北师大版必修2高中数学第2章《解析几何初步》2直线与圆、圆与圆的位置关系(2)导学案

第二课时 圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
课前自主学习
【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
答案
类题通法 求弦长的常用方法
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距 先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常 用如下方法：
[变式训练2] 判断两圆 C1：x2＋y2－2x＝0 与 C2：x2＋y2－4y＝0 的位 置关系．若相交，求其公共弦长．
答案
解析
答案
由圆 C1 的方程，易得 C1(1,0)，|AC1|＝1. 两圆的方程相减，得直线 OA 的方程为 x－2y＝0.
从而|C1M|＝ |112－＋2×－02|2＝ 15.
于是|OA|＝2|AM|＝2
|AC1|2－|C1M|2＝2

12－
152＝4
5
5 .
答案
易错点⊳两圆位置关系考虑不全面 [典例] 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径为 1 的圆 的方程． [错解] 设所求圆的圆心为 C(a，b)，则 a－42＋b＋12＝1 ①，当 两圆相切时，有 a－22＋b＋12＝3②，由①②解得 a＝5，b＝－1. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. [错因分析] 错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时 的情况．

经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆上一点的圆的切线 有一条；经过圆外一点的圆的切线有两条，若只求出一条， 则说明另一条切线的斜率不存在，切线为x＝x0的形式．
练一练 3．若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求 直线l的方程．
1．(安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，
练一练 1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时， 圆与直线相交、相切、相离？
讲一讲 2.求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
练一练
讲一讲 例3 已知圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－4＝0，求经过点(4， －1)的圆的切线方程．
则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
4．圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为 ________．
5．(湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于 A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
第3课时 直线与圆的位置关系
[核心必知] 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系及判断
[问题思考]
2．是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代 数法这两种方法？
提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的， 几何法侧重于“形”，代数法关系，若有公共点求出公共点的 坐标． (1)直线：x＋y＝0，圆：x2＋y2＋2x＋4y－4＝0； (2)直线：y＝x＋5，圆：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0； (3)直线x＋y＝3，圆：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0.

自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1： 圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2： 圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切 ，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
2．圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系． (1)与直线系方程一样，了解一些常见的圆系方程可以帮助我们 简化解题思路． ①同心圆系： 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 同心的圆系方程为 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.
②相交圆系：过两圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与 x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2 ＝0 的交点的圆系方程为(x2 ＋y2 ＋D1x＋E1y＋F1)＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．λ＝－1 时为两圆公共弦 所在直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，特别地，两 圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程． ③过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F＞0)的交点的圆系方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋(1，－5)，过 C1，C2 的直线方程为 ＝ ，即 －5＋1 1＋1 2x＋y＋3＝0.
2x＋y＋3＝0， 由 y＝－x，
得所求圆的圆心为(－3,3)，
|－3－6＋4| 它到 AB 的距离为 d＝ ＝ 5， 5 ∴所求圆的半径为 5＋5＝ 10， ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝10.

方程组
方程组
__只__有__一__个____ 有__两__个__不___同__的__
实数解
实数解
[强化拓展] (1)研究直线与圆的位置关系有两种方法： ①几何法：令圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r.利用 d 与 r 的关系判定． ②代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程， 其判别式为 Δ. (ⅰ)Δ＜0⇔直线与圆相离； (ⅱ)Δ＝0⇔直线与圆相切； (ⅲ)Δ＞0⇔直线与圆相交．
(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [思路探究] 1.直线与圆的位置关系有哪些？
2．直线和圆有公共点说明直线和圆是什么位置关系？
[边听边记] 方法一： 将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的方程化简整理，
得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0，
|a| (3)当直线和圆相离时，d>r，即 5 >10，a<－50 或 a>50.
与圆相切有关的问题
(1)(2015·吉林高一检测)由直线 y＝x＋1 上的一点向圆 x2－6x＋y2＋
解析： 方法一：(代数法) 4x－3y＋a＝0，
由方程组x2＋y2＝100， 消去 y， 得 25x2＋8ax＋a2－900＝0. Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000. (1)当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－50<a<50； (2)当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－50； (3)当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50.
1．理解直线与圆的三种位置关系． 2．会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 3．掌握求圆的切线的方法并能解决与弦长有关的问题．

