中考数学专项训练 图形的相似(附参考答案)

初三相似试题及答案
一、选择题
1. 在下列选项中，哪两个图形是相似的？
A. 一个正方形和一个矩形
B. 一个正三角形和一个等腰三角形
C. 一个圆形和一个椭圆形
D. 一个菱形和一个正方形
答案：A
2. 如果两个图形相似，那么它们的对应角：
A. 相等
B. 互补
C. 互为余角
D. 互为补角
答案：A
3. 相似图形的对应边成比例，那么下列说法正确的是：
A. 相似比是边长的比值
B. 相似比是面积的比值
C. 相似比是周长的比值
D. 相似比是体积的比值
答案：A
二、填空题
1. 两个相似图形的相似比是2:3，那么它们的面积比是________。

答案：4:9
2. 如果一个图形的长和宽分别是8cm和6cm，那么与它相似的图形的长和宽分别是12cm和________cm。

答案：9
3. 相似三角形的周长比是3:5，那么它们的面积比是________。

答案：9:25
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的边长分别是
3cm、4cm和5cm，三角形DEF的边长分别是6cm、8cm和10cm。

求三角形ABC与三角形DEF的相似比。

答案：三角形ABC与三角形DEF的相似比是3:6，即1:2。

2. 一个矩形的长是10cm，宽是4cm，与它相似的另一个矩形的长是20cm，求这个矩形的宽。

答案：矩形的宽是8cm。

3. 一个正三角形的边长是6cm，与它相似的另一个正三角形的边长是9cm，求这两个三角形的面积比。

答案：这两个三角形的面积比是36:81。

中考数学图形的相似专题卷（附答案）一、选择题1.如图，在ABC ∆中，BC DE //，AD=6，DB=3，AE=4,则EC 的长为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42.若2a=3b ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．3.如图，菱形纸片ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，折叠纸片使点A 与点O 重合，折痕为EF ，若AB=5，BD=8，则△OEF 的面积为（ ）A ．12B ．6C ．3D ．234.下列多边形一定相似的为（ ）A ．两个三角形B ．两个四边形C ．两个正方形D ．两个平行四边形5.现给出四个命题：①等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②相似三角形的面积比等于它们的相似比；③菱形的面积等于两条对角线的积；④一组数据2，5，4，3，3的中位数是4，众数是3，其中不正确的命题的个数是（ ） A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个6.如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别是PB 、PC （靠近点P ）的三等分点，△PEF 、△PDC 、△PAB 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若AD=2，AB=23，∠A=60°，则S 1+S 2+S 3的值为（ ）7题图A ．310B ．29C ．313D ．47.如图，若DC ∥FE ∥AB ，则有（ ）．A ．OD OC OF OE = B ．OF OB OE OA = C ．OA OD OC OB = D ．CD ODEF OE =8.已知△ABC 的面积是1，1A 、1B 、1C 分别是△ABC 三边上的中点，△111A B C 的面积记为1S ；2A 、2B 、2C 分别是△111A B C 三边上的中点，△222A B C 的面积记为2S ；以此类推，则△444A B C 的面积4S 是（ ）．A ．116B ．164C ．1128D ．12569.如图，在平面直角坐标系中，A （2，4）、B （2，0），将△OAB 以O 为中心缩小一半，则A 对应的点的坐标（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）或（﹣1，﹣2）D ．（2，1）或（﹣2，﹣1）10.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④11.若53b a =，则b ba +的值为（ ） A ．85 B ．53 C ．32 D ．85二、填空题12.如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的中点，则DECB 四边形:S S ADE ∆= ．13.现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QP：QR=3：1：2．（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE 于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS=（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST= ．14.如果地图上A，B两处的图距是4cm，表示这两地实际的距离是20km，那么实际距离500km的两地在地图上的图距是 cm．15.已知两个相似三角形对应高的比为3:10，且这两个三角形的周长之差为56cm，则较小的三角形的周长为______cm．⊥，交16.如图，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，连接EC，过点E作EF EC∠=____．AB于点F，则tan ECF17.在△ABC中，已知D、E分别为边AB、AC的中点，若△ADE的周长为3 cm，则△ABC的周长为_____cm．三、解答题18.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．19.问题背景已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．（1）初步尝试如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．小王同学发现可以由以下两种思路解决问题：思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；（3）延伸拓展如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．20.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为________；②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．21.如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，s有最大值，最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标？四、计算题22.问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：△EFC的面积S1= ，△ADE的面积S2= ．探究发现（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE与BC间的距离为h．请证明S2=4S1S2．拓展迁移（3）如图2，▱DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为3、7、5，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．23.如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．答案1.B ．2.B3.C4.C5.C6.A ．7.D8.D9.C 10.C 11.A ．12.1:3 13.（1）4：1：3：2； （2）5：1：4：2：3． 14.100． 15.24cm 16.1217.6 18.（1）2，5；（2）当2≤m ≤4时，d=|n|（-2≤n ≤2）或2812m m -+-；当4≤m ≤6时，d=2；（3）16+4π．19.（1）证明（选择思路一）：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图1所示： 则∠ADG=∠B ，∠AGD=∠ACB ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60°， ∴∠ADG=∠AGD=∠A ， ∴△ADG 是等边三角形， ∴GD=AD=CE ， ∵DH ⊥AC ， ∴GH=AH ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF=∠CEF ，∠DGF=∠ECF ， 在△GDF 和△CEF 中，，∴△GDF ≌△CEF （ASA ）， ∴GF=CF ，∴GH+GF=AH+CF ， 即HF=AH+CF ；（2）解：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图2所示： 则∠ADG=∠B=90°， ∵∠BAC=∠ADH=30°， ∴∠HGD=∠HDG=60°， ∴AH=GH=GD ，AD=GD ， 根据题意得：AD=CE ， ∴GD=CE ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF=∠CEF ，∠DGF=∠ECF ， 在△GDF 和△CEF 中，，∴△GDF ≌△CEF （ASA ）， ∴GF=CF ，∴GH+GF=AH+CF ， 即HF=AH+CF ， ∴=2；（3）解：=，理由如下：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，如图3所示： 则∠ADG=∠B ，∠AGD=∠ACB ，AD=EC ， ∵AB=AC ，∠BAC=36°，∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，∵∠ADH=∠BAC=36°，∴AH=GH，∠DHG=72°=∠AGD，∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，∴==m，===m，∴△DGH∽△ABC，∴==m，∴=m，∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴==m，∴=m，即=m，∴=，∴==+1=．20.（1）证明：∵PC=PB，D是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP与△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）；（2）解：①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，（4÷2）×（4÷2）=2×2=4；②如图：∵DP∥AB，DP=BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°．故答案为：4；60°．21.（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，∴在Rt △ABE 中，AE =AO =5，AB =4． BE =222254AE AB -=-=3． ∴CE =2．∴E 点坐标为（2，4）．在Rt △DCE 中，DC 2+CE 2=DE 2， 又∵DE =OD ．∴（4﹣OD ）2+22=OD 2． 解得：OD =2.5．∴D 点坐标为（0，2.5）． （2）如图②∵PM ∥ED ， ∴△APM ∽△AED ． ∴PM APED AE=， 又知AP =t ，ED =2.5，AE =5，PM =0.5t ×2.5=0.5t ， 又∵PE =5﹣t ．而显然四边形PMNE 为矩形．S 矩形PMNE =PM •PE =0.5t ×（5﹣t ）=﹣0.5t 2+2.5t ； ∴S 四边形PMNE =﹣0.5（t ﹣2.5）2+258， 又∵0＜2.5＜5．∴当t =2.5时，S 矩形PMNE 有最大值258． （3）（i ）若以AE 为等腰三角形的底，则ME =MA （如图①）在Rt △AED 中，ME =MA ， ∵PM ⊥AE ，∴P 为AE 的中点， ∴t =AP =0.5AE =2.5． 又∵PM ∥ED ，∴M 为AD 的中点．过点M 作MF ⊥OA ，垂足为F ，则MF 是△OAD 的中位线， ∴MF =0.5OD =1.25，OF =0.5OA =2.5，∴当t =2.5时，（0＜2.5＜5），△AME 为等腰三角形． 此时M 点坐标为（2.5，1.25）．（ii ）若以AE 为等腰三角形的腰，则AM =AE =5（如图②）在Rt △AOD 中，AD =22OD AO +=22552⎛⎫+ ⎪⎝⎭=552．过点M 作MF ⊥OA ，垂足为F ．∵PM ∥ED ，∴△APM ∽△AED ．∴AP AMAE AD=． ∴t =AP=AM AE AD ⋅= 55=25 ，∴PM =12t =5．∴MF=MPOF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣∴当t0＜5），此时M点坐标为（5﹣综合（i）（ii）可知，t=2.5或tA，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为（2.5，1.25）或（5﹣22.（1）S1=12×6×3=9，过A作AH⊥BC，交DE于G，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE=BF=2，∵DE∥BC，∴AG⊥DE，△ADE∽△ABC，∴ED AG BC AH=，∴283AGAG=+，解得：AG=1，∴S2=12×DE×AG=1212⨯⨯=1，（2）∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC，∴22221()S DE mS FC n==，∵S1=12nh，∴S2=22mn×S1=22m hn，∴4S1S2=4×12nh×22m hn=（mh）2，而S=mh，∴S2=4S1S2；（3）过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF，∴BH=EF，∴BE=HF，在△DBE和△GHF中DB GHB GHF BE HF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE≌△GHF（SAS），∴△GHC的面积为7+5=12，由（2）得，平行四边形DBHG的面积S，∴△ABC 的面积为3+12+12=27．考点：1.平行四边形的判定与性质；2.三角形的面积；3.全等三角形的判定与性质；4.勾股定理．23.（1）∵抛物线与y 轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax 2+bx+3（a≠0）根据题意，得30933a b a b -+=⎧⎨++⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）如图，设该抛物线对称轴是DF ，连接DE 、BD ．过点B 作BG⊥DF 于点G ． 由顶点坐标公式得顶点坐标为D （1，4） 设对称轴与x 轴的交点为F ∴四边形ABDE 的面积=ABO DFEBOFD S S S ++V V 梯形=12AO•BO+12（BO+DF ）•OF+12EF•DF =12×1×3+12×（3+4）×1+12×2×4=9；（3）相似，如图， BD=222BG DG +=； ∴BE=2232BO OE +=DE=22DF EF +=25∴BD 2+BE 2=20，DE 2=20即：BD 2+BE 2=DE 2，所以△BDE 是直角三角形∴∠AOB=∠DBE=90°，且22AO BO BD BE==， ∴△AOB∽△DBE．。

中考数学总复习《图形的相似》专项提升训练(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．两个相似三角形的相似比是1:2，则其对应中线之比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:42．如图，在ABC 中2AC =，BC=4，D 为BC 边上的一点，且CAD B ∠=∠．若ADC △的面积为2，则ABD △的面积为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．若35a b =，则下列各式一定成立的是（ ）A ．53a b =B ．35a b =C ．65a b a +=D ．145a b += 4．如图，在ABC 中DE BC ∥，AD=1，BD=2，AC=6，则CE 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在等边ABC 中，点D ，E 分别是BC AC ，上的点72AB CD ==，，60ADE ∠=︒则AE 等于（ ）A ．5B ．397C ．6D ．4176．下列命题正确的是（ ）A ．方程210x x --=没有实数根B ．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似C ．平分弦的直径垂直于弦D ．反比函数的图像不会与坐标轴相交7．已知ABC DEF ∽△△，:1:2AB DE =且ABC 的周长为6，则DEF 的周长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．248．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()0,0,1,2,0,3O A B ．若OA B ''△与OAB 是原点O 为位似中心的位似图形，且点B 的对应点为()0,9B '-，则点A 的对应点A '坐标为（ ） A ．()3,6 B ．()3,6-- C ．()3,6- D ．()3,6- 9．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍不能使ACD ABC △∽△的是（ ）A ．ACDB ∠=∠ B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AD CD AC BC = D ．AC AB AD AC = 10．如图，已知ABC DAC △∽△，37B ∠=︒和116∠=︒D ，则BAD ∠的度数为（ ）A ．37︒B ．116︒C ．153︒D ．143︒二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，8AB =和4BC =，连接AC ，EF AC ⊥于点O ，分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接AF 、CE ，则AF CE +的最小值为 ．12．如图，在ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，点F 为DE 中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，则:AG GE = ．13．如图AC ，AD 和CE 是正五边形ABCDE 的对角线，AD 与CE 相交于点F ．下列结论：（1）CA 平分BCF ∠；（2）2CF EF =；（3）四边形ABCF 是菱形；（4）2AB AD EF =⋅．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）14．如图AC 、BD 交于点O ，连接AB 和CD ，若要使AOB COD ∽，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)15．如图，在ABC 中4AC AB ==和30C ∠=︒，D 为边BC 上一点，且3CD =，E 为AB 上一点，若30ADE ∠=︒，则BE 的长为 ．16．在ABC 中，6810AC BC AB D ===，，，是AB 的中点，P 是CD 上的动点，若点P 到ABC 的一边的距离为2，则CP 的长为 ．17．如图，M 是Rt ABC △斜边AB 上的中点，将Rt ABC △绕点B 旋转，使得点C 落在射线CM 上的点D 处，点A 落在点E 处，边ED 的延长线交边AC 于点F ．如果3BC =．4AC =那么BE 的长为 ；CF 的长为 ．18．如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若:3:1BF FD =，8BC =则CE 的长为 ．三、解答题19．已知O 为ABCD 两对角线的交点，直线l 过顶点D ，且绕点D 顺时针旋转，过点A ，C 分别作直线l 的垂线，垂足为点E ，F ．(1)如图1，若直线l 过点B ，求证：OE OF =；(2)如图2，若EFO FCA ∠=∠，2FC AE =求CFO ∠的度数；(3)如图3，若ABCD 为菱形4AE =，6AO =和8EO =直接写出CF 的长． 20．如图，在ABC 中2BAC C ∠=∠，利用尺规作图法在BC 上求作一点D ，使得ABDCBA ．（不写作法，保留作图痕迹）21．如图，在Rt ABC △中90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点E 作EF CB ∥交BD 于点F ．(1)求证：ACE BAC ∽△△；(2)若5AC =，5AB =求CE 及EF 的长．22．如图，在直角梯形OABC 中BC AO ∥，=90AOC ︒∠点A 、B 的坐标分别为()5,0、()2,6点D 为AB 上一点，且2BD AD =．双曲线()0k y x x=>经过点D ，交BC 于点E ．求点E 的坐标．23．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．求证：APE FPA △∽△．24．如图1，菱形AGBD 边长为3，延长DB 至点C ，使得5BC =．连接AB ，AB AD =点E ，F 分别在线段AD 和AB 上，且满足DE AF =，连接BE ，DF 交于点O ，过点B 作BM BE ⊥，交DF 延长线于点M ，连接CM ．图1 图2(1)求OB 与BM 之间的数量关系；(2)当DMB DCM △∽△时，求DO 的长度；(3)如图2，过点M 作MN CD ⊥交CD 于N ，求MN MC的最大值． 1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．C8．B9．C10．C11．1012．2:113．①①①14．A C ∠=∠(答案不唯一)15．9416．103或52或3512 17． 59418．16519．(2)60CFO ∠=︒(3)CF 的长为7 21．(2)1CE = 655EF =． 22．4,63⎛⎫ ⎪⎝⎭/11,63⎛⎫ ⎪⎝⎭ 24．(1)3BM OB =(2)1OD =(3)1014101911316206517MN CN ++=。

