求曲线方程的几种常用方法 - 副本

求曲线方程的方法首先，我们来讨论一元二次方程的求解方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

我们可以利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解一元二次方程的根。

根据方程的系数a、b、c的不同取值，可以分为两个实根、两个虚根和重根三种情况。

通过求根公式，我们可以准确地求解出方程的根，并进一步得到曲线的特征和性质。

其次，我们来讨论直线和曲线的交点求解方法。

当我们需要求解一条直线与曲线的交点时，可以将直线方程代入曲线方程中，得到一个关于未知数的方程，然后通过解方程的方法求解出交点的坐标。

在实际问题中，直线和曲线的交点往往代表着某种特定的意义，比如最值点、切点等，因此求解交点的方法在实际中具有重要的应用价值。

另外，我们还可以利用数值计算的方法求解曲线方程。

当曲线方程的解析解比较复杂或者无法通过代数方法求解时，我们可以利用数值计算的方法来近似求解曲线的性质和特征。

通过选取合适的步长和迭代次数，我们可以得到曲线的近似形状、极值点、拐点等重要信息，从而更好地理解和应用曲线方程。

最后，我们还可以利用计算机软件来求解曲线方程。

随着计算机技术的发展，各种数学软件如Mathematica、Matlab等已经成为了求解曲线方程的强大工具。

通过这些软件，我们可以直观地绘制曲线图像，求解方程的根，计算曲线的各种特征参数，甚至进行曲线拟合和数据分析等工作。

因此，掌握数学软件的使用方法也是求解曲线方程的重要途径之一。

总的来说，求解曲线方程是数学中一个重要而复杂的问题，我们可以通过代数方法、几何方法、数值计算和计算机软件等多种途径来求解曲线方程，从而更好地理解和应用曲线的性质和特征。

希望本文介绍的方法能够对读者有所帮助，让大家更好地掌握求解曲线方程的技巧和方法。

【高中数学】高中数学知识点：曲线的方程曲线的方程的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

求曲线的方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件的p（M）的集合，P=M；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

求曲线的方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件的p（M）的集合，P=p（M）；（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0；（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；（5）说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。

求曲线方程的常用方法：（1）待定系数法这种方法需要预先知道曲线的方程，先设出来，然后根据条件列出方程（组）求解未知数。

（2）直译法就是把动点所满足的题设条件直接给表示出来，从而得到其横、纵坐标之间的关系式。

（3）定义法就是由曲线的定义直接得到曲线方程。

（4）交轨法：就是在求两动曲线交点轨迹方程时，联立方程组消去参数，得到交点的轨迹方程。

在求交点问题时常用此法。

（5）参数法就是通过中间变量找到y、x的间接关系，然后通过消参得出其直接关系。

（6）相关点法就是通过所求动点与已知动点的关系，来求曲线方程的方法。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

