北京交通大学2019 ―2020 学年第二学期期末考试试题A 卷

2019-2020学年北京交大附中高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.已知是虚数单位，则的共轭复数的虚部是( ) A.B.C. D.2.若双曲线x 29−y 2b 2=1的焦点为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，则双曲线的渐近线方程为( )A. 3x ±4y =0B. 4x ±3y =0C. 4x ±5y =0D. 5x ±4y =03.的展开式中含项的系数为( )A.B.C.D.4.袋中共有5个球，除了颜色不同外，形状大小都相同．其中红球3个，白球2个，从中摸出二个球，至少有一个白球的概率是( )A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.75.4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为( )A. C 42A 33B. A 31A 43C. C 43A 22D. C 41C 43C 226. 当m ，n ∈(−1,1)时，总有sinm −sinn <n 3−m 3成立，则下列判断正确的是( )A. m >nB. |m|<|n|C. m <nD. |m|>|n|7.设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a =b(modm).若a =C 200+C 201+C 202+⋯+C 2020，a ≡b(mod5)，则b 的值可以是( )A. 2015B. 2016C. 2017D. 20188.设函数f(x)=2cos(√3x +θ)(0<θ<π)，f′(x)为f(x)的导函数，若函数g(x)=f(x)+f′(x)的图象关于原点对称，则cosθ的值是( )A. −12B. −√32C. 12D. √329.设随机变量X ～B(n,p)，若EX =3，DX =2，则n =( )A. 3B. 6C. 8D. 910. 已知函数f(x)={(1−2a)x +5,(x ≤12)a x−13,(x >12)，若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且对任意的两个正整数m ，n(m ≠n)都有(m −n)(a m −a n )<0，则实数a 的取值范围是( )A. (12,23]B. (12,34)C. (34,1)D. (12,23)二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）11.函数f(x)=x+1ax在(−∞,−1)上单调递增，则实数a的取值范围是______．12.设(1−2x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a0+a1+a2+⋯+a8=______．13.对于函数f(x)=ax3+3x2+(a2+1)x+1，(a≠0,a∈R)，甲、乙、丙三位同学的描述有且只有1人是错误的．甲：函数y=f(x)在区间(−1,0)存在唯一极值点；乙：对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f(x1)+f(a−x2)=1；丙：函数y=f(x)的图象与x轴、y轴以及直线x=1围成图形的面积不小于114．则符合条件的实数a的取值范围为______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）14.函数y=√x2−8x+20+√x2+1的最小值是(1)，此时x=(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.已知复数z1与(z1+2)2−8i都是纯虚数，复数z2=1−i，其中i是虚数单位．(1)求复数z1；(2)若复数z满足1z =1z1+1z2，求z．16.已知函数f(x)=ax+lnx(a∈R)(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间和极值；(3)设g(x)=x2−2x+2，若对任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)<g(x2)，求实数a的取值范围．17.某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如图：(Ⅰ)从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；(Ⅱ)从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0的大小.(结论不要求证明)和μ1+μ2218.求以椭圆9x2+4y2=36的长轴端点为短轴端点，且过点P(−4,1)的椭圆的标准方程．19.已知函数．(Ⅰ)求函数的单调区间，并求出极值；(Ⅱ)记数列的前项和为，求证：当时，．【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：复数的共轭复数为，虚部为考点：复数运算点评：中实部为，虚部为，运算中2.答案：B解析：解：∵双曲线x29−y2b2=1(b>0)的焦点为F1(−5,0)，F2(5,0)，∴9+b2=25，又b>0，∴b=4，∴该双曲线的渐近线方程为y=±43x，整理得：4x±3y=0．故选：B．依题意，9+b2=25，b>0，从而可求得b，于是可求该双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，主要是渐近线方程的求法，属于基础题．3.答案：D解析：本题主要考查二项式定理，只要展开式子即可得到的系数．解：展开得：所以的系数为８．故选Ｄ．4.答案：D解析：解：所有的摸法C52=10种，若摸出二个球没有一个是白球，则有C32=3种方法，由于从中摸出二个球，没有一个是白球的概率是310，故从中摸出二个球，至少有一个白球的概率是1−310=710=0.3．故选D．所有的摸法C52=10种，其中没有白球的摸法有C32种，先求出没有白球的概率是310，则至少有一个白球的概率是1−310．本题主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率．5.答案：A解析：解：把4个不同的小球分成三份有C42C21C11×12!=C42这些不同的分法，再把这不同的三份全排列有A33种方法．根据乘法原理可得：4个不同的小球全部随意放入3个不同的盒子里，使每个盒子都不空的放法种数为C42A33．故选A．正确把4个不同的小球分成三份，再把这不同的三份全排列，利用乘法原理即可得出．正确理解排列、组合及乘法原理的意义是解题的关键．6.答案：C解析：解：令f(x)=sinx+x3(−1<x<1)，则f′(x)=cosx+3x2>0，∴f(x)在(−1,1)上单调递增，∵当m，n∈(−1,1)时，总有sinm−sinn<n3−m3成立∴当m，n∈(−1,1)时，f(m)<f(n)，∴m<n．故选：C．构造函数f(x)=sinx+x3(−1<x<1)，然后判断f(x)的单调性，根据f(x)的单调性，可判断m，n 的大小关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用单调性判断大小，考查了转化思想和计算能力，属中档题．7.答案：B解析：解：∵a=C 200+C 201+C 202+⋯+C 2020=220=410=(5−1)10，a≡b(mod5)，∴b的除以5的余数是1．根据已知中a 和b 对模m 同余的定义，结合二项式定理，a ≡b(bmod5)，比可得b 的除以5的余数是1，照四个答案中的数字，得到答案．本题考查的知识点是同余定理，其中正确理解a 和b 对模m 同余，是解答本题的关键，同时利用二项式定理化简a 的值，也很关键．8.答案：D解析：本题考查了导数的运法和三角函数的化简，属于中档题．先求导，再利用两角差的正弦公式可得可得g(x)=−4sin(√3x +θ−π6)，再根据函数的性质即可求出θ=π6，问题得以解决．