初中数学图形的相似练习题及参考答案相似是初中数学中的一个重要概念，它描述了两个图形在形状上的相似程度。

相似的图形具有相同的形状但不一定相等的大小。

在这篇文章中，我们将介绍几道关于相似图形的练习题，并提供参考答案供大家参考。

题目一：已知三角形ABC和三角形DEF相似，且比例系数为3：4。

若AB=6cm，BC=8cm，DE=12cm，求EF的长度。

解答一：根据相似三角形的定义，相似三角形的对应边长之比相等。

即AB/DE=BC/EF。

代入已知条件，得到以下等式：6/12=8/EF通过交叉乘法可以求解EF的长度：6*EF=12*8EF=16cm所以，EF的长度为16cm。

题目二：如果一个正方形的边长为6cm，那么和它相似的另一个正方形的边长是多少？解答二：由于两个正方形相似，所以它们的对应边长之比相等。

设另一个正方形的边长为x，则根据相似三角形的性质得到以下等式：x/6=6/6通过交叉乘法可以求解x的长度：x=6cm所以，和给定正方形相似的另一个正方形的边长也是6cm。

题目三：已知一个矩形的长为10cm，宽为5cm。

如果和它相似的另一个矩形的长为15cm，求这个矩形的宽。

解答三：根据相似矩形的性质，两个矩形的边长比相等。

设相似矩形的宽为x，则根据已知条件可以得到以下等式：10/x=15/5通过交叉乘法可以求解x的长度：10*5=15*x50=15*xx=50/15x=10/3 cm所以，这个矩形的宽为10/3 cm。

题目四：如果一个三角形的三边分别为3cm，4cm和5cm，那么和它相似的另一个三角形的三边分别是多少？解答四：根据相似三角形的性质，两个三角形的边长比相等。

设相似三角形的三边分别为x、y、z，则根据已知条件可以得到以下等式：x/3=y/4=z/5通过交叉乘法可以求解x、y、z的长度：x=3*(4/5)=12/5 cmy=4*(4/5)=16/5 cmz=5*(4/5)=20/5 cm所以，和给定三角形相似的另一个三角形的三边分别是：12/5 cm、16/5 cm和20/5 cm。

备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD于点Q．则的值为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．备战2022最新中考数学考点专题训练——专题十：图形的相似参考答案1．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【答案】解：∵∠AEC＝∠BED，∴当＝时，△BDE∽△ACE，即＝，∴CE＝．故答案为．2．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．【答案】解：∵AG＝2，GD＝1，∴AD＝3，∵AB∥CD∥EF，∴＝，故答案为：．3．如图，△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE＝．【答案】解：∵D为AB的中点，∴BD＝AB＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴当∠DBE＝∠ACB时，△BDE∽△BAC时，如图1，则＝，即＝，解得DE＝2；当∠BDE＝∠ACB时，如图2，DE交AC于F，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△ACB，∴△BDE∽△BCA，∴＝，即＝，解得DE＝，综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE ＝2或．故答案为2或．4．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．【答案】解：∵△BOC∽△AOB，∴＝，∴＝，∴OC＝1，∵点C在x轴上，∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；故答案为：（1，0）或（﹣1，0）．5．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．6．如图，C为线段AB上的一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝3，BC＝2，则△MCD与△BND的面积比为．【答案】解：∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴△ACM∽△CBN，∴CM：BN＝AC：BC＝3：2；∵△ACM、△CBN都是等边三角形，∴∠MCA＝∠NDB＝∠BND＝60°，∴∠MCN＝60°＝∠BND，∴∠CMD＝∠NBD（三角形内角和定理）∴△MCD∽△BND∴△MCD与△BND的面积比为（）2＝（）2＝．7．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．【答案】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知＝，即＝，解得AM＝5m．则小明的影长为5米．8．如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF：FD＝1：3，则BE：EC＝．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△BEF∽DAF，∴BE：AD＝BF：FD＝1：3，∴BE：BC＝1：3，∴BE：EC＝1：2．故答案为：1：2．9．将一个面积为1的等边三角形挖去连接三边中点所组成的三角形（如第①图）后，继续挖去连接剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如第②图、第③图）…如此进行挖下去，第④个图中，剩余图形的面积为，那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表示）．【答案】解：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第N个图形中，会有4n个基本形；也可以看出有3n白色三角形．那么剩余部分的面积就应该是：×大三角形的面积，即×大三角形的面积，那么第④个图中，剩余图形的面积为或，∵三角形的面积是1第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为：1﹣．故答案为：或；1﹣．10．如图，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，点E在AB上，且AE：EB＝2：3，过点E作EF∥BC交CD于F，则EF 的长是．【答案】解：过点A作AN∥CD，分别交EF，BC于点M，N，∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF∥BC，∴四边形AMFD与四边形ANCD是平行四边形，∴CN＝MF＝AD＝3，∴BN＝BC﹣CN＝5﹣3＝2，∵EF∥BC，∴△AEM∽△ABN，∴EN：BM＝AE：AB，∵AE：EB＝2：3，∴AE：AB＝2：5，∴EM＝BN＝0.8，∴EF＝EM+FM＝0.8+3＝3.8．故答案为：3.8．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，线段DC 绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处．如果＝m，＝n．那么m与n满足的关系式是：m＝（用含n的代数式表示m）．【答案】解：作DH⊥AC于H，如图，∵线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边AC上的点E处，∴DE＝DC，∴EH＝CH，∵＝n，即AE＝nEC，∴AE＝2nEH＝2nCH，∵∠C＝90°，∴DH∥BC，∴＝，即m＝＝＝2n+1．故答案为：2n+1．12．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC 与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为．【答案】解：∵直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，令x＝0可得y＝1；令y＝0可得x＝﹣2，∴点A和点B的坐标分别为（﹣2，0）；（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，∴＝＝，∴O′B′＝3，AO′＝6，∴B′的坐标为（﹣8，﹣3）或（4，3）．故答案为：（﹣8，﹣3）或（4，3）．13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A 的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜15），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为．【答案】解：当DE⊥AB于点E，设t秒时，E点没有到达B点前，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝8.2，设t秒时，当E点到达B点后，∠BED＝90°，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠BED＝90°，∴△BED∽△BCA，∴＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝，解得：t＝11.8，当DE⊥CB于DE，设t秒时，∠BDE＝90°，∵DE∥AC，∴△BED∽△BAC，∴＝＝，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，D为BC的中点，∴AB＝10cm，BD＝3cm，∴＝解得：t＝5，综上所述：t的值为5s或8.2s或11.8s．故答案为：5s或8.2s或11.8s．14．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在AB边上，且AM＝3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN＝．【答案】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故＝＝，则＝，解得：MN＝4，如图2所示：当∠ANM＝∠B时，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴＝，即＝，解得：MN＝6，故答案为：4或6．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．【答案】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B ＝∠AED（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似，故答案为：∠B＝∠AED．16．如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C，直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝．【答案】解：∵＝，∴＝，∵直线a∥b∥c，∴＝＝，故答案是：．17．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．【答案】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝．【答案】解：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，且AB＝AC＝，∴BC＝＝＝，在△BCD中，∵∠BDC＝90°，CD＝1，∴BD＝＝＝3，又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AMB＝∠DMC，∴△AMB∽△DMC，∴＝＝，即＝＝，解得：DM＝，故答案为：．19．已知△ABC为钝角三角形，其最大边AC上有一点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线l，使直线l截△ABC所得的三角形与原三角形相似，这样的直线l可作的条数是．【答案】解：如图1：过点P作PE∥AB的平行线，或者作PD∥BC的平行线，都可使截得的三角形与原三角形相似；过点P可作直线交边AC于点F，使得∠PFC＝∠A，可得△CFP∽△CAB，∴有3条；如图2：只有2条．∴这样的直线l可作的条数是3条或2条．故答案为：3或2．20．已知AM是△ABC中BC边上的中线，P是△ABC的重心，过P 作EF（EF∥BC），分别交AB、AC于E、F，则＝．【答案】解：如图分别过B、C两点作BG、CK平行于AM交直线EF于G、K，则有＝，＝，两式相加，又平行四边形BCKG中，PM＝（BG+CK），而由P为重心得AP ＝2PM，故．故答案为：1．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC 边中点，AP交BD于点Q．则的值为．【答案】解：连接OP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵PC＝PB，∴OP∥AB，OP＝AB，∴＝＝，∴＝，故答案为．22．如图，在凸四边形ABCD中，AB∥CD，点E和F在边AB上，且CE∥AD，DF∥BC，DF与CE相交于点G，若△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，则四边形ABCD的面积等于．【答案】解：∵AB∥CD，∴△EFG∽△CDG，∴S△EFG：S△CDG＝（）2＝（）2，又∵△EFG的面积等于1，△CDG的面积等于2，∴（）2＝（）2＝，∴＝＝，∴＝＝﹣1，∵DF∥BC，∴△EFG∽△EBC，∴S△EFG：S△EBC＝（）2＝3﹣2，∴S△EBC＝3+2，∴S四边形GFBC＝3+2﹣1＝2+2，同理S四边形GDAE＝2+2，∴S四边形ABCD＝1+2+2+2+2+2＝7+4．故答案为：7+4．23．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为米．【答案】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案为：7．24．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．【答案】解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．25．如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN＝3，则DM 的长为．【答案】解：∵四边形ABCD为正方形，N为中点，∴AD＝PB，AN＝BN，∠DAN＝∠PBN＝90°，在△PBN和△DNA中∴△PBN≌△DNA（SAS），∴DN＝PN＝3，即DM+MN＝3，∵AB∥CD，∴△AMN∽△CMD，∴＝＝，∴DM＝2，故答案为：2．26．已知直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0）．连结AB，作直线y＝1，交AB于点P1，过P1作P1Q1⊥x轴于Q1；连结AQ1，交直线y＝1于点P2，P2Q2⊥x轴于Q2；…以此类推．则点Q3的坐标为；△PnQnA的面积为＝（用含n的代数式表示）．【答案】解：①∵点A（0，3），B（﹣6，0），作直线y＝1，交AB 于点P1，∴OA＝3，OB＝6，P1Q1＝P2Q2＝P3Q3＝1，∵P1Q1⊥x轴于Q1，P2Q2⊥x轴于Q2，…，∴P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥y轴，∴△BP1Q1∽△ABO，△P2Q1Q2∽△AQ1O，△P3Q2Q3∽△AQ2O，…，∴，，，…，∴BQ1＝2，Q1Q2＝，Q2Q3＝，…，∴Q1（﹣4，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣4，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，即Q1（﹣，0），Q2（﹣，0），Q3（﹣，0），…，P1（﹣，1），P2（﹣，1），P3（﹣，0），…，∴Qn﹣1（﹣，0），Qn（﹣，0），Pn﹣1（﹣，1）Pn （﹣，1），故点Q3的坐标为：Q3（﹣，0），故答案为：Q3（﹣，0）；②∵△AP1Q1的面积＝△ABQ1的面积﹣△BP1Q1的面积＝•BQ1•OA﹣•BQ1•P1Q1＝BQ1，△AP2Q2的面积＝△AQ1Q2的面积﹣△Q1P Q2的面积＝•Q1Q2•OA﹣•Q1Q2•P2Q2＝Q1Q2，…，∴△PnQnA的面积＝Qn﹣1Qn＝﹣﹣（﹣）＝．故答案为：．27．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，与BC边的交点为D，且DC＝BC，DE∥AC，与AB边的交点为E，若DE＝4，则BE的长为．【答案】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED＝4，∵DE∥AC，∴＝，而DC＝BC，∴BE＝2AE＝8．故答案为8．28．如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE 与AC于点F，则的值是．【答案】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵DE＝DC，∴AB＝CD＝DE＝CE，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴＝＝．故答案为：．29．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG＝DF；②∠AEH+∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若＝，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有．【答案】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF＝AD＝CD，∠ACD＝45°，∠GFC＝90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF＝FC，∵EG＝EF﹣GF，DF＝CD﹣FC，∴EG＝DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF＝∠HDC，∴∠AEH+∠ADH＝∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC＝∠AEF+∠ADF＝180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝CH，∠GFH＝∠GFC＝45°＝∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵＝，∴AE＝2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH＝GH，∠FHG＝90°，∵∠EGH＝∠FHG+∠HFG＝90°+∠HFG＝∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG＝∠DHF，EH＝DH，∠DHE＝∠EHG+∠DHG＝∠DHF+∠DHG＝∠FHG＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM＝x，则DM＝5x，DH＝x，CD＝6x，则S△DHC＝×HM×CD＝3x2，S△EDH＝×DH2＝13x2，∴3S△EDH＝13S△DHC，故④正确；故答案为：①②③④．30．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．【答案】解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得，＝，解得x＝24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．31．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．【答案】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．32．如图G为△ABC的重心，GE∥AC，若S△ABC＝72，则S△GDE ＝．【答案】解：∵G为△ABC的重心，∴AD为△ABC的中线，DG：AG＝1：2，∴S△ADC＝S△ABC＝×72＝36，∵GE∥AC，∴△DEG∽△DCA，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△DEG＝×36＝4．故答案为4．33．李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m＝时，n＝．【答案】解：∵AB＝3，△PDE是等边三角形，∴PD＝PE＝DE＝1，以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，∵△PDE关于y轴对称，∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴，∴PF＝，∴△PFM∽△PON，∴＝，∵m＝，∴FM＝﹣，∴＝，解得：ON＝4﹣2，即n＝4﹣2．故答案为：4﹣2．34．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB＝．【答案】解：由位似变换的性质可知，△A′B′C′∽△ABC．∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∵A′B′∥AB＝＝，故答案为2：3；35．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，F为DE中点，若点D在直线BC上运动，连接CF，则在点D运动过程中，线段CF的最小值是．【答案】解：如图，连接CE，∵△ABC∽△ADE，∴∠ACD＝∠AEG，又∵∠AGE＝∠DGC，∴△AGE∽△DGC，∴＝，又∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△EGC，∴∠ADG＝∠ECG，又∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，∵F是DE的中点，∴CF＝DE，∵△ABC∽△ADE，∴当AD⊥BC时，AD最短，此时DE最短，当AD⊥BC时，AD＝＝4.8，∵＝，即＝，∴DE＝8，∴CF＝×8＝4．故答案为：4．。

