北京市 2019丰台二模数学试卷(含评分标准)

■1 5. A. C.B.D."（■1） ，贝IJ . • 的夹角为北京市丰台区2019届高三5月综合练习（二模）数学（理）试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三四五总分得分、选择题1.已知集合==，那么=A. I JB.] C. [:D. I- J I2. 下列函数中，既是偶函数又是• 上的增函数的是A. 、 -B. ■__-f -C.D.3. 在极坐标系中，点| 中j 到直线«0的距离等于 （）A .遲B .斤C . MID . 2 2 ----------------------------- 9 ---------------------------- 1 ----------------------------------F 列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为]-■的是515 邛I L 严”曲11*■一 一B. 一 一、C. 一 - . -■D. -4 44h+4. A.JT已知向量6. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积A. 'B.C. /D. 27. 表示集合中所有元素的和，且^匚躬二H ,若一一能被3整除，则符合条件的非空集合的个数是A. 10B. 11C. 12D. 138. 血药浓度(Plasma Concentration )是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：! 1 --------------------- 托t* 恤--------------- r !根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒A. 1 个___________B. 2 个___________C. 3 个___________D. 4 个、填空题9.在复平面内，复数——L 对应的点的坐标为二、选择题10. 执行右图所示的程序框图，若输入 ==6的值为6,则输出的x 值为 ______________y>b12.若x ， y 满足｛ J ：. 1-且-—“*的最大值为10，x +,y <)n ・贝H .13. 已知函数f ( x ) 的定义域为R .当:< |时，：* -.--I ■■ 1 -;当—---时，；当••时， 「「一 「「，V 「一 I _______________ •四、填空题 11. 点•从出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点，若点人的坐标是14. 已知为•的外心，且八广二，*门V：：宀①若I ，^V •「_______ ；②若.^ ，则的最大值为 ________ .五、解答题15・在锐角中（I）求/ A的大小；（D）求矩-mJ C + - 的最大值•16. 某社区超市购进了A , B , C , D 市随机调查了15位顾客（记为一. 下（单位：件）：p四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超m…：出）购买这四种新产品的情况，记录如17. ly:宋体;font-size:10.5pt"> 客产品%四（11A 1 1 1 1 1B 1 1 11 1 1 1 1 1（I）若该超市每天的客流量约为销售量（单位：件）；1 1 1 C 1 1 1 1 1 1 1 D300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月(H)为推广新产品，超市向购买两种以上(含两种)新产品的顾客赠送现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为 X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望； (川)若某顾客已选中产品 B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？(结 果不需要证明) 18. 如图所示的几何体中，四边形 磁二二 为等腰梯形， //_ , ■ ' ?"'， ，四边形了为正方形，平面 平 面曲幕：.(I)若点打是棱 「的中点，求证： //平面•; (H)求直线与平面 乙・「.厂所成角的正弦值；(川)在线段 乳：上是否存在点 八，使平面，「「T 平面■ ■) ?若存在，求——-的值；若不存在，说明理由19. 已知函数I.'.'.(I)当 = 时，求曲线 -I |在点■ . ■ I .'处的切线方程； (n)证明：对于 Vrte(O.e) , /(.V )在区间上有极小值，且极小值大于0.20. 已知椭圆E 的右焦点与抛物线 F = 4 的焦点重合，点M L. — 在椭圆E 上.I 1)(I)求椭圆E 的方程； (n)设二I '■，直线 —匕-卜［与椭圆E 交于A , B 两点，若直线PA , PB均与圆I 1相切，求 的值•21. 若无穷数列；.：:满足：一 .「，对于| ,都有匚―沈十（其中•为常数），则称；--具有性质“「.•丨”•（I）若I 具有性质“ _■ I ."，且一 ^ , -,-■- :，求；（H）若无穷数列；.•：是等差数列，无穷数列；.-；是公比为正数的等比数列，订=：,=.''，：,八..二厂.，：.，判断：「是否具有性质“一’ __ ”，并说明理由；（川）设I 既具有性质“，”，又具有性质”，其中W我泡肘, , 互质，求证：；.、：具有性质参考答案及解析第1题【答案】【解折】由题意AuB = {x\x>l}・故选第2题【答案】孑【解析】y= -卫为奇径軌且单调递减错误:颐"逼偶函数又是（。

2019年北京市丰台区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（4分）中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%．将28000用科学记数法表示为（）A．28×103B． 2.8×104C． 2.8×105D． 0.28×106分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：28000=2.8×104，故选：B．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（4分）﹣的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣考点：相反数．分析：根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．解答：解：﹣的相反数是．故选C．点评：本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．3．（4分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）A．圆锥 B．圆柱C．球D．三棱柱考点：由三视图判断几何体．专题：几何图形问题．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．故选A．点评：考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．4．（4分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．解答：解：根据题意，得：（n﹣2）×180=360×3，解得n=8．故选D．点评：解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．5．（4分）某班第一小组6名女生在测仰卧起坐时，记录下她们的成绩（单位：个/分）：45，48，46，50，50，49．这组数据的平均数是（）A． 49 B． 48 C． 47 D． 46考点：算术平均数．分析：求得数据的和，然后除以数据的个数即可求得其平均数．解答：解：平均数为=（45+48+46+50+50+49）=48．故选B．点评：本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．6．（4分）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A． a（x﹣2）2B． a（x+2）2C． a（x﹣4）2D． a（x+2）（x﹣2）考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．解答：解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选A．点评：本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．7．（4分）如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE 沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）A．B． 3C． 6D． 9考点：翻折变换（折叠问题）．分析：利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积=DE•AM求解．解答：解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处∴AM=A′M，又∵A′为MN的中点，∴AM=A′M=A′N，∵DE∥BC，∴=，∵△ABC是等边三角形，BC=6，∴BC=AE，∴=∴AE=2，∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，∴∠MAE=30°，∴AM=，ME=1，∴DE=2，∴△ADE的面积=DE•AM=××2=，故选：A．点评：本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．8．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一个钉子．动点P、Q同时从点A出发，点P沿A﹣B﹣C方向以每秒2cm的速度运动，到C点停止，点Q沿A﹣D方向以每秒1cm的速度运动，到D点停止．PQ两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，当遇到钉子后，橡皮筋会自动弯折．如果x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2，那么y与x的函数关系图象可能是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：过点O作OE⊥CD，根据正方形的性质可得OE=1cm，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半求出橡皮筋经过点O的时间为，再分①0≤t≤1时，扫过的面积y=S△APQ；②1＜t≤时，表示出BP，再根据扫过的面积y=S梯形ABPQ；③＜t≤2时，扫过的面积y=S﹣S梯形POEC﹣S梯形OQDE列式整理即可得解．正方形ABCD解答：解：如图，过点O作OE⊥CD，∵正方形的边长为2cm，点O是对称中心，∴OE=×2=1cm，橡皮筋经过点O时，=1，解得t=，①0≤t≤1时，扫过的面积y=S△APQ=•t•2t=t2；②1＜t≤时，BP=2t﹣2，扫过的面积y=S梯形ABPQ=（2t﹣2+t）×2=3t﹣2；③＜t≤2时，扫过的面积y=S正方形ABCD﹣S梯形POEC﹣S梯形OQDE，=22﹣（4﹣2t+1）×1﹣（2﹣t+1）×1，=4﹣+t﹣+t，=t；纵观各选项，只有D选项图象符合．故选D．点评：本题考查了动点问题函数图象，利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式判断函数图象，注意自变量的取值范围．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为4．考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式的分子为0，可得答案．解答：解：的值为0，x﹣4=0，x+2≠0，x=4，故答案为：4．点评：本题考查了分式的值为零的条件，分式的分子为零，分母不能为零．10．（4分）如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0有实数根，那么k的取值范围是k≥﹣1．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=22﹣4×（﹣k）≥0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=22﹣4×（﹣k）≥0，解得k≥﹣1．故答案为k≥﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．（4分）如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=2．考点：解直角三角形．分析：先解等腰直角三角形ABC，求出AB的长，再解直角三角形ABD，即可求出BD．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4，∴AB=BC•sin∠C=4×=2．在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=2，∴BD===2．故答案为2．点评：本题考查了解直角三角形，求出AB的长是解题的关键．12．（4分）如图，在数轴上，从原点A开始，以AB=1为边长画等边三角形，记为第一个等边三角形；以BC=2为边长画等边三角形，记为第二个等边三角形；以CD=4为边长画等边三角形，记为第三个等边三角形；以DE=8为边长画等边三角形，记为第四个等边三角形；…按此规律，继续画等边三角形，那么第五个等边三角形的面积是64，第n个等边三角形的面积是22n﹣4．考点：规律型：图形的变化类；等边三角形的性质．分析：每一个等边三角形的边长分别为1、2、4、8、16、…2n﹣1，分别计算出每一个等边三角形的面积，找出规律，进一步利用规律得出答案即可．解答：解：第一个边长为1等边三角形的面积为×1×=，第二个边长为2等边三角形的面积为×2×=，第三个边长为4等边三角形的面积为×4×2=4，第四个边长为8等边三角形的面积为×8×4=16，第五个边长为16等边三角形的面积为×16×8=64，…第n个边长为2n﹣1等边三角形的面积为×2n﹣1×2n﹣2=22n﹣4．故答案为：64，22n﹣4．点评：此题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找出运算的规律解决问题．三、解答题（本题共30分，每小题5分）证：．13．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，DA平分∠EDC，且∠E=∠B．求证：△ADE≌△ADC．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先由角平分线的性质得出∠ADE=∠ADC，再由等腰三角形的性质结合∠E=∠B，可得∠E=∠C，运用AAS定理可进行全等的证明．解答：证明：∵DA平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠E=∠B，∴∠E=∠C，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（AAS）．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．14．（5分）计算：﹣2sin60°+（﹣2019）0﹣（）﹣1．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：根据零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=2﹣2×+1﹣3=2﹣+1﹣3=﹣2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．15．（5分）解方程：x2﹣4x+2=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．解答：解：x2﹣4x=﹣2x2﹣4x+4=2（x﹣2）2=2或∴，．点评：配方法的步骤：形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．16．（5分）已知a2﹣2a﹣2=0，求代数式（1﹣）÷的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把a2+2a+1分解因式，然后约分得到原式=，再利用已知条件变形得到a2=2a+2，接着利用整体代入的方法计算．解答：解：原式=•=，∵a2﹣2a﹣2=0，∴a2=2a+2，∴原式===．点评：本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．17．（5分）某产品生产车间有工人10名．已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个，且每生产一个甲种产品可获利润100元，每生产一个乙种产品可获利润180元．在这10名工人中，如果要使此车间每天所获利润不低于15600元，你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适．考点：一元一次不等式的应用．分析：首先设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品，利用使此车间每天所获利润不低于15600元，得出不等关系进而求出即可．解答：解：设车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．根据题意可得，12x×100+10（10﹣x）×180≥15600，解得；x≤4，∴10﹣x≥6，∴至少要派6名工人去生产乙种产品才合适．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．18．（5分）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的关系式；（2）观察图象，写出使得y1＜y2成立的自变量x的取值范围；（3）在x轴的正半轴上存在一点P，且△ABP的面积是6，请直接写出点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，可得答案；（3）根据面积的和差，可得答案．解答：解：（1）∵函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，∴k=4，即y1=，又∵点B（m，﹣2）在y1=上，∴m=﹣2，∴B（﹣2，﹣2），又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，即，解之得．