解法在求轨迹方程时应用广泛，并多与定比分点坐标分式相结合．三、参数法有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，此时若借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立直接联系，然后再从所求式子中消去参数，这便得动点的轨迹方程．例3 已知经过点P(4，0)的直线1l ，经过Q(－1，2)的直线2l ，若1l ⊥2l ，求1l 与2l 交点C 的轨迹方程．解：设动点C 的坐标为(x ，y)，设1l 、2l 的斜率为1k 、2k ，则1k =4y x - (x ≠4)，2k =21y x -+(x ≠－1)． 由1l ⊥2l ，有1k 2k =－1， ∴4y x -·21y x -+=－1，(x ≠4，x ≠－1)． 整理得：x 2＋y 2－3x ＋2y －4 = 0，①当x = 4或x =－1时，方程①有解．①C 的轨迹方程为：x 2＋y 2－3x ＋2y －4 = 0．评析：在利用参数法求轨迹时，要适当地设定参数，即应使动点坐标x 、y 便于用参数表示，最终结果应尽量将参数方程化为普通方程．四、交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标x 、y 分别表示两条曲线方程，然后联立它们消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法．这类问题的解法有一定的技巧性．例4 已知直线l 过定点(0，3)，且是曲线y 2= 4x 的动弦12P P 的中垂线，求直线l 与动弦12P P 的交点M 的轨迹方程．解：设直线l ：y = kx ＋3 (k ≠0)，则12P P 所在直线l 可设为y =－1x k ＋b ，并把它代入y 2= 4x ，整理，得x 2－k(2b ＋4k)x ＋b 2k 2= 0，∴△= [k(2b ＋4k)]2－4b 2k 2= 16 k 3(b ＋k)＞0 ①，且12P P 的中点M(k(b ＋2k)，－2k)在直线l 上，因此有－2k = k 2(b ＋2k)＋3，即b =223k k--－2k 代入①式可得 k(k 3＋2k ＋3)＜0，即k(k ＋1)( k 2－k ＋3)＜0⇒－1＜k ＜0．设中点为M(x ，y)，则b =－223k k+－2k ， ∴23(2),2.k x k b k k y k --⎧=+=⎪⎨⎪=-⎩消去参数k ，得(x ＋2)y = 6． ∵－1＜k ＜0，∴x ＞1．故M 的轨迹方程为(x ＋2)y = 6 (x ＞1)．。