高考数学总复习 第三章第7课时 正弦定理和余弦定理课时闯关(含解析)1

第7讲 正弦定理、余弦定理,[学生用书P 70～P 71])1．(1)S ＝12 ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin_C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[做一做]1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D ．1解析：选B.在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.2．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC的面积为42，则c ＝________．解析：依题意可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14.答案：141．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形( ) A ．无解 B ．有两解 C ．有一解 D ．解的个数不确定 解析：选B.∵a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2014·高考福建卷)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.答案：1,[学生用书P 71～P 72])考点一__利用正、余弦定理解三角形(高频考点)__利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合； (3)解三角形与三角恒等变换结合．(1)(2014·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________； sin A ＝________．(2)(2014·高考江苏卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .①求a 的值；②求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，把a ＝1，b ＝2，cos C ＝14代入可得c ＝2.因为cos C ＝14，所以sin C ＝1－cos 2C ＝154.再由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，解得sin A ＝158.[答案] 2158(2)解：①因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B . 由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.②由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝⎛⎭⎫－13×22＝4－26.[规律方法] 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．1.(1)(2015·四川成都模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( )A.154B.34C.31516D.1116(2)如图所示，△ABC 中，已知点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．(3)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.①求角B 的大小；②若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB →·AC →的值．解析：(1)6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，即sin A 2＝sin B 3＝sin C 4，由正弦定理得a 2＝b 3＝c4，可设a＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1116.(2)∵sin ∠BAC ＝sin ⎝⎛⎭⎫∠BAD ＋π2＝cos ∠BAD ＝223，∴根据余弦定理可得cos ∠BAD＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝（32）2＋32－BD 22×32×3＝223，∴BD ＝ 3.答案：(1)D (2) 3(3)解：①因为3a －2b sin A ＝0， 所以3sin A －2sin B sin A ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.②由①可知，B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3， 整理得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6. 又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.考点二__利用正弦、余弦定理判定三角形的形状__在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰钝角三角形．本例的条件变为2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ．且sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解：∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ， 即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3， 即sin(B ＋30°)＝1.又∵0°<B <120°，30°<B ＋30°<150°， ∴B ＋30°＝90°， 即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．[规律方法] 判断三角形的形状，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2.(1)在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．(2)在△ABC 中，若b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 的形状为________．解析：(1)∵sin 2A 2＝c －b2c ，∴1－cos A 2＝c －b 2c ，∴cos A ＝b c. 由余弦定理b c ＝b 2＋c 2－a22bc，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)由b ＝a sin C 可知b a ＝sin C ＝sin Bsin A ，由c ＝a cos B 可知c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得b 2＋c 2＝a 2，即三角形一定是直角三角形，A ＝90°，∴sin C ＝sin B ，∴B ＝C ，即b ＝c .故△ABC 为等腰直角三角形．答案：(1)直角三角形 (2)等腰直角三角形考点三__与三角形面积有关的问题____________△ABC 的三角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足(2b －c )cos A ＝a cos C . (1)求A 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值； (3)若a ＝2，求△ABC 周长的取值范围． [解] (1)由余弦定理得：2b cos A ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，∴cos A ＝12，由0<A <π，得A ＝π3.(2)∵a ＝2，由余弦定理得： 4＝b 2＋c 2－2bc cosπ3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc . ∴bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32≤34·4＝ 3.即当b ＝c ＝a ＝2时，△ABC 面积的最大值为 3.(3)由b 2＋c 2－bc ＝4，得 (b ＋c )2－3bc ＝4.①又b ＋c ≥2bc ，∴bc ≤（b ＋c ）24，②当且仅当b ＝c 时取等号．将①代入②得（b ＋c ）2－43≤（b ＋c ）24，即(b ＋c )2≤16，∴－4≤b ＋c ≤4，又b ＋c >a ， ∴4<a ＋b ＋c ≤6，即当a ＝b ＝c ＝2时，周长的最大值为6，△ABC 周长的取值范围为(4，6]． [规律方法] 与三角形面积有关问题的解题策略：(1)求三角形的面积．对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题， 一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．