∴y2=2x+2．反比例函数的解析式为y1=，一次函数的解析式为y2=2x+2；（2）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方，∴﹣2＜x＜0或x＞1；（3）如图，直线AB与x轴交点C的坐标（﹣1，0），∴S△ABC=S△APC+S△BPC==PC×6=6．∴PC=2∴P的坐标（1，0）．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，函数与不等式的关系．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，求AC的长．考点：相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=6，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∵AD∥BC，∴∠2=∠3，从而∠1=∠3，∵AD=6，∴CD=AD=6，过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC，∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，∴△ABC∽△EDC，∴=，即=，∴BC=12，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC===8．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长度是解题的关键．20．（5分）某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表代码和谁一起生活频数频率A 父母4200 0.7B 爷爷奶奶660 aC 外公外婆600 0.1D 其它 b 0.09合计6000 1请根据上述信息，回答下列问题：（1）a=0.11，b=540；（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是36°；（3）若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有9000人．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．专题：计算题．分析：（1）由表格中的总计减去其它的数字，即可求出a与b的值；（2）由和外公外婆一起生活的学生的频率为0.1，乘以360度即可得到结果；（3）求出不与父母一起生活学生的频率，乘以30000即可得到结果．解答：解：（1）根据表格得：a=1﹣（0.7+0.1+0.09）=0.11，b=6000﹣（4200+660+600）=540；（2）根据题意得：和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是360°×0.1=36°；（3）根据题意得：30000×（1﹣0.7）=9000（人），则估计不与父母一起生活的学生有9000人．故答案为：（1）0.11；540；（2）36°；（3）9000．点评：此题考查了频数（率）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．（5分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论；（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明OD⊥CD即可；（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴=，即CD2=CA•CB；（2）证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥CD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C，∴Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122，解得x=5．即BE的长为5．点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．22．（5分）阅读下列材料：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时的值是多少．在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，=；（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为3，此时=；（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为，此时=．考点：相似形综合题；平行线的判定；平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：阅读型；探究型．分析：（1）易证四边形PCBQ是矩形，由条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而得到的值．（2）由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．可以证到四边形PCBQ是矩形．从而可以得到PQ=BC=3，PC=QB=EP，由AE=nPA可以用AP表示AC，从而求出的值．（3）由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．过点C作CH⊥AB，垂足为H，可以证到四边形PHCQ是矩形，从而有QC=PH，PQ=HC．由AE=nPA可以用AP表示EH．易证△AHC∽△ACB从而可以求出AH=，HC=，从而有PQ=HC=，EH=nPA+，则有EH=2（n+1）AP=nPA+，从而求出AP=，进而求出的值．解答：解：（1）如图2，∵四边形APBQ是平行四边形，∴AP∥BQ，AP=BQ．∵QP⊥AC，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠C=90°．∴PQ∥BC．∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，∴四边形PCBQ是矩形．∴QB=PC．∴AP=PC．∴=．故答案为：．（2）如图5，由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．∵QP⊥AC，∠ACB=90°，∴∠APQ=∠C=90°．∴PQ∥BC．∵四边形PBQE是平行四边形，∴EP∥BQ，EP=BQ．∵PC∥BQ，PQ∥BC，∠C=90°，∴四边形PCBQ是矩形．∴QB=PC，PQ=BC=3．∴EP=PC．∵AE=nPA，∴PC=EP=EA+AP=nPA+AP=（n+1）AP．∴AC=AP+PC=AP+（n+1）AP=（n+2）AP．∴==．故答案分别为：3、．（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，如图6，由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．∵QP⊥AB，CH⊥AB，∴∠APQ=∠AHC=90°．∴PQ∥HC．∵四边形PCQE是平行四边形，∴EP∥CQ，EP=CQ．∵PH∥CQ，PQ∥HC，∠PHC=90°，∴四边形PHCQ是矩形．∴QC=PH，PQ=HC．∴EP=PH．∵AE=nPA，∴EP=EA+AP=nPA+AP=（n+1）AP．∴EH=2EP=2（n+1）AP．∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴AB=5．∵∠HAC=∠CAB，∠AHC=∠ACB=90°，∴△AHC∽△ACB．∴==．∵BC=3，AC=4，AB=5，∴==．∴AH=，HC=．∴PQ=HC=，EH=AE+AH=nPA+．∴EH=2（n+1）AP=nPA+．∴（2n+2﹣n）AP=．∴AP=．∴==．故答案分别为：、．点评：本题考查了平行线之间的距离、平行线的判定、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，具有一定的综合性；本题还考查了阅读能力，体现了自主探究与合作交流相结合的新课程理念，是一道好题．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）如图，二次函数y=x2+bx+c经过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）．（1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数y=4x+m的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G，如果直线y=4x+n与图象G有3个公共点，求n的值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）把（﹣1，0）和点（0，﹣3）代入函数表达式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）联立两函数解析式消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，再根据方程有两个相等的实数根，△=0列式求解得到m的值，再求出x的值，然后求出y的值，从而得到公共点的坐标；（3）根据轴对称性写出翻折部分的二次函数解析式，再根据直线与图象有3个公共点，①联立直线与翻折后的抛物线的解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根，②直线经过抛物线与y轴的交点．解答：解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入到y=x2+bx+c中，得，解得，所以y=x2﹣2x﹣3；（2）由题意得：，消掉y整理得，x2﹣6x﹣（3+m）=0，∴△=（﹣6）2+4（3+m）=0，解得m=﹣12，此时，x1=x2=﹣=3，y=4×3﹣12=0，∴m=﹣12，公共点为（3，0）；（3）原抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，原抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线：y=x2+2x﹣3（x≥0），由，得x2﹣2x﹣3﹣n=0，△=（﹣2）2+4（3+n）=0，解得n=﹣4，当直线y=4x+n经过点（0，﹣3）时，直线与图象G有3个公共点，把（0，﹣3）代入到y=4x+n中，得n=﹣3，综上所述，n=﹣3或﹣4．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式并利用根的判别式求交点，难点在于（3）判断出有三个公共点时的情况．24．（7分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．（1）线段BE与AF的位置关系是互相垂直，=．（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角a的度数．考点：几何变换综合题．分析：（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，进而得出BH=﹣1，DH=3﹣，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．解答：解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴AC=2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴=；故答案为：互相垂直；；（2）（1）中结论仍然成立．证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，∴EC=BC，FC=AC，∴==，∵∠BCE=∠ACF=α，∴△BEC∽△AFC，∴===，∴∠1=∠2，延长BE交AC于点O，交AF于点M∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2∴∠BCO=∠AMO=90°∴BE⊥AF；（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°过点D作DH⊥BC于H∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，∴BH=﹣1，DH=3﹣，又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣，∴CH=BH，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，∴α=180°﹣45°=135°．点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出△BEC∽△AFC是解题关键．25．（8分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+bx（b＞2）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．连结CB，CP．（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB′P′，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B′P′（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用抛物线y=﹣x2+4x，求出点A的坐标及BC的长，（2）过点C作CD⊥x轴于点D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．（3）利用抛物线y=﹣x2+6x，求出BC，PC及EP的长，再分两种情况①当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，②当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，求出线段EM长度的取值范围．解答：解：（1）∵b=4，∴抛物线y=﹣x2+4x，在y=﹣x2+4中，令y=0，得﹣x2+4x=0，∴x1=0，x2=4∴A（4，0）令x=1，得y=3∴B（1，3）∵对称轴x=﹣=2∴C（3，3）∴BC=2（2）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，∴∠BCP=∠DCA，又∵∠CBP=∠CDA=90°∴△CBP∽△CDA∴=在y=﹣x2+bx中，令x=1，则y=b﹣1∴B（1，b﹣1）又∵对称轴x=﹣=，∴BC=2（﹣1）=b﹣2，∴C（b﹣1，b﹣1），∴CD=b﹣1，BC=b﹣2，DA=ON=1，BP=b﹣1﹣=﹣1，∴=，∴b=3．（3）∵b=6，∴抛物线y=﹣x2+6x在y=﹣x2+6x中，令x=1，得y=5∴B（1，5）∵对称轴x==3∴C（5，5）∴BC=4，∵P（1，），∴P（1，3），∴BP=5﹣3=2，∴PC==2∵CP与抛物线对称轴的交点为E，∴EP=EC=PC=，①如图2，当BC在CP上时，且M点与B′点重合时线段EM最短，∴EM=EP﹣（PC﹣BC）=﹣（2﹣4）=4﹣．②如图3，当BC在PC延长线上时，且M点与P′点重合时线段EM最长，EM=EC+P′C=+2=3．∴4﹣≤EM≤3．点评：本题主要考查二次函数的综合题，解题的关键是数形结合找出EM取最大值及最小值时三角形CB′P′的位置．。

北京市丰台区2019-2020学年中考数学二模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法中，正确的是( )A．两个全等三角形，一定是轴对称的B．两个轴对称的三角形，一定是全等的C．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形2．等式33=11x xxx--++成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．3．如图是几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．三棱柱D．三棱锥4．若抛物线y＝x2－(m－3)x－m能与x轴交，则两交点间的距离最值是（）A．最大值2，B．最小值2 C．最大值22D．最小值225．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF 为折痕，则sin∠BED的值是（）A．53B．35C．22D．236．统计学校排球队员的年龄，发现有12、13、14、15等四种年龄，统计结果如下表：年龄（岁）12 13 14 15A．13、15、14 B．14、15、14 C．13.5、15、14 D．15、15、157．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）A．甲种方案所用铁丝最长B．乙种方案所用铁丝最长C．丙种方案所用铁丝最长D．三种方案所用铁丝一样长:学*科*网]8．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相平分C．对角线相等D．对边相等9．如果向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作（）A．+8km B．﹣8km C．+14km D．﹣2km10．下列各式中，正确的是（）A．﹣（x﹣y）=﹣x﹣y B．﹣（﹣2）﹣1=12C．﹣x xy y-=-D．3882÷=11．若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2xx y+-B．22yxC．3223yxD．222()yx y-12．某班为奖励在学校运动会上取得好成绩的同学，计划购买甲、乙两种奖品共20件．其中甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元．如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元，求甲、乙两种奖品各购买了多少件．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件．依题意，可列方程组为（）A．204030650x yx y+=⎧⎨+=⎩B．204020650x yx y+=⎧⎨+=⎩C．203040650x yx y+=⎧⎨+=⎩D．