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思考 1. 两根无限长的长直平行导线之间的电 位分布？ 答:课本p44,公式(1-85):
ln 2 2 0 1
思考 2. 如果不考虑大地的影响，答: C 0 / ln(2d / a) 则相应的两导线对应系统的电容 如何求？
图4-3 考虑大地影响时的分析
当考虑大地影响时，设两根电线各 自带电为 1,2 , 并设一般关系为
We
1 2
V
•
DdV
1 2
V
D•
EdV
1 2
S D •
dS
(这里利用关系：•(D) • D D• ).
根据高斯散度定律和 r
We
1 2
V
D
•
EdV
分别称为场强能量公式和电位能量公式. 对于各向同性的线性介质中，上式变为
We
电常数有关, 与带电量等无关； 4) 在n+1个导体构成的系统中, 共有
Cn21 n(n 1) / 2 个部分电容；
例：看课本图1－33，思考其化简电路。
例 1-19 计算考虑大地影响时两线传输系统的 各个部分电容，这里设两个输电线距离地面的
高度分别为 h1, h2 , 线间的距离为 d , 导线的半径 为 a，且a d, a h. 如图所示.
12
111 122; 211 222
a
利用镜像法，并设电轴与导线的
几何轴线相重合. 分别独立地求解 11,21 和 12 ,22 , 得
1
1 2 0
ln(
2h1 ) a
2 2 0
ln(
D d
)
2
1 2 0
ln(
2
|q1 0
1 (
4 0 R2
1
4 0 2h2
)q2
a22
1
q2
|q1 0
1
4 0 R2
1
4 0 2h2
解题示意图
解电位系数构成的方程组得
q1
A11 A
1
A12 A
2
A13 A
3
111
122
133;
q2
A21 A
11 0 21 0
若已知条件为导体间的电压，有 必要对上面的公式进行改写：
q1 (11 12 13)(1 0) 12 (1 2 ) 13(1 3 ) q2 21(1 2 ) (21 22 23)(2 0) 23(3 2 ) q3 31(1 3 ) 32 (2 3 ) (31 32 33)(3 0)
ii : 自有电位系数；
ij (i j) ：互有电位系数，是j导体带电时, 在第 i个导体产生的电位.
基本性质说明
11
1
q1
| , q2 q3 0
qq11带带正负电电，，则则11电电位位为为正负 11>0
21
2
q1
| , q2 q3 0
图 电位系数的基本性质
...
En1
En
)dV
概念：上式对应的两项分别称之为 自有能量和互有能量
图1-9 求原子的结合能
例1-24 一个原子可以看成是由一个带正电的原子 核,被总电荷量等于(-q) 且均匀分布的负电荷 云包围，试求原子的结合能.
根据P18例1－8:
取a=0
a
再根据前面P54例1-21的结论
1
A22 A
2
A23 A
3
211 222
233;
q3
A31 A
1
A32 A
2
A33 A
3
311 322
333.
A det[ij ], Aij 代数余子式
称
ij
Aij A
为自有感应系数；ii
互有感应系数;
它们具有性质(说明在后面图示)：
C10 C20
2C 0.032 10
联立上两式可求部 分电容
图1-7 等效电容计算
补充: 三相输电线一相工作电容(如图所示)
记
C10 C20 C30 Ckk C12 C23 C31 Cij
例 为了测定对称的三芯输电线的各部分电容，将 三根缆芯连在一起，测得它们与电缆铅皮间的电
可以计算互有能
习题1-18 空气中，相距为1cm的两块平行导电平板充电 到100V后脱离电源, 然后将厚度为1mm的绝缘导电片 插入两板间, 问:
1) 忽略边缘效应, 导电片吸收了多少能量? 这部分能量起 到何作用？两板间的电压和电荷改变量各为多少？最 后储存在其中的能量多大？
注意
1) 带电导体的能量与场强之间满足平方关系而 不再是线性关系
2) 用电位表达的能量公式和用场强 表示的能量公式中的V是不同的.
例 1-21 真空中一半径为 a 的球体内分布有体密度为
常量的电荷，求静电能量.
解法一: 使用高斯定律
解法二: 使用电位函数
图5-2 以体密度分布的带点球体的能量计算过程
q1 C11U10 C12U12 C13U13, q2 C21U 21 C22U 20 C23U 23, q3 C31U31 C32U32 C30U30 ,
Cko :自有部分电容, Cij :互有部分电容；
部分电容主要性质
1) Cij 0 ； 2) Cij C ji ; 3) 其值仅仅与导体的形状尺寸位置及介质的介
例子: 多极管(等效电容); 三相输电线; 考虑大地影响时的两相输电线等等.
考虑一个(n+1)导体组成的静电独立系统。
nk 0 qk 0
考虑三个导体组成的静电独立系统(看图3-1)。
检查图中A 点的电位
设三个导体电量分别是 q1, q2, q3 ，则它们在 A
点产生的电位分别是:
A1
2
V
|
E
|2dV
注: 两个导体组成系统电容的能量推导为
q q1 q2 , 1 2
We
1 2
q11
1 2
q22
1 2
q(1
2 )
1 qU 1 CU 2 1 q2
2
2
2C
定义: 任意一点能量密度定义为:
w'e
1 2
D
E(
2
|
E
|2 )
q1
4 0r1
A1q1;
A2
q2
4 0r2
A2q2;
A3
q3
4 0r3
A3q3.
A
3 k
1
Ak
qk
特别把点A 分别取在三个导体上得：
1 11q1 12q2 13q3; 2 21q1 22q2 23q3; 3 31q1 32q2 33q3.
2）一相的工作电容:
CY 3C 3C12
CP CY C10 3C12 C10 0.047F
qq12
C10U10 C21U 21
C12U12 C20U20
C12 C21 0
q1 C10U10 q2 C20U 20
图1-6 静电屏蔽效应
图5-1 推导静电场能量过程
m=0代表充电开始和m=1代表结束
mq, m, m
0
m
1
电场能量公式的推导
We 01[VA]dm 01[V '(x, y, z)q]dm
01[V
'(x,
y,
z)dV ]dm
1
0
mdmV
(x,
y,
z)dV
1
2 V
dV
,
2
1 (
4 0d
1
4 0D )q1
则
a21
2
q1
|q2 0
1
4 0 d
1
4 0 D
解题示意图
令 q2 0, q1 0 , 可得
1
|q1 0
1 (
4 0d
1
4 0 D )q2
a12
1
q2
|q1 0
1
4 0d
1
4 0 D
D) d
2 2 0
ln(
2h2 a
)
重复电容和电感的公式的推导过程，可得
C10
C20
11
12
ln
2h
2 0
4h2
d2
d
C12
C21
12
(ln
2 0 ln
4h2 d
2h )2 (ln 4h2
d2 d2
)2
a
d
求等效电容(两导体的等效电容是指从这两个导体
一般地电位系数具有下面性质： (1) ij 0 (2) ii ij (3) ij ji (4) 仅与导体系统的物理特性有关；
例 如图所示地面附近有两个半径为R1的带电小球 , 电荷量分别为q1和q2. 选择地面为零号导体, 求该 系统的电位系数.
解: 这是三导体组成一个静电独立系统.