曲线方程求曲线的轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系f (x ，y )＝0.也就是：建系设点、列式、代换、化简、证明，最后的证明可以省略，必要时加以说明．(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． (3)待定系数法：已知所求的曲线类型，先根据条件设出曲线方程，再由条件确定其待定系数．(4)相关点法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，首先用x ，y 表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得到要求的轨迹方程．(5)交轨法：动点P (x ，y )是两动直线(或曲线)的交点，解决此类问题通常是通过解方程组得到交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求的轨迹方程．(6)参数法：当动点P (x ，y )的坐标之间的关系不易找到，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得方程f (x ，y )＝0. 方法规律：(1)单点的轨迹问题——直接法＋待定系数法； (2)双动点的轨迹问题——相关点法； (3)多动点的轨迹问题——参数法＋交轨法．类型一 已知方程判断曲线例一 方程||x －1＝1－（y －1）2表示的曲线为( ) A ．一个圆 B ．两个半圆 C ．一个半圆D ．两个圆解：原方程等价于⎩⎨⎧x 2－2||x ＋1＝1－（y －1）2，||x ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1＝1－（y －1）2，x ≥1， 或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1＝1－（y －1）2，x ≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1， 或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. ∴原方程表示(x －1)2＋(y －1)2＝1(x ≥1)和(x ＋1)2＋(y －1)2＝1(x ≤－1)两个半圆．故选B.类型二 直接法求曲线的轨迹方程例二 线段AB 与CD 互相垂直平分于点O ，||AB ＝2a ，||CD ＝2b ，动点P 满足||P A ·||PB ＝||PC ·||PD ，求动点P 的轨迹方程．解：以AB 中点O 为原点，直线AB 为x 轴，直线CD 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，设P (x ，y )，易知A (－a ，0)，B (a ，0)，C (0，－b )，D (0，b )，类型三 几何法求曲线的轨迹方程例三 如图，过点P (2，4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．∴线段AB 的中点为(1，2)，满足方程x ＋2y －5＝0(x ≥0，y ≥0)． 综上得M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0(x ≥0，y ≥0)． 解法二：设M (x ，y )，则A (2x ，0)，B (0，2y )．∵P A ⊥PB ，M 为AB 中点，∴||PM ＝12||AB ，即（x －2）2＋（y －4）2 ＝12（2x －0）2＋（0－2y ）2， 化简得x ＋2y －5＝0(x ≥0，y ≥0)，即为所求． 解法三：设M (x ，y )．∵M (x ，y )为线段AB 中点，∴A (2x ，0)，B (0，2y )． ∵P A ⊥PB ，∴P A →·PB →＝0.类型四 定义法求曲线的轨迹方程例四 一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．解：两圆的方程可以分别化为C 1：(x ＋3)2＋y 2＝4，C 2：(x －3)2＋y 2＝100， ∴两圆的圆心分别为C 1(－3，0)，C 2(3，0)，半径分别为r 1＝2，r 2＝10. 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，两切点为T 1，T 2. 由平面几何的知识知：||MC 1＝r 1＋r ，||MC 2＝r 2－r ， ∴||MC 1＋||MC 2＝r 1＋r 2.∴动圆圆心M 到C 1与C 2的距离之和为定值．由椭圆的定义知，动圆圆心M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，以12(r 1＋r 2)＝12(2＋10)＝6为长半轴长的椭圆，其方程为x 236＋y 227＝1.1．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0表示的曲线形状是( )解：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1>0，x 2＋y 2－4＝0或x ＋y ＋1＝0，故选C.5．设点M (0，－5)，N (0，5)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为( ) A ．y 2169＋x 225＝1(x ≠0)B ．y 2169＋x 2144＝1(x ≠0)C ．x 2169＋y 225＝1(y ≠0)D ．y 2169＋x 225＝1(y ≠0)解：∵|PM |＋|PN |＝36－10＝26>|MN |，且P 不与M ，N 共线，∴P 的轨迹是以M ，N 为焦点，且去掉长轴端点的椭圆．又c ＝5，a ＝13，∴b ＝a 2－c 2＝132－52＝12.∴顶点P 的轨迹方程为y 2169＋x 2144＝1(x ≠0)．B.7．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是____________．解：由角平分线定义和绝对值定义知||x ＝||y ，即||x －||y ＝0.故填||x －||y ＝0.8．已知在直角坐标系中，两定点坐标为A (－4，0)，B (4，0)，一动点M (x ，y )满足条件|||MA →－||MB →|＝12||AB→，则点M 的轨迹方程是____________． 解：很明显M 的轨迹为一双曲线， 故可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．易知c ＝4，由2a ＝12||AB →＝4，得a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12.故M 点的轨迹方程为x 24－y 212＝1.故填x 24－y 212＝1.9．若△ABC 的顶点B ，C 的坐标分别是(0，0)和(4，0)，AB 边上中线的长为3，求顶点A 的轨迹方程．解：设AB 的中点为M (x 1，y 1)，由||MC ＝3知M 点轨迹方程为(x 1－4)2＋y 21＝9(y 1≠0)．设A (x ，y )，则⎩⎨⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2，代入点M 的轨迹方程得顶点A 的轨迹方程为x 2＋y 2－16x ＋28＝0(y ≠0)．10．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.求动点P 的轨迹方程．解：∵点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称， ∴点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．12 已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1，0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0，得k 2>32.由求根公式得x 1＋x 2＝－24k3＋4k 2，①x 1x 2＝243＋4k 2.② 又∵点A 是PB 的中点，∴x 2＝2x 1，③ 将③代入①②中，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k 2，可得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2⎝⎛⎭⎫k 2>32，解得k 2＝94，k ＝±32. ∴直线m 的斜率为－32或32.解法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，∴x 1＝x 22，y 1＝3＋y 22.①又∵点A ，B 在椭圆C 上， ∴x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)，k PB ＝±32.∴直线m 的斜率为－32或32.。