[强化拓展] (1)圆与圆的位置关系有五种情况，具体的判别方法有二种． ①几何法：主要利用圆心距 d 与两圆半径的和或差之间的关系． ②代数法：设两圆方程分别为 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，联立方程得 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 . 若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交； 若方程组有且只有一组实数解，则两圆外切或内切；
4．求圆心为(2,1)且与已知圆 x2＋y2－3x＝0 的公共弦所在直线经过点(5，－ 2)的圆的方程．
解析： 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2， 即 x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，① 已知圆的方程为 x2＋y2－3x＝0，② ②－①得公共弦所在直线的方程为 x＋2y－5＋r2＝0.又因为此直线经过点(5， －2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
[规律方法] (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范 围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径； ②计算两圆圆心的距离 d； ③通过 d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必 要时可借助于图形，数形结合． (2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的， 要理清圆心距与两圆半径的关系．
若方程组没有实数解，则两圆内含或相离． 由以上两种判别方法可知，几何法简单、清楚，因此一般采取几何法． (2)两圆没有公共点不一定外离，也可能内含； 两圆有且仅有一个公共点不一定外切，也可能内切．
[自主练习]
1．圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系为( )

(4)若 C 为圆 O 内一点，则过点 C 的直线与圆 O 相交．( √ )
2．直线 3x＋4y＋2＝0 与圆 x2＋y2－2x＝0 的位置关系为( B )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：由 x2＋y2－2x＝0 配方得(x－1)2＋y2＝1，
圆心(1，0)到直线 3x＋4y＋2＝0 的距离为： d＝ |3＋2| ＝1＝r，
2
22
故直线 y＝x＋6 与圆 C：x2＋y2－2y－4＝0 相离，没有公共点．
直线与圆的位置关系的判定
已知圆的方程是 x2＋y2＝2，直线 y＝x＋b，当 b 为何 值时，圆与直线 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ ([解 链]接教法材一：P82圆例心5)O(0，0)到直线 y＝x＋b 的距离为 d＝ |b| ，
1．直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关 系和判断方法
位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
_零___个
_一___个
_两___个
位置关系
相离 相切 相交
几何法：依据圆心到直线
的距离 |Aa＋Bb＋C|
d＝______A__2_＋__B__2_____与半径
d_＞__r
d_＝__r
Δ＝ 4b2－ 8(b2－ 2)＝－ 4b2＋ 16.
(1)当 Δ＞0，即－2＜b＜2 时，直线与圆相交，有两个公共点．
(2)当 Δ＝0，即 b＝2，或 b＝－2 时，直线与圆相切，有一个
公共点．
(3)当 Δ＜0，即 b＞2，或 b＜－2 时，直线与圆相离，无公共 点．
方法归纳 判定直线与圆位置关系的方法步骤有： (1)几何方法步骤： ①把直线方程化为一般式，求出圆心和半径． ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离． ③作判断：当 d＜r 时，直线与圆相交；当 d＝r 时，直线与圆 相切；当 d＞r 时，直线与圆相离．

A 21 B 19 C 9 D -11
【能力提升】
(2016·山东高考)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截 直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
课时小结：
一.知识：
两圆同心是两圆内含的一种特例.
圆与圆的五种位置关系：
相离 内切
外切
相交
内含
想一想： 视察五种位置关系下的交 点个数，类比直线与圆的 位置关系，你能根据“公共 点个数”对这几种位置进行 分类吗？
没
相离
圆பைடு நூலகம்
和
内含
有 公 共 点
圆
的 位
外切
一 个 公
置
关
内切
共 点
系
两
个
相交
公
共
点
1.代数法判断圆与圆的位置关系
思考2：两圆的位置关系怎样来判断？ 2.几何方法：
O1 R
r O2
两圆相离
d
d>R+r
反之，成立吗？
O1
T O2
R d
两圆外切
r
d=R+r
O1 R r O2 d
注意半径 的大小
两圆相交
R-r<d<R+r (R>r)
O2 O1
T
r
R
d 两圆内切
(R>r)
d=R-r
O1 O2
O
dr R
两圆内含 d<R-r (R>r)
标. 解：(1) 变为标准方程：C1：(x－1)2+y2=4;

22 +(-1)2
答案:D
K12课件
17
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三圆的弦长问题
【例3】求经过点P(6,-4)且被定圆x2+y2=20截得的弦长为 6 2 的直线的方程.
=
5,解得 a=±1.
答案:±1
K12课件
7
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)过圆外一点可以作圆的两条切线且切线长相等.
()
(2)直线 ax+y=1 与圆 x2+(y-1)2=1 的位置关系与 a 有关. ( )
(3)过圆 C 内一点 M 作一直线 l,要使直线与圆相交所得弦长最
解析:圆心(0,0)到直线x-3y+1=0的距离d=
1 10
<
1,
3
故直线与圆
相交,但不过圆心.
答案:D
K12课件
6
做一做2 若直线2x+ay+3=0与圆x2+y2-2x-4=0相切,则实数a等
于
.
解析:圆的方程可化为(x-1)2+y2=5,因此圆心坐标为(1,0),半径
r= 5,
依题意得
|2+3| 4+������ 2
分析:可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况,或圆心 到直线的距离与圆半径之间的关系,求解b的值或b的取值范围.
解法一:联立直线和圆的方程组成方程组
������ = ������ + ������, ������2 + ������2 = 1.
消去 y 并整理,可得 2x2+2bx+b2-1=0,则 Δ=4(2-b2).