解：f(x)=2cos(√3x +θ)，(0<θ<π) ∴f′(x)=−2√3sin(√3x +θ)，∴g(x)=f(x)+f′(x)=2cos(√3x +θ)−2√3sin(√3x +θ)=−4sin(√3x +θ−π6)，∵函数g(x)=f(x)+f′(x)的图象关于原点对称， ∴θ−π6=kπ，k ∈Z ，∵0<θ<π， ∴θ=π6，∴cosθ=√32， 故选：D ．9.答案：D解析：解：∵随机变量X ～B(n,p)，EX =3，DX =2， ∴{np =3np(1−p)=2， 解得n =9，p =13． 故选：D ．利用二项分布的性质直接求解．本题考查试验次数的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．解析：由题意可得数列{a n }是递减数列，根据函数得单调性可得{1−2a <00<a <112(1−2a)+5≥1a ，解得即可． 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n ∈N ∗时，对应数列为递减数列，得到函数在两个段上均为减函数，从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键 解：∵对任意的两个正整数m ，n(m ≠n)都有(m −n)(a m −a n )<0， ∴数列{a n }是递减数列，又∵f(x)={(1−2a)x +5,(x ≤12)a x−13,(x >12)，a n =f(n)(n ∈N ∗)，∴{1−2a <00<a <112(1−2a)+5≥1a , 解得12<a ≤23故实数a 的取值范围是(12,23] 故选：A ．11.答案：(−∞,0)∪[1，+∞)解析：解：∵函数f(x)=x +1ax 在(−∞,−1)上单调递增， ∴f′(x)=1−1ax 2≥0在(−∞,−1)上恒成立，即1a ≤x 2在(−∞,−1)上恒成立， 即1a ≤1，解得：a ∈(−∞,0)∪[1，+∞)， 故答案为：(−∞,0)∪[1，+∞)若函数f(x)=x +1ax 在(−∞,−1)上单调递增，则f′(x)=1−1ax 2≥0在(−∞,−1)上恒成立，构造函数将问题转化为最值问题，可得答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数的最值及几何意义，分式不等式的解法，难度中档．12.答案：1解析：解：令x =1，代入(1−2x)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，得(1−2)8=a0+a1+a2+⋯+a8=1．故答案为：1．根据题意，利用特殊值代入，即可求出结果．本题考查了利用二项式定理求值的应用问题，解题时应根据题意，选择适当的数值代入计算，是基础题目．13.答案：(−∞,−3−√292]∪(−1,2)∪[−3+√292,+∞)解析：解：(1)函数f(x)(a≠0,a∈R)的值域为R，所以乙必正确．(2)对于甲，f′(x)=3ax2+6x+a2+1，∴f′(−1)⋅f′(0)<0，∴f′(−1)=3a−6+a2+1<0，∴a∈(−3−√292,−3+√292)；(3)对于丙，当x∈[0,1]，∵(a2+1)x≥|a|x3，∴f(x)≥0，∴S=∫[1ax3+3x2+(a2+1)x+1]dx=[14ax4+x3+12(a2+1)x2+x]|01=14a+1+12(a2+1)+1≥114，所以a≥12或a≤−1；若(2)正确，则(3)错误，不合题意，故(2)错误，(3)正确，故答案为：(−∞,−3−√292]∪(−1,2)∪[−3+√292,+∞)．先判断出乙是正确的，再分别解出(2)，(3)都正确的x的范围，通过讨论①(2)错(3)对，②(2)对(3)错的情况，从而求出a的范围．本题考查了函数的单调性问题，考查定积分的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．14.答案：543解析：解：∵y=√x2−8x+20+√x2+1═√(x−4)2+(0−2)2+√(x−0)2+(0+1)2，设P(x,0)，A(4,2)，B(0,−1)；∴y 表示平面直角坐标系中：点P(x,0)到点A(4,2)的距离与点P(x,0)到点B(0,−1)的距离的和； 如图：则|PA|+|PB|≥|AB|=√42+(−1−2)2=√16+9=√25=5， 此时A ，B ，P 三点共线， 即k AB =k BP ，即2+14−0=0+1x−0， 解得x =43，即P(43,0)，即y =√x 2−8x +20+√x 2+1的最小值是5，此时x =43， 故答案为：5，43．把原函数解析式变成：y =√(x −4)2+(0−2)2+√(x −0)2+(0−1)2，问题转化为点(x,0)到点A(4,2)的距离与点(x,0)到点B(0,1)的距离的和，利用两点之间线段最短即可求y 的最小值． 本题主要考查函数最值的求解，以及平面直角坐标系中两点间的距离公式，将求函数的最小值转化成求距离和的最小值，利用数形结合是解决本题的关键．15.答案：解：(1)设z 1=bi(b ∈R)，则(z 1+2)2−8i =(bi +2)2−8i =(4−b 2)+(4b −8)i ，由题意得{4−b 2=04b −8≠0，解得b =−2．∴z 1=−2i ； (2)∵1z =1z 1+1z 2，∴z =z 1z 2z 1+z 2=(−2i)×(1−i)(−2i)+(1−i)=−2−2i 1−3i=(−2−2i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=25−45i ．解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．(1)设z 1=bi(b ∈R)，代入(z 1+2)2−8i =(bi +2)2−8i 整理，再由实部为0且虚部不为0列式求解b ，则答案可求；(2)把1z =1z 1+1z 2右侧通分，代入z 1，z 2，利用复数代数形式的乘除运算化简求解z ．16.答案：解：(1)由已知f′(x)=2+1x (x >0)，∴f′(1)=2+1=3，f(1)=2，故曲线y =f(x)在x =1处切线的斜率为3， 故切线方程是：y −2=3(x −1)， 即3x −y −1=0；(2)求导函数可得f′(x)=a+1x =ax+1x(x>0)．当a<0时，由f′(x)=0，得x=−1a．在区间(0,−1a )上，f′(x)>0；在区间(−1a,+∞)上，f′(x)<0，所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,−1a )，单调递减区间为(−1a,+∞)，故f(x)极大值=f(−1a)=−1−ln(−a)，当a≥0时，f′(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立，即f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，无极值．(3)由已知转化为f(x)max<g(x)max．∵g(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，x2∈[0,1]，∴g(x)max=2，由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)=ae3+3>2，故不符合题意．)当a<0时，f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f(−1a )=−1+ln(−1a)=−1−ln(−a)，所以2>−1−ln(−a)，所以ln(−a)>−3，解得a<−1e3．解析：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f(x)max<g(x)max．