704030650x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图,在△ABC中,AB≠AC．D,E分别为边AB,AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:______,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)14．计算：|﹣5|﹣9=_____．15．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表所示： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y…﹣8﹣31…当y ＜﹣3时，x 的取值范围是_____． 16．分解因式：2a 4﹣4a 2+2＝_____．17．2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为_______________.18．长城的总长大约为6700000m ，将数6700000用科学记数法表示为______三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）综合与探究 如图，抛物线y=﹣2323333x x -+与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过B ，C 两点，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，连接CM ，将线段MC 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MD ，连接CD ，BD ．设点M 运动的时间为t （t ＞0），请解答下列问题：（1）求点A 的坐标与直线l 的表达式；（2）①直接写出点D 的坐标（用含t 的式子表示），并求点D 落在直线l 上时的t 的值； ②求点M 运动的过程中线段CD 长度的最小值；（3）在点M 运动的过程中，在直线l 上是否存在点P ，使得△BDP 是等边三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．会；C．有时会），绘制了两幅不完整的统计图（如图）（1）这次被抽查的学生共有______人，扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为______；（2）补全两个统计图；（3）如果该校学生共有2000人，请估计“每天都会节约粮食”的学生人数；（4）若不节约零食造成的浪费，按平均每人每天浪费5角钱计算，小江认为，该校学生一年（365天）共将浪费：2000×20%×0.5×365=73000（元），你认为这种说法正确吗？并说明理由．21．（6分）先化简222211(1)11x x xxx x-+-÷-+--，然后从﹣5＜x＜3的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E做直线l∥BC．（1）判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长．23．（8分）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加109m%小时，求m的值．百分率；经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．26．（12分）武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣．校教务处在九年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“ B-比较喜欢”、“ C-不太喜欢”、“ D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计．现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是，图②中A所在扇形对应的圆心角是；（3）若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？27．（12分）解方程21=122xx x---参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）解：A. 两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；B. 两个轴对称的三角形，一定全等，正确；C. 三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误；D. 三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误.故选B.2．B【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．【详解】由题意可知：3010xx-≥⎧⎨+>⎩,解得：3x…,故选：B．【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.3．C【解析】分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱，故选C．点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．4．D【解析】设抛物线与x轴的两交点间的横坐标分别为：x1，x2，则两交点间的距离d=|x 1-x 2|=2221212()4(3)429x x x x m m m m +-=-+=-+=2(1)8m -+ ,∴m=1时，d min =22． 故选D. 5．B 【解析】 【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF ≌△AEF ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF ，设CD=1，CF=x ，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解． 【详解】∵△DEF 是△AEF 翻折而成， ∴△DEF ≌△AEF ，∠A=∠EDF ， ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF ，设CD=1，CF=x ，则CA=CB=2， ∴DF=FA=2-x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得， CF 2+CD 2=DF 2， 即x 2+1=（2-x ）2， 解得：x=34， ∴sin ∠BED=sin ∠CDF=35CF DF =． 故选B ． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中． 6．B根据加权平均数、众数、中位数的计算方法求解即可. 【详解】122134146158=142468x ⨯+⨯+⨯+⨯=+++，15出现了8次，出现的次数最多，故众数是15，从小到大排列后，排在10、11两个位置的数是14，14，故中位数是14. 故选B. 【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数的意义．数据x 1、x 2、……、x n 的加权平均数：112212............n nnw x w x w x x w w w +++=+++（其中w 1、w 2、……、w n 分别为x 1、x 2、……、x n 的权数）.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 7．D 【解析】 试题分析：解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b ， 乙所用铁丝的长度为：2a+2b ， 丙所用铁丝的长度为：2a+2b ， 故三种方案所用铁丝一样长． 故选D ．考点：生活中的平移现象 8．C 【解析】试题分析：举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可． 解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等， 故选C ． 9．B正负数的应用，先判断向北、向南是不是具有相反意义的量，再用正负数表示出来【详解】解：向北和向南互为相反意义的量．若向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作﹣8km．故选：B．【点睛】本题考查正负数在生活中的应用．注意用正负数表示的量必须是具有相反意义的量．10．B【解析】【分析】A.括号前是负号去括号都变号；B负次方就是该数次方后的倒数，再根据前面两个负号为正；C. 两个负号为正；D.三次根号和二次根号的算法．【详解】A选项，﹣（x﹣y）=﹣x+y，故A错误；B选项，﹣（﹣2）﹣1=12，故B正确；C选项，﹣x xy y-=，故C错误；D=2÷2=，故D错误．【点睛】本题考查去括号法则的应用，分式的性质，二次根式的算法，熟记知识点是解题的关键．11．D【解析】【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，B 、22629y yx x≠，错误； C 、3322542273y y x x≠，错误； D 、()()22221829y y x y x y --＝，正确；故选D ． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心． 12．A 【解析】 【分析】根据题意设未知数,找到等量关系即可解题,见详解. 【详解】解：设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件．依题意，甲、乙两种奖品共20件,即x+y=20, 购买甲、乙两种奖品共花费了650元,即40x+30y=650,综上方程组为204030650x y x y +=⎧⎨+=⎩, 故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的列式,属于简单题,找到等量关系是解题关键. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．//DF AC 或BFD A ∠=∠ 【解析】因为3AC AD =，3AB AE =,A A ∠=∠ ，所以ADE ∆ACB ~∆ ,欲使FDB ∆与ADE ∆相似，只需要FDB ∆与ACB ∆相似即可，则可以添加的条件有：∠A=∠BDF ，或者∠C=∠BDF,等等，答案不唯一.【方法点睛】在解决本题目，直接处理FDB ∆与ADE ∆，无从下手，没有公共边或者公共角，稍作转化，通过ADE ∆ACB ~∆，FDB ∆得与ACB ∆相似.这时，柳暗花明，迎刃而解. 14．1 【解析】分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案．故答案为1.点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．15．x＜﹣4或x＞1【解析】【分析】观察表格求出抛物线的对称轴，确定开口方向，利用二次函数的对称性判断出x=1时，y=-3，然后写出y ＜-3时，x的取值范围即可．【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=-2，抛物线的开口向下，且x=1时，y=-3，所以，y＜-3时，x的取值范围为x＜-4或x＞1．故答案为x＜-4或x＞1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，观察图表得到y=-3时的另一个x的值是解题的关键．16．1（a+1）1（a﹣1）1．【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝1（a4﹣1a1+1）＝1（a1﹣1）1＝1（a+1）1（a﹣1）1，故答案为：1（a+1）1（a﹣1）1【点睛】本题主要考查提取公因式与公式法的综合运用，关键要掌握提取公因式之后，根据多项式的项数来选择方法继续因式分解，如果多项式是两项，则考虑用平方差公式；如果是三项，则考虑用完全平方公式．17．4610【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】60000小数点向左移动4位得到6，所以60000用科学记数法表示为：6×1，故答案为：6×1．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．6.7×106【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6700000用科学记数法表示应记为6.7×106，故选6.7×106.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数；表示时关键要正确确定a的值以及n的值.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）A（﹣3，0），y=（2）①D（t﹣t﹣3），②CD；（3）P（2，，理由见解析.【解析】【分析】（1）当y=0时，2x x+，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0），待定系数法可求直线l的表达式；（2）分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；（3）分当点M在AO上运动时，即0＜t＜3时，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，进行讨论可求P 点坐标．【详解】-+，解得x1=1，x2=﹣3，（1）当y=02x x∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），由解析式得C（0，设直线l 的表达式为y=kx+b ，将B ，C 两点坐标代入得b=3mk ﹣3，故直线l 的表达式为y=﹣3x+3；（2）当点M 在AO 上运动时，如图：由题意可知AM=t ，OM=3﹣t ，MC ⊥MD ，过点D 作x 轴的垂线垂足为N ，∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，∴∠MCO=∠DMN ，在△MCO 与△DMN 中，{MD MCDCM DMN COM MND=∠=∠∠=∠，∴△MCO ≌△DMN ，∴MN=OC=3，DN=OM=3﹣t ，∴D （t ﹣3+3，t ﹣3）；同理，当点M 在OB 上运动时，如图，OM=t ﹣3，△MCO ≌△DMN ，MN=OC=3，ON=t ﹣3+3，DN=OM=t ﹣3，∴D （t ﹣3+3，t ﹣3）．综上得，D （t ﹣3+3，t ﹣3）．将D 点坐标代入直线解析式得t=6﹣3线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，∵M在AB上运动，∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=3，根据勾股定理得CD最小6；（3）当点M在AO上运动时，如图，即0＜t＜3时，∵tan∠CBO=OCOB3∴∠CBO=60°，∵△BDP是等边三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，3，NB=4﹣t3tan∠NBO=DN NB，43t--3t=33经检验t=33是此方程的解，过点P作x轴的垂线交于点Q，易知△PQB≌△DNB，∴BQ=BN=4﹣t3=1，3OQ=2，P（23；同理，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，∵△BDP是等边三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣31=t﹣3tan∠NBD=DN NB，43t-+3t=33经检验t=33是此方程的解，t=33．故P（23．【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角函数，分类思想的运用，方程思想的运用，综合性较强，有一定的难度．20．（1）50 ，108°（2）见解析；（3）600人；（4）不正确，见解析.【解析】【分析】（1）由C 组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A 组人数所占比例可得；（2）根据百分比之和为1求得A 组百分比补全图1，总人数乘以B 的百分比求得其人数即可补全图2； （3）总人数乘以样本中A 所占百分比可得；（4）由样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%即可作出判断．【详解】（1）这次被抽查的学生共有25÷50%=50人， 扇形统计图中，“A 组”所对应的圆心度数为360°×1550=108°， 故答案为50、108°；（2）图1中A 对应的百分比为1-20%-50%=30%，图2中B 类别人数为50×20%=5， 补全图形如下：（3）估计“每天都会节约粮食”的学生人数为2000×30%=600人； （4）不正确， 因为在样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%，所以这种说法不正确.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．21．12【解析】【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，5x 3义的整数作为x的值代入即可解答本题．【详解】解：÷（﹣x+1）====，当x=﹣2时，原式=1122-=-．【点睛】本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（1）直线l与⊙O相切；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）连接OE、OB、OC．由题意可证明，于是得到∠BOE=∠COE，由等腰三角形三线合一的性质可证明OE⊥BC，于是可证明OE⊥l，故此可证明直线l与⊙O相切；（2）先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF，然后再证明∠CBE=∠BAF，于是可得到∠EBF=∠EFB，最后依据等角对等边证明BE=EF即可；（3）先求得BE的长，然后证明△BED∽△AEB，由相似三角形的性质可求得AE的长，于是可得到AF 的长．试题解析：（1）直线l与⊙O相切．理由如下：如图1所示：连接OE、OB、OC．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．∴．∴∠BOE=∠COE．又∵OB=OC ，∴OE ⊥BC ．