(完整word版)数学选修2-3(排列组合二项式定理)练习题

高中数学学习材料唐玲出品高二数学 排列、组合、二项式定理测试题（2015.5.25）命题人：石必武一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合影留念，要求排成一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有 （ ） A ．1440 B ．960 C ．720 D ．480 2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ）A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种3、5个人分4张无座足球票，每人至多分一张，而且必须分完，不同的分发种数有（ ） A ．45A 种 B ．54种 C ．45C 种 D ．45种4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种5、已知b a ≠且{}9,6,4,3,2,1,∈b a ，问一共可以组成多少个不同对数b a log 的值？（ ） A . 30个 B. 21个 C. 17个 D . 18个6、在一次羽毛球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ）A ．22种B ．23种C ．24种D ．25种7、令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x 项的系数，则数列}1{na 的前n 项和为 （ ）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）A ．32B ．1C ．-1D ．-329、二项式732)23(xx -展开式中含有常数项，则常数项是第（ ）项A 5B 6C 7D 810、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种 11、若x ∈A 则x1∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A ．15B ．16C ．28D ．2512、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。

衡水万卷周测（二）理科数学 排列与组合、二项式定理考试时间：120分钟姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共符合题目要求的） 1.已知等差数列765)1()1()1(,53}{x x x n a a n n +++++-=则的通项公式为的展开式 中含4x 项的系数是该数列的（ ）A.第9项B.第19项C.第10项D.第20项2.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ） A ．14 B ．16 C ．20 D ．48 3.20)1(x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为（ ）。

A. 190B. 380C. -190D. 04.已知n x )21(-展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则)1()21(x x n +-展开式中含2x 项的系数为A. 71B. 70C.21D. 49 5.已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1-6.4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻，所有的排法数（ ）A. 4444A AB. 44442A A C. 4445A A D. 44452A A7.平面内有4个红点,6个蓝点,其中只有一个红点和两个蓝点共线,其余任三点不共线,过这十个点中的任两点所确定的直线中,至少过一红点的直线的条数是( )A.28B.29C.30D.27 8.在1，2，3，4，5，6，7的任一排列1234567,,,,,,a a a a a a a 中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有（ ）A.576B.720C.864D.11529.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.A. 720B. 20C. 518400D. 1440010.设1021001210(1)a a x a xa x =++++，其中012,,a a a 是常数，则202101()(a a a a +++-+3a +29)a +等于（ ）A.211.如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角形中,第( ) 行中从左至右第14个数与第15个数的比为2:3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1第5行1 5 10 10 5 1 …………A.40 B 50 C.34 D.3212.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ） A.60 B.90 C.120 D.130二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知（1＋x ）＋2(1)x ＋＋3(1)x ＋＋…＋(1)n x ＋＝0a ＋1a x ＋21a x ＋…＋n n a x ，且0a ＋1a ＋2a ＋…＋n a ＝126，则n 的值为______________．14.若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a ++++等于_____.15.理：两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分．两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有 名高二年级的学生参加比赛．（结果用数值作答）16.从1，2，3，…，10这10个号码中任意抽取3个号码，其中至少有两个号码是连续整数的概率是▲ ．三、解答题（本大题共6小题，第1题10分，后5题每题12分，共70分）17.某乒乓球培训班共有n 位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S 等于( ) A ．(x －1)3 B ．(x －2)3 C ．x 3D ．(x ＋1)3【解析】 S ＝[(x －1)＋1]3＝x 3. 【答案】 C2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式的第4项等于5，则x 等于( )A.17 B ．－17 C ．7D ．－7 【解析】 T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，则x ＝－17. 【答案】 B3．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解析】 x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6. 【答案】 B4．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r. 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5； 当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·安徽淮南模拟)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为________．