(1)利用导数的几何意义，可求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；(2)求导函数，在区间(0,−1a )上，f′(x)>0；在区间(−1a,+∞)上，f′(x)<0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；(3)由已知转化为f(x)max<g(x)max，可求g(x)max=2，f(x)最大值−1−ln(−a)，由此可建立不等式，从而可求a的取值范围．17.答案：解：(Ⅰ)由题知A地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，所以从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是240400=0.6．(Ⅱ)由题可知X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=C 902C 1002=89110；P(X =1)=C 901C 101C 1002=211；P(X =2)=C 102C 1002=1110．所以X 的分布列如下表： X 012P891102111110所以X 的数学期望EX =0×89110+1×211+2×1110=15． (Ⅲ)μ0>μ1+μ22．解析：(Ⅰ)由频率分布直方图可以确定400名用户中评分不低于60分的人数，利用古典概型的概率公式可以计算；(Ⅱ)由题意分析可以确定X 的取值分别为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式求出，即可解决； (Ⅲ)利用频率分布直方图的数据关系可以比较μ0和μ1+μ22的大小．本题考查了统计与概率中的频率分布直方图，期望与方差，属于基础题．18.答案：解：椭圆9x 2+4y 2=36化成标准方程，得x 24+y 29=1，∴椭圆9x 2+4y 2=36长轴的端点坐标为：(0,±3)， 因此可设所求的椭圆方程为x 2a2+y 29=1，∵经过点(−4,1)，∴16a 2+19=1，解之得a 2=18 因此，所求椭圆标准方程是x 218+y 29=1，故答案为：x 218+y 29=1．解析：将已知椭圆化成标准方程，可得所求椭圆的长轴的端点坐标(0,±3)，从而可以设出所求椭圆方程为x 2a2+y 29=1，结合它经过点(−4,1)列出关于a 2的等式，解之即得所求椭圆的标准方程．本题给出一个椭圆的短轴刚好是已知椭圆的长轴，并且在已知椭圆经过定点的情况下求椭圆的标准方程，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念等知识，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)，( )， ，即 ，当，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值，极大值为，无极小值．(Ⅱ)证明：，由(Ⅰ)知，则(当且仅当取等号).令()，即，则有即，则得证．解析：(Ⅰ)先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；(Ⅱ)证明：，由(Ⅰ)知，则(当且仅当取等号).令()，即，再利用不等式的性质则有即，则得证．。

2019-2020学年北京交大附中东校区高二（下）期末数学试卷试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）若复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.则实数x的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或12.（单选题.4分）已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是（2.0）.那么实数k=（）A. √3B. √5C.3D.53.（单选题.4分）复数i3（1+i）2=（）A.2B.-2C.2iD.-2i4.（单选题.4√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A.1B.-1C.iD.-i5.（单选题.4分）在复平面内.若复数z=（m2-4m）+（m2-m-6）i所对应的点在第二象限.则实数m的取值范围是（）A.（0.3）B.（-∞.-2）C.（-2.0）D.（3.4）6.（单选题.4分）椭圆x225+y29=1上一点M到焦点F1的距离为2.N是MF1的中点.O是椭圆中心.则|ON|的值是（）A.2B.4C.8D. 327.（单选题.4分）（2x-1）6展开式中各项的系数和为（）A.-1B.1C.26D.128.（单选题.4分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象.给出下列命题：① -3是函数y=f（x）的极值点；② -1是函数y=f（x）的最小值点；③ y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④ y=f（x）在区间（-3.1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ① ④9.（单选题.4分）若f（x）=2lnx-x2.则f′（x）＞0的解集为（）A.（0.1）B.（-∞.-1）∪（0.1）C.（-1.0）∪（1.+∞）D.（1.+∞）10.（单选题.4分）某校实行选科走班制度.张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科.且物理在A层班级.生物在B层班级.该校周一上午课程安排如表所示.张毅选择三个科目的课各上一节.另外一节上自习.则他不同的选课方法有（）第一节第二节第三节第四节B.10种C.12种D.14种11.（填空题.5分）若随机变量X的概率分布如表.则表中a的值为___ ．12.（填空题.5分）在（√x +x）6的展开式中.常数项为___ （用数字作答）．13.（填空题.5分）由1.2.3.4组成没有重复数字的三位数.其中奇数的个数为___ ．14.（填空题.5分）在10件产品中.有3件次品.从中任取4件.则恰有两件次品的取法种数为___ ．15.（填空题.5分）椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1.F2.过F2的直线交椭圆于P.Q两点（P在x轴上方）.|PF1|=|PQ|．若PQ⊥PF1.则椭圆的离心率e=___ ．16.（问答题.14分）已知函数f（x）= 13x3-ax2+4.且x=2是函数f（x）的一个极小值点．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[-1.3]上的最大值和最小值．17.（问答题.14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行.更带动了我国经济的巨大发展．据统计.在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度.现从中随机抽取100人次作为样本.得到如表（单位：人次）：（1）在样本中任取1个.求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中.随机选取2人次.记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率.求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市.那么根据表格中的数据.你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．18.（问答题.14分）改革开放40年来.体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元）.折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年.求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年.