∵l ∥BC ，∴OE ⊥l ．∴直线l 与⊙O 相切．（2）∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ．又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE ，∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF ．又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF ，∴∠EBF=∠EFB ．∴BE=EF ．（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=1．∵∠DBE=∠BAE ，∠DEB=∠BEA ，∴△BED ∽△AEB ． ∴，即，解得；AE=，∴AF=AE ﹣EF=﹣1=．考点：圆的综合题．23．（1）1600千米；（2）1【解析】试题分析：（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时”，分别得出等式组成方程组求出即可；（2）根据题意得出方程（80+120）（1-m%）（8+109m%）=1600，进而解方程求出即可． 试题解析：（1）设原时速为xkm/h ，通车后里程为ykm ，则有： ()()8120816320x y x y ⎧+⎪⎨++⎪⎩＝＝ ， 解得：801600x y ⎧⎨⎩＝＝ ． 答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+109m%）=1600， 解得：m 1=1，m 2=0（不合题意舍去），答：m 的值为1．24．（1）两次下降的百分率为10%； （2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%； （2）设每天要想获得 110 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.1，2y ＝2.1，∵有利于减少库存，∴y ＝2.1．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 110 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.1 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．25．证明见解析【解析】【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD//BC ，AD=BC ，∵AE=CF∴AD-AE=BC-CF即DE=BF∴四边形BFDE是平行四边形.26．（1）答案见解析；（2）B，54°；（3）240人．【解析】【分析】（1）根据D程度的人数和所占抽查总人数的百分率即可求出抽查总人数，然后利用总人数减去A、B、D 程度的人数即可求出C程度的人数，然后分别计算出各程度人数占抽查总人数的百分率，从而补全统计图即可；（2）根据众数的定义即可得出结论，然后利用360°乘A程度的人数所占抽查总人数的百分率即可得出结论；（3）利用960乘C程度的人数所占抽查总人数的百分率即可．【详解】解：（1）被调查的学生总人数为65%120÷=人，C程度的人数为120(18666)30-++=人，则A的百分比为18100%15%120⨯=、B的百分比为66100%55%120⨯=、C的百分比为30100%25%120⨯=，补全图形如下：（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是B、图②中A所在扇形对应的圆心角是36015%54︒⨯=︒．故答案为：B；54︒；（3）该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有96025%240⨯=人答：该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键．27．x=-1．【解析】【分析】【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1解这个方程，得x= -1检验：x= -1时，x-2≠0∴原方程的解是x= -1首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。

2019年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）含详细解析一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x∈Z|x2≤4}，集合B={x|−1<x<3}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，2，3}D. {x|−1<x≤2}2.若x，y满足{2x−y≤0,x+y≤3,x≥0,则x−y的最大值为()A. 3B. 0C. −1D. −33.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. 16B. 43C. 83D. 44.已知i是虚数单位，a∈R，则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[0,2]，那么输出的y值不可能为()A. −1B. 0C. 1D. 26. 已知函数f(x)=sin(2x +θ)(−π2<θ<π2)的图象过点P(0,12)，现将y =f(x)的图象向左平移t(t >0)个单位长度得到的函数图象也过点P ，那么( )A. θ=π3，t 的最小值为π3B. θ=π3，t 的最小值为πC. θ=π6，t 的最小值为π3D. θ=π6，t 的最小值为π 7. 已知点P 是边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，若|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是( ) A. 2√2−1 B. 2√2 C. 2√2+1 D. 2√2+28. 某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车( )A. 12辆B. 11辆C. 10辆D. 9辆二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 双曲线x 2−y 22=1的离心率为______．10. 若在区间[−1,4]上随机选取一个数x ，则事件x ≥1发生的概率为______．11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，能够说明“若数列{a n }是递减数列，则数列{S n }是递减数列”是假命题的数列{a n }的一个通项公式为______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =cosα,y =1+sinα(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ−1=0，圆心C 到直线l 的距离为______．13. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有______种．14. 已知点P ，Q 分别是抛物线C ：y 2=4x 和直线x +6=0上的动点，点M 是圆K ：(x −1)2+y 2=1上的动点．①抛物线C 的焦点坐标为______；②|PQ|2|PM|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且√3acosB =bsinA ．(Ⅰ)求B 的值；(Ⅱ)求sinA +sinC 的最大值．16. 频率/组距75 80 85 90 95 100成绩/分0.060.050.040.030.02某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．[80,85)6[85,90)16[90,95)14[95,100]2规定成绩不低于90分为“优秀”．(Ⅰ)估计高一年级知识竞赛的优秀率；(Ⅱ)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；(Ⅲ)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差DX，DY的大小关系．(只需写出结论)17.在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π，AB=2AD=2CD=4，P为AB的中3点，线段AC与DP交于O点(如图1).将△ACD沿AC折起到△ACD′的位置，使得二面角B−AC−D′为直二面角(如图2)．(Ⅰ)求证：BC//平面POD′；(Ⅱ)求二面角A−BC−D′的大小；(Ⅲ)线段PD′上是否存在点Q，使得CQ与平面BCD′所成角的正弦值为√6？若存8的值；若不存在，请说明理由．在，求出PQPD′18.已知函数f(x)=lnx+ax2−(2a+1)x+1(a≥0)．(Ⅰ)当a=0时，求函数f(x)在区间[1,+∞)上的最大值；(Ⅱ)函数f(x)在区间(1,+∞)上存在最小值，记为g(a)，求证：g(a)<14a−1．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，长轴长为4，离心率为12.过右焦点F的直线l交椭圆E于C，D两点(均不与A，B重合)，记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)是否存在常数λ，当直线l变动时，总有k1=λk2成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20.在数列{a n}中，记P(n)=|a1−a2|+|a2−a3|+⋯+|a n−1−a n|(n∈N且n≥2)．(Ⅰ)若对任意的n∈N且n≥2，都有P(n)≤a n−a1，则称数列{a n}具有性质P．①请写出具有性质P的一个数列的前四项；②设数列{a n}具有性质P，证明：a n−1≤a n；(Ⅱ)若存在常数M，对任意的n∈N且n≥2，都有P(n)≤M，则称数列{a n}是Ω数列．设S n是数列{b n}的前n项和，且{S n}是Ω数列，证明：数列{b n}是Ω数列．答案和解析1.【答案】A【解析】解：解不等式x2≤4得：−2≤x≤2，又x∈Z，所以A={−2,−1,0,1,2}，又B={x|−1<x<3}，所以A∩B={0,1,2}，故选：A．由二次不等式的解法及交集的运算得：A={−2,−1,0,1,2}，又B={x|−1<x< 3}，所以A∩B={0,1,2}，得解．本题考查了二次不等式的解法及交集的运算，属简单题．2.【答案】B【解析】解：令z=x−y，则y=x−z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点O(0,0)时，x−y取得最大值0，故选：B．令z=x−y，从而化简为y=x−z，作平面区域，结合图象求解即可．本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．3.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的三棱锥P−ABC，且PC⊥底面ABC，AC⊥BC；PC=BC=2，AC=2；所以，该三棱锥的体积为V=13×12×2×2×2=43．故选：B．根据几何体的三视图，得出该几何体底面为直角三角形的三棱锥，且侧棱垂直于底面，求出它的体积即可．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：a∈R，(a+i)2=a2−1+2ai为纯虚数，则a2−1=0，2a≠0，解得a=±1．∴a∈R，则“a=1”是“(a+i)2为纯虚数”的充分不必要条件．故选：A．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查程序框图的识别和应用，结合程序求出对应函数的值域是解决本题的关键．根据程序框图，求出函数值域进行计算即可．【解答】解：当0≤x<1时，y=2x∈[0,2)，当1≤x≤2时，y=x2−2x=(x−1)2−1∈[−1,0]，综上−1≤y<2，故y不可能的值是2，故选：D．6.【答案】C【解析】解：函数f(x)=sin(2x+θ)(−π2<θ<π2)的图象过点P(0,12)，则：sinθ=12，解得：θ=π6．所以：f(x)=sin(2x+π6)．将y=f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度得到的函数图象也过点P，故：g(x)=sin(2x+2t+π6)，所以：sin(2t+π6)=12，所以t的最小值为π3．故选：C．首先利用三角函数关系式的恒等变换求出θ的值，进一步利用关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的运算和几何应用，属中档题．由平面向量的运算结合圆的性质即可得解．【解答】解：由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 则|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 即点P 在以点C 为圆心，1为半径的圆周上运动，由点与圆的有关性质得|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值√22+22+1=2√2+1， 故选：C ．8.【答案】B【解析】解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为13.5÷(1.5+0.35)≈7.3， 所以这样至少能装到第7辆卡车(包括单独留出)之后还有剩余；①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走， 此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，每组不超过0.35×4=1.4吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过0.35×4=1.4吨，再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过1.5×8=12吨货箱， 所剩货箱不超过13.5−12=1.5吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，所以一共最多需要11辆卡车；综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；然后按同样办法装第2辆、第3辆、…，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；这样装车就可用8+1+2=11辆卡车1次把这批货箱运走．故选：B ．根据题意，建立适当的数学模型，按照一定的顺序把货箱装入每辆卡车， 从而求出装入这批货物的货箱所需要的卡车数．本题考查了逻辑推理的实际应用问题，是难题．9.【答案】√3【解析】解：双曲线x 2−y 22=1，a =1，b =√2，∴c =√3，∴双曲线x 2−y 22=1的离心率为e =c a =√31=√3，故答案为：√3．根据双曲线的方程为标准形式，求出a 、b 、c 的值，即得离心率c a 的值．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的方程化为标准形式是解题的突破口． 10.【答案】35【解析】【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是注意测度比为长度比，是基础题．直接利用测度比为长度比求解．【解答】解：在区间[−1,4]上随机选取一个数x ，x ≥1的概率P =4−14−(−1)=35．故答案为：35． 11.【答案】a n =−2n +7(答案不唯一)【解析】解：由题意，如果递减的等差数列，若其前k(k ≥2,k ∈N ∗)项为正项，显然该数列的前n 项和S n 是先增后减，而不是递减的．故填：a n =−2n +7．对于递减的等差数列，若其前k(k ≥2,k ∈N ∗)项为正项，显然该数列的前n 项和S n 是先增后减，而非递减的．本题考查了等差数列的单调性，等差数列前n 项和的单调性，属于基础题． 12.【答案】√2【解析】解：由{x =cosαy =1+sinα得圆C 的普通方程为：x 2+(y −1)2=1，由ρcosθ−ρsinθ−1=0得x −y −1=0，所以圆心(0,1)到直线的距离d =√1+1=√2．故答案为：√2．先将圆和直线化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可求得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．13.【答案】36【解析】解：根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A 22=2种情况，②，将这个整体与丁戊全排列，有A 33=6种安排方法，③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有A 31=3种安排方法，不同的安排方案共有2×6×3=36种；故答案为：36．根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出．本题考查了分类和分步计数原理，关键是分清是分步还是分类，属于中档题．14.【答案】(1,0)16【解析】解：y2=4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|=|PF|+1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x=−6，可得|PQ|=|PF|+5，由|PQ|2|PM|≥(|PF|+5)2|PF|+1=(|PF|+1)+16|PF|+1+8≥2√16+8=16，当且仅当|PF|=3时上式取得最小值16．故答案为：(1,0)，16．求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得要使|PM|取得最大，可得PM经过点F，即|PM|=|PF|+1，要使|PQ|取得最小，PQ必须垂直于直线x=−6，可得|PQ|=|PF|+5，再由基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系，以及基本不等式的运用，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题．15.【答案】解：(Ⅰ)因为√3acosB=bsinA，由正弦定理可得√3sinAcosB=sinBsinA．因为在△ABC中，sinA≠0，所以√3cosB=sinB．