解：法一：将直线 mx―y―m―1=0 代入圆的方程化简整理得， （1+m2）x2―2（m2+2m+2）x+m2+4m+4=0．∵Δ=4m（3m+4） ，
4 m ∴当 Δ＞0 时，即 m＞0 或 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 3
4 m 当 Δ=0 时，即 m=0 或 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 3
kx y y0 kx0 0 ，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 k ．
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一、新课讲授：
4.求直线被圆截得的弦长的方法
⑴ 应用圆中直角三角形：半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l 具有的关系
l r d ，这也是求弦长最常用的方法． 2
∴（2x+1）2+x2=4，即 5x2+4x-3=0.
判别式 Δ=42-4× 5× （-3）=76＞0.∴直线与圆相交.
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二、知识应用： 题型一 判断直线与圆的位置关系
例 2．已知直线方程 mx―y―m―1=0，圆的方程 x2+y2―4x―2y+1=0．
当 m 为何值时，圆与直线（1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．
d | 2m 1 m 1| 1 m
2

|m2| 1 m
2
．
4 3
当 d＜2 时，即 m＞0 或 m 时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当 d=2 时，即 m=0 或 m 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当 d＞2 时，即
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第二章 解析几何初步
2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系(2)
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|学 习 目 标| 1．掌握圆与圆的位置关系及判断方法． 2．能根据圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
1 ． 圆 与 圆 的 位 置 关 系 有 ： ___相_离_______ 、 __外__切_______ 、 ____相_交______、___内_切_______、__内_含________．
答案：C
练一练 (2) 两圆 x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 与 x2＋y2＋4x－4y－1
＝0 的公切线有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：两圆方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2 ＝9，圆心 C1(2，－1)，C2(－2,2)，半径 r1＝2，r2＝3.
已知两圆 x2＋y2＝25 和 x2＋y2－4x－2y－20＝0 相交 于 A，B 两点．
(1)求弦 AB 所在直线方程； (2)求弦长|AB|.
【解】 (1)将两圆方程作差得弦 AB 所在直线方程为 4x＋2y －5＝0.
(2)圆 x2＋y2＝25 的圆心到直线 4x＋2y－5＝0 的距离 d＝ |4－2＋5|22＝ 25.
|C1C2|＝ 2＋22＋－1－22＝5＝r1＋r2. ∴两圆外切，公切线有三条．
答案：C
1．如何判断两圆的位置关系？ 答：判断两圆的位置关系，一般有代数法和几何法两种方 法．代数法是把位置关系的判定转化为求方程组的解，计算量偏 大，一般不用此种方法；几何法较简洁，只需比较圆心距 d 与|r1 －r2|r1＋r2 的大小即可得出位置关系．
|A2B|＝
25－ 252＝ 295，

图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
0个
1个
2个
例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x 2 y 2 2 y 4 0，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线 L 与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数 解 ； 方法二 ， 可 以 依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断 直线与圆的位置关系。
2 6
C.5
D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦 所在的直线方程是(C )
A.x+y-3=0
A.相交
D.2x+y-6=0 3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（ B ）
B.相切 C. 相离 D.不能确定
B. 2x-y-6=0
y
L
B
C●
0
A x
图4.2-2
解法一：由直线L与圆的方程，得 ① 3x y 6 0
{ x y 2y 4 0
2 2
②
消去y ，得
因为
⊿=
x 3x 2 0
2
(3) 4 1 2 1 0
2
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
2 2 解法二：圆 x y 2 y 4 0 可化为 x 2 ( y 1) 2 5 ，其 圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C（0，1）到直 线L的距离

质疑答辩，发展思维
圆(x－1) ＋y
A.相交
2 2
������ ������ 的位置关系是( ＝1与直线 ������ = ������
A )
B.相切
C.相离
D.直线过圆心
������ 解析：圆心(1,0)到直线 ������ = ������ ������ 的距离
������ ������ = = < ������ ������ + ������ ������
长的最小值为( C ) A.1 B. ������ ������ C. ������ D.3
解析：切线长的最小值是在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0)到直线的距离为 ������ =
������ − ������ + ������ ������
= ������ ������，
������ − ������ = ������ 。
圆的半径为1，故切线长的最小值为 ������������ −
探索新知
（1）直线Ax+By+C=0和圆(������ − ������)������ + (������ − ������)������ = ������������ 的位置关系
位置关系 图示
相离
相切
相交
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（2）判断直线Ax+By+C=0和圆(������ − ������)������ + (������ − ������)������ = ������������ 的位置关系方法
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两圆相交
2个
������������ − ������������ < ������ < ������������ + ������������