设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数.求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断.从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（问答题.15分）已知函数f（x）=e x-ax（a为常数）．（1）当a=0时.求f（x）过原点的切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间和极值；（3）若∀x∈[0.1].f（x）≥0恒成立.求a的取值范围．20.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63.且过点(√6，0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与y轴交于点N.点M（3.0）关于直线l的对称点P在椭圆C上.求|ON|的取值范围．21.（问答题.14分）已知函数f(x)=e x−x+1x−1．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；（Ⅱ）判断函数f（x）的零点的个数.并说明理由；（Ⅲ）设x0是f（x）的一个零点.证明曲线y=e x在点(x0，e x0)处的切线也是曲线y=lnx的切线．2019-2020学年北京交大附中东校区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（单选题.4分）若复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.则实数x的值为（）A.-1B.0C.1D.-1或1【正确答案】：A【解析】：复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.复数的实部为0.虚部不等于0.求解即可．【解答】：解：由复数z=（x2-1）+（x-1）i为纯虚数.{x 2−1=0x−1≠0可得x=-1故选：A．【点评】：本题考查复数的基本概念.考查计算能力.是基础题．2.（单选题.4分）已知椭圆x2k+y2=1的一个焦点是（2.0）.那么实数k=（）A. √3B. √5C.3D.5【正确答案】：D【解析】：通过椭圆的焦点.确定k＞1.利用a.b.c的关系.求出k的值即可．【解答】：解：因为椭圆x 2k+y2=1的一个焦点是（2.0）. 所以k＞1.所以k-1=4.k=5．【点评】：本题考查椭圆的标准方程及简单性质.属于基础题．3.（单选题.4分）复数i3（1+i）2=（）A.2B.-2C.2iD.-2i【正确答案】：A【解析】：复数i的幂的计算.直接乘积展开可得结果．【解答】：解：i3（1+i）2=（-i）（2i）=2.故选：A．【点评】：复数代数形式的运算.注意i 的幂的运算.是基础题．4.（单选题.4√3+i1−√3i（i为虚数单位）等于（）A.1B.-1C.iD.-i【正确答案】：C【解析】：先把√3+i1−√3i√3+ i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i).由此能求出结果．【解答】：解：√3+i1−√3i= √3+ i)(1+√3i)(1−√3i)(1+√3i)= 4i4=i．故选：C．【点评】：本题考查复数的代数形式的乘除运算.解题时要认真审题.仔细解答．5.（单选题.4分）在复平面内.若复数z=（m2-4m）+（m2-m-6）i所对应的点在第二象限.则实数m的取值范围是（）B.（-∞.-2）C.（-2.0）D.（3.4） 【正确答案】：D【解析】：由题意.复平面内.若复数z=（m 2-4m ）+（m 2-m-6）i 所对应的点在第二象限.由复数的几何意义知.其对应的点的坐标横坐标为负.纵坐标为正.由此关系建立关于实数m 的不等式.解出它的取值范围.即可选出正确选项【解答】：解：∵在复平面内.若复数z=（m 2-4m ）+（m 2-m-6）i 所对应的点在第二象限. ∴ {m 2−4m ＜0m 2−m −6＞0 解得3＜x ＜4 ∴实数m 的取值范围是（3.4） 故选：D ．【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义.解题的关键是根据复数的几何意义得出实数m 所满足的不等式组.从而解出它的取值范围.得数的几何意义也是高考的热点.多以选择题的形式出现.对此概念应熟练牢固掌握.且能利用它灵活转化 6.（单选题.4分）椭圆 x 225+y 29=1 上一点M 到焦点F 1的距离为2.N 是MF 1的中点.O 是椭圆中心.则|ON|的值是（ ）A.2B.4C.8D. 32【正确答案】：B【解析】：|MF 2|=10-2=8.ON 是△MF 1F 2的中位线.由此能求出|ON|的值．【解答】：解：∵|MF 2|=10-2=8. ON 是△MF 1F 2的中位线. ∴ |ON |=|MF 2|2=4 .故选：B ．【点评】：本题考查椭圆的写定义和三角形的中位线.作出草图数形结合效果更好．7.（单选题.4分）（2x-1）6展开式中各项的系数和为（）A.-1B.1C.26D.12【正确答案】：B【解析】：利用赋值法.令x=1.即可求出展开式中各项系数和．【解答】：解：由题意.不妨设(2x−1)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6．令x=1得：16=a0+a1+a2+…+a6=1.即展开式中各项系数和为1．故选：B．【点评】：本题考查二项式定理以及赋值法求展开式系数和的问题.属于基础题．8.（单选题.4分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象.给出下列命题：① -3是函数y=f（x）的极值点；② -1是函数y=f（x）的最小值点；③ y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④ y=f（x）在区间（-3.1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ① ④【正确答案】：D【解析】：根据导函数的图象得到导函数的符号.根据导函数的符号判断出函数单调性.根据函数的单调性求出函数的极值及最值.判断出① ② ④ 的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率.判断出③ 的对错．【解答】：解：由导函数y=f′（x）的图象知f（x）在（-∞.-3）单调递减.（-3.+∞）单调递增所以① -3是函数y=f（x）的极小值点.即最小值点故① 对② 不对∵0∈.（-3.+∞）又在（-3.+∞）单调递增∴f′（0）＞0故③ 错∵f（x）在（-3.+∞）单调递增∴y=f（x）在区间（-3.1）上单调递增故④ 对故选：D．【点评】：根据导函数的符号判断函数的单调性：导函数大于0.函数单调递增；导函数小于0.函数单调递减．注意函数的极值点的左右的导函数符号要相反．9.（单选题.4分）若f（x）=2lnx-x2.则f′（x）＞0的解集为（）A.（0.1）B.（-∞.-1）∪（0.1）C.（-1.0）∪（1.+∞）D.（1.+∞）【正确答案】：A【解析】：求函数的定义域和函数的导数.直接解导数不等式即可．【解答】：解：∵f（x）=2lnx-x2.∴函数的定义域为（0.+∞）.则f'（x）= 2x −2x=2−2x2x.由f'（x）= 2x −2x=2−2x2x＞0.得x2-1＜0.即0＜x＜1.即不等式的解集为（0.1）. 故选：A．【点评】：本题主要考查导数的基本运算.要求掌握常见函数的导数公式.比较基础．10.（单选题.4分）某校实行选科走班制度.张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科.且物理在A层班级.生物在B层班级.该校周一上午课程安排如表所示.张毅选择三个科目的课各上一节.另外一节上自习.则他不同的选课方法有（）B.10种C.12种D.14种【正确答案】：B【解析】：根据分类计数原理即可求出【解答】：解：由于生物在B层.