因为0<B<π，所以B=π3．(Ⅱ)因为A+B+C=π，所以sinA+sinC=sinA+sin(A+π3)．=sinA+(12sinA+√32cosA)．=√3sin(A+π6)．因为0<A<2π3，所以π6<A+π6<5π6．当A+π6=π2，即A=π3时，sinA+sinC有最大值√3．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得√3sinAcosB=sinBsinA，结合sinA≠0，可求√3cosB=sinB，结合范围0<B<π，可求B的值．(Ⅱ)由三角形的内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可求sinA+sinC=√3sin(A+π6)，结合范围0<A<2π3，利用正弦函数的性质可求其最大值．16.【答案】解：(Ⅰ)高一年级知识竞赛的优秀率为(0.04+0.02)×5=0.3．所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%．(Ⅱ)在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.3=0.7；=0.4，选中成绩不优秀学生的概率在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为14+240为1−0.4=0.6．ξ的所有可能取值为0，1，2；P(ξ=0)=0.7×0.6=0.42；P(ξ=1)=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46；P(ξ=2)= 0.3×0.4=0.12．P012ξ0.420.460.12=1)=0.3，P(Y=0)=0.6，P(Y=1)=0.4，∴DX=0.3×0.7=0.21，DY=0.6×0.4=0.24，∴DX<DY．【解析】(I)计算频率分别直方图最后两个小矩形的面积即可得出优秀率；(II)分别计算两年级的优秀率，利用相互独立事件的概率公式得出ξ的分布列；(III)计算DX，DY得出结论．本题考查了频率分布直方图，频率分布表，离散型随机变量的分布列与方差计算，属于中档题．17.【答案】(共14分)证明：(Ⅰ)因为在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD=4，P为AB的中点，所以CD//AP，CD=AP，所以四边形APCD为平行四边形，………………(1分)因为线段AC与DP交于O点，所以O为线段AC的中点，所以△ABC中，OP//BC，………………(3分)因为OP⊂平面POD′，BC⊄平面POD′，所以BC//平面POD′.………………(4分)解：(Ⅱ)因为平行四边形APCD中，AP=AD=2，所以四边形APCD是菱形，AC⊥DP，垂足为O，所以AC⊥OD′，AC⊥OP，因为OD′⊂平面ACD′，OP⊂平面ACB，所以∠D′OP是二面角B−AC−D′的平面角，因为二面角B−AC−D′为直二面角，，即OP⊥OD′．所以∠D′OP=π2可以如图建立空间直角坐标系O−xyz，其中O(0,0，0)，………………(6分)，因为在图1菱形APCD中，∠BAD=π3所以OD=OP=1，OA=OC=√3．所以B(−√3,2，0)，C(−√3,0，0)，D′(0,0，1)．所以BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−2,1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0). ………………(7分) 设n⃗ =(x,y ，z)为平面BCD′的法向量， 因为{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅BD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{2y =0,√3x −2y +z =0.取x =1，得n ⃗ =(1,0，−√3)， 平面ABC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,0，1)，………………(8分) 所以cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−√32，………………(9分) 由图可知，二面角A −BC −D′为锐二面角，所以二面角A −BC −D′的大小为π6. ………………(10分)(Ⅲ)线段PD′上存在点Q ，使得CQ 与平面BCD′所成角的正弦值为√68，………………(11分)设PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)， 因为CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)，PD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 所以CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1−λ,λ). ………………(12分) 因为cos <CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3(1−λ)2√2λ2−2λ+4=√68，………………(13分) 由0≤λ≤1，解得λ=13．所以线段PD′上存在点Q ，且PQ PD′=13时，使得CQ 与平面BCD′所成角的正弦值为√68.………………(14分)【解析】(Ⅰ)推导出CD//AP ，CD =AP ，从而四边形APCD 为平行四边形，推导出OP//BC ，由此能证明BC//平面POD′．(Ⅱ)建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量能求出二面角A −BC −D′的大小．(Ⅲ)设PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，利用向量法能求出线段PD′上存在点Q ，且PQ PD′=13时，使得CQ 与平面BCD′所成角的正弦值为√68． 本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)当a =0时，f(x)=lnx −x +1，则f′(x)=1x −1，因为x ∈[1,+∞)，所以f′(x)≤0．所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递减，所以f(x)区间[1,+∞)上最大值为f(1)=0．(Ⅱ)由题可知f′(x)=1x +2ax −(2a +1)=2ax 2−(2a+1)x+1x =(2ax−1)(x−1)x ．①当a =0时，由(Ⅰ)知，函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，所以函数f(x)无最小值，此时不符合题意；②当a ≥12时，因为x ∈(1,+∞)，所以2ax −1>0.此时函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)无最小值，此时亦不符合题意；③当0<a <12时，此时1<12a ．函数f(x)在区间(1,12a )上单调递减，在区间(12a ,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(12a )=ln 12a −14a ，即g(a)=ln 12a −14a ．要证g(a)<14a −1，只需证当0<a <12时，g(a)−14a +1<0成立．即证ln 12a −12a +1<0(0<a <12)，设t =12a ，ℎ(t)=lnt −t +1(t >1)，由(Ⅰ)知ℎ(t)<ℎ(1)=0，即g(a)−14a +1<0成立．所以g(a)<14a −1．【解析】(I)对f(x)求导，根据f′(x)的符号得出f(x)的单调性，进而求出f(x)的最大值；(II)讨论a 的范围，得出f(x)的单调性，进而得出f(x)的最小值g(a)的函数解析式，再构造函数证明不等式即可．本题考查了函数单调性的判断，考查分类讨论思想，考查函数单调性与不等式的证明，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由题知{2a =4c a =12a 2=b 2+c 2解得{a =2,b =√3． 所以求椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)知A(−2,0)，B(2,0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1．由{x =1x 24+y 23=1解得{x =1,y =32．或{x =1,y =−32． 得k 1=12,k 2=32或k 1=−12,k 2=−32；均有k 1=13k 2．猜测存在λ=13．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2). 由{y =k(x −1),x 24+y 23=1．得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0． 则{x 1+x 2=8k 24k 2+3,x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故k 1−13k 2=y 1x 1+2−y 23(x 2−2)=3(x 2−2)y 1−(x 1+2)y 23(x 1+2)(x 2−2)=k[2x 1x 2−5(x 1+x 2)+8]3(x 1+2)(x 2−2)=k[8(k 2−3)4k 2+3−40k 24k 2+3+8]3(x 1+2)(x 2−2)=0． 所以存在常数λ=13使得k 1=13k 2恒成立．【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．(Ⅰ)由题意由题知{2a =4c a =12a 2=b 2+c 2解得{a =2,b =√3．，即可求得椭圆方程； (Ⅱ)根据椭圆的准线方程，设出直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C 及D ，存在λ=13，使得k 1=λk 恒成立． 20.【答案】解：(Ⅰ)①数列{a n }中，记P(n)=|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+⋯+|a n−1−a n |(n ∈N 且n ≥2)．对任意的n ∈N 且n ≥2，都有P(n)≤a n −a 1，则称数列{a n }具有性质P ．所以：利用赋值法得到：a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4．证明：②假设a i (i ∈N ∗)是数列{a n }中，使得a i−1>a i 成立的最小的项，则|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+⋯+|a i−1−a i |=|a i−1−a i |+a i−1−a 1≤a i −a 1 所以a i−1−a i +a i−1≤a i ，所以a i−1≤a i ，这与a i−1>a i 矛盾，所以假设不成立．所以a n−1≤a n ．证明：(Ⅱ)因为{S n }是Ω数列，所以存在常数M ，对于任意的n ∈N 且n ≥2，都有|S 1−S 2|+|S 2−S 3|+⋯+|S n−1−S n |≤M ，因为S n 是数列{b n }的前n 项和，所以b n ={S 1,n =1,S n −S n−1,n ≥2.所以|b 2|+|b 3|+⋯+|b n |≤M ，因为|b 1−b 2|+|b 2−b 3|+⋯+|b n−1−b n |≤|b 1|+|b 2|+|b 2|+|b 3|+⋯+|b n−2|+|b n−1|+|b n−1|+|b n |=2(|b 2|+|b 3|+⋯+|b n−1|)+|b 1|+|b n |≤2M +|b 1|−|b n |≤2M +|b 1|. 所以数列{b n }是ΩΩ数列．【解析】(Ⅰ)①直接利用数列的性质的应用求出结果．②利用反证法进行证明．(Ⅱ)利用信息和绝对值不等式的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的性质的应用，信息题的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．。

丰台区2018—2019 学年度第二学期综合练习（二）高三数学（文科）一、选择题（共8 小题，每题5 分，共40 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B B A D C C D 二、填空题（共 6 小题，每题5 分，共30 分。

有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分）9．3 10 ．35 11 ．412 ．知足a1, a2 0, d 0( 答案不独一) 13 ．5 5( , )2 214 ．6；(3,3 2)三、解答题（共 6 小题，共80 分）15．（共13 分）解：（Ⅰ）由于a1 1，a n 1 e a n (n N ) ，因此数列a是1为首项，e为公比的等比数列，n因此n 1a e . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n 1ln a ln e n 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分n因此n(n 1)T 0 1 2 L (n 1) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分n2因此1 1 1LT T T2 3 n2 2 2 2L1 2 2 3 3 4 n(n 1)1 1 1 1 1 1 12[(1 ) ( ) ( ) L ( )] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分2 23 34 n 1 n12(1 )n. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分1由于n 0，因此11 1n. 因此12(1 ) 2n即1 1 1L 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分T T T2 3 n16．（共13 分）解: （Ⅰ）由已知 f (x)图象得 A 2.3T 34 2，则T 2 .2T ，02 由于因此 1 . ⋯⋯⋯⋯2分由于0，2因此. ⋯⋯⋯⋯4分3因此( ) 2sin( + )f x x ．⋯⋯⋯⋯6分3（Ⅱ）由题可得：g( x) 2cos2 x ．⋯⋯⋯⋯8分故y g(x) 2sin 2x2cos2 x 2sin2 x2 2 sin(2 x+ ) ．⋯⋯⋯⋯10分43由于+2k ≤2x ≤+2k ，⋯⋯⋯⋯11分2 4 2因此5+ k ≤x≤+ k .8 8因此g(x) 的单一递减区间为5+ k , + k , k Z . ⋯⋯⋯⋯13 分8 817．（共13 分）解：（Ⅰ）高一年级知识比赛的达标率为1 0.03 5 0.85 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（Ⅱ）高一年级成绩为[95,100] 的有0.02 5 40 4 名，记为A ，A2 ，A3 ，A4 ，1高二年级成绩为[95,100] 的有 2 名，记为B ，B2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 61分选用 2 名学生的全部可能为：A A ，A1A3 ，A1 A4 ，A1B1 ，A1B2 ，A2 A3 ，A2 A4 ，A2B1 ，A2B2 ，A3A4 ，A3B1，1 2A B ，A4B1 ，A4B2 ，B1B2 ，共15 种；3 2此中 2 名学生来自于同一年级的有A A ，A1A3 ，A1A4 ，A2 A3 ，A2 A4 ，A3 A4 ，B1B2 ，1 2共7 种；⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分设2名学生来自于同一年级为事件 A ，所7P( A) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分15（Ⅲ）X X ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分1 218．（共14 分）解：（Ⅰ）证明：由于在菱形ABCD 中，A DC ，O为线段CD 的中点，3因此OD' AO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分由于平面AOD ' 平面ABCO ，平面AOD ' 平面ABCO AO ，OD' 平面AOD '，因此OD' 平面ABCO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分由于BC 平面ABCO ，因此OD' BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）证明：如图，取P为线段AD'的中点，连结OP ，PM ；由于在ABD'中，P，M 分别是线段AD'，BD' 的中点，1因此PM // AB ，PM AB2．由于O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a，AB // DC ，因此1 a OC CD ．2 21因此OC // AB ，OC AB2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分因此PM // OC ，PM OC ．因此四边形OCMP为平行四边形，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分因此CM // OP ，由于CM 平面AOD ' ，OP 平面AOD '，因此CM // 平面AOD '；⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分D'PM C OA B（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知OD' 平面ABCO ．因此OD ' 是四棱锥D ' ABCO的高．⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分31 3a 3由于V S底OD ' ，3 16 2因此a 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分19．（共14 分）2a 4,解：（Ⅰ）由题知ca12,解得ab2,3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分2 2 2a b c .2 2x y因此求椭圆E 的方程为4 31．