高等代数习题集

习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得 即得证A 又A 故 ，则A 或 但，因此无论那一种情形都有 此即，但 所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明 ）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ） 故A B)AC ）AB C ） 于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证 若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解 当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明： 是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得 是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射 即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

高等代数习题集##大学数学科学学院高等代数组收集2003, 4,301.设X = ,求X.2.设二次型f<x1, x2, ... , x n>是不定的,证明：存在n维向量X0,使X0'AX0= 0,其中A是该二次型的矩阵.3.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.a证明：W是P[x]4的子空间.b求W的维数与一组基.4.在R3中定义变换A：任意 <x1, x2, x3> R3, A<x1, x2, x3> = <2x2 + x3,x-4x2, 3x3>.11,证明：A是Rr3上线性变换,2,求A在基xi1 = <1, 0, 0>, xi2 = <0, 1, 0>, xi3 = <1, 1, 1>下的矩阵.5.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.6.设V是数域P上n维线性空间,A是V上可逆线性变换, W是A的不变子空间.证明：W也是A-1的不变子空间.7.设V是n维欧氏空间,A是V上变换. 若任意,V,有 <A, A> =<,>. 证明：A是V上线性变换,从而是V上正交变换.8.设X = ,求X.9.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.10.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.11.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1,证明：A是R2 x 2上线性变换..2,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.12.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.13.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.14.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.15.设X = ,求X.16.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.17.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.18.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> =BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换..2.[2,]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.19.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.20.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.21.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.22.设X = ,求矩阵X.23.设实二次型f<x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型g<x1, x2, ... , x n> = X'A-1X与f <x1, x2, ... , x n>有相同的正负惯性指数和符号差 .24.设W = {<a1, a2, ... , a n>| a i R,a i = 0} 证明1.[1,]证明：W是R n的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.25.设B = , B = .在R2中定义变换 : 对任意X R2 x 2,X = BX + XC1.[1,]证明：是V上线性变换.2.[2,]求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.26.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.27.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为其子空间, 且V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明：V = V1 + V2.28.设V为n维欧氏空间,若A既是V上对称变换且A2 = E. 证明：存在V的一组标准正交基,使得在该基下的矩阵为.29.设X = ,求矩阵X.30.设f<x1, x2, ... , x n> = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX= 0当且仅当X = 0. 证明：f <x1, x2, ... , x n>的秩为n,符号差是n或- n.31.设= <1, 2, 3, 0>, = <- 1, -2, 0, 3>, = <0, 0, 1, 1>,= <1, - 2, - 1, 0>, W = {k i| k i R}.1.[1,]证明：W是Rr4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.32.设A三维向量空间V上可逆线性变换,A在基,,下的矩阵是.1.[1,]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换.2.[2,]求A-1的在,,下的矩阵.33.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.34.设V为n维欧氏空间,若A既是V上正交变换,又是V上对称变换. 证明：A2是V上的恒等变换.35.设V为数域P上n维线性空间,W为其子空间,A为V上线性变换. 证明：维<AW> +维 <A-1<0> W> =维W.36.设X = ,求矩阵X.37.设W = {A| A R3 x 3, A' = - A}.1.[1,]证明：W是R3 x 3的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.38.设实二次型f <x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩为n, 符号差是s.证明：R中存在<n - | s|>维子空间W使任意X0W, X0'AX0 = 0.39.在R[x]3中定义变换A：任意f <x> R[x]3, A<f <x>> = xf'<x>.1.