只有第2.3节有.故分2两类.若生物安排第2节.其他任意排即可.故有A33=6种.若生物安排第3节.则政治有2种方法.其他任意排.故有C21A22=4根据分类计数原理可得6+4=10种.故选：B．【点评】：本题考查了分类计数原理.关键是分类.属于基础题11.（填空题.5分）若随机变量X的概率分布如表.则表中a的值为___ ．【解析】：利用离散型随机变量的分布列的性质直接求解．【解答】：解：由随机变量X的概率分布表得：0.2+0.3+0.3+a=1.解得a=0.2．故答案为：0.2．【点评】：本题考查概率的求法.考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．12.（填空题.5分）在（√x + 1x）6的展开式中.常数项为___ （用数字作答）．【正确答案】：[1]15【解析】：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项.令x的指数为0求出常数项．【解答】：解：（√x + 1x）6展开式的通项为T r+1=C6r x6−3r2 .令6-3r=0得r=2.故展开式的常数项为T3=C62=15．故答案为：15【点评】：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.（填空题.5分）由1.2.3.4组成没有重复数字的三位数.其中奇数的个数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：先排个位.再排百位与十位.由乘法原理可得所求的结果．【解答】：解：由题意可得.个位是奇数有1或3.2种方法.百位与十位可从剩余的三个数中任选2个的排列有A32种方法.由乘法原理可得满足条件的三位奇数共有2A32=12个．故答案为：12．【点评】：本题考查计数原理的应用.重点考查学生对分步乘法计数原理的应用．14.（填空题.5分）在10件产品中.有3件次品.从中任取4件.则恰有两件次品的取法种数为___ ．【正确答案】：[1]63【解析】：直接根据组合的知识即可求出．【解答】：解：由题意知从10件产品中取4件.恰有2件次品的取法是C32C72=63.故答案为：63．【点评】：本题考查了排列问题和分步计数原理.属于基础题．15.（填空题.5分）椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1.F2.过F2的直线交椭圆于P.Q两点（P在x轴上方）.|PF1|=|PQ|．若PQ⊥PF1.则椭圆的离心率e=___ ．【正确答案】：[1] √6 - √3【解析】：设|PF 2|的值.由椭圆的定义可得|PF 1|的值.再由|PF 1|=|PQ|.可得|QF 2|.|QF 1|的值.由若PQ⊥PF 1.在两个三角形中由勾股定理可得a.c 的关系.进而求出椭圆的离心率．【解答】：解设|PF 2|=m.则|PF 1|=2a-m. 因为|PF 1|=|PQ|.所以|QF 2|=2a-m-m=2a-2m. 由椭圆的定义可得|QF 1|=2a-（2a-2m ）=2m.因为PQ⊥PF 1.在△PF 1Q 中.|QF 1|2=2|PF 1|2.即4m 2=2（2a-m ）2 ① .可得m= 2√2+1a. 在△PF 1F 2中.|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2.即4c 2=（2a-m ）2+m 2 ② . 由 ① - ② ×2可得4m 2-8c 2=-2m 2.即m 2= 43 c 2.可得m= 2√3 c. ③ .所以 2√2+1 a= 2√3c.所以 ca = √6 - √3故答案为： √6 - √3 ．【点评】：本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合.属于中档题．16.（问答题.14分）已知函数f （x ）= 13 x 3-ax 2+4.且x=2是函数f （x ）的一个极小值点． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在区间[-1.3]上的最大值和最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由函数极值的定义得f'（2）=0.利用导数法求得即可； （2）利用导数判断函数的单调性并由函数的增减性求得函数的最值．【解答】：（本小题满分11分）解：（Ⅰ）f'（x ）=x 2-2ax ．…（2分）∵x=2是函数f （x ）的一个极小值点.∴f'（2）=0．即4-4a=0.解得a=1．…（4分）经检验.当a=1时.x=2是函数f（x）的一个极小值点．∴实数a的值为1．…（5分）x3−x2+4．f'（x）=x2-2x=x（x-2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知. f(x)=13令f'（x）=0.得x=0或x=2．…（6分）当x在[-1.3]上变化时.f'（x）.f（x）的变化情况如下：；当x=-1或x=2时.f（x）有最小值83当x=0或x=3时.f（x）有最大值4．…（11分）【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识.属常规题目.中档题．17.（问答题.14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行.更带动了我国经济的巨大发展．据统计.在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度.现从中随机抽取100人次作为样本.得到如表（单位：人次）：（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中.随机选取2人次.记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率.求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市.那么根据表格中的数据.你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据分层抽样的特征可以得知.样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19.39.42.即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X服从二项分布.先计算出随机选取1人次.此人为老年人概率是1575=15.所以X～B(2，15) .即P(x=k)=C2k(15)k(1−15)2−k.即可求出X的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【解答】：解：（1）设事件：“在样本中任取1个.这个出行人恰好不是青年人”为M. 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19.39.42.所以在样本中任取1个.这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)=19+39100=2950；（2）由题意.X的所有可能取值为：0.1.2.因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中.随机选取1人次.此人为老年人概率是1575=15.所以P(X=0)=C20×(1−15)2=1625. P(X=1)=C21×15×(1−15)=825. P(X=2)=C22×(15)2=125.所以随机变量X的分布列为：故E(X)=0×25+1×25+2×25=5；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知.乘坐高铁的人满意度均值为：52×10+12×5+11×052+12+11=11615.乘坐飞机的人满意度均值为：4×10+14×5+7×04+14+7=225.