浙江省2023年中考数学真题(图形的相似)一、选择题1．如图.在直角坐标系中.△ABC的三个顶点分别为A(1.2) B(2.1) C(3.2).现以原点O为位似中心.在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′.则顶点C′的坐标是（）A．(2，4)B．(4，2)C．(6，4)D．(5，4)2．如图.点P是△ABC的重心.点D是边AC的中点.PE∥AC交BC于点E.DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6.则△ABC的面积为（）A．12B．14C．18D．243．如图.在四边形ABCD中.AD∥BC.∥C=45°.以AB为腰作等腰直角三角形BAE.顶点E恰好落在CD边上.若AD=1．则CE的长是（）A．√2B．√2C．2D．124．如图.在△ABC中.D是边BC上的点（不与点B.C重合）.过点D作DE//AB交AC于点E；过点D作DF//AC交AB于点F.N是线段BF上的点.BN=2NF；M是线段DE上的点.DM=2ME.若已知△CMN的面积.则一定能求出（）A．△AFE的面积B．△BDF的面积C．△BCN的面积D．△DCE的面积5．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽.图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF.使点D.E.F分别在边OC.OB.BC上.过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC= 30°，DE=2时.EH的长为（）A．√3B．32C．√2D．43二、填空题6．小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后.发现学习内容是一个逐步特殊化的过程.请在横线上填写适当的数值+感受这种特殊化的学习过程．7．如图.在△ABC中.AB=AC ∠A<90°.点D.E.F分别在边AB.BC.CA上.连接DE.EF.FD.已知点B和点F关于直线DE对称．设BCAB=k .若AD=DF.则CFFA=（结果用含k的代数式表示）．8．如图.在Rt△ABC中.∠C=90°,E为AB边上一点.以AE为直径的半圆O与BC相切于点D.连接AD.BE=3 BD=3√5．P是AB边上的动点.当△ADP为等腰三角形时.AP的长为．三、解答题9．如图.在⊙O中.直径AB垂直弦CD于点E.连接AC AD BC作CF⊥AD于点F.交线段OB于点G（不与点O.B重合）.连接OF．（1）若BE=1.求GE的长．（2）求证：BC2=BG⋅BO（3）若FO=FG.猜想∠CAD的度数.并证明你的结论．10．在边长为1的正方形ABCD中.点E在边AD上（不与点A.D重合）.射线BE与射线CD交于点F．（1）若ED=13.求DF的长．（2）求证：AE⋅CF=1．（3）以点B为圆心.BC长为半径画弧.交线段BE于点G．若EG=ED.求ED的长．11．如图.已知矩形ABCD.点E在CB延长线上.点F在BC延长线上.过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H.连结AF交EH于点G，GE=GH.（1）求证：BE=CF.（2）当ABFH=56，AD=4时.求EF的长.12．如图1.AB为半圆O的直径.C为BA延长线上一点.CD切半圆于点D，BE⊥CD.交CD延长线于点E.交半圆于点F.已知OA=32，AC=1.如图2.连结AF.P为线段AF上一点.过点P作BC的平行线分别交CE.BE于点M.N.过点P作PH⊥AB于点H.设PH=x，MN=y.（1）求CE的长和y关于x的函数表达式.（2）当PH<PN.且长度分别等于PH，PN.a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时.求a的值.（3）延长PN交半圆O于点Q.当NQ=154x−3时.求MN的长.13．在平行四边形ABCD中（顶点A，B，C，D按逆时针方向排列）AB=12，AD=10.∥B为锐角.且sinB=45.（1）如图1.求AB边上的高CH的长.（2）P是边AB上的一动点.点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′.①如图2.当点C′落在射线CA上时.求BP的长.②当ΔAC′D′当是直角三角形时.求BP的长.14．我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系.用直线上点的位置刻画圆上点的位置.如图.AB是⊙O的直径.直线l是⊙O的切线.B为切点．P.Q是圆上两点（不与点A重合.且在直径AB的同侧）.分别作射线AP.AQ交直线l于点C.点D．（1）如图1.当AB =6.BP ⌢长为π时.求BC 的长．（2）如图2.当AQ AB =34.BP ⌢=PQ ⌢时.求BC CD的值． （3）如图3.当sin∠BAQ =√64.BC =CD 时.连接BP.PQ.直接写出PQ BP 的值． 15．如图1.锐角△ABC 内接于⊙O .D 为BC 的中点.连接AD 并延长交⊙O 于点E.连接BE ，CE .过C 作AC 的垂线交AE 于点F.点G 在AD 上.连接BG ，CG .若BC 平分∠EBG 且∠BCG =∠AFC ．（1）求∠BGC 的度数．（2）①求证：AF =BC ．②若AG =DF .求tan∠GBC 的值.（3）如图2.当点O 恰好在BG 上且OG =1时.求AC 的长．16．已知.AB 是半径为1的⊙O 的弦.⊙O 的另一条弦CD 满足CD =AB .且CD ⊥AB 于点H （其中点H 在圆内.且AH >BH ，CH >DH ）．（1）在图1中用尺规作出弦CD 与点H （不写作法.保留作图痕迹）．（2）连结AD.猜想.当弦AB 的长度发生变化时.线段AD 的长度是否变化？若发生变化.说明理由：若不变.求出AD 的长度.（3）如图2.延长AH 至点F.使得HF =AH .连结CF.∠HCF 的平分线CP 交AD 的延长线于点P.点M 为AP 的中点.连结HM.若PD =12AD ．求证：MH ⊥CP ． 17．如图.在∥O 中.AB 是一条不过圆心O 的弦.点C.D 是AB⌢的三等分点.直径CE 交AB 于点F.连结AD 交CF 于点G.连结AC.过点C 的切线交BA 的延长线于点H ．（1）求证：AD∥HC ；（2）若OG GC=2.求tan∥FAG 的值； （3）连结BC 交AD 于点N ．若∥O 的半径为5．下面三个问题.依次按照易、中、难排列.对应的分值为2分、3分、4分.请根据自己的认知水平.选择其中一道问题进行解答。

中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。

备战中考数学（北师大版）专项练习图形的相似（含解析）一、单选题1.如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A ，DE∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A.B.C. D.2.如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，假如，AC=6，那么AE的长为（）A.3B.4C.9D.123.一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，假如将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（）A.6秒B.5秒C.4秒D.3秒4.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝2，BC＝4，则CD的长是()A.1B.4C.3D.25.假如两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的相似比为（）A.1：2B.1：4C.1：8D.1：166.如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE=BF，EF=BD，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A.3：5B.3：8C.5：8D.2：57.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于B C，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是（）A.∠AED＝∠BB.∠ADE＝∠CC.＝D.＝8.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A.第4张B.第5张C.第6张D.第7张二、填空题9.在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是___ _____10.如图，△ABC的内接正方形EFGH中，EH∥BC，其中BC=4，高A D=6，则正方形的边长为________．11.位似图形的相似比也叫做________12.如图，矩形中，点是边的中点，交对角线于点，则与的面积比等于________．13.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为________14.如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点E为边AB上一点，AE=2，点F为线段AB上一点，且BF=3，过点E作AC的平行线交B C于点D，作直线FD交AC于点G，则FG=________．15.如图，已知图中的每个小方格差不多上边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________．16.如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是________米．三、解答题17.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？什么缘故？18.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．四、综合题19.小明利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度．如图，CD和E F是两等高的路灯，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照耀留在地面的影长BQ=4m，BP=5m．（1）小明距离路灯多远？（2）求路灯高度．20.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从点A动身，以每秒4个单位长度的速度沿折线AC-CB运动，到点B停止．当点P不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交AB 于点Q，再以PQ为斜边作等腰直角三角形△PQR，且点R与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧，设△PQR与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位）．点P的运动时刻为t（秒）．（1）求点P在AC边上时PQ的长，（用含t的代数式表示）；（2）求点R到AC、PQ所在直线的距离相等时t的取值范畴；（3）当点P在AC边上运动时，求S与t之间的函数关系式；（4）直截了当写出点R落在△ABC高线上时t的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（7，2），C（5，6）．（1）请以图中的格点为顶点画出一个△A1B1C ，使得△A1B1C ∽△ABC ，且△A1B1C与△ABC的周长比为1：2；（每个小正方形的顶点为格点）（2）依照你所画的图形，直截了当写出顶点A1和B1的坐标.22.如图，梯形ABCD中，AB∥DC ，∠B=90°，E为BC上一点，且AE⊥ED ．若BC=12，DC=7，BE：EC=1：2，（1）求AB的长．（2）求△AED的面积答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】平行线分线段成比例【解析】解答：∵DE∥BC交GA于点E ，∴，，，A，B，D正确，故选C．分析：利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．2.【答案】B【考点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：∵DE∥BC，∴，又AC=6，∴AE=4，故选：B．【分析】依照平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入运算即可．3.【答案】C【考点】相似三角形的应用【解析】【分析】本题依照放大后的三角形与三角形相似，故可依照相似三角形的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比．【解答】直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，故爬行时刻扩大一倍．故只蚂蚁再沿边长爬行一周需4秒．故选C．【点评】熟练运用相似三角形的性质．4.【答案】C【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【分析】先由∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠B＝∠B证得△AB D∽△CBA，再依照相似三角形的性质求得BD的长，即可求得结果。

中考数学专题训练：相似三角形模型的运用（附参考答案）1．如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( )A．14 B．12.4C．10.5 D．9.32．如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在边BC上时，连接CE，设AC，DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是( )A．3对B．4对 C．5对D．6对3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使边AD与对角线BD 重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A′，则△A′BG的面积与该矩形的面积比为( )A．112B．19C．18D．164．如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC，GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD，OB，则下列结论一定正确的是( )①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③BO平分∠CBG；④∠AOD＝45°.A．①③ B.①②③C．②③ D.①②④5．如图，BD，CE为△ABC的高，且BD与CE交于点O．(1)求证：△AEC∽△ADB;(2)若∠A＝40°，求∠BOC的度数．的值．6．)如图，AG∥BD，AF∶FB＝1∶2，BC∶CD＝2∶1，求GEED7．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC，BD的交点，AF平分∠DAC交BD 于点G，交DC于点F.(1)求证：△AEG∽△ADF；(2)判断△DGF的形状并说明理由；(3)若AG＝1，求GF的长．8．如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为边BC上的一点，点D为边AC上的一点，连接AP，PD，∠APD＝60°.(1)求证：①△ABP∽△PCD；②AP2＝AD·AC.(2)若PC＝2，求CD和AP的长．9．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(点P不与点A，B重合)，连接PD，将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.(1)求∠PBE的度数；的值．(2)若△PFD∽△BFP，求APAB10．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在同一条直线上，连接AF并延长交边CD于点M.(1)求证：△MFC∽△MCA；(2)求证：△ACF∽△ABE；(3)若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．参考答案1．C 2．B 3．C 4．D5．(1)证明略(2)∠BOC＝140°6．GEED ＝327．(1)证明略(2)△DGF是等腰三角形，理由略(3)GF＝√2－1 8．(1)①证明略②证明略(2)CD＝23AP＝√79．(1)∠PBE＝135°(2)APAB 的值为1210．(1)证明略(2)证明略(3)正方形AEFG的边长为3√55。