3.(2015·洛阳市统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值． 解：(1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0， ∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0， 即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ，∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴ab sin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得：⎝⎛⎭⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.交汇创新——解三角形与数列的交汇(2014·高考陕西卷)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.[名师点评] 本题是解三角形问题和数列的交汇，其解题思路是由数列问题转化为边角的等式关系，再利用正、余弦定理即可求解．本题体现了新课标卷的设计理念和意图，在命题上追求知识间的交汇，有时也与不等式、直线、圆等知识交汇命题，注重考查知识应用能力．1.(2015·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，则角C 的值为( )A.π6 B.π3 C.π4D.5π6解析：选B.因为点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上，所以a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a 2－ab ＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，故cos C ＝12，所以C ＝π3.2．(2014·高考江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析：由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c . 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－（a ＋2b ）242ab＝34a 2＋12b 2－2ab22ab ≥2⎝⎛⎭⎫34a 2⎝⎛⎭⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 故cos C 的最小值为6－24. 答案：6－241．(2015·安庆模拟)在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2D ．2∶3∶1解析：选C.∵sin C ＝1，∴C ＝π2，由于A ∶B ＝1∶2，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.2．在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝π3，则C ＝( )A.π6B.π4C.π2D.2π3解析：选C.由正弦定理得3sin B ＝33sin π3，∴sin B ＝12，∵a >b ，∴0<B <π3，∴B ＝π6.∴C ＝π－(A ＋B )＝π－(π3＋π6)＝π2.3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 解析：选C.因为a ＝2b cos C ，所以由余弦定理得a ＝2b ×a 2＋b 2－c 22ab，整理得b 2＝c 2，所以b ＝c .所以此三角形一定是等腰三角形． 4．(2015·东北三校高三模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( ) A ．1 B ．2 3 C ．3 2D ．3解析：选A.∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3，故选A. 5．(2015·河北石家庄质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24D.23解析：选B.因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac .又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.6．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．解析：在△ABC 中，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＋c ＝7知，b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，整理得15b －60＝0，∴b ＝4. 答案：4 7．(2015·龙岩质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝2a ，C ＝π3，则△ABC 的周长是________．解析：由22＝a 2＋(2a )2－2a ·2a cosπ3，得a ＝233， ∴△ABC 的周长为a ＋2a ＋2＝3×233＋2＝2＋2 3.答案：2＋2 3 8．(2014·高考广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．解析：法一：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简可得ab＝2.法二：因为b cos C ＋c cos B ＝2b ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ， 故sin(B ＋C )＝2sin B ，故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即ab ＝2.答案：29．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4. 解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0，∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形； 当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．如图所示，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为( )A ．82B ．9 2C ．14 2D ．8 3解析：选A.在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝BC sin ∠BDC ， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 2．(2015·衡水中学第二学期调研)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0，2)解析：选A.∵B ＝2A ，∴sin B ＝sin 2A ，∴sin B ＝2sin A cos A ，∴b ＝2a cos A ，又∵a ＝1，∴b ＝2cos A .∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2， 即 0<A <π2，0<2A <π2，0<π－A －2A <π2， ∴π6<A <π4，∴22<cos A <32， ∴2<2cos A <3，∴b ∈(2，3)．3．在△ABC 中，b ＝c cos A ＋3a sin C ，则角C 的大小为________．解析：∵b ＝c cos A ＋3a sin C ，由余弦定理得b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc＋3a sin C . 即b 2＋a 2－c 2＝23ab sin C .∴2ab cos C ＝23ab sin C ，即tan C ＝33.又0<C <π，∴C ＝π6. 答案：π64．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，若给定一个b 的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b 的取值范围为____________．解析：如图1所示，当a ＝b sin A ，即3＝b sin π3，b ＝2时，△ABC 为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当a ≥b 时，即0<b ≤3时，三角形有且只有一个．所以b 的取值范围为(0，3]∪{2}．答案：(0，3]∪{2}5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0<A <π，∴A ＝π3. 