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 A 2,0 , B 2,0当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1．x 1，x 1, x 1, 由 2 2x y 4 3 1.解得y32.或y32.得1 3 1 3 1k ,k或k1 ,k2 ；均有k1 k2 ．1 22 2 2 2 3猜想存在13．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y k x 1 ， C x y ，1, 1D x y ．2 ,2y k x 1，由 2 2x y 4 3 1.得 2 2 2 24k 3 x 8k x 4k 12 0．28kx x ,1 2 24k 3则24k 12x x .1 2 24k 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分故1 y y1 2k k1 23 x 2 3(x 2)1 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分3( x 2) y (x2) y2 1 1 23(x 2)( x 2)1 2k 2x x 5 x x 81 2 1 23(x 2)( x 2)1 2k2 28(k 3) 40k2 24k 3 4k 383(x 2)(x 2)1 20. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分因此存在常数131使得 1 2k k 恒建立⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分320．（共13 分）解：（Ⅰ）当a 3时， 3 2f ( x) x 3x ，2f '( x) 3x 6x 3x( x2) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分当x [0,2]时，f '(x) ≤0，因此 f (x) 在区间[0,2] 上单一递减．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分因此 f (x) 在区间[0,2] 上的最小值为f (2) 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）设过点P(1, f (1))的曲线y f (x) 的切线切点为(x ,y ) ，0 02f '( x) 3x 2ax， f (1) 1 a ，因此3 2y x ax ,0 0 02y (1 a) (3 x 2ax )(x 1).0 0 0 0因此 3 22x (a 3)x 2ax 1 a 0 ．0 0 0令 3 2g(x) 2x (a 3)x 2ax 1 a ，2则g (x) 6x 2(a 3)x 2a(x 1)(6 x2a) ，令g ( x) 0 得x 1或a x ，3a由于a 3，因此 1．3a ( ,1) (1, ) x 13 a3a( , )3g x + 0 0 +'( )g( x) ↗极大值↘极小值↗g( x) 的极大值为g(1) 0，ag( x) 的极小值为g( ) g(1) 0，3a因此g( x) 在( , )3上有且只有一个零点x 1．3 2 2 2g(a) 2a (a 3)a 2a 1 a (a 1) (a 1) 0，由于a因此g( x) 在( , )上有且只有一个零点．3因此g( x) 在R上有且只有两个零点．即方程 3 22x (a 3)x 2ax 1 a 0 有且只有两个不相等实根，0 0 0因此过点P(1, f (1))恰有 2 条直线与曲线y f (x) 相切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分（若用其余方法解题，请酌情给分）。

北京市丰台区2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（）A．28cm2B．27cm2C．21cm2D．20cm22．2018年10月24日港珠澳大桥全线通车，港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海洪湾，它是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，港珠澳大桥总长度55000米，则数据55000用科学记数法表示为（）A．55×105B．5.5×104C．0.55×105D．5.5×1053．的倒数是（）A．B．C．D．4．如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，10.55．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是( )A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜06．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶，连接CF并延长交AD的延长线于DF BC点E ，连接AC ．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°7．广西2017年参加高考的学生约有365000人，将365000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．3.65×103B ．3.65×104C ．3.65×105D ．3.65×1068．数轴上分别有A 、B 、C 三个点，对应的实数分别为a 、b 、c 且满足，|a|＞|c|，b•c ＜0，则原点的位置（ ）A ．点A 的左侧B ．点A 点B 之间C ．点B 点C 之间D ．点C 的右侧9．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，AB//CD ，130∠=o ，则2∠的大小是( )A ．30oB ．120oC ．130oD ．150o11．某车间20名工人日加工零件数如表所示： 日加工零件数 45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ） A ．5、6、5B ．5、5、6C ．6、5、6D ．5、6、612．下列命题中真命题是（ ）A ．若a 2=b 2,则a=bB ．4的平方根是±2C ．两个锐角之和一定是钝角D ．相等的两个角是对顶角 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．将点P （﹣1，3）绕原点顺时针旋转180°后坐标变为_____．14．化简:a b a b b a+--22＝ __________. 15．如图，正方形ABCD 边长为3，以直线AB 为轴，将正方形旋转一周．所得圆柱的主视图（正视图）的周长是_____．16．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A （﹣6，0），C （0，23）．将矩形OABC 绕点O 顺时针方向旋转，使点A 恰好落在OB 上的点A 1处，则点B 的对应点B 1的坐标为_____．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+4x 与x 轴交于点A ，点M 是x 轴上方抛物线上一点，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ，以MP 为对角线作矩形MNPQ ，连结NQ ，则对角线NQ 的最大值为_________．18．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是______千米．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，要修一个育苗棚，棚的横截面是Rt ABC V ，棚高 1.5m AB =，长10m d =，棚顶与地面的夹角为27ACB ∠=︒．求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin 270.45︒=，cos270.89︒=，tan 270.51︒=）20．（6分）如图，O e 是ABC V 的外接圆，AC 是O e 的直径，过圆心O 的直线PF AB ⊥于D ，交O e 于,E F ，PB 是O e 的切线，B 为切点，连接AP ，AF ．（1）求证：直线PA 为O e 的切线； （2）求证：24EF OD OP =⋅； （3）若6BC =，1tan 2F ∠=，求AC 的长． 21．（6分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y （件）与时间x （时）之间的函数图象如下图所示．（1）求甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数关系式． （2）求乙组加工零件总量a 的值．22．（8分）为节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计量,水价分为三个阶梯，价格表如下表所示： 某市自来水销售价格表 类别 月用水量（立方米） 供水价格（元/立方米） 污水处理费 （元/立方米） 居民生活用水阶梯一0~18（含18）1.901.00阶梯二 18~25（含25） 2.85 阶梯三25以上5.70（注：居民生活用水水价=供水价格+污水处理费）（1）当居民月用水量在18立方米及以下时，水价是_____元/立方米. （2）4月份小明家用水量为20立方米，应付水费为： 18×（1.90+1.00）+2×（2.85+1.00）=59.90（元）预计6月份小明家的用水量将达到30立方米，请计算小明家6月份的水费.（3）为了节省开支，小明家决定每月用水的费用不超过家庭收入的1%，已知小明家的平均月收入为7530元，请你为小明家每月用水量提出建议23．（8分）某商场，为了吸引顾客，在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动，凡购物满200元者，有两种奖励方案供选择：一是直接获得20元的礼金券，二是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色（如表）决定送礼金券的多少．球两红一红一白 两白 礼金券（元） 182418（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．（2）如果一名顾客当天在本店购物满200元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 24．（10分）计算22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭25．（10分）已知，抛物线L ：y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （-3,0），与y 轴交于点C （0,3）． （1）求抛物线L 的顶点坐标和A 点坐标．（2）如何平移抛物线L 得到抛物线L 1，使得平移后的抛物线L 1的顶点与抛物线L 的顶点关于原点对称？ （3）将抛物线L 平移，使其经过点C 得到抛物线L 2，点P （m ，n ）（m ＞0）是抛物线L 2上的一点，是否存在点P ，使得△PAC 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出抛物线L 2的表达式，若不存在，请说明理由．26．（12分）已知：如图，AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠.求证：BC DE =.27．（12分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D且BD＝2AD，过点D作DE⊥AC交BA延长线于点E，垂足为点F．（1）求tan∠ADF的值；（2）证明：DE是⊙O的切线；（3）若⊙O的半径R＝5，求EF的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则AB BD DF DC设DF=xcm，得到：68 = x6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．2．B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将度55000用科学记数法表示为5.5×1．故选B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．C【解析】【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．【详解】∵，∴的倒数是.故选C4．A【解析】【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9.故选A．【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．5．A【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞1．∵对称轴在y轴的左边，∴b2a-＜1．∴b＞1．∵图象与y轴的交点坐标是（1，﹣2），过（1，1）点，代入得：a+b﹣2=1．∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣3，∵b＞1，∴b=2﹣a＞1．∴a＜2．∵a＞1，∴1＜a＜2．∴1＜2a＜3．∴﹣3＜2a﹣3＜1，即﹣3＜P＜1．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．6．B【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵»»DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.7．C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将365000这个数用科学记数法表示为3.65×1．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．C【解析】分析：根据题中所给条件结合A、B、C三点的相对位置进行分析判断即可.详解：<，这与已知不符，故不能选A；A选项中，若原点在点A的左侧，则a cB选项中，若原点在A、B之间，则b>0，c>0，这与b·c<0不符，故不能选B；>且b·c<0，与已知条件一致，故可以选C；C选项中，若原点在B、C之间，则a cD选项中，若原点在点C右侧，则b<0，c<0，这与b·c<0不符，故不能选D.故选C.点睛：理解“数轴上原点右边的点表示的数是正数，原点表示的是0，原点左边的点表示的数是负数，距离原点越远的点所表示的数的绝对值越大”是正确解答本题的关键.9．C【解析】试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；B、的主视图是正方形，故B不符合题意；C、的主视图是圆，故C符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图． 10．D 【解析】 【分析】依据AB//CD ，即可得到1CEF 30∠∠==o ，再根据2CEF 180∠∠+=o ，即可得到218030150∠=-=o o o ．【详解】解：如图，AB//CD Q ，1CEF 30∠∠∴==o ，又2CEF 180∠∠+=o Q ，218030150∠∴=-=o o o ，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等． 11．D 【解析】 【分析】 【详解】5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；把这些数从小到大排列，中位数是第10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷2＝6； 平均数是：（4×2＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3）÷20＝6； 故答案选D ． 12．B 【解析】 【分析】利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A 、若a 2=b 2,则a=±b ，错误，是假命题；B、4的平方根是±2，正确，是真命题；C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.故选B．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（1，﹣3）【解析】【分析】画出平面直角坐标系，然后作出点P绕原点O顺时针旋转180°的点P′的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可．【详解】如图所示：点P（-1，3）绕原点O顺时针旋转180°后的对应点P′的坐标为（1，-3）．故答案是：（1，-3）．【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便，形象直观．14．a+b【解析】【分析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。