高中曲线方程的求解方法
曲线方程是高中数学的重中之重內容，都是一整难题。

曲线方程的定义:在直角坐标系中，如果曲线c上的一点(被认为是一组点或适合某些条件的点轨迹)与二元方程f(x，y)=0的实解建立了以下关系:
(1)曲线上各点的坐标都是这个方程的解;
(2)以该方程解为坐标的点都是曲线上的点。

然后，这个方程叫做曲线方程，这条曲线叫做方程曲线。

找到曲线方程的步骤如下:
(1)建立合适的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意点m的坐标;
(2)用合适的条件写一组p(M)，P = { M | P(M)};
(3)条件p(M)用坐标表示，并列出公式f(x，y)= 0;
(4)方程f(x，y)=0被简化为最简单的形式;
(5)简化方程的解是坐标的点都在曲线上。

求解曲线方程的常用方法:
(1)待定系数法(Unfinished coefficient method)这种方法需要事先知道曲线的方程，先把它建立起来，然后根据条件列出方程(组)来求解未知数。

(2)直译法是直接表达移动点所满足的主题条件，从而获得水平坐标和垂直坐标之间的关系式。

(3)定义方法是从曲线的定义中直接得到曲线方程。

(4)轨道相交法:在寻找两条运动曲线交点的轨迹方程时，联立方程剔除参数，得到交点的轨迹方程。

这种方法常用于解决交叉问题。

(5)参数法是通过中间变量找出Y和X之间的间接关系，然后通过参数消去得到其直接关系。

(6)相关点法是通过寻找运动点和已知运动点之间的关系来寻找曲线方程的方法。

一道题浅析求曲线方程的几种常见的方法黑龙江省伊春市第二中学朴健丽求曲线的方程一般要根据已知条件，找出题中的等量关系。

然后用曲线上的任意一点),(y x P 的坐标表示出等量关系，化简整理最后得到曲线的方程。

求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。

求曲线方程的方法由很多，常见的方法有定义法，直接法，相关点法，参数法，向量法。

一．直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，化简即得动点轨迹方程。

它的基本步骤是建系、设点、列式、代换、化简、证明。

例题：已知点O 是原点,点Q 是圆C ：22(1)1x y -+=上的一个动点，当点Q 在圆C 上运动时求OQ 的中点P 的轨迹方程.解法1：直接法：设动点P 的坐标为),(y x 1-=x y k CP ，x y k OP =OP CP ⊥ ∴1-=⋅OP CP k k ∴1-=⋅-x y y ∴点P 的轨迹方程为11(22=+-y x 点评：找到题中的等量关系，斜率相乘为-1，然后把等式坐标化，最后得出曲线的方程。

二、定义法如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

垂直平分线的定义，圆的定义，椭圆的定义，双曲线的定义，抛物线的定义等各种已知的曲线的定义。

例题：已知点O 是原点,点Q 是圆C ：22(1)1x y -+=上的一个动点，当点Q 在圆C 上运动时求OQ 的中点P 的轨迹方程.x y o Q P xyo QP解法2：定义法设动点P 的坐标为),(y x 取OC 的中点为D , D 、P 分别为OC 、OQ 中点∴2121==QC PD ，根据圆的定义可知，点P 的轨迹是以⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21为圆心，21为半径的圆∴点P 的轨迹方程为11(22=+-y x 点评：要想用定义法解题的前提是学生必须要熟悉已经学过的圆锥曲线的定义，看到题中的条件能识别出满足某个圆锥曲线的定义。