法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0， 整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)△ABC 为等边三角形．∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334， 即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3， ①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3， ∴b 2＋c 2＝6， ②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．6．(选做题)△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S .满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)．(1)求C 的值；(2)若a ＋b ＝4，求周长的范围与面积S 的最大值．解：(1)∵S ＝34(a 2＋b 2－c 2)， ∴12ab sin C ＝34·2ab cos C ， 即tan C ＝3，又0<C <π，∴C ＝π3. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又a ＋b ＝4.∴c 2＝a 2＋(4－a )2－a (4－a )＝3a 2－12a ＋16＝3(a －2)2＋4，由a ＋b ＝4，a >0，b >0知0<a <4.∴4≤c 2<16，∴2≤c <4.∴周长a ＋b ＋c ∈[6，8)．又由a ＋b ＝4，知4≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴ab ≤4，∴S ＝12ab sin C ≤12×4×32＝3， 即当a ＝b ＝2时，S max ＝ 3.。

sinA＋30°＋ 3≤3 3. 答案：(1)B (2)3 3
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变式探究 (tànjiū)
1．(1)△ABC的内角(nèi jiǎo)A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝ ，
b＝ ，B＝120°，2则a等于 6
()
A.
B．2
C.
D.
6
3
2
(2)在△ABC中，已知a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且a
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解析：(1)由余弦定理及已知条件得，a2＋2ba2b－4＝12，即 a2 ＋b2－ab＝4，
又因为△ABC 的面积等于 3，所以12absin C＝ 3，得 ab＝ 4.
联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得 a＝2，b＝2.
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(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin A cos A，
解析：(1)由ccooss
故选 D.
(2)由正弦定理得sina A＝sinb B⇒sin
B＝bsian A＝4
3sin 4
30°＝
23，
∵0°<B<180°，
∴B＝60°或 120°.故选 D.
答案：(1)D (2)D
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考点(kǎo 用余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)求边、角 diǎn)二
【例2】 (1)(2012·湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边 分别为a，b，c. 若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
设△ABC的三边(sān biān)为a，b，c，对应的三个角为A，B，
C.
A＋B＋C ＝ π
1．三内角的关系：a_＋__b__>__c，__b__＋__c__>_a. ，c ＋ a > b，

1.△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π4答案：B2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.23解析：△ABC 中，a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－2a 24a ＝34.故选B. 答案：B3. (2013·广西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1 D.34解析：∵a ＝3b sin A ，∴由正弦定理得sin A ＝3sin B sin A ，∴sin B ＝13.∵ac ＝3，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×3×13＝12，故选A.答案：A4．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A2，则三角形的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：∵sin B sin C ＝cos 2A2，∴sin B sin C ＝1＋cos A2.∴2sin B sin C ＝1＋cos[π－(B ＋C )]． 将cos(B ＋C )＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1. ∴cos (B －C )＝1.又0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π， ∴B －C ＝0.∴B ＝C .故此三角形是等腰三角形．故选D.答案：D5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：由正弦定理得，a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12.又∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.答案：C6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由余弦定理可知：a cos B ＋b cos A ＝a a 2＋c 2－b 22ac ＋b c 2＋b 2－a 22bc＝c sin C ，于是sinC ＝1，C ＝π2，从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2)＝14(b 2＋b 2)，解得a ＝b ，∴B ＝45°.故选C.答案：C7．(2013·皖南八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，则c ＝( )A.135B.125 C ．3 D.134解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c ＋b c －b2ac，∵a ＝3，b ＋c ＝4，∠B ＝30°，∴cos B ＝3＋c －b 23c＝32，即3＋4(c －b )＝3c,3＋c ＝4b ，结合b ＋c ＝4解得c ＝135.故选A.答案：A 8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝23cos 2A ＋2cos 2A －1＝25cos 2A －1＝0.所以cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：72＝b 2＋62－12b ×15，解之得：b ＝5，b ＝－135(舍去)．故选D.答案：D9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac .所以a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：010．(2012·商丘三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝4，A ＝π3，则该三角形面积的最大值是________．解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以bc ≤16，所以S ＝12bc sinA ≤12×16×sin π3＝4 3. 答案：4 311．