【解析】 由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T k ＋1＝C k 8·x 8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 8·x 8－2k ，当8－2k ＝－2时，k ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56.【答案】 567．设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r (－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2. 【答案】 28．9192被100除所得的余数为________．【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C 092·10092－C 192·10091·9＋C 292·10090·92－…＋C 9292992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C 092·1092－C 192·1091＋…＋C 9092·102－C 9192·10＋1， 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.法二：9192＝(90＋1)92＝C 092·9092＋C 192·9091＋…＋C 9092·902＋C 9192·90＋C 9292. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.【答案】 81 三、解答题9．化简：S ＝1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n (n ∈N *)．【解】 将S 的表达式改写为：S ＝C 0n ＋(－2)C 1n ＋(－2)2C 2n ＋(－2)3C 3n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(－1)n .∴S ＝(－1)n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为偶数时，－1，n 为奇数时.10．(2016·淄博高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k，令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.[能力提升]1．(2016·吉林长春期末)若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5【解析】 C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅C 适合．【答案】 C2．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n 中x 2项的系数为( )A ．－19B ．19C ．20D ．－20【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x n 的通项公式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中的x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.【答案】 C3．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．【解析】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x 4r －n，由通项公式可知，当n ＝4r (r ∈N *)和n ＝4r －1(r ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．【答案】 ①与④4．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项. 【导学号：97270023】【解】 法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5. 其中为常数项的有： C 15⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5. 综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322. 法二：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5 ＝132x 5·[(x ＋2)2]5＝132x 5·(x ＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5，所以所求的常数项为C 510·(2)532＝6322.。

选修2-3 1.3.1一、选择题1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是()A．2n B．2n＋1C．2n－1 D．2(n＋1)[答案] B3．在(x－3)10的展开式中，x6的系数是() A．－27C610B．27C410C．－9C610D．9C410[答案] D[解析]∵T r＋1＝C r10x10－r(－3)r.令10－r＝6，解得r＝4.∴系数为(－3)4C410＝9C410.4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()A．－4 B．－2C．2 D．4[答案] C[解析](1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x＋12x＋8x x)(1－3x)5，故(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中含x的项为1×C35(－3x)3＋12x C05＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.5．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10 [答案] B[解析] T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n x 3n －5r . 令3n －5r ＝0，∵0≤r ≤n ，r 、n ∈Z .∴n 的最小值为5.6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( )A ．－297B ．－252C ．297D ．207 [答案] D[解析] x 5应是(1＋x )10中含x 5项与含x 2项．∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207. 7．(2009·北京)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] 通项T r ＋1＝C r 10(x 2)n －r (－1x)r ＝(－1)r C r n x 2n －3r ，常数项是15，则2n ＝3r ，且C r n ＝15，验证n ＝6时，r ＝4合题意，故选D.8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( )A ．－1B.12 C ．1D ．2[答案] D[解析] C r 5·x r (a x)5－r ＝C r 5·a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3，∴r ＝4， 由C 45·a ＝10，得a ＝2.10．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项C ．6项D ．