４ ・－ － ４ － － － 一 ， ＊＋ －一 ｔ＊ －ｑ －
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浅 谈 新 课 改 下小 学语 文教 学 中 学 生 主休 作 用 的 发挥
王静 亚
新 的语 文课程 标准 强调 指 出 ， 文课 语
ｒ———— ————一
消去 。 ， 得
由两 点 间 的 距 离 公式 ， 得
ｒ——— ——————一 ｒ———— ————
Ｖ（ ａ ｘ ＋
・ Ｖ（
＝ （ ）・ Ｖ ：
三 、 数 法 参 当动 点 Ｐ中 的 坐 标 ， 间 的 关 系 不 Ｙ之
２ｘ ２ ｙ ａ一：Ｏ ≠ ） ａ ＋ ｂ— ２ｂ＝ （ 。
例 ３过定点 Ａ（， ） ． ｏ 任作 互相垂直的两 ｂ
．
．
所 求 ＭＮ 的 中 点 Ｐ的 轨 迹 方 程 为
如 本 例 中 建 立 的 直 角 坐 标 系 ， 算 量 不 大 ， 条 直 线 ｌ与 ２ 运 ２６ — ６１ ， ： ，且 Ｚ与 轴 交 于 Ｍ 点 ， 与 ２仳 ＋ ｙ 一 ＝０。 。 Ｚ
一
．
ｚ ． 的斜率为一 。 ， ： ｚ 上 ！
１
足 的关 系 式 ， 化 简 整 理 ， 并 即得 所 求方 程 。 例 ２ 已 知 点 Ａ（ ， ） 直 线 ｆＺ ＋ ｙ ． １３ 和 ：ｘ ３ ＝
・ ． ．
பைடு நூலகம்
ｚ的方程为 ｙ ｂ ｋ （— ） 。 － ＝ 。 ｏ ，
① ②
人 。那 么 ， 在语 文教学 中应 如何 发挥学 生 这 对 要 适 应 未 来 社 会 的 发 展 的 学 生 而 言 ， 题 或作 出怎样令 人 匪夷所 思的 回答 ， 只要