[1,]证明：A是R[x]3上线性变换.2.[2,]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵.40.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.41.设V为数域P上n维线性空间,A为V上线性变换.证明：维<AV> +维 <A-1<0>> =维V.42.设V为n维欧氏空间,若A是V变换,若任意,V, <A,> = <,A>. 证明：A是V上线性变换,从而为V上对称变换.43.设V = P[x]5,f <x> V ,有f <x> = <x2 - 1>q<x> + r<x>, 其中r<x>= 0或次<r<x>> < 2,1.[1,]证明：f <x> V,令A<f <x>> = r<x>,则A是V的一个线性变换;2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.44.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换,45.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵,46.设W = {A| A = <a ij>n P n x n,a ii = 0},1.[1,]证明：W是P n x n的子空间,2.[2,]求W的维数与一组基,47.判别下述结论是否正确,并说明理由,1.[1,]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W, 48.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,49.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB= BA,并且A有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.50.求矩阵A = 的特征值和特征向量.51.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的标准型,并写出所用的非退化的线性替换.52.设V是由零多项式和数域上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间.对于任意的f <x> V,定义<f <x>> = f'<x> - f''<x>.证明1.[1,]证明：是V的线性变换.2.[2,]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵.53.设V是一个欧氏空间, ,V.证明: || = || < + , -> = 054.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.1.[1,]证明：W是P[x]4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.55.设A为线性空间V上线性变换.证明：A是可逆的线性变换的充要条件是A的特征值一定不等于零.56.设A为n x n实矩阵, A = A', A3 = E n证明：A = E n .57.设X = ,求矩阵X.58.在Rr3中定义线性变换A：<a1, a2, a3> R3, A<a1, a2, a3> = <2a2 +a, a1 -4a2, 3a1>.求在基 {<1, 0, 0>,<1, 1, 0>,<1, 1, 1>}下的矩阵.359.用正交线性替换化二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形60.设V为数域P上n维线性空间,A是V的一个可逆线性变换, W是A子空间.证明：W也是A-1-子空间.61.设A是正定矩阵,证明：A-1, A2都是正定矩阵.62.设V为数域P上n维线性空间,A是V的线性变换,且kerA= kerA2.证明：V = kerA AV.63.设V为n维欧氏空间,A是V上对称变换,且A2 = E. 证明：存在V的一标准正交基,使A在该基下的矩阵是.64.设B P2 x 2,1.[1,]证明：A<X> = BX - XB,X P2 x 2是P2 x 2上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.65.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.66.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间.1.[1,]求W1W2的维数和一组基；2.[2,]求W1 + W2的维数.67.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.68.判别实二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是不是正定的？并说明理由.69.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.70.设A, B是n阶实对称矩阵,且B是正交矩阵.证明：存在n x n实可逆矩阵T,使T'AT与T'BT同时为对角形.71.设X = ,求矩阵X.72.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换.2.[2,]求A在基E11, E12, E23, E22下的矩阵.73.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.74.设W = {<a1, a2, ... , a n>| A i Rn, a1 + a2 + ... + a n = 0}.1.[1,]证明：W是Rn的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.75.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为V的两子空间, 且V =V1V2, A是V上可逆线性变换.证明：V = AV1AV2.76.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || + , -> = 0.77.设A是欧氏空间V的一个正交变换, 证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间.78.设V = P2 x 2, B V,<1>证明：变换A：X BX - XB是V上一个线性变换；<2>当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.79.求f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换P.80.求k为何值时f<x1, x2, x3> = x12 + <k + 2>x22 + kx32 +2x1x2-2x1x3 -4x2x3是正定的.81.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.82.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间. <1>求W1W2的维数和一组基；<2>求W1+W2的维数.83.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于对角形,为什么？84.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.85.设A, B是n阶实矩阵,且B是正定矩阵.证明：存在实可逆矩阵P, 使P T AP与P T BP同时为对角形.86.设V = P2 x 2, B V,1.