7项 [答案] A [解析] T r ＋1＝C r 20(32x )20－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22r ·(32)20－r C r 20·x 20－r ， ∵系数为有理数，∴(2)r 与220－r 3均为有理数，∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除， 故r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20. ∴r ＝2,8,14,20.二、填空题13．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)．[答案] 2[解析] C 36(x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 3＝20a 3x 3＝52x 3，∴a ＝2. 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________．[答案] －5[解析] (1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6， ∴要找出⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6中的常数项，1x 项的系数，1x 2项的系数，T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r x －r ＝C r 6(－1)r x6－2r ， 令6－2r ＝0，∴r ＝3，令6－2r ＝－1，无解．令6－2r ＝－2，∴r ＝4.∴常数项为－C 36＋C 46＝－5.。

1.3.1 二项式定理练习一、选择题1．0C n ·2n ＋1C n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k ＋…＋C n n 等于( )．A ．2nB ．2n －1C ．3nD ．1 2．(2012山东济南一中期末，理2)(1－i )10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )． A ．－210 B ．210 C ．－120i D ．－210i3.5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 3的系数为10，则a 的值等于( )．A ．－1B ．12C ．1D ．24．(2012安徽高考，理7)(x 2＋2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( )．A ．－3B ．－2C ．2D ．35．若1C n x ＋2C n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )．A ．x ＝5，n ＝5B ．x ＝5，n ＝4C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3 二、填空题 6．(x 3＋2x )7的展开式中第4项的二项式系数是__________，第4项的系数是__________． 7．(2012浙江高考，理14)若将函数f (x )＝x 5表示为f(x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.8．设二项式6x ⎛- ⎝(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ．若B ＝4A ，则a 的值是________．三、解答题9．设m ，n 是正整数，整式f(x )＝(1－2x )m ＋(1－5x )n 中含x 的一次项的系数为－16，求含x 2项的系数．10．在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项；(2)求展开式的常数项．参考答案1答案：C 解析：原式＝(2＋1)n ＝3n .2答案：A 解析：由通项公式得T 7＝610C ·(－i)6＝610C -＝－210.3答案：D 解析：展开式的通项公式T r ＋1＝5C r·x 5－r ·ra x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝a r 5C r ·x 5－2r， 令5－2r ＝3，∴r ＝1.∵x 3的系数为10，∴a 15C ＝10.∴a ＝2.4答案：D 解析：5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项为T r ＋1＝5521C rr x -⎛⎫ ⎪⎝⎭(－1)r ＝(－1)r 51021C rrx -.要使(x 2＋2) 5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是(－1)4×45C ＋2×(－1)5×55C ＝3.5答案：B 解析：122C C n n x x +＋…＋C n n n x ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．6答案：35 280 解析：因为(x 3＋2x )7的展开式的第4项是T 4＝37C (x 3)4(2x )3，故该项的二项式系数是37C ＝35，该项的系数是2337C ＝280.7答案：10 解析：由x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5可得，555554444444553333333334455C ,0C C ,0C C C ,x a x x a x a x x a x a x a x ⎧=⋅⎪⋅=+⎨⎪⋅=++⎩可解得5431,5,10.a a a =⎧⎪=-⎨⎪=⎩8答案：2 解析：T r ＋1＝66C rr rx -⎛ ⎝＝(－a )r 3626C r rx -，所以6－32r ＝3时，r ＝2， 所以A ＝15a 2,6－32r ＝0时，r ＝4，所以B ＝15a 4，所以15a 4＝4×15a 2，所以a 2＝4，又a ＞0，得a ＝2.9解：由题意得1C m ·(－2)＋1C n ·(－5)＝－16.∴2m ＋5n ＝16.又∵m ，n 是正整数，∴m ＝3，n ＝2.∴展开式中含x 2项的系数是23C ·(－2)2＋22C ·(－5)2＝12＋25＝37. 10解：T r ＋1＝12331CC 2rrn rn r rr nn x--⎛⎛⎫=- ⎪ ⎝⎭⎝. 由前三项系数的绝对值成等差数列，得202111C C 2C 22n nn ⎛⎫+-=⨯ ⎪⎝⎭，解这个方程得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)展开式的第4项为：T 4＝323381C 2x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.(2)当8233r -＝0，即r ＝4时，常数项为448135C 28⎛⎫-= ⎪⎝⎭.。