图形的相似(29题)一、单选题1(2023·重庆·统考中考真题)如图，已知△ABC ∽△EDC ，AC :EC =2:3，若AB 的长度为6，则DE 的长度为()A.4B.9C.12D.13.5【答案】B【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵△ABC ∽△EDC ，∴AC :EC =AB :DE ，∵AC :EC =2:3，AB =6，∴2:3=6:DE ，∴DE =9，故选：B .【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.2(2023·四川遂宁·统考中考真题)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC 、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为()A.-1,0B.0,0C.0,1D.1,0【答案】A【分析】根据题意确定直线AD 的解析式为：y =x +1，由位似图形的性质得出AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．【详解】解：由图得：A 1,2 ,D 3,4 ，设直线AD 的解析式为：y =kx +b ，将点代入得：2=k +b 4=3k +b ，解得：k =1b =1 ，∴直线AD 的解析式为：y =x +1，AD 所在直线与BE 所在直线x 轴的交点坐标即为位似中心，∴当y =0时，x =-1，∴位似中心的坐标为-1,0 ，故选：A ．【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．3(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A 1,2 ,B 2,1 ,C 3,2 ，现以原点O 为位似中心，在第一象限内作与△ABC 的位似比为2的位似图形△A B C ，则顶点C 的坐标是()A.2,4B.4,2C.6,4D.5,4【答案】C【分析】直接根据位似图形的性质即可得．【详解】解：∵△ABC 的位似比为2的位似图形是△A B C ，且C 3,2 ，∴C 2×3,2×2 ，即C 6,4 ，故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．4(2023·四川南充·统考中考真题)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m【答案】B【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB =∠ECD ，再利用垂直求△ABC ∽△EDC ，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案.【详解】解：如图所示，由图可知，AB ⊥BD ，CD ⊥DE ，CF ⊥BD∴∠ABC =∠CDE =90°.∵根据镜面的反射性质，∴∠ACF =∠ECF ，∴90°-∠ACF =90°-∠ECF ，∴∠ACB =∠ECD ，∴△ABC ∽△EDC ，∴AB DE =BC CD.∵小菲的眼睛离地面高度为1.6m ，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m ，镜子与旗杆的水平距离为10m ，∴AB =1.6m ，BC =2m ，CD =10m .∴1.6DE =210.∴DE =8m .故选：B .【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.5(2023·安徽·统考中考真题)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，EF ⊥AB 于点F ，连接DE 并延长，交边BC 于点M ，交边AB 的延长线于点G ．若AF =2，FB =1，则MG =()A.23B.352C.5+1D.10【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出DE EM =AF FB =2，根据△ADE ∽△CME ，得出AD CM =DE EM =2，则CM =12AD =32，进而可得MB =32，根据BC ∥AD ，得出△GMB ∽△GDA ，根据相似三角形的性质得出BG =3，进而在Rt △BGM 中，勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AF =2，FB =1，∴AD =BC =AB =AF +FG =2+1=3，AD ∥CB ，AD ⊥AB ,CB ⊥AB ，∵EF ⊥AB ，∴AD ∥EF ∥BC∴DE EM =AFFB=2，△ADE∽△CME，∴AD CM =DEEM=2，则CM=12AD=32，∴MB=3-CM=32，∵BC∥AD，∴△GMB∽△GDA，∴BG AG =MBDA=323=12∴BG=AB=3，在Rt△BGM中，MG=MB2+BG2=322+32=352，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．6(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD,AD于点M，N，则CN的长为()A.10B.11C.23D.4【答案】A【分析】由作图可知BP平分∠CBD，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，根据角平分线的性质可知RQ=RC，进而证明Rt△BCR≌Rt△BQR，推出BC=BQ=4，设RQ=RC=x，则DR=CD-CR=3-x，解Rt△DQR求出QR=CR=43．利用三角形面积法求出OC，再证△OCR∽△DCN，根据相似三角形对应边成比例即可求出CN．【详解】解：如图，设BP与CN交于点O，与CD交于点R，作RQ⊥BD于点Q，∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD =AB =3，∴BD =BC 2+CD 2=5．由作图过程可知，BP 平分∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ，又∵RQ ⊥BD ，∴RQ =RC ，在Rt △BCR 和Rt △BQR 中，RQ =RC BR =BR ，∴Rt △BCR ≌Rt △BQR HL ，∴BC =BQ =4，∴QD =BD -BQ =5-4=1，设RQ =RC =x ，则DR =CD -CR =3-x ，在Rt △DQR 中，由勾股定理得DR 2=DQ 2+RQ 2，即3-x 2=12+x 2，解得x =43，∴CR =43．∴BR =BC 2+CR 2=4310．∵S △BCR =12CR ⋅BC =12BR ⋅OC ，∴OC =CR ⋅BC BR =43×44310=2510．∵∠COR =∠CDN =90°，∠OCR =∠DCN ，∴△OCR ∽△DCN ，∴OC DC =CR CN ，即25103=43CN，解得CN =10．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出BP 平分∠CBD ，通过勾股定理解直角三角形求出CR ．7(2023·四川内江·统考中考真题)如图，在△ABC 中，点D 、E 为边AB 的三等分点，点F 、G 在边BC 上，AC ∥DG ∥EF ，点H 为AF 与DG 的交点．若AC =12，则DH 的长为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB，解得EF =4，则DH =12EF =2．【详解】解：∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE =DE =AD ，BF =GF =CG ，AH =HF ，∴AB =3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴∠BEF =∠BAC ,∠BFE =∠BCA ,∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB，即EF 12=BE 3BE ，解得：EF =4，∴DH =12EF =12×4=2，故选：C ．【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =OB =35，点C 为平面内一动点，BC =32，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足CM :MA =1:2．当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是()A.35,65B.355,655C.65,125D.655,1255 【答案】D【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，先证△OAM ∽△DAC ，得OM CD =OA AD =23，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF ，△AEM ∽△AFC ，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵点C 为平面内一动点，BC =32，∴点C 在以点B 为圆心，32为半径的OB 上，在x 轴的负半轴上取点D -352，0 ，连接BD ，分别过C 、M 作CF ⊥OA ，ME ⊥OA ，垂足为F 、E ，∵OA =OB =35，∴AD =OD +OA =952，∴OA AD=23，∵CM :MA =1:2，∴OA AD =23=CM AC，∵∠OAM =∠DAC ，∴△OAM ∽△DAC ，∴OM CD =OA AD=23，∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可知当D ，B ，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，CD 取得最大值，∵OA =OB =35，OD =352，∴BD =OB 2+OD 2=35 2+352 2=152，∴CD =BC +BD =9，∵OM CD=23，∴OM =6，∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA ，∴∠DOB =∠DFC =90°，∵∠BDO =∠CDF ，∴△BDO ∽△CDF ，∴OB CF =BD CD 即35CF=1529，解得CF =1855，同理可得，△AEM ∽△AFC ，∴ME CF =AM AC =23即ME 1855=23，解得ME =1255，∴OE =OM 2-ME 2=62-1255 2=655，∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是655，1255，故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．9(2023·山东东营·统考中考真题)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF =CE ，AE 平分∠CAD ，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ，P 是线段AG 上的一个动点，过点P 作PN ⊥AC 垂足为N ，连接PM ，有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM +PN 的最小值为32；③CF 2=GE ⋅AE ；④S ΔADM =62．其中正确的是()A.①②B.②③④C.①③④D.①③【答案】D【分析】根据正方形的性质和三角形全等即可证明∠DAE =∠FDC ，通过等量转化即可求证AG ⊥DM ，利用角平分线的性质和公共边即可证明△ADG ≌△AMG ASA ，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明△ADE ∽△DGE 推出DE 2=GE ⋅AE ，通过等量代换可推出③的结论；利用①中的部分结果和勾股定理推出AM 和CM 长度，最后通过面积法即可求证④的结论不对；结合①中的结论和③的结论可求出PM +PN 的最小值，从而证明②不对.【详解】解：∵ABCD 为正方形，∴BC =CD =AD ，∠ADE =∠DCF =90°，∵BF =CE ，∴DE =FC ，∴△ADE ≌△DCF SAS .∴∠DAE =∠FDC ,∵∠ADE =90°,∴∠ADG +∠FDC =90°，∴∠ADG +∠DAE =90°，∴∠AGD =∠AGM =90°.∵AE 平分∠CAD ，∴∠DAG =∠MAG .∵AG =AG ，∴△ADG ≌△AMG ASA .∴DG =GM ，∵∠AGD =∠AGM =90°，∴AE 垂直平分DM ，故①正确.由①可知，∠ADE =∠DGE =90°，∠DAE =∠GDE ，∴△ADE ∽△DGE ，∴DE GE=AE DE ，∴DE 2=GE ⋅AE ，由①可知DE =CF ，∴CF 2=GE ⋅AE .故③正确.∵ABCD 为正方形，且边长为4，∴AB =BC =AD =4，∴在Rt △ABC 中，AC =2AB =4 2.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴AM =AD =4，∴CM =AC -AM =42-4.由图可知，△DMC 和△ADM 等高，设高为h ，∴S △ADM =S △ADC -S △DMC ，∴4×h 2=4×42-42-4 ⋅h 2，∴h =22，∴S △ADM =12⋅AM ⋅h =12×4×22=4 2.故④不正确.由①可知，△ADG ≌△AMG ASA ，∴DG =GM ，∴M 关于线段AG 的对称点为D ，过点D 作DN ⊥AC ，交AC 于N ，交AE 于P ，∴PM +PN 最小即为DN ，如图所示，由④可知△ADM 的高h =22即为图中的DN ，∴DN =2 2.故②不正确.综上所述，正确的是①③.故选：D .【点睛】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点.10(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是()A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④【答案】A【分析】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF =∠CDF =∠QEF ，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ =AM =4，再求出BQ 即可判断②正确；由△CDP ∽△BQP 得CP BP =CD BQ=53，求出BP 即可判断③正确；根据EF DE ≠QE BE 即可判断④错误．【详解】由折叠性质可知：∠CDF =∠QDF ,CD =DQ =5，∵CD ∥AB ，∴∠CDF =∠QEF ．∴∠QDF =∠QEF ．∴DQ =EQ =5．故①正确；∵DQ =CD =AD =5，DM ⊥AB ，∴MQ =AM =4．∵MB =AB -AM =5-4=1，∴BQ =MQ -MB =4-1=3．故②正确；∵CD ∥AB ，∴△CDP ∽△BQP ．∴CP BP =CD BQ=53．∵CP +BP =BC =5，∴BP =38BC =158．故③正确；∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ．∴DF EF =CD BE =CD BQ +QE=53+5=58．∴EF DE =813．∵QE BE =58，∴EF DE ≠QE BE．∴△EFQ 与△EDB 不相似．∴∠EQF ≠∠EBD ．∴BD 与FQ 不平行．故④错误；故选：A ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．11(2023·黑龙江·统考中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且AF ⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=22；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．()A.①②③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤【答案】B【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，逐一判断，即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB，∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠AED=∠BFA，∴△ABF≌△AED AAS，∴AF=DE，故①正确，∵将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，∴BM⊥AF，∵AF⊥DE，∴BM∥DE，故②正确，当CM⊥FM时，∠CMF=90°，∵∠AMF=∠ABF=90°，∴∠AMF+∠CMF=180°，即A,M,C在同一直线上，∴∠MCF=45°，∴∠MFC=90°-∠MCF=45°，通过翻折的性质可得∠HBF=∠HMF=45°，BF=MF，∴∠HMF=∠MFC，∠HBC=∠MFC，∴BC∥MH,HB∥MF，∴四边形BHMF是平行四边形，∵BF=MF，∴平行四边形BHMF是菱形，故③正确，当点E运动到AB的中点，如图，设正方形ABCD的边长为2a，则AE=BF=a，在Rt △AED 中，DE =AD 2+AE 2=5a =AF ，∵∠AHD =∠FHB ,∠ADH =∠FBH =45°，∴△AHD ∽△FHB ，∴FH AH =BF AD=a 2a =12，∴AH =23AF =253a ，∵∠AGE =∠ABF =90°，∴△AGF ∽△ABF ，∴AE AF =EG BF =AG AB =a 5a=55，∴EG =55BF =55a ，AG =55AB =255a ，∴DG =ED -EG =455a ，GH =AH -AG =4515a ，∵∠BHF =∠DHA ，在Rt △DGH 中，tan ∠BHF =tan ∠DHA =DG GH=3，故④错误，∵△AHD ∽△FHB ，∴BH DH=12，∴BH =13BD =13×22a =223a ，DH =23BD =23×22a =423a ，∵AF ⊥EP ，根据翻折的性质可得EP =2EG =255a ，∴EP ⋅DH =255a ⋅423a =81015a 2，2AG ⋅BH =2⋅255a ⋅223a =81015a 2，∴EP ⋅DH =2AG ⋅BH =81015a 2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②③⑤．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，正切的概念，熟练按照要求做出图形，利用寻找相似三角形是解题的关键．二、填空题12(2023·湖北鄂州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A 1B 1C 1位似，原点O 是位似中心，且AB A 1B 1=3．若A 9,3 ，则A 1点的坐标是．【答案】3,1【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．【详解】解∶设A1m,n∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，∴位似比为31，∴9 m =31，3n=31，解得m=3，n=1，∴A13,1故答案为：3,1.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．13(2023·吉林长春·统考中考真题)如图，△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，点A 在线段OA 上．若OA:AA =1:2，则△ABC和△A B C 的周长之比为．【答案】1:3【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．【详解】解：∵OA:AA =1:2，∴OA:OA =1:3，设△ABC周长为l1，设△A B C 周长为l2，∵△ABC和△A B C 是以点O为位似中心的位似图形，∴l1l2=OAOA=13．∴l1:l2=1:3．∴△ABC和△A B C 的周长之比为1:3．故答案为：1:3．【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．14(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE 交于点F ．若AE EB =23，则S △ADF S △AEF =．【答案】52【分析】四边形ABCD 是平行四边形，则AB =CD ,AB ∥CD ，可证明△EAF ∽△DCF ，得到DF EF =CD AE =AB AE，由AE EB =23进一步即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ,AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CDF ,∠EAF =∠DCF ，∴△EAF ∽△DCF ，∴DF EF =CD AE =AB AE ,∵AE EB =23，∴AB AE =52，∴S △ADF S △AEF =DF EF =AB AE=52．故答案为：52【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明△EAF ∽△DCF 是解题的关键．15(2023·江西·统考中考真题)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC )．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A ，B ，Q 在同一水平线上，∠ABC 和∠AQP 均为直角，AP 与BC 相交于点D ．测得AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，则树高PQ =m ．【答案】6【分析】根据题意可得△ABD ∽△AQP ，然后相似三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵∠ABC 和∠AQP 均为直角∴BD ∥PQ ，∴△ABD ∽△AQP ，∴BD PQ =AB AQ∵AB =40cm ，BD =20cm ，AQ =12m ，∴PQ =AQ ×BD AB=12×2040=6m ,故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16(2023·四川成都·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M ；③以点M 为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠BAC 内部交前面的弧于点N ：④过点N 作射线DN 交BC 于点E ．若△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，则BE CE的值为．【答案】23【分析】根据作图可得∠BDE =∠A ，然后得出DE ∥AC ，可证明△BDE ∽△BAC ，进而根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：根据作图可得∠BDE =∠A ，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BAC ，∵△BDE 与四边形ACED 的面积比为4:21，∴S △BDC S △BAC =421+4=BE BC2∴BE BC =25∴BE CE =23，故答案为：23．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键．17(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =3,BC =1，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到△AB C ．连接BB ，交AC 于点D ，则AD DC的值为．【答案】5【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ，利用勾股定理求得AB =10，根据旋转的性质可证△ABB 、△DFB是等腰直角三角形，可得DF =BF ，再由S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，得AD =10DF ，证明△AFD ∼△ACB ，可得DF BC =AF AC ，即AF =3DF ，再由AF =10-DF ，求得DF =104，从而求得AD =52，CD =12，即可求解．【详解】解：过点D 作DF ⊥AB 于点F ，∵∠ACB =90°，AC =3，BC =1，∴AB =32+12=10，∵将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转90°得到△AB C ，∴AB =AB =10，∠BAB =90°，∴△ABB 是等腰直角三角形，∴∠ABB =45°，又∵DF ⊥AB ，∴∠FDB =45°，∴△DFB 是等腰直角三角形，∴DF =BF ，∵S △ADB =12×BC ×AD =12×DF ×AB ，即AD =10DF ，∵∠C =∠AFD =90°，∠CAB =∠FAD ，∴△AFD ∼△ACB ，∴DF BC =AF AC，即AF =3DF ，又∵AF =10-DF ，∴DF =104，∴AD =10×104=52，CD =3-52=12，∴AD CD =5212=5，故答案为：5．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．18(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A =90°，则BN =AB 2+AN 2=2，∴BN =ND =2∴AD =AN +ND =2+1，综上，AD 的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．19(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =3，延长BC 至E ，使CE =2，连接AE ，CF 平分∠DCE 交AE 于F ，连接DF ，则DF 的长为．【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，由CF 平分∠DCE ，可知∠FCM =∠FCN =45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ∥AB ，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，证明△EFM ∽△EAB ，则FM AB=ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2，计算求解即可．【详解】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M ，FN ⊥CD 于N ，则四边形CMFN 是矩形，FM ∥AB ，∵CF 平分∠DCE ，∴∠FCM =∠FCN =45°，∴CM =FM ，∴四边形CMFN 是正方形，设FM =CM =NF =CN =a ，则ME =2-a ，∵FM ∥AB ，∴△EFM ∽△EAB ，∴FM AB =ME BE ，即a 3=2-a 3+2，解得a =34，∴DN =CD -CN =94，由勾股定理得DF =DN 2+NF 2=3104，故答案为：3104．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．20(2023·广东·统考中考真题)边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为．【答案】15【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：如图，由题意可知AD =DC =10,CG =CE =GF =6,∠CEF =∠EFG =90°，GH =4，∴CH =10=AD ，∵∠D =∠DCH =90°,∠AJD =∠HJC ，∴△ADJ ≌△HCJ AAS ，∴CJ =DJ =5，∴EJ =1，∵GI ∥CJ ，∴△HGI ∽△HCJ ，∴GI CJ =GH CH=25，∴GI =2，∴FI =4，∴S 梯形EJIF =12EJ +FI ⋅EF =15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．21(2023·天津·统考中考真题)如图，在边长为3的正方形ABCD 的外侧，作等腰三角形ADE ，EA =ED =52．(1)△ADE 的面积为；(2)若F 为BE 的中点，连接AF 并延长，与CD 相交于点G ，则AG 的长为．【答案】3；13【分析】(1)过点E 作EH ⊥AD ，根据正方形和等腰三角形的性质，得到AH 的长，再利用勾股定理，求出EH 的长，即可得到△ADE 的面积；(2)延长EH 交AG 于点K ，利用正方形和平行线的性质，证明△ABF ≌△KEF ASA ，得到EK 的长，进而得到KH 的长，再证明△AHK ∽△ADG ，得到KH GD =AH AD ，进而求出GD 的长，最后利用勾股定理，即可求出AG的长．【详解】解：(1)过点E作EH⊥AD，∵正方形ABCD的边长为3，∴AD=3，∵△ADE是等腰三角形，EA=ED=52，EH⊥AD，∴AH=DH=12AD=32，在Rt△AHE中，EH=AE2-AH2=522-32 2=2，∴S△ADE=12AD⋅EH=12×3×2=3,故答案为：3；(2)延长EH交AG于点K，∵正方形ABCD的边长为3，∴∠BAD=∠ADC=90°，AB=3，∴AB⊥AD，CD⊥AD，∵EK⊥AD，∴AB∥EK∥CD，∴∠ABF=∠KEF，∵F为BE的中点，∴BF=EF，在△ABF和△KEF中，∠ABF=∠KEF BF=EF∠AFB=∠KFE，∴△ABF≌△KEF ASA，∴EK=AB=3，由(1)可知，AH=12AD，EH=2，∴KH=1，∵KH∥CD，∴△AHK∽△ADG，∴KH GD =AH AD，∴GD=2，在Rt△ADG中，AG=AD2+GD2=32+22=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．22(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP ∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP=27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．23(2023·山西·统考中考真题)如图，在四边形ABCD 中，∠BCD =90°，对角线AC ,BD 相交于点O ．若AB =AC =5,BC =6,∠ADB =2∠CBD ，则AD 的长为．【答案】973【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，根据等腰三角形性质得出BH =HC =12BC =3，根据勾股定理求出AH =AC 2-CH 2=4，证明∠CBD =∠CED ，得出DB =DE ，根据等腰三角形性质得出CE =BC =6，证明CD ∥AH ，得出CD AH=CE HE ，求出CD =83，根据勾股定理求出DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，根据CD ∥AH ，得出DE AD =CE CH ，即2973AD=63，求出结果即可．【详解】解：过点A 作AH ⊥BC 于点H ，延长AD ，BC 交于点E ，如图所示：则∠AHC =∠AHB =90°，∵AB =AC =5,BC =6，∴BH =HC =12BC =3，∴AH =AC 2-CH 2=4，∵∠ADB =∠CBD +∠CED ，∠ADB =2∠CBD ，∴∠CBD =∠CED ，∴DB =DE ，∵∠BCD =90°，∴DC ⊥BE ，∴CE =BC =6，∴EH =CE +CH =9，∵DC ⊥BE ，AH ⊥BC ，∴CD ∥AH ，∴△ECD ~△EHA ，∴CD AH =CE HE ，即CD 4=69，解得：CD =83，∴DE =CE 2+CD 2=62+83 2=2973，∵CD ∥AH ，∴DE AD=CE CH ，即2973AD =63，解得：AD =973．故答案为：973．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质．三、解答题24(2023·湖南·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．(1)证明：△ABD ∽△CBA ；(2)若AB =6，BC =10，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)BD =185【分析】(1)根据三角形高的定义得出∠ADB =90°，根据等角的余角相等，得出∠BAD =∠C ，结合公共角∠B =∠B ，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)证明：∵∠BAC =90°，AD 是斜边BC 上的高．∴∠ADB =90°，∠B +∠C =90°∴∠B +∠BAD =90°，∴∠BAD =∠C又∵∠B =∠B∴△ABD ∽△CBA ，(2)∵△ABD ∽△CBA∴AB CB =BD AB，又AB =6，BC =10∴BD =AB 2CB=3610=185．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．25(2023·湖南·统考中考真题)如图，CA ⊥AD ,ED ⊥AD ，点B 是线段AD 上的一点，且CB ⊥BE ．已知AB =8,AC =6,DE =4．(1)证明：△ABC∽△DEB．(2)求线段BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=3【分析】(1)根据题意得出∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，则∠C=∠EBD，即可得证；(2)根据(1)的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解．【详解】(1)证明：∵AC⊥AD,ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°,∠C+∠ABC=90°，∵CE⊥BE，∴∠ABC+∠EBD=90°，∴∠C=∠EBD，∴△ABC∽△DEB；(2)∵△ABC∽△DEB，∴AB DE =AC BD，∵AB=8,AC=6,DE=4，∴8 4=6 BD，解得：BD=3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．26(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：AF=AB；(2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2,FG=6，求GH的长．【答案】(1)见解析(2)65【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，证明△AEF≅△DEC ASA，推出AF= CD，即可解答；(2)通过平行四边形的性质证明GC=GF=6，再通过(1)中的结论得到DC=AB=AF=8，最后证明△AGH∽△DCH，利用对应线段比相等，列方程即可解答．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠EAF=∠D，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵∠AEF =∠CED ，∴△AEF ≅△DEC ASA ，∴AF =CD ，∴AF =AB ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC =AB =AF =FG +GA =8，DC ∥FA ，∴∠DCF =∠F ，∠DCG =∠CGB ，∵∠FCG =∠FCD ，∴∠F =∠FCG ，∴GC =GF =6，∵∠DHC =∠AHG ，∴△AGH ∽△DCH ，∴GH CH =AG DC，设HG =x ,则CH =CG -GH =6-x ，可得方程x 6-x =28，解得x =65，即GH 的长为65．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．27(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠CAB =∠ACB ，过点B 作BE ⊥AB 交AC 于点E ．(1)求证：AC ⊥BD ；(2)若AB =10，AC =16，求OE 的长．【答案】(1)见详解(2)92【分析】(1)可证AB =CB ，从而可证四边形ABCD 是菱形，即可得证；(2)可求OB =6，再证△EBO ∽△BAO ，可得EO BO =BO AO，即可求解．【详解】(1)证明：∵∠CAB =∠ACB ，∴AB =CB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =12AC =8，∵AC ⊥BD ，BE ⊥AB ，∴∠AOB =∠BOE =∠ABE =90°，∴OB =AB 2-OB 2=102-82=6，∵∠EBO +∠BEO =90°，∠ABO +∠EBO =90°，∴∠BEO =∠ABO ，∴△EBO ∽△BAO ，∴EO BO =BO AO ，∴EO 6=68解得：OE =92．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．28(2023·江苏扬州·统考中考真题)如图，点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，连接AF 、CE 相交于点M ，连接AG 、CH 相交于点N ．(1)求证：四边形AMCN 是平行四边形；(2)若▱AMCN 的面积为4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析(2)12【分析】(1)根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形AECG ，四边形AFCH 均为平行四边形，进而得到：AM ∥CN ,AN ∥CM ，即可得证；(2)连接HG ,AC ,EF ，推出S △ANH S △ANC =HN CN=12，S △FMC S △AMC =12，进而得到S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，求出S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，再根据S ▱ABCD =2S ▱AFCH ，即可得解．【详解】(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,AB =CD ,AD =BC ，∵点E 、F 、G 、H 分别是▱ABCD 各边的中点，∴AE =12AB =12CD =CG ,AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，同理可得：四边形AFCH 为平行四边形，∴AM ∥CN ,AN ∥CM ，∴四边形AMCN 是平行四边形；(2)解：连接HG ,AC ,EF ，∵H ,G 为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ，∴△HNG ∽△CNA ，∴HN CN =HG AC =12，∴S △ANH S △ANC =HN CN=12，同理可得：S △FMC S △AMC =12∴S △ANH +S △FMC =12S △ANC +S △AMC =12S ▱AMCN =2，∴S ▱AFCH =S △ANH +S △FMC +S ▱AMCN =2+4=6，∵AH =12AD ，∴S ▱ABCD =2S ▱AFCH =12．【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，以及三角形的中位线定理，证明三角形相似，是解题的关键．29(2023·上海·统考中考真题)如图，在梯形ABCD 中AD ∥BC ，点F ，E 分别在线段BC ，AC 上，且∠FAC =∠ADE ，AC =AD(1)求证：DE =AF(2)若∠ABC =∠CDE ，求证：AF 2=BF ⋅CE【答案】见解析【分析】(1)先根据平行线的性质可得∠DAE =∠ACF ，再根据三角形的全等的判定可得△DAE ≅△ACF ，然后根据全等的三角形的性质即可得证；(2)先根据全等三角形的性质可得∠AFC =∠DEA ，从而可得∠AFB =∠CED ，再根据相似三角形的判定可得△ABF ∼△CDE ，然后根据相似三角形的性质即可得证．【详解】(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DAE =∠ACF ，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACF AD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．(2)证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°-∠AFC=180°-∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由(1)已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．。