求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。

通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。

这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。

2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。

通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。

例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。

3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。

例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。

4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。

通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。

例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。

5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。

数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。

6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。

通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。

这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。

以上是求曲线方程的六种常用方法。

根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。

四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，

求曲线方程常用方法例析河北省 杨新兰求动点轨迹方程的基本思想方法的实质是形数对应、形数结合与转化的一个具体的应用．根据动点的不同的运动性质和规律，采用不同的解题方法．下面举例介绍求曲线方程的几种常用方法．一、条件直译法如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，可以把这些关系直接译成含“x ，y ”的等式．此类解法适合较简单的问题．例1 如图，已知动点M 到定点A(1，0)与定直线l ：x = 3的距离之和等于4，求动点M 的轨迹方程．解：设M(x ，y)是轨迹上任意一点，作MN ⊥l 于N ，则|MA|＋|MN| = 4，即－|x －3|．当3≤x ≤7－x ，即y 2=－12(x －4) (3≤x≤4)；当－1≤x ＜3＋1，即y 2= 4x (0≤x ＜3)．∴动点M 的轨迹方程2212(4),(34),4.(03).y x x y x x ⎧=--≤≤⎪⎨=≤<⎪⎩评析：求曲线轨迹方程知要注意一些隐含条件，当轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范围，或同时注明x 、y 的取值范围．二、坐标代换法有时动点所满足的几何条件不易求出，但动点P(x ，y)依赖于另一动点Q(x ，y)，而Q(x ，y)又在某已知曲线上，则可先写出关于x 1，y 1的方程，再将x 1，y 1换成x ，y ，就得到原动点的轨迹．例2 过定点A(a ，b)任作互相垂直的两直线1l 与2l ，且1l 与x 轴交于M 点，2l 与y 轴交于N 点，求线段MN 中点P 的轨迹方程．解：设M(x 1，0)，N(0，y 1)，P(x ，y)，由题意得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.2,211y y x x ⇒ ⎩⎨⎧==.2,211y y x x ① ∵1l ⊥2l ，∴ (x 1－a)2＋b 2＋(y 1－b)2＋a 2= x 21＋y 21，化简得：2ax 1＋2by 1－a 2－b 2= 0 ．②① 代入②得：2ax ＋2by －a 2－b 2= 0 ．评析：此解法在求轨迹方程时应用广泛，并多与定比分点坐标分式相结合．三、参数法有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，此时若借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立直接联系，然后再从所求式子中消去参数，这便得动点的轨迹方程．例3 已知经过点P(4，0)的直线1l ，经过Q(－1，2)的直线2l ，若1l ⊥2l ，求1l 与2l 交点C 的轨迹方程．解：设动点C 的坐标为(x ，y)，设1l 、2l 的斜率为1k 、2k ，则1k =4y x - (x ≠4)，2k =21y x -+(x ≠－1)． 由1l ⊥2l ，有1k 2k =－1， ∴4y x -·21y x -+=－1，(x ≠4，x ≠－1)． 整理得：x 2＋y 2－3x ＋2y －4 = 0，①当x = 4或x =－1时，方程①有解．①C 的轨迹方程为：x 2＋y 2－3x ＋2y －4 = 0．评析：在利用参数法求轨迹时，要适当地设定参数，即应使动点坐标x 、y 便于用参数表示，最终结果应尽量将参数方程化为普通方程．四、交轨法求两条动曲线交点的轨迹方程时，可选择同一个参数及动点坐标x 、y 分别表示两条曲线方程，然后联立它们消去参数便得到交点的轨迹方程，这种方法称为交轨法．这类问题的解法有一定的技巧性．例4 已知直线l 过定点(0，3)，且是曲线y 2= 4x 的动弦12P P 的中垂线，求直线l 与动弦12P P 的交点M 的轨迹方程．解：设直线l ：y = kx ＋3 (k ≠0)，则12P P 所在直线l 可设为y =－1x k ＋b ，并把它代入y 2= 4x ，整理，得x 2－k(2b ＋4k)x ＋b 2k 2= 0，∴△= [k(2b ＋4k)]2－4b 2k 2= 16 k 3(b ＋k)＞0 ①，且12P P 的中点M(k(b ＋2k)，－2k)在直线l 上，因此有－2k = k 2(b ＋2k)＋3，即b =223k k--－2k 代入①式可得 k(k 3＋2k ＋3)＜0，即k(k ＋1)( k 2－k ＋3)＜0⇒－1＜k ＜0．设中点为M(x ，y)，则b =－223k k+－2k ， ∴23(2),2.k x k b k k y k --⎧=+=⎪⎨⎪=-⎩消去参数k ，得(x ＋2)y = 6． ∵－1＜k ＜0，∴x ＞1．故M 的轨迹方程为(x ＋2)y = 6 (x ＞1)．。

∴x2＋y2＝8 为所求.
第二章 圆锥曲线与方程
[例 2] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(－2,0)，B(0， －2)第三个点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心的 轨迹方程．(注：设△ABC 顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 重心坐标为 G(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．)
第二章 圆锥曲线与方程
[辨析] 错误的原因是线段AB，而不是直线AB.可以求 出AB的方程式x＋y＝3，线段AB的方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)， 若抛物线与线段AB有两个不同交点，等价于两方程组成的方 程组在[0,3]内有两组不同实数解，可借助一元二次方程根的 分布来解决．
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
已知⊙O：x2＋y2＝4，P 为⊙O 上任一点，M 在 OP 上， 使得O→M＝3M→P，求点 M 的轨迹方程．
第二章 圆锥曲线与方程
[解析] 设 M(x，y)，P(x0，y0)，由O→M＝3M→P得：(x，y) ＝(3(x0－x),3(y0－y))，
x0＝43x ∴
y0＝43y
第二章 圆锥曲线与方程
方法四：参数法． 设动弦 PQ 的方程为 y＝kx 代入圆方程得(x－1)2＋k2x2＝1 即(1＋k2)x2－2x＝0 ∴x＝x1＋2 x2＝1＋1 k2，y＝kx＝1＋k k2消去 k 即可．
[点评] 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方 法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取 方法．
解法二：设 M(x，y)，则易知 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)，
(0,2y)， 连 结
PM. 因 为
l1⊥l2
，
所