第一章计数原理1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理A级基础巩固一、选择题1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是()A．(2x＋2)5B．2x5C．(2x－1)5D．32x5解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.答案：D2．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有() A．3项B．4项C．5项D．6项解析：T r＋1＝C r24x24－r2·x－r3＝Cr24·x12－56r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．答案：C3．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x－123xn的展开式中第四项为常数项，则n＝() A．4 B．5C ．6D ．7解析：由二项展开式可得T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝(－1)r 2－r C rn x n －r 2·x －r 3，从而T 4＝T 3＋1＝(－1)32－3C 3n x n －52，由题意可知n －52＝0，n ＝5.答案：B4．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(x ＋1)10展开式中含x 5的项的系数为：C 510－C 210＝207.答案：D5．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝5，n ＝5 B ．x ＝5，n ＝4 C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3解析：C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n －1，检验得B 正确．答案：B 二、填空题6．(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6·x r ，令r ＝2， 得T 3＝(－2)2C 26x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.答案：607.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 3＝－160x . 答案：－160x8．如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 的展开式中，x 2项为第三项，则自然数n ＝________．解析：T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r n x2n －5r3，由题意知r ＝2时，2n －5r3＝2，所以n ＝8. 答案：8 三、解答题9．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项及项数．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240.(2)T k ＋1＝C k n (2x )6－k ⎝⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k 26－k C r 6x 3－k ， 令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －123x n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项． 解：T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－123x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r n x 13n －23r . 由前三项系数的绝对值成等差数列， 得C 0n ＋⎝⎛⎭⎪⎫－122C 2n ＝2×12C 1n ， 解得n ＝8或n ＝1(舍去)． (1)展开式的第四项为：T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 38x 23＝－73x 2.(2)当83－23r ＝0，即r ＝4时，常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 48＝358.B 级 能力提升1．如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－2x 3n展开式的通项表达式为C r n (3x 2)n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r ，若C r n 3n －r(－2)r x 2n －5r 为非零常数项，必有2n －5r ＝0，得n ＝52r ，所以正整数n 的最小值为5.答案：B2．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a ＞0)的展开式中，x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝2(舍去a ＝－2)． 答案：23．如果f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n (m ，n ∈N *)中，x 项的系数为19，求f (x )中x 2项系数的最小值．解：x 项的系数为C 1m ＋C 1n ＝19，即m ＋n ＝19，当m ，n 都不为1时，x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋（19－m ）（18－m ）2＝m 2－19m ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1922＋171－1924，因为m ∈N *，所以当m ＝9或10时，x 2项的系数最小，为81.当m 为1或n 为1时，x 2项的系数为C 218＝153>81，所以f (x )中x 2项系数的最小值为81.。

1.3 二项式定理1、5221(2)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3 2、二项式()()1nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15,则n = ()A.4B.5C.6D.73、设m 为正整数, 2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = ( ) A.5 B.6C.7D.84、若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A.10 B.20 C.30 D.1205、在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中,x 的系数为( )A.10B.10-C.40D.40- 6、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5,则a =( ) A.-4B.-3C.-2D.-17、84()(1)1x y ＋＋的展开式中22x y 的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．1688、设6x ⎛ ⎝的展开式中的3x 系数为A ,二项式系数为B ,则A B =( ) A. 4 B. 4- C. 62 D. 62-9、在101()2x x-的展开式中, 4x 的系数为( ) A.-120 B.120 C.-15 D.1510、若()3nx y +的展开式中各项的系数之和等于()107a b +的展开式中各二项式的系数之和，则n 的值为( ).A.5B.8C.10D.1511、已知31nx ⎛⎫+ ⎝的展开式的二项式系数之和比()2na b +的展开式的系数之和小240,则1nx ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式系数中最大的项是__________ 12、已知()()*1,n mx m R n N +∈∈的展开式的二项式系数之和为32,且展开式中含3x 项的系数为80,则()()611n mx x +-的展开式中含2x 项的系数为__________ 13、如图所示,在杨辉三角中,斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,6,4,10, ⋅⋅⋅,记这个数列的前n 项和为n S 则16S =__________14、计算()0123521mn n n n C C C n C +++⋯++=__________(*)n N ∈.15、已知在n的展开式中,第6项为常数项. 