2021年中考数学压轴题专项训练《图形的相似》1．如图1.Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝6cm.BC＝8cm.动点P从点B出发.在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动.同时动点Q从点C出发.在CB边上以每秒2cm的速度向点B 匀速运动.运动时间为t秒（0＜t＜2）.连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似.求t的值；（2）（如图2）连接AQ.CP.若AQ⊥CP.求t的值．解：（1）①当△BPQ∽△BAC时.∵.BP＝3t.QC＝2t.AB＝10cm.BC＝8cm.∴.∴；②当△BPQ∽△BCA时.∵.∴.∴.∴或时.△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示.过P作PM⊥BC于点M.AQ.CP交于点N.则有PB＝3t....∵∠NAC+∠NCA＝90°.∠PCM+∠NCA＝90°.∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°.∴△ACQ∽△CMP.∴.∴解得：；2．如图.在平面直角坐标系中.△ABC的三个顶点都在格点上.点A的坐标为（2.﹣1）.请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.点A1的坐标为（2.1）；（2）在网格内以点（1.1）为位似中心.把△A1B1C1按相似比2：1放大.得到△A2B2C2.请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m.n）.则两次变换后对应点P2的坐标为（﹣2m+3.2n+3）．解：（1）如图所示.△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2.1）；故答案为：（2.1）；（2）如图所示.△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3.2n+3）．故答案为：（﹣2m+3.2n+3）．3．综合与实践﹣探究正方形旋转中的数学问题问题情境：已知正方形ABCD中.点O在BC边上.且OB＝2OC．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′（点A′.B′.C′.D′分别是点A.B.C.D的对应点）．同学们通过小组合作.提出下列数学问题.请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1.当点B′落在正方形ABCD的对角线BD 上时.设线段A′B′与CD交于点M．求证：四边形OB′MC是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.当线段A′D′经过点D时.猜想线段C′O与D′D 满足的数量关系.并说明理由；深入探究：（3）请从下面A.B两题中任选一题作答．我选择A题．A．在图2中连接AA′和BB′.请直接写出的值．B．“好问”小组提出问题：如图3.在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中.设直线BB′交线段AA′于点P．连接OP.并过点O作OQ⊥BB′于点Q．请在图3中补全图形.并直接写出的值．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形.∴BC＝CD.∠C＝90°.∴∠CBD＝∠CDB＝45°；由旋转可知.OB＝OB’.∴∠OB’B＝∠OBB’＝45°.∵∠B’OC是△BOB’的一个外角.∴∠B’OC＝∠OB’B+∠OBB’＝45°+45°＝90°.∵四边形A’B’C’D’是正方形.∴∠OB’M＝90°.∴四边形OB’MC是矩形；（2）解：D’D＝2C’O.理由如下：如图2①.连接OD.OD’.过点O作OE⊥D’D于点E.则∠OED’＝90°. 由旋转可知.OD＝OD’.则D’D＝2D’E.∵四边形A’B’C’D’是正方形.∴∠C′＝∠OED′＝90°.∴四边形OC’D’E是矩形.∴C’O＝D’E.∴D’D＝2C’O；（3）解：A、如图2②.连接AA′.BB′.OA.OA′.∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′.∴OB＝OB′.OA＝OA′.∠BOB′＝∠AOA′.∴.∴△OBB′∽△OAA′.∴＝.∵AB＝BC.OB＝2OC.∴设OC＝x.则OB＝2x.∴AB＝BC＝3x.∴OA＝＝＝x.∴＝＝＝；B、如图3.连接OA.OA′.∵将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A′B′C′D′. ∴OB＝OB′.OA＝OA′.∠BOB′＝∠AOA′.∴∠OBB′＝∠OAA′.∴点A.B.O.P四点共圆.∴∠ABO+∠APO＝180°.∴∠APO＝90°.∵OQ⊥BB′.∴∠BQO＝∠APO＝90°.∴△OAP∽△OBQ.∴＝．4．如图.矩形OABC边OA.OC分别在x轴.y轴上.且OA＝8.OC＝6.连接OB.点D为OB中点.点E从点A出发以每秒1个单位长度运动到点B停止.设运动时间为t（0＜t＜6）.连接DE.作DF⊥DE交OA于F.连接EF．（1）如图1.当四边形DFAE为矩形时.求t的值；（2）如图2.试证明在运动过程中.△DFE∽△ABO；（3）当t为何值时.△AEF面积最大？最大值为多少？解：（1）∵四边形OABC是矩形.∴AB＝OC＝6.∠OAB＝90°.∵四边形DFAE是矩形.∴∠BED＝90°＝∠OAB.∴DE∥OA.∵点D是OB的中点.∴点E是AB中点.∴AE＝AB＝3.由运动知.AE＝t.∴t＝3；（2）如图2所示：作DM⊥OA于M.DN⊥AB于N.∵四边形OABC是矩形.∴OA⊥AB.∴四边形DMAN是矩形.∴∠MDN＝90°.DM∥AB.DN∥OA. ∴＝.＝.∵点D为OB的中点.∴M、N分别是OA、AB的中点. ∴DM＝AB＝3.DN＝OA＝4. ∵∠EDF＝90°.∴∠FDM＝∠EDN.又∵∠DMF＝∠DNE＝90°.∴△DMF∽△DNE.∴＝＝.∵OA＝8.AB＝6.∴.∴.∵∠FDE＝∠BAO＝90°.∴△DFE∽△ABO；（3）如图2.由（2）知.△DMF∽△DNE.∴.由运动知.AE＝t.当0＜t≤3时.NE＝3﹣t.∴.∴MF＝（3﹣t）.∴AF＝AM+MF＝4+（3﹣t）＝8﹣t当3＜t＜6时.NE＝t﹣3.∴∴MF＝（t﹣3）.∴AF＝AM﹣MF＝4﹣（t﹣3）＝8﹣t.∴S△AEF＝AE×AF＝•t（8﹣t）＝﹣（t﹣3）2+6.当t＝3时.△AEF面积最大.最大值为6．5．如图.∠MBN＝45°.点P为∠MBN内的一个动点.过点P作∠BPA与∠BPC.使得∠BPA＝∠BPC＝135°.分别交BM、BN于点A、C．（1）求证：△CPB∽△BPA；（2）连接AC.若AC⊥BC.试求的值；（3）记AP＝a.BP＝b.CP＝c.若a+b﹣c＝20.a≥2b.且a、b、c为整数.求a.b.c的值．（1）证明：∵∠BPA＝135°.∴∠ABP+∠BAP＝180°﹣135°＝45°.∵∠ABP+∠CBP＝∠MBN＝45°.∴∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBP.∴∠BAP＝∠CBP.∵∠BPA＝∠BPC.∴△CPB∽△BPA；（2）解：∵AC⊥BC.∠MBN＝45°.∴△ACB是等腰直角三角形.∴AB＝BC.∵△CPB∽△BPA.∴＝＝＝＝.设PC＝a.则BP＝a.AP＝2a.∵∠APC＝360°﹣135°﹣135°＝90°.∴AC＝＝＝a. ∴＝＝；（3）解：∵△CPB∽△BPA.∴＝.即＝≥2.∴c≤.∴a+b﹣c≥2b+b﹣＝b.∴b≤20.∴b≤8.∵a、b、c为整数.∴当b＝8时.a＝16.c＝4；当b＝7时.a＝14.c＝1；当b＜7时.c＜0（不合题意舍去）.∴a.b.c的值分别为16.8.4或14.7.1．6．如图.Rt△ABC中.∠BAC＝90°.AB＝2.AC＝4.D是BC边上一点.且BD＝CD.G是BC边上的一动点.GE∥AD分别交直线AC.AB于F.E两点．（1）AD＝；（2）如图1.当GF＝1时.求的值；（3）如图2.随点C位置的改变.FG+EG是否为一个定值？如果是.求出这个定值.如果不是.请说明理由．解：（1）∵∠BAC＝90°.且BD＝CD.∴AD＝BC.∵BC＝＝＝2.∴AD＝×2＝.故答案为：；（2）如图1.∵GF∥AD.∴∠CFG＝∠CAD.∵BD＝CD＝BC＝AD＝.∴∠CAD＝∠C.∴∠CFG＝∠C.∴CG＝FG＝1.∴BG＝2﹣1.∵AD∥GE.∴△BGE∽△BDA.∴＝＝＝；（3）如图2.随点C位置的改变.FG+EG是一个定值.理由如下：∵AD＝BC＝BD.∴∠B＝∠BAD.∵AD∥EG.∴∠BAD＝∠E.∴∠B＝∠E.∴EG＝BG.由（2）知.GF＝GC.∴EG+FG＝BG+CG＝BC＝2.∴FG+EG是一个定值.为2．7．△ABC中.∠C＝90°.∠A＝60°.AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB 方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M.N分别作AB的垂线交直角边于P.Q两点.线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时.PM＝tcm.QN＝（3﹣t）cm（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中.四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能.求出此时t的值；若不可能.说明理由；（3）t为何值时.以C.P.Q为顶点的三角形与△ABC相似？解：（1）由题意得：AM＝t.∵PM⊥AB.∴∠PMA＝90°.∵∠A＝60°.∴∠APM＝30°.∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°.∴∠B＝90°﹣∠A＝30°.∴AB＝2AC＝4.BC＝AC＝2.∵MN＝1.∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t.∵QN⊥AB.∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为： tcm.（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形.理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知.若四边形MNQP为矩形.则需PM＝QN.即t＝（3﹣t）.∴t＝．∴当t＝s时.四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知.当t＝s时.四边形MNQP为矩形.此时PQ∥AB. ∴△PQC∽△ABC．除此之外.当∠CPQ＝∠B＝30°时.△QPC∽△ABC.此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝.∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝.∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2.∴CQ＝2．∴．综上所述.当s或s时.以C.P.Q为顶点的三角形与△ABC相似．8．如图1.在Rt△ABC中.∠BAC＝90°.AB＝AC.D.E两点分别在AC.BC上.且DE∥AB.将△CDE 绕点C按顺时针方向旋转.记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时.的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时.若△EDC旋转到如图2的情况时.求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A.B.E三点共线时.若设CE＝5.AC＝4.直接写出线段BE 的长7或1 ．解：（1）∵∠BAC＝90°.AB＝AC.∴△ABC为等腰直角三角形.∠B＝45°.∵DE∥AB.∴∠DEC＝∠B＝45°.∠CDE＝∠A＝90°.∴△DEC为等腰直角三角形.∴cos∠C＝＝.∵DE∥AB.∴＝＝.故答案为：；（2）由（1）知.△BAC和△CDE均为等腰直角三角形. ∴＝＝.又∠BCE＝∠ACD＝α.∴△BCE∽△A CD.∴＝＝.即＝；（3）①如图3﹣1.当点E在线段BA的延长线上时.∵∠BAC＝90°.∴∠CAE＝90°.∴AE＝＝＝3.∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；②如图3﹣2.当点E在线段BA上时.AE＝＝＝3.∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1.综上所述.BE的长为7或1.故答案为：7或1．9．如图.在正方形ABCD中.E为AB边上一点.连接DE.交AC于H点.过点D作DF⊥DE.交BC 的延长线于F.连接EF交于AC于点G．（1）请写出AE和CF的数量关系：相等；（2）求证：点G是EF的中点；（3）若正方形ABCD的边长为4.且AE＝1.求GH•GA的值．解：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠ADC＝∠EAD＝∠DCB＝∠DCF＝90°.AD＝DC.∵DF⊥DE.∴∠EDF＝90°.∴∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF.∴∠ADE＝∠CDF.∴△ADE≌△CDF（ASA）.∴AE＝CF.故答案为：相等；（2）如右图.过E作EM∥BC交AC于M. ∵四边形ABCD是正方形.AC为对角线. ∴.∵EM∥BC.∴∠AEM＝∠B＝90°.∴∠AME＝90°﹣∠EAM＝45°.∴∠AEM＝∠EAM.∴AE＝EM.∵AE＝CF.∴EM＝CF.∵EM∥BC.∴∠MEG＝∠GFC.∠EMG＝∠GCF.∴△EMG≌△FCG（ASA）.∴EG＝FG.∴G为EF的中点；（3）由（1）知△DAE≌△DCF.∴DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵∠DEF＝90°.∴∠DEF＝45°.∵∠BAC＝45°.∴∠DEF＝∠BAC.∵∠AGE＝∠AGE.∴△GEH∽△GAE.∴＝.∴EG2＝GH•AG.∵AE＝1.则CF＝1.BF＝5.∴EF＝＝＝.∴．10．如图.△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形.∠BAC＝∠EDF＝90°.△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转.旋转过程中.线段DE与线段AB相交于点P.线段EF与射线CA相交于点Q．（1）当点Q在线段CA上时.如图1.求证：△BPE∽△CEQ．（2）当点Q在线段CA的延长线上时.如图2.△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP ＝1.CQ＝.求PQ的长．（1）证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形.∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.∵∠BEQ＝∠EQC+∠C.即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C.∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°.∴∠BEP＝∠EQC.∵∠B＝∠C.∴△BPE∽△CEQ；（2）△BPE∽△CEQ；理由如下：∵∠BEQ＝∠EQC+∠C.即∠BEP+∠DEF＝∠EQC+∠C.∴∠BEP+45°＝∠EQC+45°.∴∠BEP＝∠EQC.又∵∠B＝∠C.∴△BPE∽△CEQ；∴＝.∵△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.∴BE＝CE.∴＝.解得：BE＝CE＝.∴BC＝3.在Rt△ABC中.AB＝AC.∴AB＝AC＝BC＝×3＝3.∴AQ＝CQ﹣AC＝﹣3＝.AP＝AB﹣BP＝3﹣1＝2.在Rt△APQ中.PQ＝＝＝．11．已知：在△EF G中.∠EFG＝90°.EF＝FG.且点E.F分别在矩形ABCD的边AB.AD上．（1）如图1.当点G在CD上时.求证：△AEF≌△DFG；（2）如图2.若F是AD的中点.FG与CD相交于点N.连接EN.求证：EN＝AE+DN；（3）如图3.若AE＝AD.EG.FG分别交CD于点M.N.求证：MG2＝MN•MD解：（1）∵四边形ABCD是矩形. ∴∠A＝∠D＝90°.∴∠AEF+∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°.∴∠AFE+∠DFG＝90°.∴∠AEF＝∠DFG.∵EF＝FG.∴△AEF≌△DFG（AAS）；（2）如图2..延长NF.EA相交于H.∴∠AFH＝∠DFN.由（1）知.∠EAF＝∠D＝90°. ∴∠HAF＝∠D＝90°.∵点F是AD的中点.∴AF＝DF.∴△AHF≌△DNF（ASA）.∴AH＝DN.FH＝FN.∵∠EFN＝90°.∴EH＝EN.∵EH＝AE+AH＝AE+DN.∴EN＝AE+DN；（3）如图3.过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P.∴∠P＝90°.同（1）的方法得.△AEF≌△PFG（AAS）. ∴AF＝PG.PF＝AE.∵AE＝AD.∴PF＝AD.∴AF＝PD.∴PG＝PD.∵∠P＝90°.∴∠PDG＝45°.∴∠MDG＝45°.在Rt△EFG中.EF＝FG.∴∠FGE＝45°.∴∠FGE＝∠GDM.∵∠GMN＝∠DMG.∴△MGN∽△MDG.∴.MG2＝MN•MD．12．在△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝20.BC＝12．（1）如图1.折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处.折痕交AC、AB分别于Q、H.若S△＝9S△DHQ.则HQ＝ 4 ．ABC（2）如图2.折叠△ABC使点A落在BC边上的点M处.折痕交AC、AB分别于E、F．若FM ∥AC.求证：四边形AEMF是菱形；（3）在（1）（2）的条件下.线段CQ上是否存在点P.使得△CMP和△HQP相似？若存在.求出PQ的长；若不存在.请说明理由．解：（1）如图1中.在△ABC中.∵∠ACB＝90°.AB＝20.BC＝12.∴AC＝＝16.设HQ＝x.∵HQ∥BC.∴＝.∴.∴AQ＝x.∵S△ABC＝9S△DHQ.∴×16×12＝9××x×x.∴x＝4或﹣4（舍弃）.∴HQ＝4.故答案为4．（2）如图2中.由翻折不变性可知：AE＝EM.AF＝FM.∠AFE＝∠MFE. ∵FM∥AC.∴∠AEF＝∠MFE.∴∠AEF＝∠AFE.∴AE＝AF.∴AE＝AF＝MF＝ME.∴四边形AEMF是菱形．（3）如图3中.设AE＝EM＝FM＝AF＝4m.则BM＝3m.FB＝5m.∴4m+5m＝20.∴m＝.∴AE＝EM＝.∴EC＝AC﹣AE＝16﹣＝.∴CM＝＝.∵QH＝4.AQ＝.∴QC＝.设PQ＝x.当＝时.△HQP∽△MCP.∴.解得：x＝.当＝时.△HQP∽△PCM.∴解得：x＝8或.经检验：x＝10或是分式方程的解.且符合题意.综上所述.满足条件长QP的值为或8或．13．如图.在△ABC中.AB＝AC＝10.BC＝16.点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B.射线DE交AC边于点E.过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时.求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时.求BD的长．（1）证明：∵AB＝AC.∴∠B＝∠C.∠ADC＝∠BAD+∠B.∠ADE＝∠B.∴∠BAD＝∠CDE.又∠B＝∠C.∴△BAD∽△CDE.∴＝.即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC.∴∠ADE＝∠CDE.∵∠CDE＝∠BAD.∴∠ADE＝∠BAD.∴DF∥AB.∴＝.∵∠BAD＝∠ADE＝∠B.∴∠BAD＝∠C.又∠B＝∠B.∴△BDA∽△BAC.∴＝.即＝解得.BD＝.∴＝.解得.AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H.∵AB＝AC.AH⊥BC.∴BH＝HC＝BC＝8.由勾股定理得.AH＝＝＝6.∴tan B＝＝.∴tan∠ADF＝＝.设AF＝3x.则AD＝4x.由勾股定理得.DF＝＝5x.∵△BAD∽△CDE.∴＝.当点F在DE的延长线上.FA＝FE时.DE＝5x﹣3x＝2x. ∴＝.解得.CD＝5.∴BD＝BC﹣CD＝11.当EA＝EF时.DE＝EF＝2.5x.∴＝.解得.CD＝.∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时.DE＝x.∴＝.解得.CD＝.∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时.∠AFE为钝角.∴只有FA＝FE＝3x.则DE＝8x.∴＝.解得.CD＝20＞16.不合题意.∴△AEF是等腰三角形时.BD的长为11或或．14．如图.已知平行四边形ABCD中.AD＝.AB＝5.tan A＝2.点E在射线AD上.过点E作EF ⊥AD.垂足为点E.交射线AB于点F.交射线CB于点G.联结CE、CF.设AE＝m．（1）当点E在边AD上时.①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示）②当S△DCE＝4S△BFG时.求AE：ED的值；（2）当点E在边AD的延长线上时.如果△AEF与△CFG相似.求m的值．解：（1）①∵EF⊥AD.∴∠AEF＝90°.在Rt△AEF中.tan A＝2.AE＝m.∴EF＝AE tan A＝2m.根据勾股定理得.AF＝＝m.∵AB＝5.∴BF＝5﹣m.∵四边形ABCD是平行四边形.∴BC＝AD＝.AD∥BC.∴∠G＝∠AEF＝90°.∴△AEF∽△BGF.∴.∴.∴BG＝﹣m.∴CG＝BC+BG＝+﹣m＝2﹣m.∴S△CEF＝EF•CG＝•2m•（2﹣m）＝2m﹣m2；②由①知.△AEF∽△BGF.∴.∴FG＝•EF＝•2m＝2（﹣m）.∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2.∴S△CDE＝DE•EG＝（﹣m）•2＝5﹣m.S△BFG＝BG•FG＝（﹣m）•2（﹣m）＝（﹣m）2. S△DCE＝4S△BFG时.∴5﹣m＝4（﹣m）2.∴m＝（舍）或m＝.∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝.∴AE：ED＝：＝3.即：AE：ED的值为3；（2）∵四边形ABCD是平行四边形.∴BC＝AD＝.AD∥BC.∵EF⊥AD.∴EF⊥BC.∴∠AEF＝∠CGF＝90°.∵△AEF与△CFG相似.∴①当△AEF∽△CGF时.如图1.∴∠AFE＝∠CFG.∵EF⊥BC.∴BG＝BC＝.∵AD∥BC.∴∠CBF＝∠A.∵tan A＝2.∴tan∠CBF＝2.在Rt△BGF中.FG＝BG tan∠CBF＝.根据勾股定理得. BF＝＝. ∴AF＝AB+BF＝5+＝.∵BC∥AD.∴△BGF∽△AEF.∴.∴.∴m＝；②当△AEF∽△CGF时.如图2.∴∠EAF＝∠GFC.∵∠EAF+∠AFE＝90°.∴∠GFC+∠AFE＝90°.∴∠AFC＝90°.∵AD∥BC.∴∠CBF＝∠A.∴tan∠CBF＝tan A＝2.在R△BFC中.CF＝BF•∠CBF＝2BF.根据勾股定理得.BF2+CF2＝BC2.∴BF2+4BF2＝（）2.∴BF＝1.∴AF＝AB+BF＝6.在Rt△BGF中.同理：BG＝.∵AD∥BC.∴△BGF∽△AEF.∴.∴.∴m＝．即：如果△AEF与△CFG相似.m的值为或．15．如图.在平面直角坐标系中.过原点O及A（8.0）、C（0.6）作矩形OABC.连接AC.一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合）.且保持一边PD 始终经过矩形点B.PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中.的值是否发生变化？如果变化.请求出其变化范围.如果不变.请说明理由.并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后.点A与点P重合.则PC的长为 2.8 ．解：（1）∵A（8.0）、C（0.6）.∴OA＝8.OC＝6.∵四边形OABC是矩形.∴∠ABC＝∠OAB＝90°.BC＝OA＝8.AB＝OC＝6.∴＝＝.故答案为：；（2）的值不发生变化.＝.理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°.∴∠AOB+∠BPQ＝180°.∴A、B、P、Q四点共圆.∴∠PQB＝∠PAB.∵∠ABC＝∠BPQ＝90°.∴△PBQ∽△BCA.∴＝＝；（3）设BQ交AP于M.如图所示：在Rt△ABC中.由勾股定理得：AC＝＝＝10. 由折叠的性质得：BQ⊥AP.PM＝AM.∴∠AMB＝90°＝∠ABC.∵∠BAM＝∠CAB.∴△ABM∽△ACB.∴＝.即＝.解得：AM＝3.6.∴PA＝2AM＝7.2.∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．。