数又所例例的因以44 关 为 ，在在系点交圆圆式C是，轴进于而点解因设A法上上为析的消任任点：顶去取取点参一一P设，，数点点在M 所，PP交圆，，以即(过过x A得上,,轴点点B动y ,于，) CPP点作作不点P 的,所共B(轨x 轴 轴线以0 迹的的,，方y 垂垂即0 程x) 线线02。则 段段,PPx yDD0 2，，。x DD0 为为4,y 垂垂。 足足。。y 2 0.
这样的轨迹第一次足出。现在当学点生面P前在的圆是在上人运教A动版时《数，学线必修段2》P教D材的第1中24点页“M习的题4轨. 迹方程。
动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点都随另一动点的运动而有规律的运动，且点轨迹为给定或容易求得，适宜于用
相关点法。
参数法求曲线方程：当由条件很难直接建立动点坐标 关系时，则可设出参数（如斜率、角度、长度等），建立动点坐标 与参
所以 |C | 1 | M A |即 ,B ( x 2 ) 2 ： ( y 2 ) 2 1 4 x 2 4 y 2 x y 2 0
2
2
所以点M的轨迹方程为：xy20。
二、相关点法求曲线方程
解析：连接MC，例设4 在，圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 x轴的垂线段PD，D为垂
法。 相关点法求轨迹方程的基本思路：
以“阿波罗尼斯圆”为背景高考题举例如下：
“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”。
所以点P的轨迹方程为
。
所以，曲线的方程为：
。
“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”。
直线 的直线为y轴，建立坐标系
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普通高中数学课程标准（2017年版）要求：了解圆锥曲线的实 际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作

参数方程可以用来描述 各种平面曲线，如圆、 椭圆、抛物线、双曲线 等。
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
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截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法