1.求n ;2.求含2x 的项的系数 3.求展开式中所有的有理项.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：5211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中21x 的系数为445(1)5C -=,常数项的系数为5(1)(1)-=-,所以5221(2)1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项是523-=,故选D.2答案及解析： 答案：C解析：本题主要考查二项式定理.11k n k k k n k k n n T C x C x --+==,由已知, 2n k -=时, 15k n C =,即2215n n n C C -==,故6n =,故本题选C.3答案及解析： 答案：B 解析：()2mx y +展开式中二项式系数的最大值为2mm C ,即2m m a C =,同理, 21m m b C +=,∴221137m mm m C C +=,即()()()132!721!!!!1!m m m m m m ⋅⋅+=+,∴()721131m m +=+,解得6m =.4答案及解析： 答案：B解析：因为1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，即为264,6nn ==,那么展开式中常数项就是x 的幂指数为0的项，即为20.5答案及解析： 答案：D解析：5121(2)()rr r r T C x x-+=-51035(1)2r r r r C x --=-，∴1031r -=，∴3r =，∴35335(1)240C --=-6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：D 解析：8答案及解析： 答案：A解析：166k kk k T C x +-⎛= ⎝()36262k k k C x -=-,令3632k -=，即2k =，所以()223336260T C x x =-=，所以3x 的系数为60A =，二项式系数为2615B C ==，所以60415A B ==9答案及解析： 答案：C 解析：在101()2x x-的展开式中, 4x 的系数33101()152C -=-,选C10答案及解析： 答案：A解析：()107a b +的展开式中各二项式的系数之和为102,对于()3nx y +,令1,1x y ==,则由题意，知1042n =,解得5n =11答案及解析： 答案：463x解析：由题意,得222240n n-=,可得216,n =所以4n =,因此431x ⎛⎫+ ⎝的展开式中系数最大的项是第3项,为222431463C x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12答案及解析： 答案：-5解析：由题意,得n 232=,所以5n =,又()51mx +的展开式的通项为15r r rr T C m x +=,令3r =,得33580C m =,所以2m =,所以()()()()65611121n mx x x x +-=+-,其展开式中含2x 项的系数为0211205656562411525641015C C C C C C -+=⨯-⨯⨯+⨯⨯=-13答案及解析：答案：由杨辉三角的性质,得()1212122121162233992339S C C C C C C C C C C =++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+()32223339101011164C C C C C +++⋅⋅⋅+-=+-=解析：14答案及解析： 答案：()12nn +⋅解析：设()0123521nn n n n n S C C C n C =+++⋯++,则()()01121213n nn n n n nS n C n C C C -=++-+⋯++,所以()()()01221212nn n n n n S n C C C n =+++=+⋅⋯+,所以()12nn S n =+⋅.15答案及解析：答案：1.n的展开式的通项为 33112rn rr rr n T C xx --+⎛⎫=- ⎪⎝⎭2312rn rr n C x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为第6项为常数项, 所以5r =时,有203n r-=,解得10n =. 2.令223n r -=,得()()116106222r n =-=⨯-=,所以含2x 的项的系数为221014524C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 3.根据通项公式与题意得102,3010,.rZ r r Z -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩令()1023rk k Z -=∈,则1023r k -=,即352r k =-.r Z ∈,k ∴应为偶数.又010r ≤≤,k ∴可取2,0,2-,即r 可取2,5,8.所以第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,即2454x ,638-,245256x . 解析：。

高二排列、组合与二项式定理选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．若从集合P 到集合Q={a,b,c }所有不同的映射共有81个，则从集合Q 到集合P 可作的不同的映射共有（ ）A ．32个B ．27个C ．81个D ．64个2．某班举行联欢会，原定的五个节目已排出节目单，演出前又增加了两个节目，若将这两 个节目插入原节目单中，则不同的插入方法总数为（ ）A ．42B ．36C ．30D ．123．全班48名学生坐成6排，每排8人，排法总数为P ，排成前后两排，每排24人，排法总数为Q,则有（ ）A ．P>QB ．P=QC ．P<QD ．不能确定4．从正方体的六个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）种A ．8B ．12C ．16D ．205．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）A ．4448412C C C B ．44484123C C C C ．334448412A C C C D ．334448412A C C C 6．某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼 的外墙，现有编号为1~6的六种不同花色的装饰石材可选择，其中1号石材有微量的放射性， 不可用于办公室内，则不同的装饰效果有（ ）种A ．350B ．300C ．65D ．507．有8人已站成一排，现在要求其中4人不动，其余4人重新站位，则有（ ）种重新站位的方法A ．1680B ．256C ．360D ．2808．一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（ ）种不同的坐法A ．7200B ．3600C ．2400D ．12009．在(311xx )n 的展开式中，所有奇数项二项式系数之和等于1024，则中间项 的二项式系数是 （ ）A. 462B. 330C.682D.79210.在(1+a x )7的展开式中,x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项,则a 的值为( ) A.510 B.35 C.925 D.325 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．某公园现有A 、B 、C 三只小船，A 船可乘3人，B 船可乘2人，C 船可乘1人，今有三个成人和2个儿童分乘这些船只（每船必须坐人），为安全起见，儿童必须由大人陪同方 可乘船，他们分乘这些船只的方法有_____________种。