(2012－2013·福建厦门六中上学期期中考试)在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：sin A sin C ＝BC AB ＝75，而sin A ＝32，可得sin C ＝5314，因为BC >AB ，所以C 为锐角，cos C ＝1－sin 2C ＝1114，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3314， 所以sin B sin C ＝35.答案：3512．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解析：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32.又因0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取得最大值3.13．(2013·揭阳一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解析：(1)由c sin A ＝3a cos C ，结合正弦定理得，a sin A ＝c 3cos C ＝csin C ，∴sin C ＝3cos C ，即tan C ＝3，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，∴3sin A －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝3sin A －cos B ＝3sin A －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A －cos 2π3cos A －sin 2π3sin A ＝32sin A ＋12cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6，当A ＋π6＝π2时，3sin A －sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2取得最大值1，此时A ＝π3，B ＝π3.14．(2013·广州一模)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(其中x ∈R ，A ＞0，ω＞0)的最大值为2，最小正周期为8.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos∠POQ 的值．解析：(1)因为函数f (x )的最大值是2，所以A ＝2；它的最小正周期是8，ω＝π4，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)因为f (2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝2cos π4＝2， f (4)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－2sin π4＝－2， 所以P (2，2)，Q (4，－2)．所以|OP |＝6，|PQ |＝23，|OQ |＝3 2.所以cos∠POQ ＝|OP |2＋|OQ |2－|PQ |22|OP ||OQ |＝62＋22－32 26×32＝3 3.。

第6节 正弦定理和余弦定理课标要求：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.知 识 梳 理1．正弦定理____＝____＝____＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．2．余弦定理a 2＝________________，b 2＝________________，c 2＝________________.3.在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝__________，c ＝__________.(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)4．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .5．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：[1.由正弦定理可以变形为：(1)a ：b ：c ＝_______：_______：_______；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝__________；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R，sin C ＝______等形式，以解决不同的三角形问题． 2.余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，cos B ＝______________，cos C ＝______________. 3. S △ABC ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .基 础 自 测1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B . ( )(2)在△ABC 中，若b 2＋c 2>a 2，则△ABC 为锐角三角形． ( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B ＝45°或∠B ＝135°. ( )(4)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，则实数a 的取值范围是(3，2)．( )(5)在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形． ( )(6)在△ABC 中，若tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，则△ABC 是等腰三角形． ( )2．在△ABC 中中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A ，那么=C cos .3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）． A. 2 B. 3 C ．2 D ．34．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为（ ）．A.12B.14C ．1D ．2 5．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若bc a c b c b a 3))((=-+++,则=A .6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.考点1应用正弦、余弦定理解三角形【例1】已知△ABC 的面积为S ，且22BC CA CB S =⋅+． （1）求B 的大小； （2）若12S =，且1BC BA -=，试求△ABC 最长边的长度.[规律方法]破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.【训练1】（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.（2）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ). A ．42 B.30 C.29 D ．25考点2三角形解得个数问题【例2】在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝______个解．[规律方法]解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，也不可能无解；对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况. 验证解的情况可用数形结合法.【训练2】在△ABC 中, c b a ,,分别是△ABC 中角C B A ,,的对边，若︒===45,2,B b x a ，且此三角形有两解，则x 的取值范围（ ）．A ．2B ．52C ．1D ．考点3利用正弦、余弦定理判定三角形的【例3】1.若△ABC 中，满足222sin sin sin C A B =+，则该三角形的形状是 三角形.2在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且3B π=，则△ABC的形状为 三角形．[规律方法]常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形考点4与三角形面积有关的问题【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠A ＝π3，c ＝37a . (1)求sin C 的值； (2)若a ＝7，求△ABC 的面积．[规律方法]高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.【训练4】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．[思维升华](1)在解三角形中，如果表达式中含有角的余弦或边的二次式时，则优先考虑使用余弦定理。