因为11615＞225.所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．【点评】：本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算.解题关键是对题意的理解.概率类型的判断.属于中档题．18.（问答题.14分）改革开放40年来.体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元）.折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年.求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年.设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数.求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断.从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年.该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知.2009年.2011年.2015年.2016年满足要求.由此能求出所求的概率．（Ⅱ）由题意可知.X的所有可能取值为0.1.2.3.分别求出相应的概率.由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解答】：解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年.该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知.2009年.2011年.2015年.2016年满足要求.故P(A)=410=25…（4分）（Ⅱ）由题意可知.X的所有可能取值为0.1.2.3.且 P (X =0)=C 63C 103=16 .P (X =1)=C 41C 62C 103=12 . P (X =2)=C 42C 61C 103=310 .P (X =3)=C 43C 103=130 ．所以X 的分布列为：故X 的期望 E (X )=0×6+1×2+2×10+3×30=5 …（10分） （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大…（13分）【点评】：本题考查概率的求法.考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是中档题． 19.（问答题.15分）已知函数f （x ）=e x -ax （a 为常数）． （1）当a=0时.求f （x ）过原点的切线方程； （2）讨论f （x ）的单调区间和极值；（3）若∀x∈[0.1].f （x ）≥0恒成立.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）设切点坐标为（x 0.e x 0 ）.根据导数得几何意义和斜率公式即可求出切线方程； （2）根据导数和函数单调性和极值的关系.分类讨论即可求出求出； （3）分离参数.构造函数.利用导数求出函数的最值即可求出a 的范围．【解答】：解：（1）当a=0时.f （x ）=e x . 则f′（x ）=e x .设切点坐标为（x 0.e x 0 ） ∴f′（x 0）=e x 0= e x 0x 0.解得x 0=1.∴f′（1）=e.∴f（x）过原点的切线方程y=ex；（2）f（x）=e x-ax.∴f′（x）=e x-a.当a≤0时.f′（x）≥0恒成立.函数f（x）在（-∞.+∞）上单调递增.无极值；当a＞0时.令f′（x）=0.解得x=lna.当x＜lna时.f′（x）＜0.函数f（x）在（-∞.lna）上单调递减.当x＞lna时.f′（x）＞0.函数f（x）在（lna.+∞）上单调递增.∴f（x）极小值=f（lna）=e lna-alna=a-alna.无极大值；（3）∀x∈[0.1].f（x）≥0恒成立.即e x-ax≥0.当x=0时.1≥0恒成立.当x≠0时.a≤ e xx .设g（x）= e xx.x∈（0.1].∴g′（x）= e x(x−1)x2≤0恒成立.∴g（x）在（0.1]上单调递减.∴g（x）min=g（1）=e.∴a≤e.综上所述a≤e．【点评】：本题考查导数的综合应用.利用导数求函数的单调性及极值最值.考查不等式与函数单调性的应用.考查转化思想.是一道综合题．20.（问答题.14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√63.且过点(√6，0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l与y轴交于点N.点M（3.0）关于直线l的对称点P在椭圆C上.求|ON|的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得 {c a=√63a =√6a 2=b 2+c 2.解得即可.（Ⅱ）由题意可得：直线l 的斜率存在.设点P （x 0.y 0）（y 0≠0）.则线段MP 的中点D.且直线MP 的斜率k MP .由点M （3.0）关于直线l 的对称点为P.可得MP⊥l .可得k l .可得直线l 的方程为.令x=0.求出点N 的坐标.再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可得 {c a=√63a =√6a 2=b 2+c 2 .解得a= √6 .c=2.b= √2 .故椭圆方程为 x 26+ y 22=1.（II ）由题意可得：直线l 的斜率存在.设点P （x 0.y 0）（y 0≠0）. 则线段MP 的中点D （x 0+32. y 02 ）且直线MP 的斜率k MP = y 0x0−3. 由点M （3.0）关于直线l 的对称点为P.∴MP⊥l . ∴k l =-x 0−3y 0. ∴直线l 的方程为：y- y02 =- x 0−3y 0 （x- x 0+32）. 令x=0.解得y= x 02+y 02−92y 0.∵x 02=6-3y 02.∴y=- 3+2y 022y 0则N （0.- 3+2y 022y 0）.∴|ON|= 3+2y 022|y 0| =|y 0|+ 32|y 0| ≥2 √|y 0|•32|y 0| = √6 .当且仅当y 0=± √62 时取等号．∴|ON|的取值范围为[ √6 .+∞）．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、线段垂直平分线的性质、基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题． 21.（问答题.14分）已知函数 f (x )=e x −x+1x−1． （Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（0.f （0））处的切线方程； （Ⅱ）判断函数f （x ）的零点的个数.并说明理由；（Ⅲ）设x 0是f （x ）的一个零点.证明曲线y=e x 在点 (x 0，e x 0) 处的切线也是曲线y=lnx 的切线．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出x=0处的导数.利用点斜式写出切线方程即可； （Ⅱ）研究函数f （x ）的单调性、极值的符号等求解； （Ⅲ）只需要说明零点处的切线重合即可．【解答】：解：（Ⅰ）因为 f (x )=e x −x+1x−1 .所以 f′(x )=e x +2(x−1)2 . 所以f （0）=2.f′（0）=3.故切线方程为：y=3x+2． （Ⅱ）函数f （x ）有且仅有两个零点．易知f （x ）的定义域为{x|x∈R .且x≠1}.且f′（x ）＞0. 所以f （x ）在（-∞.1）.（1.+∞）上是增函数．因为f （0）=2＞0.f （-2）= 1e 2−13＜0 .所以f （x ）在（-∞.1）上有唯一零点； 又因为f （2）= e2−3＞0，f (54)=e 54−9＜0 .所以f （x ）在（1.+∞）上有唯一零点；综上.f （x ）有且仅有两个零点．（Ⅲ）易知.曲线y=e x 在点（ x 0，e x 0 ）处的切线为 y −e x 0=e x 0(x −x 0) .即 y =e x 0x −x 0e x 0+e x 0 ．再设曲线y=lnx 在点（x 3.y 3）处的切线斜率为 e x 0 . 则 e x 0=1x 3，x 3=1e x 0，y 3=−x 0 .即切点为 (1e x 0，−x 0) ．所以曲线y=lnx 的切线方程为 y +x 0=e x 0(x −1e x 0) .即 y =e x 0x −x 0−1 ． 因为x 0是f （x ）的一个零点.所以 e x 0=x 0+1x 0−1 .∴ −x 0e x 0+e x 0=e x 0(1−x 0) = x 0+1x 0−1(1−x 0)=−1−x 0 .故两条切线重合.结论成立．【点评】：本题考查导数的几何意义和综合应用.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．。