中考数学复习《相似》专题训练-附带有答案一、单选题1．已知△ABC∽△A′B′C′，BCA′C′=23，ABA′B′=34则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．49B．23C．916D．342．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠BC．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC3．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，E是矩形ABCD的边CD上的点，BE交AC于O，已知△COE与△BOC的面积分别为2和8，则四边形AOED的面积为（）A．16 B．32 C．38 D．405．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为(6,0)，则点A的坐标为（）A．(3,5)B．(3,6)C．(2,6)D．(3,8)6．如图，直线，直线AC分别交，和于点A，B，C，直线DF分别交，和于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（）A．B．2 C．D．7．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（－2，3）B．（2，－3）C．（3，－2）或（－2，3）D．（－2，3）或（2，－3）8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP =APAB，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（）A．12−4√5B．4+4√5C．4√5−4D．2二、填空题9．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，D是斜边AB的中点，G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E．若BC=6 cm，则GE= cm．10．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为．的图象11．如图，一次函数y=x+b（b>0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=8x交于点C，若AB=BC，则b的值为．12．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD＝6，AE＝5，AB ＝7，则AC＝.三、解答题14．如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．15．在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，且DE=3，BF=4.5，ADAC =AEAB=25求证：EF∥AC．16．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．17．如图，AB是⊙O的弦，点C是AB⌢的中点，连接BC，过点A作AD∥BC交⊙O于点D．连接CD，延长DA 至E，连接CE，使CD=CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=4求AD的长．18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC =DFCG．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若ADAC =12，求AFFG的值．答案1．C2．D3．B4．C5．B6．D7．D8．A9．210．2√5cm11．212．（2.5，5）13．45714．解答：设BE=x∵EF=32，GE=8∴ FG=32-8=24∵平行四边形ABCD∴AD∥BC∴△AFE∽△CBE∴EFEB =AFBC则32x =AD+DFBC=DFBC+1∵DG∥AB∴△DFG∽△CBG∴DFBC =FGBG则DFBC =248+x则32x =248+x+1解得：x=±16（负数舍去）故BE=16．15．证明：∵AD AC=AE AB =25∠DAE =∠CAB ∴△ADE ∽△ACB ∴DE BC =AD AC =25，∠AED =∠B ∴DE ∥BC ∵DE =3 ∴BC =7.5 ∵BF =4.5∴CF =BC −BF =7.5−4.5=3=DE又∵DE ∥CF∴四边形CDEF 是平行四边形 ∴EF ∥CD ，即EF ∥AC ．16．解：设BF=x ，则CF=4﹣x ，由翻折的性质得B ′F=BF=x ，当△B ′FC ∽△ABC ，∴B′FAB =CFBC 即x3=4−x 4解得x=127，即BF=127．当△FB ′C ∽△ABC ，∴FB′AB =FCAC 即x3=4−x 4，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或127．17．（1）证明：连接OC ，如图所示：∵AB ⌢=AB ⌢，OC 过圆心 ∴OC ⊥AB ∵CD =CE ∴∠E =∠D ∵AD ∥BC ∴∠DAB =∠B ∵∠B =∠D ∴∠B =∠DAB ∴AB ∥EC ∵OC ⊥AB∴OC ⊥EC ∵OC 为半径 ∴CE 是⊙O 的切线（2）解：连接AC ，如图所示：∵AE ∥BC ，AB ∥EC∴四边形AECB 是平行四边形∠ACE =∠CAB ∴EC =AB =6 ∵AC⌢=BC ⌢ ∴∠CAB =∠B ∴∠ACE =∠B ∵∠B =∠D ∴∠D =∠ACE ∵∠E =∠E ∴△CDE ∽△ACE ∴ECAE =ED EC∵EC =6，AE =4 ∴ED =9∴AD =ED −AE =9−4=518．（1）证明：∵∠AED=∠B ，∠DAE=∠DAE ∴∠ADF=∠C ∵AD AC =DFCG ∴△ADF ∽△ACG（2）解：∵△ADF ∽△ACG ∴AD AC = AFAG又∵AD AC =12 ∴AFAG = 12∴AF FG=1。