丰台区2019年高三年级第二学期统一练习（二） 2019.5数学（文科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数1i2i-+的虚部是 (A)–1(B) 35-(C) i -(D) 3i 5-2．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是(A)若a b =，则a b =- (B) 若a b =-，则a b ≠ (C)若a b ≠，则a b ≠-(D) 若a b ≠-，则a b ≠3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 (A)152(B)516(C) 516-(D) 52-4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③(D) ④5．函数()sin ()f x x x x =+∈R(A) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是减函数 (B) 是偶函数，且在(,+)-∞∞上是增函数 (C) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是减函数(D) 是奇函数，且在(,+)-∞∞上是增函数6．在△ABC 中，∠BAC =90º，D 是BC 的中点，AB =4，AC =3，则AD BC ⋅=(A) -7(B) 72-(C)72(D) 77．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b=+的图象可能是P 1A(A)(B)(C)(D)8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2A ，34,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形1234A A A A 及其内部的点构成的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为 (A) 16 (B) 8 (C) 4 (D) 2第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合A =｛x ｜2x -x 2>0｝，B =｛x ｜x >1｝，则AB =______．10．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归方程为ˆˆ4055.25ybx =+，则ˆb =______，据此模型可预测2019年该地区的恩格尔系数(%)为______．11．已知cos 2sin θθ=，则cos2θ 的值为______． 12．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是______．13．已知双曲线2222128x y m m-=+上一点M 到两个焦点的距离分别为20和4，则该双曲线的离心率为______．14．在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图象上；②点A ，B 关Q PBACD于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数24,0,()2,0,x x f x x x x -≥⎧=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数1()cos (cos )2f x x x x =--． （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2π上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时的x 的值．16.（本小题共13分）某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种，在该地区选择了5块土地，每块土地平均分成面积相等的两部分，分别种植甲、乙两个品种的棉花，收获时测得棉花的亩产量如下图所示：（Ⅰ）请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定，并说明理由；（Ⅱ）求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地，这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率．17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱PA 上的动点．（Ⅰ）若Q 是P A 的中点，求证：PC //平面BDQ ； （Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若P A =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．18.（本小题共13分）已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；14387255511109乙甲（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．19.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，焦距为P 是椭圆上一动点，12PF F ∆的面积最大值为2．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于点N ，若1N A A M λ=，2NB BM λ=，求证：12λλ+为定值．20.（本小题共13分）已知函数f (x )=ln x ，()bg x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当x >1时，f (x )<g (x )成立； （Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。

2019年北京市丰台区中考数学二模试卷含答案解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．截止到2019年底，我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超110 000 000人．将110 000 000用科学记数法表示应为（）A．110×106B．11×107C．1.1×108D．0.11×1082．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（）A．点A与点D B．点B 与点D C．点B与点C D．点C与点D3．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（）A．B．C．D．4．京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．10m C．15m D．5m7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是S甲2=0.96，S乙2=1.12，S丙2=0.56，S丁2=1.58．在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9．商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（）A．5元B．10元C．12.5元D．15元10．一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（）A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：x3﹣4x2+4x= ．12．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= （度）13．关于x的不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b= ．14．我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y 人，可列方程组为．15．北京市2019﹣2019年机动车保有量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2019年北京市机动车的保有量约万辆，你的预估理由是．16．如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标：．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：．18．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，求此时方程的根．20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC．21．2019年5月29日，北京园博园迎来了“挑战100，一起跑”百公里接力路跑赛事，活动里程共100公里，采用10人×10公里的方式展开接力竞赛．王刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共12公里．为参加此次活动，王刚计划加强训练，速度提高到原来的1.2倍，结果提前10分钟到单位．问王刚原来每小时跑多少公里？22．如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD=5，BD=8，计算tan∠DCE的值．23．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求k的值；（2）过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点B的坐标．24．如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为 BC 的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若cosD=，AD=6，求FG的长．25．阅读下列材料：日前，微信发布《2019微信春节大数据报告》显示，2019年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2019年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”．报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2019年除夕的8倍．除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包．其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%．作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配．根据以上材料回答下列问题：（1）2019年除夕当日，拼手气红包收发量约为 亿个；（2）选择统计表或统计图将2019年和2019年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来．26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质：小宏根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究． 下面是小宏的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x 的取值范围是 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值求m ，n 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：① ② ．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B的坐标及m的值；（2）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围；（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k的取值范围．28．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．点D为AC的中点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CF．过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．（1）若点E在线段DC上，如图1，①依题意补全图1；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=，∠CFE=15°，请求出△FCH的面积∠CFE=12°，请写出求△FCH的面积的思路．（可以不写出计算结果）29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（0，﹣1）．点P是平面内任意一点，直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆恰好经过点C（2，0），则称此时的点P为理想点．（1）请判断P1（﹣4，0），P2（3，0）是否为理想点；（2）若直线x=﹣3上存在理想点，求理想点的纵坐标；（3）若动直线x=m（m≠0）上存在理想点，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．截止到2019年底，我国已实现31个省市志愿服务组织区域全覆盖，志愿者总数已超110 000 000人．将110 000 000用科学记数法表示应为（）A．110×106B．11×107C．1.1×108D．0.11×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：110 000 000=1.1×108，故选：C．2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的两个实数的点是（）A．点A与点D B．点B 与点D C．点B与点C D．点C与点D【考点】实数与数轴；实数的性质．【分析】根据互为相反数的绝对值相等，可得答案．【解答】解：|﹣2|=2，|﹣1|=1=|1|，|3|=3，故选：C．3．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，抛掷这枚骰子一次，则向上的面的数字大于4的概率是（）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】让向上一面的数字是大于4的情况数除以总情况数6即为所求的概率．【解答】解：正方体骰子，六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6六个数字中，大于4为5，6，则向上一面的数字是大于4的概率为=．故选：C．4．京剧是我国的国粹，是介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．5．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，∴∠1=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴∠α=∠1+30°=75°．故选D．6．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．10m C．15m D．5m【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】直接利用坡脚的度数结合锐角三角函数求出答案．【解答】解：∵河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC=5m，∴sin30°=，∴AB==10（m）．故选：A．7．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.6环，方差分别是S甲2=0.96，S乙2=1.12，S丙2=0.56，S丁2=1.58．在本次射击测试中，成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】根据方差越大，波动性越大，越不稳定进行判断．【解答】解：∵s2丙＜s2甲＜s2乙＜s2丁，∴在本次测试中，成绩最稳定的是丙．故选C．8．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【考点】直线的性质：两点确定一条直线．【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．【解答】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线．故选：A．9．商户小李以每件6元的价格购进某商品若干件到市场去销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为（）A．5元B．10元C．12.5元D．15元【考点】一次函数的应用．【分析】由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，所以降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，则降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．【解答】解：∵由图象可知40件销售金额为600元，80件的销售金额为1000元，∴降价后买了80﹣40=40件，销售金额为1000﹣600=400元，∴降价后每件商品销售的价格为400÷40=10元．故选：B10．一个观察员要到如图1所示的A，B，C，D四个观测点进行观测，行进路线由在同一平面上的AB，BC，CD，DA，AC，BD组成．为记录观察员的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设观察员行进的路程为x，观察员与定位仪器之间的距离为y，若观察员匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则观察员的行进路线可能为（）A．A→D→C→B B．A→B→C→D C．A→C→B→D D．A→C→D→B【考点】动点问题的函数图象．【分析】观察图2，发现观察员与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出观察员的行进路线即可．【解答】解：观察图2得：观察员与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，结合图1得：观察员的行进路线可能为A→D→C→B，故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式：x3﹣4x2+4x= x（x﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方式进行因式分解即可．【解答】解：x3﹣4x2+4x=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，故答案为x（x﹣2）2．12．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB= 60 （度）【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【解答】解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．13．关于x的不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ﹣2 ，b= 2 ．【考点】解一元一次不等式．