曲线的方程摘要：通过曲线方程常见题型的分析，归纳总结曲线的方程的解题巧，对于常见的一些问题，给出规律性的解答.关键词：曲线的方程 轨迹曲线的方程是高考中常出现的问题，要熟练掌握求曲线方程的基本步骤，能利用图像将题目中所给的条件转化为数学表达式. 下面介绍五种求解曲线方程的方法.求轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法（或称代入法）、参数法.一、直接法建立适当的坐标系后，设动点为),(y x P ，根据几何条件直接寻求y x ,之间的关系，其一般步骤为：（1）建立坐标系（选取原点位置及坐标轴的方位）；（2）设动点坐标为),(y x P ；（3）依据题意找出等量关系，列出方程；（4）化简方程，并讨论取值范围，说明轨迹曲线特征.【例1】已知两点)0,3(-A ，)0,3(B ，动点M 与A 、B 的连线的斜率之积是32，则点M 的轨迹方程为 .讲解：设点M 的坐标为),(y x ，点M 属于集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅=32|MB MA k k M P . 由经过两点的直线的斜率公式，得3233=-⋅+x y x y ，化简，整理得)3(0183222±≠=--x y x . 此即为所求的轨迹方程.练习1：已知两定点)0,1(-A ，)0,2(B ，动点P 满足21||||=PB PA ，求P 点的轨迹方程. 答案：4)2(22=++y x .二、定义法如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的定义，建立动点的方程，化简整理即得轨迹方程.【例2】一动圆过定点)0,2(-A 且与定圆12)2(22=+-y x 相切. 求动圆圆心C 的轨迹M 的方程.解：设动圆与定圆的切点为T ，定圆的圆心为B ，由题意知动圆内切于定圆，则22||32||||||||||=>==+=+AB BT CT CB CB CA ，∴点C 的轨迹方程是以A 、B 为焦点的椭圆， 则322=a ，222=c . 3=∴a ，2=c . 12=∴b .∴动圆圆心C 的轨迹M 的方程为1322=+y x . 练习2：ABC ∆中，已知的方程)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则点C 的轨迹方程是（ ） 1124.22=+y x A )0(1124.22<=-x y x B )0(1124.22<=+x y x C )0(14_12.22<=x y x D 答案：B .三、待定系数法当已知动点的轨迹方程是所学过的曲线，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程，其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.【例3】已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）0)(=x f 的两根的立方和等于17，求)(x f 的解析式.解：由已知，可设)0(15)1()(2<+-=a x a x f ，即152)(2++-=a ax ax x f ，设方程01522=++-a ax ax 的两根分别为21,x x ，由韦达定理得221=+x x ，ax x 15121+=⋅.而aa x x x x x x x x 902151232)(3)(321213213231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-=+-+=+， 17902=-∴a，6-=∴a . 9126)(2++-=∴x x x f .练习3：已知函数)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(且)(x f 在区间]4,1[-上的最大值是12. 求)(x f 的解析式.答案：)(102)(2R x x x x f ∈-=.四、转移法（或称代入法）若已知动点),(1βαP 在曲线0),(:11=y x f C 上移动，动点),(y x P 依动点1P 而动，它满足关系：（1）⎩⎨⎧==),(),(βαβαy y x x 则关于βα,反解方程组（1）得 （2）⎩⎨⎧==),(),(y x h y x g βα 代入曲线方程0),(1=y x f ，即可得动点P 的轨迹方程0),(:=y x f C .【例4】已知直线134:=+y x l ，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，求把有向线段AB 分成的比2=λ的动点P 的轨迹方程.解：设),(00y x M ，),(y x P ，则)0,(0x A ，),0(0y B ，点P 分有向线段AB 分成的比2=λ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.233,2120,2100000y y x x y y x x 又 )23,3(y x M 在直线134:=+y x l 上， ∴132343=+y x ，即0423=-+y x .练习4：求曲线x y 42=关于点)3,1(M 对称的曲线方程.答案：)2(4)6(2x y -=-.五、参数法当动点),(y x P 中坐标y x ,之间的关系直接找不出时，可设动点),(y x P 满足关于参数t 的方程组⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （t 是参数），则由方程消去参数t ，即求得动点),(y x P 的普通方程：0),(=y x f .【例5】设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：动点P 的轨迹方程.解：线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .设),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得：032)4(22=-++kx x k ， 由韦达定理得：22142k k x x +-=+ ∴22148k y y +=+ 于是，)44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=. 设点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2244,4k y k k x消去参数k 得0422=-+y y x .当斜率不存在时，A 、B 中点为坐标原点)0,0(，也满足上式，所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x .练习5：已知抛物线x y C 4:2=，O 为原点，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点，求满足+=的点M 的轨迹方程.答案：)2(842>+=x x y .参考文献：[1] 任志鸿《十年高考分类解析与应试策略》南方出版社2006年7月第2版[2] 曲一线《高中习题化知识清单数学》首都师范大学出版社2007年5月第3版[3] 曲一线《5年高考3年模拟》（2009B版）首都师范大学出版社2007年7月第1版[4] 贾鸿玉《高考绿色通道数学》中国致公出版社2007年3月第6版[5] 全日制普通高级中学教科书《数学》第二册（必修）人民教育出版2006年11月第2版。

教材分 析
教学过
求曲线方程的常用方法
“由曲线求方程”是解析几何的两个核心问题之一。求曲线方程 的方法比较多，但总起来说有三种：直接法、公式法和参数法。
直接法是先找出动点满足的几何条件，再经过代换直接得到 x、y 关系的方法。它是最原始的方法，直线的点斜式方程、圆、椭圆、双 曲线和抛物线的标准方程都是用直接法得到的。
参数法是借助中间变量，间接得到 x、y 关系的方法。在预先无法 判断曲线的类型，又不容易直接找到 x、y 关系的情况下，就必须使用 参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则 用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参 数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