[1,]证明：变换A：X BX,是V上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.87.求f <x1, x2, x3> = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换.88.f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定.为什么？89.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A与B相似,则A, B有相同特征多项式；2.[2,]设A是n维线性空间V的线性变换,若A在某基下的矩阵是对角形, 则A有n个互异特征值.90.设= <1, 0, 1, 1>, = <1, -1, 1, 2>, beta1 = <1, -1, 0, 1>,= <0, 1, 0, 1>, W1 = L<,>,W2 = L<,>.1.[1,]求W1 + W2的维数和一组基；2.[2,]求W1W2的维数.91.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于一个对角矩阵,为什么？92.设A是实对称矩阵,并且A3 = E n.证明：A = E n.93.设A, B是数域上n维线性空间V的两线性变换.若AB = BA,并且A有n个互异的特征值. 证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量.94.设V= P[x]5,f<x> V, A<f<x>> = r<x>, 其中f<x> = <x3- 1>q<x>+ r<x>, r<x> = 0或次<r<x>> < 3.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.95.设A =求正交矩阵T使T'AT为对角形.96.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵.97.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A是n维线性空间V的线性变换,则V = AV kerA；2.[2,]设V为欧氏空间,A是V的一个对称线性变换, ,是A之属不同特征值下的特征向量,则,98.设,是上n维线性空间V的线性变换, W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明:1.[1,]W是+ ,-不变子空间；2.[2,]若是可逆的,则W是-不变子空间,99.设W = {A n x n| TrA = 0}, <其中TrA表示A的主对角线元素的和>.1.[1,]证明：W是一个子空间；2.[2,]求W的维数和一组基.100.设A = 可逆,其中A1P m x n, W i = {A i X = 0} 之解空间,证明：P n = W1W2.101.设A在基,,下的矩阵是A =求在基= 2 +3 + , = 3 +4 + , =+2 +2下的矩阵.102.设A =求A的特征值,特征向量.A是否相似于对角矩阵？103.设A正定矩阵,证明：A*也正定.104.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0；2.[2,]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基. 105.设是A之属的特征向量, g<x> = a k x k P[x],证明：是g<A>之属g<>的特征向量.106.设A是n维线性空间V的线性变换,证明下述等价.1.[1,]A可逆；2.[2,] kerA = {0}；3.[3,]A将V的基变成基.107.设X T AX是实二次矩阵,X T BX是正定二次矩阵,其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形.108.设V = P[x]5,f <x> V, A<f <x>> = r<x>, 其中f <x> = <x2 -1>q<x> + r<x>,r<x> = 0或次<r<x> < 2>.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.109.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.110.设A, B是正定矩阵,证明：A + B,A-1都是正定矩阵.111.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W.112.设V1, V2, V3V是有限维子空间,证明：dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim<V+ V2 + V3> + dim<V3<V1 + V2>> + dim<V1 + V2>.1113.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量.114.设A是n维欧氏空间的一个线性变换, <,>是V的内积.证明：<A<>, A<>>是V的内积A可逆.115.设A = ,求A的逆矩阵.116.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.117.设A= ,求A的所有特征值,特征向量.A是否相似于一个对角矩阵,为什么？118.设A是P上n x n矩阵, W = {f <x> P[x]| f <A> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间.119.设= <1, 2, 1, 0>, = <- 1, 1, 1, 1>, = <2, -1, 0, 1>, = <1, - 1, 3, 7>,求L<,> + L<,>与L<,>L<,> 的维数.120.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || < +, - > = 0.121.设A是n x n实矩阵,证明：A'A是半正定矩阵.122.设A是欧氏空间的一个实对称变换.证明：若A4 = 0,则A = 0.123.设A = ,求A的逆矩阵.124.求二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.125.设A= ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.126.设A是P上n x n矩阵, W = {f <A>| f <x> P[x]}. 证明：W 关于通常的加与数乘是一个线性空间.127.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =,其中B'是B的转置.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.128.设V是欧氏空间, ,V.证明： <,> = | + |2 - | - |2.129.设A是3 x 3矩阵.若1, 1, - 2是A的特征值,求A2 +2A - 3E3的行列式.130.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A3是半正定矩阵,则A是半正定矩阵.131.求矩阵X,使X = . 132.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形, 并写出所有的非退化的线性替换.133.设A= ,求A的最大的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.134.设A是一个p上n x n矩阵,W是所有形为AB<其中B是n x m矩阵>全体所成的集. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间. 135.