初三数学相似练习题及答案相似性是数学中一个重要的概念，通过对两个图形或者物体进行比较，我们可以得出它们之间的相似性质。

相似性不仅在几何中有应用，在生活中也有很多实际的应用。

本文将介绍一些初三数学中的相似性练习题及其答案，希望能帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

练习题一：在下面的图形中，黄色区域是正方形ABCD的内部。

已知比值为3：4的两条边分别为EF和GH。

求证：矩形EFGH和正方形ABCD相似。

解答：首先，我们可以观察到矩形EFGH与正方形ABCD具有共同的一个角A。

根据三角形的AA判定相似性质，我们只需要证明另外两个对应边的比值相等即可。

设矩形EFGH的长为x，宽为y。

根据题目中的条件，我们可以列出以下等式：EF = 3AB = x + yBC = CD = AD = x根据正方形的性质，我们知道正方形ABCD的边长相等，所以可以得到以下等式：AB = BC = CD = AD因此，可以得到以下关系：x + y = xy = 0由此可见，矩形EFGH的宽度y等于0，这是不可能的。

故我们得到的结论是错误的。

练习题二：在下面的图形中，已知三角形ABC与三角形DEF相似。

已知AC = 10cm，BC = 6cm。

若DE = 8cm，求EF的长度。

解答：根据题目中的已知条件，我们可以列出以下等式：AC/DE = BC/EF代入已知数值，可以得到：10/8 = 6/EF交叉相乘并移项，我们可以得到：10EF = 8 * 6计算右边的乘积，我们得到：10EF = 48最后，将式子两边同时除以10，我们可以求得：EF = 48/10 = 4.8所以，EF的长度为4.8cm。

练习题三：在下面的图形中，已知三角形ABC与三角形DEF相似。

已知AC = 12cm，BC = 8cm，EF = 18cm。

求DE的长度。

解答：根据题目中的已知条件，我们可以列出以下等式：AC/DE = BC/EF代入已知数值，可以得到：12/DE = 8/18交叉相乘并移项，我们可以得到：8DE = 12 * 18计算右边的乘积，我们得到：8DE = 216最后，将式子两边同时除以8，我们可以求得：DE = 216/8 = 27所以，DE的长度为27cm。

初三数学相似试题及答案
一、选择题
1. 两个三角形相似的条件是（）
A. 面积相等
B. 周长相等
C. 边长成比例
D. 角度相等
答案：C
2. 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形（）
A. 全等
B. 相似
C. 不一定相似
D. 无法判断
答案：B
二、填空题
1. 若△ABC与△DEF相似，且AB:DE = 2:3，那么AC:DF = _______。

答案：2:3
2. 三角形的相似比为3:5，若三角形的一边长为9cm，则另一边长为_______ cm。

答案：15cm
三、解答题
1. 如图所示，△ABC与△DEF相似，已知AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 9cm，求BC和EF的长度。

解：由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质，我们有： AB:DE = AC:DF = BC:EF
将已知数值代入比例中，得到：
6:9 = 8:DF = BC:EF
解得DF = 12cm，BC = 10cm。