//好，时间关系就汇报到这儿。一共几种方法？都是什么方法？精彩回放几个镜头（直接法、定义法、参数法、代入法、点差法、交轨法）。
//如果学生提到“向量法”，教师就要问：为什么叫向量法？用到什么知识就叫什么方法吗？
//如果学生用（x0，y0）表示动点P的坐标，教师就要用运动变化的哲学观点去点评。
//透过现象看本质：这个题目为什么会有这么多解法？是哪个条件
因为PC⊥PO，所以|OP|=|OC| =2 ，于是 ， ，P点轨迹的参数方程为
，消去参数得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法九：（参数法——点差法）设P点坐标为（x，y），直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则
， ，两式作差得
教学过程
注意到x1+x2=2x，y1+y2=2y， ，代入整理得：
代换得y2=x（2-x），化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法七：（直接法）设P点坐标为（x，y），连接PC，因为P是弦ON的中点，所以PC⊥PO。于是 ,而 ， ，因此 x（x-2）+y2=0，
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法八：（参数法）设P点坐标为（x，y），∠POC= ，
设直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），
则x1+x2= ，于是P点横坐标x= ............(1)
又P点坐标满足y=kx.........（2）
由（1）（2）消去k得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
教学过程
方法四：（公式法）连接PC，因为P是弦ON的中点，所以PC⊥PO。
参数法是借助中间变量，间接得到x、y关系的方法。在预先无法判断曲线的类型，又不容易直接找到x、y关系的情况下，就必须使用参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。

求曲线方程的几种常见方法2011-04-20 13:59 来源：文字大小：【大】【中】【小】解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M的轨迹．解析以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P 与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q（），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q的轨迹方程．解析直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD 的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3）-1﹤﹤0时，轨迹方程为，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）．2．3．4．设切点N的坐标为（cos,sin）,则切线CD的方程为，求出点C、D的坐标，进而写出直线BD、AC的方程，消去即可．点P的轨迹为椭圆：除去A、B两点的部分．5．（用向量法和参数法）．6．7．。

专题五 如何求曲线（轨迹）方程求曲线方程的实质是求曲线上任意一点(),x y 中横坐标x 与纵坐标y 的联系(),F x y =0。

其常用求法有以下六种：一、代入法（又称相关点法、相关线法）：若点P 在曲线G 上移动，导致点Q 移动，则称点P 为Q 的相关点，曲线G 为Q 的相关线．基本思路：直接设所求点Q 的坐标为(),x y ®求出相关点P 的坐标()()(),,,f x y g x y ®代相关点的．．．．．坐标入相关线方程．．．．．．．．即可． 适用题型：不明轨迹．1、在ABC D 中，A 、B 两点的坐标分别是()-,20、(),02，第三顶点C 在曲线=y x 2上移动，则ABC D 的重心G 的轨迹方程是_______________．2、已知点(),A 96，B 为曲线+=y x 221369上的点，点P 在直线AB 上，且=AP PB 2u u u r u u u r，求P 点的轨迹方程．二、直译法：基本思路：直接设动点坐标为(),x y ®寻求与动点有关的等量关系建立方程®化简方程®结合图形分析x 、y 的取值范围．适用题型：①不明轨迹；②尽管轨迹已知，但无公式可用或不方便使用公式．1、（2007年四川卷）已知O e ：+-=x y 2220，¢O e ：+-+=x y x 228100，由动点P 向O e 和¢O e 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．)2、已知双曲线-=x y 222的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，点C 的坐标是(),10．（Ⅰ）证明×CA CB u u r u u u r为常数；（Ⅱ）若动点M 满足=++CM CA CB CO u u u r u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．三、参数法：如果很难直接求出动点横、纵坐标之间的联系，就可先适当引入中间变量（参数t ），然后寻求x 、y与参数t 之间的联系()()ì=ïïíï=ïîx f t y g t ，最后消去参数t 得到x 与y 的联系()=,F x y 0．基本思路：直接设动点坐标为(),x y ®寻找控制动点的主要因素，以此为参数（例如t ）®求出x 、y 与参数t 之间的联系()()x f t y g t ì=ïíï=ïî®消去参数得到x 与y 的联系．适用题型：不明轨迹．注意事项：①有可能控制动点的因素比较多，但一定要选择其中最基本、最方便的参数；②不一定要机械地先得到()()ì=ïíï=ïîx f t y g t 再消参，允许中途消去参数．．．．．．．．； ③最后环节一定要结合图形分析x 、y 的取值范围．1、设(),A 03，线段BC 在x 轴上滑动，且=||BC 4，则ABC D 的外心的轨迹方程是________．2、（2005年江西卷）如图，设抛物线=:C y x 2的焦点为F ，动点P 在直线--=:l x y 20上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点。