北京交大附中2019－2020学年第二学期期末练习（共100分考试时长：90分钟）一、本题共16小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的。

（每小题3分，共48分）1.功的单位是焦耳（J），焦耳与基本单位米（m）、千克（kg）、秒（s）之间的关系正确的是（）A. 1J=1kg⋅m2/s2B. 1J=1kg∙ m/s2C. 1J=1kg⋅ m2 / sD. 1J =1kg⋅ m / s【答案】A【解析】【详解】根据W=FL可得，1J=1N•m根据牛顿第二定律F=ma可知，力的单位为：1N=1kg•m/s2所以有：1J=kg•m2/s2A．1J=1kg⋅m2/s2，与结论相符，选项A正确；B．1J=1kg∙ m/s2，与结论不相符，选项B错误；C．1J=1kg⋅ m2 / s，与结论不相符，选项C错误；D．1J =1kg⋅ m / s，与结论不相符，选项D错误；2.对简谐运动的回复力公式F=－kx的理解，正确的是（）A. k只表示弹簧的劲度系数B. 式中的负号表示回复力总是负值C. 位移x是相对平衡位置的位移D. 回复力只随位移变化，不随时间变化【答案】C【解析】【详解】A．k是回复力大小与位移大小的比值，不一定表示弹簧的劲度系数，故A项错误；B．式中的负号表示回复力方向总是与位移方向相反，故B项错误；C．式中位移x是相对平衡位置的位移，故C项正确；D．简谐运动物体位移随时间变化，回复力既随位移变化，也随时间变化，故D项错误。

故选C。

3.在下列几个实例中，机械能守恒的是（）A. 所受的合外力为零的物体B. 在竖直面内做匀速圆周运动的小球C. 在粗糙斜面上下滑的物体D. 沿光滑固定斜面向上滑行的物体【答案】D【解析】【详解】A．只在重力或弹力做功的情况下，物体（系统）的机械能守恒。

所受的合外力为零的物体，即除重力外还有其它力。

物体静止、水平匀速运动等机械能守恒，竖直方向的匀速直线运动等机械能不守恒，A错误；B．在竖直面内做匀速圆周运动的小球，速度大小不变，动能不变，当小球高度变化时，重力势能改变，机械能不守恒，B错误；C．在粗糙斜面上下滑的物体，克服摩擦力做功，机械能不守恒，C错误；D．沿光滑固定斜面向上滑行的物体，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，D正确。

北京交通大学2018~2019学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）一．（本题满分8分）某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）．解：设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”．由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ．⑴所求概率为()()()11211.002.0===A P AB P A B P ．⑵所求概率为()()()()()()7507.002.007.0=-=-==B P AB P B P B P B A P B A P ．二．（本题满分8分）两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率．解：设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”．所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得()()()()()()()B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=11503.03205.03105.031=⨯+⨯⨯=．三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02cos πx x C x f ．⑴求常数C （3分）；⑵现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求()2Y E （5分）．解：⑴由密度函数的性质，()1=⎰+∞∞-dx x f ，得()C xC dx x C dx x f 22sin 22cos 10====⎰⎰+∞∞-ππ，因此，21=C ．⑵由于()212112sin 2cos 213333=-====⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎰⎰+∞ππππππx dx x dx x f X P ．所以，随机变量Y 的分布列为()kk C k Y P ⎪⎭⎫⎝⎛⋅==214，()4,3,2,1,0=k ．所以()()∑==⋅=422k k Y P kYE 51614164316621641161022222=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=．四．（本题满分8分）在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率．解：设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ．设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ．因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：中的点一一对应．随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2：中的点一一对应．所以，()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A 的面积的面积．五．（本题满分8分）一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00414x x ex f x．该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望．解：设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则⎩⎨⎧<-≥=13001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=⋅-=⋅=Y P Y P EY {}{}13001100<⋅-≥⋅=X P X P ⎰⎰-+∞-⋅-⋅=14144130041100dxe dx e xx5203.1113001004141=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅=--e e六．（本题满分9分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数YX ,ρ．