2. 已知两个相似多边形的面积之比为9:16，求它们的周长之比。

解：设两个相似多边形的周长分别为P和Q，面积分别为A和B。

根据相似多边形的性质，我们知道：
A/B = (P/Q)^2
已知A/B = 9/16，代入公式得：
(9/16) = (P/Q)^2
解得P/Q = 3/4。

结束语
通过本试题的练习，同学们可以加深对相似三角形和相似多边形的理解，掌握它们的性质和计算方法。

希望同学们能够认真练习，提高自己的数学能力。

中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。

2024中考数学全国真题分类卷第十五讲图形的相似命题点1比例线段类型一比例的性质1.(2022大庆)已知x2＝y3＝z4≠0，则x2＋xyyz＝________．类型二黄金分割2.(2023山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的()第2题图A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割3.(新趋势)·数学文化(2023衡阳)在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)()第3题图A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4.(新趋势)·数学文化(2023陕西)在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE·A B.已知AB为2米，则线段BE的长为________米．第4题图类型三平行线分线段成比例5.(2023丽水)如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段AB ＝3，则线段BC 的长是()第5题图A.23 B.1 C.32 D.26.(2023凉山州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若DE ∥BC ，AD DB ＝23，DE ＝6cm ，则BC 的长为()第6题图A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm命题点2相似的基本性质7.(2023甘肃省卷)若△ABC ∽△DEF ，BC ＝6，EF ＝4，则AC DF ＝()A.49 B.94 C.23 D.328.(2023连云港)△ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF ，其最长边为12，则△DEF 的周长是()A.54B.36C.27D.219.(新趋势)·条件开放性问题(2023盐城)如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，点D ，D ′分别在边BC ，B ′C ′上，且△ACD ∽△A ′C ′D ′，若________，则△ABD ∽△A ′B ′D ′.请从①BD CD ＝B ′D ′C ′D ′；②AB CD ＝A ′B ′C ′D ′；③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．第9题图命题点3相似三角形的判定与性质类型一A 字型10.(2023云南)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为线段BC ，BA 的中点，设△ABC 的面积为S 1，△EBD 的面积为S 2，则S 2S 1＝()第10题图A.12 B.14 C.34 D.7811.(2023贵阳)如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，∠B ＝∠ACD ，AC ∶AB ＝1∶2，则△ADC 与△ACB 的周长比是()第11题图A.1∶2B.1∶2C.1∶3D.1∶4源自北师九上P90第3题12.(2023遂宁)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 三边上的点，其中BC ＝8，BC 边上的高为6，且DE ∥BC ，则△DEF 面积的最大值为()第12题图A.6B.8C.10D.1213.(新趋势)·条件开放性问题(2023邵阳)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC 边上，请添加一个条件________，使△ADE∽△AB C.第13题图14.(2023嘉兴)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E.点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长为________．第14题图15.(2022南充)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝3AB＝3BD，则AD∶AC的值为________．第15题图16.(2023江西)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE.(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．第16题图17.(2023杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF .已知四边形BFED 是平行四边形，DE BC ＝14.(1)若AB ＝8，求线段AD 的长；(2)若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．第17题图18.(2020上海)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，BE ＝DF ，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H .(1)求证：△BEC ∽△BCH ；(2)如果BE 2＝AB ·AE ，求证：AG ＝DF .第18题图19.(挑战题)(2023宁波)【基础巩固】(1)如图①，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF 交DE于点G，求证：DG＝EG；【尝试应用】(2)如图②，在(1)的条件下，连接CD，CG.若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求DEBC的值；【拓展提高】(3)如图③，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD 交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．第19题图类型二8字型20.(2022雅安)如图，将△ABC 沿BC 边向右平移得到△DEF ，DE 交AC 于点G .若BC ∶EC ＝3∶1.S △ADG ＝16.则S △CEG 的值为()第20题图A.2B.4C.6D.821.(2023包头)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接AB ，C D.则△ABE 与△CDE 的周长比为()第21题图A.1∶4B.4∶1C.1∶2D.2∶122.(2022连云港)如图，△ABC 中，BD ⊥AB ，BD ，AC 相交于点D ，AD ＝47AC ，AB ＝2，∠ABC ＝150°，则△DBC 的面积是()第22题图A.3314 B.9314 C.337 D.63723.(2022淄博)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ，若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为()A.35 B.55 C.45 D.255第23题图24.(2022云南)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 相交于点F .若BF ＝6，则BE 的长是________．第24题图25.(2022包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点B 作BD ⊥CB ，垂足为B ，且BD ＝3，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN ⊥CB ，垂足为N .若AC ＝2，则MN 的长为________．第25题图26.(新考法)·结合网格考查线段位置关系(2023河北)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则(1)AB 与CD 是否垂直？________(填“是”或“否”)；(2)AE ＝________．第26题图27.(2022长春)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝4,BD ＝8，点E 在边AD 上，AE ＝13AD ，连接BE 交AC 于点M .(1)求AM 的长；(2)tan ∠MBO 的值为________．第27题图28.(2023泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE 与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．第28题图类型三旋转型29.(2023玉林)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a.(1)求BF的长(用含a的代数式表示)；(2)连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．第29题图类型四三垂直型30.(2023达州)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为()A.9B.12C.15D.18第30题图31.(2022台州)如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB ＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第31题图类型五网格中相似三角形的判定与性质32.(2020昆明)在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有()第32题图A.4个B.5个C.6个D.7个33.(2022临沂)如图，点A，B都在格点上，若BC＝2133，则AC的长为()第33题图A.13B.413C.213D.3133命题点4相似三角形的实际应用34.(2020绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2∶5，且三角板的一边长为8cm.则投影三角板的对应边长为()第34题图A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cm35.(2022河北)图①是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB＝()第35题图A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm36.(2023盐城)“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法．步骤第一步：水平举起右臂，大拇指竖直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼．此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离．参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10(人的手臂与眼距的比值一般为10)，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为()第36题图A.40米B.60米C.80米D.100米37.(2023陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O，C，D，F，G五点在同一直线上，A，B，O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB.第37题图源自北师九上P103活动参考答案与解析1.562.D3.B 【解析】设该雕像的下部设计高度约为x ，则上部高度为2－x ，根据题意得2－x x ＝x2，解得x ＝－1＋5(负值已舍去)，∴x ＝－1＋2.236≈1.24.经检验x ＝1.24是该分式方程的解且符合实际，∴该雕像的下部设计高度约是1.24m.4.5－1【解析】∵E 为边AB 的黄金分割点，AB ＝2，∴BE AB ＝5－12，即BE2＝5－12，∴BE ＝(5－1)米．5.C 【解析】∵五线谱中五条横线等距离且平行，∴分割线段AC 成比例，∴根据图形得ABBC ＝21，∵AB ＝3，∴BC ＝32.6.C 【解析】∵DE ∥BC ，AD DB ＝23，∴AD AB ＝DE BC ＝25，∵DE ＝6cm ，∴BC ＝15cm.7.D8.C 【解析】△ABC 的最长边为4，与△ABC 相似的△DEF 最长边为12，∴相似比为4∶12＝1∶3，∵△ABC 的周长为2＋3＋4＝9，∴△DEF 的周长为3×9＝27.9.解：选择①BD CD ＝B ′D ′C ′D ′；证明：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，AD A ′D ′＝CDC ′D ′，∴∠ADB ＝∠A ′D ′B ′，又∵BD CD ＝B ′D ′C ′D ′，∴BD B ′D ′＝CDC ′D ′，则BD B ′D ′＝CD C ′D ′＝AD A ′D ′，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′.【一题多解】选择③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.证明：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∴∠ADB ＝∠A ′D ′B ′，∵∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，10.B 【解析】在△ABC 中，∵D 、E 分别为线段BC 、BA 的中点，∴DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ，∴S 2S 1＝(BE AB )2＝(12)2＝14.11.B 【解析】∵∠CAD ＝∠BAC ，∠ACD ＝∠B ，∴△ADC ∽△ACB ，∴C △ADC C △ACB＝AC AB ＝12.12.A【解析】∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，设相似比为k ，则DE ＝8k ，△ADE 的DE边上高为6k ，∴△DEF 的DE 边上高h ＝6－6k ，S △DEF ＝12DE ·h ＝12×8k ×(6－6k )＝－24k 2＋24k ＝－24(k －12)2＋6，∴当k ＝12时，S 取最大值，此时最大值为6.13.∠ADE ＝∠B (答案不唯一)【解析】∵∠A ＝∠A ，∴添加条件∠ADE ＝∠B 即可得到△ADE ∽△ABC .14.233【解析】由题意得，DE ＝1，BC ＝3，在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，则AB ＝BC tan A＝33＝3.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AD AB ，即13＝3－BD 3，解得BD ＝233.15.33【解析】∵BC ＝3AB ＝3BD ，∴BC AB ＝ABBD＝3，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△DBA ，∴AD AC ＝BD BA ＝33.16.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，AC 为对角线，∴∠ACB ＝∠ACD .∵∠ACD ＝∠ABE ，∴∠ACB ＝∠ABE .又∵∠BAC ＝∠EAB ，∴△ABC ∽△AEB ；(2)解：∵△ABC ∽△AEB ，∴AB AE ＝AC AB ，∵AB ＝6，AC ＝4，∴6AE ＝46，∴AE ＝9.17.解：(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴AD AB ＝DE BC ＝14，∵AB ＝8，∴AD ＝2；(2)设△ABC 的面积为S ，△ADE 的面积为S 1，△CEF 的面积为S 2.∵AD AB ＝14，∴S 1S ＝(AD AB )2＝116，∵S 1＝1，∴S ＝16.∵CE CA ＝34，同理可得S 2＝9，∴平行四边形BFED 的面积为S －S 1－S 2＝6.18.证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝CB ，∠D ＝∠B ，∵DF ＝BE ，∴△CDF ≌△CBE (SAS)，∴∠DCF ＝∠BCE ，∵CD ∥BH ，∴∠H ＝∠DCF ，∴∠H ＝∠BCE ，∵∠B ＝∠B ，∴△BEC ∽△BCH ；(2)∵BE 2＝AB ·AE ，∴AB BE ＝BE AE ，∵CB ∥DG ，∴AE BE ＝AG BC ，∴AG BC ＝BE AB，∵BC ＝AB ，∴AG ＝BE ，∵△CDF ≌△CBE ，∴DF ＝BE ，∴AG ＝DF .19.(1)证明：∵DE ∥BC ，∴△ADG ∽△ABF ，△AEG ∽△ACF ，∴DG BF ＝AG AF ，EG CF ＝AG AF ，∴DG BF ＝EG CF .∵BF ＝CF ，∴DG ＝EG ；(2)解：由(1)得DG ＝EG ，∵CG ⊥DE ，∴CE ＝CD ＝6.∵AE ＝3，∴AC ＝AE ＋CE ＝9.∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AE AC ＝13；(3)解：如解图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N .在▱ABCD 中，BO ＝DO ，∠ABC ＝∠ADC ＝45°.∵EG ∥BD ，∴同(1)中的方法可得ME ＝GE .第19题解图∵EF ⊥EG ，∴FM ＝FG ＝10，∴∠EFM ＝∠EFG .∵∠EGF ＝40°，∴∠EFG ＝50°.∵FG 平分∠EFC ，∴∠EFG ＝∠CFG ＝50°，∴∠BFM ＝180°－∠EFM －∠EFG －∠CFG ＝30°.在Rt △FMN 中，MN ＝FM ·sin 30°＝5，FN ＝FM ·cos 30°＝53.∵∠MBN ＝45°，MN ⊥BC ，∴BN ＝MN ＝5，∴BF ＝BN ＋FN ＝5＋53.20.B 【解析】由平移性质可得，AD ∥BE ，AD ＝BE ，∴△ADG ∽△CEG .∵BC ∶EC ＝3∶1，∴BE ∶EC ＝2∶1，∴AD ∶EC ＝2∶1，∴S △ADG ∶S △ECG ＝(AD EC)2＝4.∵S △ADG ＝16，∴S △CEG ＝4.21.D 【解析】如解图，取格点F ，H ，易得△AHB ∽△DFC ，∴AB CD ＝AH DF ＝2，∠ABF ＝∠DCF ，∴AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∵AB ∶CD ＝2∶1，∴周长比为2∶1.第21题解图22.A 【解析】如解图，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，则∠E ＝90°，∵BD ⊥AB ，CE ⊥BD ，∴AB ∥CE ，∠ABD ＝90°，又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ，∴AD CD ＝ABCE＝BD DE .∵AD ＝47AC ，∴AD CD ＝43，∴AB CE ＝2CE ＝43＝BD DE ，则CE ＝32.∵∠ABC ＝150°，∠ABD ＝90°，∴∠CBE ＝60°，∴BE ＝33CE ＝32，∴BD ＝47BE ＝237，∴S △BCD ＝12BD ·CE ＝12×237×32＝3314.第22题解图23.A 【解析】如解图，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，过点C 作EF 的垂线交EF 的延长线于点H ，∵E 是AB 的中点，BC ＝4，∴EG ∥BC ，EG ＝12BC ＝2，∵△AEF 的面积为5，∴12AF ·EG＝5，∴AF ＝5.∵∠H ＝∠FEA ＝90°，∠CFH ＝∠AFE ，∴△CFH ∽△AFE ，∴CH AE ＝CFAF，∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝AE ，∴CH AE ＝CH CE ＝CFAF .∵∠FEA ＝∠ACB ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝AF AB ，∴12AB AC ＝5AB ，∴AB 2＝10AC .∵在Rt △ABC中，AB 2＝BC 2＋AC 2，∴10AC ＝16＋AC 2，∴AC ＝2(舍去)，AC ＝8，∴CF ＝3，∴sin ∠CEF ＝CH CE ＝CF AF ＝35.第23题解图24.9【解析】∵点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE ＝12AB .∴△DEF ∽△ABF ，∴EF BF ＝DE AB ＝12，∵BF ＝6，即EF 6＝12，∴EF ＝3，∴BE＝BF ＋EF ＝6＋3＝9.25.65【解析】∵∠ACB ＝90°，BD ⊥CB ，MN ⊥CB ，∴AC ∥MN ∥DB ，∠CNM ＝∠CBD ，∴∠MAC ＝∠MBD ，∠MCA ＝∠MDB ＝∠CMN ，∴△MAC ∽△MBD ，△CMN ∽△CDB ，∴MC MD ＝AC BD ＝23，MN BD ＝CM CD ，∴CM CD ＝25，∴MN 3＝25，∴MN ＝65.26.(1)是；(2)455【解析】(1)如解图，易得△ACH ≌△CGD ，则∠GCD ＝∠CAH ，又∵∠GCD＋∠ECA ＝90°，∴∠CAH ＋∠ECA ＝90°，∴∠CEA ＝90°；(2)由解图可得△CEA ∽△DEB ，BD ＝3，AC ＝2，AB ＝22＋42＝25，∴AC BD ＝AE BE ，∴AE BE ＝23，∴AE ＝25AB ＝455.第26题解图27.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC .∴△AEM ∽△CBM ，∴AM CM ＝AE CB ，∵AE ＝13AD ＝13BC ，∴AM ＝13CM ，∴AM ＝14AC ，∵AC ＝4，∴AM ＝1；(2)14.【解法提示】∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝4，BD ＝8，∴AO ＝OC ＝2，BO ＝OD ＝4，AC ⊥BD ，∵AM ＝1，∴OM ＝1，∴在Rt △BOM 中，tan ∠MBO ＝OM OB ＝14.28.(1)证明：如解图，∵四边形ABCD 为矩形，∴OC ＝OD ，AB ∥CD ，∴∠2＝∠3＝∠4.∵DE ＝BE ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，第28题解图又∵BE 平分∠DBC ，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，又∵∠3＋∠5＝90°，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF ⊥AC ；(2)解：△ECF ，△BAF 与△OBF 相似．理由如下：如解图，由(1)知∠1＝∠2，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠3＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠OFB ＝∠BFO ，∴△OBF ∽△BAF ，∵∠1＝∠3，∠OFB ＝∠EFC ，∴△OBF ∽△ECF ；(3)解：∵△OBF ∽△ECF ，∴EF OF ＝CF BF ，∵OF ＝3，EF ＝2，∴23＝CF BF ，∴3CF ＝2BF .∵OA ＝OC ，∴OA ＝OF ＋CF ，∴3OA ＝3CF ＋3OF .∴3OA ＝2BF ＋9，①∵△OBF ∽△BAF ，∴OF BF ＝BF AF ，∴BF 2＝OF ·AF ，∴BF 2＝3(OA ＋3).②由①②，得BF ＝1＋19(负值已舍去)，∴DE ＝BE ＝2＋1＋19＝3＋19.29.(1)解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠BAD ＝∠D ＝90°，∴∠ABF ＝90°＝∠D ，∠BAE ＋∠DAE ＝90°，∵AE ⊥AF ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，∴∠DAE ＝∠BAF ，∴△DAE ∽△BAF ，∴AD AB ＝DE BF ，即48＝a BF，∴BF ＝2a ；(2)证明：如解图，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∵CG ∥AE ，∴四边形AGCE 是平行四边形，第29题解图∴CE ＝AG ，∵AB ＝CD ，∴DE ＝GB ＝a ，∵BF ＝2a ，∴tan ∠BFG ＝BG BF ＝12，∵△DAE ∽△BAF ，∴AE AF ＝AD AB ＝12，∴tan ∠AFE ＝12，∴∠BFG ＝∠AFE ，即FE 平分∠AFC ，∵EA ⊥AF ，EC ⊥CF ，∴AE ＝EC ，∴四边形AGCE 是菱形．30.C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，∵将△ADE 沿DE 翻折，∴AD ＝DF ，AE ＝EF ，∠A ＝∠EFD ＝90°，设BF ＝x ，则AB ＝CD ＝3x ，∵BE ＝4，∴AE ＝EF ＝3x －4，在Rt △BEF 中，EF 2＝BF 2＋BE 2，∴(3x －4)2＝x 2＋42，解得x 1＝3，x 2＝0(不符合题意，舍去)，∴EF ＝3x －4＝5.∵∠BFE ＋∠CFD ＝90°，∠BFE＋∠BEF ＝90°，∴∠CFD ＝∠BEF ，∵∠B ＝∠C ，∴△CFD ∽△BEF ，∴DF FE ＝CD BF ，∴DF 5＝3BF BF，解得DF ＝15，即AD ＝15.31.54【解析】如解图，记EG 与AF 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°.∵AF ⊥EG .∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°，∠FAB ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE ，∴AB AD －GD ＝BF AE ，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴55－1＝BF 1，解得BF ＝54.第31题解图32.C 【解析】如解图，使得△ADE ∽△ABC 的格点三角形一共有6个．第32题解图33.B 【解析】由相似得AC BC ＝42，∴AC 2133＝42，解得AC ＝4133.34.A 【解析】设投影三角尺的对应边长为x cm ，∵三角尺与投影三角尺相似且相似比为2∶5，∴8∶x ＝2∶5，解得x ＝20.35.C 【解析】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知15－711－7＝6AB ，即84＝6AB ，解得AB ＝3cm.36.C 【解析】根据三角形的相似，可以得到被测物体(汽车头部)到大拇指的距离为被测物体到睁开左眼时，大拇指指向的位置距离的10倍，而这个水平距离约是2个汽车的长度，因此这个距离约是2×4×10＋大拇指到右眼的距离＝80＋0.7(估算手臂长度)≈80.7，因此汽车到观测点的距离约为80米．37.解：∵AD ∥EG ，∴∠ADO ＝∠EGF .又∵∠AOD ＝∠EFG ＝90°，∴△AOD ∽△EFG .∴AO EF ＝OD FG.∴AO ＝EF ·OD FG ＝1.8×202.4＝15.同理，△BOC ∽△AOD .∴BO AO ＝OC OD，∴BO ＝AO ·OC OD ＝15×1620＝12.∴AB ＝AO －BO ＝3(米).∴旗杆的高AB 为3米．。