设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P 上的线性空间. 对于f <x> V,令A<f <x>> = f'<x> - f''<x>.1.[1,]证明：变换A是一个线性变换.2.[2,]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵.136.设V是欧氏空间, ,V.证明：若 | + |2= ||2+ ||2,则与正交.137.设A, B都是n x n正定矩阵.证明：A + B也是正定矩阵. 138.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A5 = E n,则A = E n.139.设A = ,求A的逆矩阵.140.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.141.设A = ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.142.设V是欧氏空间,W是V上所有对称变换组成的集合. 证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间.143.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =B.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.144.设V是一个欧氏空间, ,V.证明：若与正交,则 | +|2 - | - |2 = 0.145.设A是n x n矩阵.证明：若0是A的一个特征值,则A不是可逆的.146.设A是n x n实对称矩阵.是A的最大特征值. 证明： < +1>E n - A是正定矩阵.147.求矩阵X,使X = .148.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.149.设A= ,求A的全体实的特征值,并求属于这些特征值的全体特征向量.150.设W = {f <x> P[x]| f <1> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间.151.设= <1, 2, -1, -2>, = <3, 1, 1, 1>, = <- 1, 0, 1, -1>, = <2, 5, -6, 5>, = <- 1, 2, - 7, - 3>,求L<,,>+ L<,>与L<,,> L<,> 的维数.152.设V是一个欧氏空间, ,V.证明： | + |2+ | - |2=2||2 +2||2.153.设A是3 x 3矩阵.若1, - 1, - 2是A的特征值,求A2 -3A - 10E3的行列式.154.设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量〔视为n x 1矩阵〕, 有 <A,> > 0.证明：A是正定矩阵.155.计算向量组, = , = , = , = 的秩.156.计算行列式：.157.求下列线性方程组的一个基础解系和解集.158.证明：如果x1,则= - .159.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f2<x> + 3f <x>g<x> + g3<x>与 4f3<x>g<x>互素.160.设f <x> R[x].证明：如果f <x>在R中有根,则f <x3>在R中有根.161.已知,, ... ,与,, ... ,有相同的秩, 证明：,, ... ,与,, ... ,等价.162.计算向量组, = , = , =, = 的秩.163.计算行列式：.164.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集item 证明：= a n x n + a n-1x n-1 + ... a1x + a0.165.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f<x> + g3<x>与 <f <x>g<x>>2互素.166.设f <x> R[x].证明：如果f <x>有正根,则f <<x - 1><x - 2>>在R中有根.167.设,, ... ,一组n维向量,如果单位向量,, ... ,可被它们线性表出, 证明：,, ... ,线性无关.168.计算矩阵的A秩, A = .169.计算行列式：.170.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集.= <n + a n>a1a2 ... a n-1.172.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> - 2f <x>g<x> + g2<x>与f2<x>g<x>互素.173.设f <x>, g<x> P[x].证明：如果g<x>次数大于0,f <x>有重因式, 证明：f <g<x>>有重因式.174.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.175.计算矩阵的A秩, A = .176.计算行列式：.177.求下列线性方程组的一个基础解系.= <- 1>n<n + 1>a1a2 ... a n.179.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> + g2<x>与f <x>g3<x>互素.180.设f <x> C[x].证明：如果1是f <x>的一个根,则= +i是f <x3>的一个根.181.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.。

高等代数习题课_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.特征值全为0且秩为3的10阶方阵, 互不相似的Jordan有____种.参考答案:32.设A是n阶矩阵，且A的有理标准型只包含一个Frobenius块，下列命题中错误的是____.参考答案:A的特征值两两互异3.设n阶复方阵A的相似于对角矩阵, 则下列叙述中错误的是____.参考答案:A的任一行列式因子没有重根4.以下映射的合成的命题中，正确的有____个。

A 单射的合成还是单射 B 满射的合成还是满射C 可逆映射的合成还是可逆映射D 线性映射的合成还是线性映射参考答案:45.设A是n阶实对称矩阵，若____，则A必为正定矩阵.参考答案:A的特征值全大于零6.设φ是线性空间V到W的线性映射, 则____.参考答案:φ把V中线性相关向量组变成W中线性相关向量组7.设U, W是n维线性空间V的真子空间, 且V等于U直和W. 又设V中向量α∉U，且α∉W，记S为α生成的子空间. 则dim((U+S)∩(W+S))=____参考答案:2##%_YZPRLFH_%##28.设φ是三维行空间的变换, 下列变换中____不是线性变换.参考答案:φ(a, b, c)=(ab, bc, ac)9.设f(x), g(x)是有理系数多项式, 下列命题成立的有____个.(1) 在有理数域上f(x), g(x)互素的充要条件是在复数域上f(x), g(x)互素(2) 在有理数域上f(x)整除g(x)的充要条件是在复数域上f(x)整除g(x)(3) 在有理数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)(4) 在有理数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k (x)参考答案:410.设A是n阶复方阵, 则____不是A可对角化的充要条件.参考答案:A有n个不变因子11.两个n阶实对称阵正交相似的充要条件是____.参考答案:它们相似12.设φ是n维线性空间V的线性变换, 若φ是单射，则φ一定是满射.参考答案:正确。