解：由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-，所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ，()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ，()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y YE Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ，()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．七．（本题满分9分）某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数()x Φ的某些取值：x 55.160.165.170.1()x Φ9394.09452.09505.09554.0解：⑴设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．所以，()60=i X E ，()316001280var 2==i X ．再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==4001i i X X ．所以，()()240006040040014001=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．⑵由独立同分布场合下的中心极限定理，有{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯≤⨯-≤⨯-=≤-≤-3160040076031600400240003160040076076024000760X P X P ()901.019505.021645.123160040076031600400760=-⨯=-Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-Φ-⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯Φ≈．八．（本题满分8分）设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．其中10<<p 是未知参数，p q -=1．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 的极大似然估计量．解：似然函数为(){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,,()()()()nx nx x x nk k n p p p p p p p p ----∑-=--⋅-==1211111111所以，()()p n x p n p L n k k -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∑=1ln ln ln 1．所以，()01ln 1=---=∑=pnxpnp L dp d nk k，解方程，得x p 1=．因此p 的极大似然估计量为ξ1ˆ=p．九．（本题满分8分）设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2var σ=X ，()n X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()X D （4分）．解：()()μμμ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===n n n X E n X n E X E n i ni i n i i 1111111，()()n n n n X nX n X ni n i i n i i 22212212111var 11var var σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．十．（本题满分9分）两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055x x e x f xX ．现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数．解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00055x x e x f xX ，Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0055y y e y f yY 由题意，知Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则()()()()⎰⎰+∞-+∞∞--=-=55dxx t f edx x t f x f t f Y xYXT 作变换x t u -=，则dx du -=，当0=x 时，t u =；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得()()()()⎰⎰∞---∞--=-=tY utt Y u t T duu f eedu u f et f 55555当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ；当0>t 时，()t tu u tT te du e e et f 55552555-∞---=⋅=⎰综上所述，可知随机变量T 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-00255t t te t f tT ．十一．（本题满分9分）设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．解：①由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex f xθθ，因此其分布函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t f x F x xθ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnxxn x n enee n xf x F n x f -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ．即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．②由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤n a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．十二．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN ．令aY X U +=，bY X V -=（a与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件．解：由于随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，又aY X U +=，bY X V -=，所以U 与V 也都是服从正态分布的随机变量．所以，U 与V 相互独立的充分必要条件是()0,cov =V U ．而()()bY X aY X V U -+=,cov ,cov ()()()()Y Y ab X Y a Y X b X X ,cov ,cov ,cov ,cov -+-=()()()21σab Y abD X D -=-=．因此，随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件是01=-ab ．。