【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，写出一组满足题意a与b的值即可．【解答】解：∵不等式ax＜b的解集为x＞﹣1，∴=﹣1，且a＜0，则一组满足条件的实数a=﹣2，b=2，故答案为：﹣2；214．我国明代数学家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完．如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？设大和尚x人，小和尚y人，可列方程组为．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程组即可．【解答】解：设大和尚x人，小和尚y人，由题意可得．故答案为．15．北京市2019﹣2019年机动车保有量统计如图所示．根据统计图中提供的信息，预估2019年北京市机动车的保有量约562 万辆，你的预估理由是从各年的保有量增长看，汽车已趋于饱和，故2019年保有量相对2019年变化不大．【考点】用样本估计总体；折线统计图．【分析】根据折线统计图可以得到得到各年相对去年的增长量，从而可以预估2019年北京市机动车的保有量，并说明理由．【解答】解：根据折线统计图可得，2019﹣2019汽车保有量增长：498﹣480=18，2019﹣2019汽车保有量增长：520﹣498=22，2019﹣2019汽车保有量增长：543﹣520=23，2019﹣2019汽车保有量增长：559﹣543=16，2019﹣2019汽车保有量增长：561﹣559=2，由上预估2019年北京市机动车的保有量约562万辆，理由：从各年的保有量增长看，汽车已趋于饱和，故2019年保有量相对2019年变化不大；故答案为：562，从各年的保有量增长看，汽车已趋于饱和，故2019年保有量相对2019年变化不大．16．如图，在棋盘中建立直角坐标系xOy，三颗棋子A，O，B的位置分别是（﹣1，1），（0，0）和（1，0）．如果在其他格点位置添加一颗棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请写出所有满足条件的棋子C的位置的坐标：（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0，﹣1）．【考点】轴对称图形；坐标确定位置．【分析】根据A，B，O，C的位置，结合轴对称图形的性质，进而画出对称轴即可．【解答】解：如图所示，C点的位置为（﹣1，2），（2，1），A，O，B，C四颗棋子组成等腰梯形，直线l为该图形的对称轴，C点的位置为（﹣1，﹣1），x轴是对称轴，C点的位置为（0，﹣1），故答案为：（﹣1，2），（2，1），（﹣1，﹣1），（0，﹣1）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣2×+1+2=4+2．18．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可．【解答】解：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2=﹣y（4x﹣3y）．∵4x=3y，∴原式=0．19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，求此时方程的根．【考点】根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不等实数根可得b2﹣4ac＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据m为负整数以及（1）的结论可得出m的值，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+1﹣m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=32﹣4（1﹣m）＞0，即5+4m＞0，解得：m＞﹣．∴m的取值范围为m＞﹣．（2）∵m为负整数，且m＞﹣，∴m=﹣1．将m=﹣1代入原方程得：x2+3x+2=（x+10）（x+2）=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣2．故当m=﹣1时，此方程的根为x1=﹣1和x2=﹣2．20．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC．【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，CD=AC，∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DE=BC，于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵BD⊥AC于点D，∴CD=AC，∠BDC=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BC，∴DE=DC．21．2019年5月29日，北京园博园迎来了“挑战100，一起跑”百公里接力路跑赛事，活动里程共100公里，采用10人×10公里的方式展开接力竞赛．王刚是一名长跑爱好者，原来每天从家匀速跑步到单位，共12公里．为参加此次活动，王刚计划加强训练，速度提高到原来的1.2倍，结果提前10分钟到单位．问王刚原来每小时跑多少公里？【考点】分式方程的应用．【分析】先由题意得出等量关系列出方程即，然后解出来，最后检验并作答．【解答】解：设这个人从甲地到乙地原定的平均速度是每分钟x千米，则根据题意列出方程：，解得：x=0.2（千米/分钟），经检验x=0.2是所列出的分式方程的解，0.2×60=12答：王刚原来每小时跑12公里．22．如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若AD=5，BD=8，计算tan∠DCE的值．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得AC⊥BD，进而得到四边形OCED是矩形；（2）首先根据菱形的性质可得OD=BD=4，OC=OA，AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出DE=OC=3，再利用三角函数定义可得答案．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，∴OD=BD=4，OC=OA，AD=CD，∵AD=5，∴OC==3，∵四边形OCED是矩形，∴DE=OC=3，在Rt△DEC中，sin∠DCE==．23．已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6）．（1）求k的值；（2）过点A作直线AC与函数y=的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点B的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由反比例函数y═的图象经过点A（﹣1，6），即可求得k的值；（2）由（1）的结论可得反比例函数的解析式，然后作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，可得△CEB∽△CDA，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得点B的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（﹣1，6），∴6=，∴k=﹣6；（2）∵k=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∴AD∥BE，∴△CEB∽△CDA，∴，∵AB=2BC，∴=，∵AD=6，∴BE=2，∴点B的纵坐标为1，∵点B在反比例函数的图象上，∴2=﹣，∴x=﹣3，∴点B的坐标为（﹣3，2）；点B在第二象限，∵AB=2BC，∴AC′=BC′，∴BF=AD=6，∴OF=1，∴点B的坐标为（1，﹣6）．24．如图，AB是⊙O的直径，BD交⊙O于点C，E为 BC 的中点，连接AE交BD于点F，作FG⊥AB，垂足为G，连接AD，且∠D=2∠BAE．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若cosD=，AD=6，求FG的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接AC，欲证AD是⊙O的切线，只需证明AD⊥AB即可；（2）解直角三角形求得AC和BD，然后根据勾股定理求得AB，证△FAG≌△FAC从而求得AG=AC=；然后根据平行线分相等成比例定理即可求得FG．【解答】（1）证明：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵E为的中点，∴∠BAE=∠CAE，∴∠BAC=2∠BAE，∵∠D=2∠BAE，∴∠BAC=∠D，∴∠ABC+∠D=90°，∴∠BAD=90°，∴BA⊥AD，∴AD为⊙O的切线；（2）∵cosD=，AD=6，∴sinD=，BD===10，∴AC=AD•sinD=6×=，AB==8，在△FAG和△FAC中∴△FAG≌△FAC（AAS），∴AG=AC=，∴BG=8﹣=，∵FG⊥AB，DA⊥AB，∴FG∥DA，∴△BFG∽△BDA，∴=，即=，∴FG=．25．阅读下列材料：日前，微信发布《2019微信春节大数据报告》显示，2019年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2019年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”．报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2019年除夕的8倍．除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包．其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%．作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配．根据以上材料回答下列问题：（1）2019年除夕当日，拼手气红包收发量约为 16.16 亿个；（2）选择统计表或统计图将2019年和2019年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来．【考点】统计图的选择；用样本估计总体．【分析】（1）根据：“除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，其中拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%”可得；（2）根据：“2019年除夕音视频通话时长达4.2亿分钟，是2019年除夕的4倍”及“微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2019年除夕的8倍”可得2019年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长，列表可得．【解答】解：（1）根据题意，2019年除夕当日，拼手气红包收发量约为80.8×20%=16.16（亿个）， 故答案为：16.16；（2）列表如下：26．有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质：小宏根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究． 下面是小宏的探究过程，请补充完整：（1）函数y=的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ；（2）下表是y 与x 的几组对应值求m ，n 的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）：① x ＜0时，函数y 随x 的增大而增大． ② x ＞0时，函数y随x的增大而增大．．【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的性质．【分析】（1）根据分母不能为0即可写出自变量的取值范围、（2）利用描点法即可画出图象，观察图象可得函数的性质．【解答】解：（1）数y=的自变量x的取值范围x≠0，故答案为x≠0．（2）函数图象如图所示，性质①x＜0时，函数y随x的增大而增大．②x＞0时，函数y随x的增大而增大．故答案为：x＜0时，函数y随x的增大而增大；为x＞0时，函数y随x的增大而增大．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B的坐标及m的值；（2）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围；（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象与系数的关系；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）求出对称轴，根据对称性求出点B坐标，利用待定系数法求出m的值．（2）画出图象，利用图象即可解决问题．（3）当直线y=kx+1经过点（，﹣）时，k=﹣，推出直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点，由图象可知k＜﹣，当直线y=kx+1经过点（﹣1，0）时，k=1，此时直线y=kx+1也满足条件，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴x=1，点A坐标（3，0），又∵A、B关于对称轴对称，∴B（﹣1，0），把点B（﹣1，0）代入得到0=m+2m﹣3，∴m=1．（2）如图，由图象可知，当﹣2＜x＜3时，﹣4≤y＜5．（3）将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象M，如图所示，∵x=时，y=﹣1﹣3=﹣，∴当直线y=kx+1经过点（，﹣）时，k=﹣，∴直线y=kx+1（k≠0）与图象M在直线左侧的部分只有一个公共点，由图象可知k＜﹣，当直线y=kx+1经过点（﹣1，0）时，k=1，此时直线y=kx+1也满足条件，综上所述，k的取值范围为k＜﹣或k=1．28．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．点D为AC的中点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，CF．过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．（1）若点E在线段DC上，如图1，①依题意补全图1；②判断FH与FC的数量关系并加以证明．（2）若E为线段DC的延长线上一点，如图2，且CE=，∠CFE=15°，请求出△FCH的面积∠CFE=12°，请写出求△FCH的面积的思路．（可以不写出计算结果）【考点】三角形综合题．【分析】（1）①依题意补全图1②延长DF交AB于点G，根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点，根据中位线的性质及已知条件AC=BC，得出DC=DG，从而EC=FG，易证∠1=∠2=90°﹣∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS证出△CEF≌△FGH．所以CF=FH．。

P 4 ma m DCABSSSSO aO aO a O a。

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丰台区2019年初三统一练习（二） 数 学 试 卷 2019.6一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．2-的绝对值是 A ．2 B ．12 C ．-2 D ．12- 2．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约只有0.000 000 7毫米2，将0.000 000 7用科学记数法表示为A ．7×106B ．7×10-6C ．－7×107D ．7×10-73． 32()a a -⋅-的运算结果是A ． a 5 B ．－a 5 C ．a 6 D ．－a 6 4．如图，点A 、B 、C 都在O ⊙上，若68AOB =∠，则ACB ∠的度数为 A ．68B ．60C ．34D ．225．抛物线2(2)2y x =-+的顶点坐标为A ．(2,2)-B ．(2,2)-C ．(2,2)D ．(2,2)-- 6．某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩 与方差S 2如下表所示．如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是甲 乙 丙 丁 x8 9 9 8 S 2111.21.3A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．下面四个图形中，三棱柱的平面展开图是A ．B ．C ．D ．8．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的 距离分别是a 米(0<a <12)、4米．现在想用16米长的篱笆，借助墙 角围成一个矩形的花圃ABCD ，且将这棵树围在花圃内(不考虑树的粗细). 设此矩形花圃的最大面积为S ，则S 关于a 的函数图象大致是O CBAxA.B.C.D.二、 填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式42x x -+的值为0，则x 的值为 ． 10．分解因式：244xy xy x -+=__________________．11．在盒子里放有四张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、圆的卡片（卡片除所画内容不同外，其余均相同），从中随机抽取一张卡片，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率是 ．12．如图，在△OA 1B 1中，∠OA 1B 1=90°，OA 1= A 1B 1=1.以O 为圆心，1OA 为半径作扇形OA 1B 2,⌒A 1B 2 与1OB 相交于点2B ，设△OA 1B 1与扇形OA 1B 2之间的阴影部分的面积为1S ；然后过点B 2作B 2A 2⊥OA 1于点A 2，又以O 为圆心，2OA 为半径作扇形OA 2B 3，⌒A 2B 3 与1OB 相交于点3B ，设△OA 2B 2与扇形OA 2B 3之间的阴影部分面积为2S ；按此规律继续操作，设△OA n B n 与扇形OA n B n +1之间的阴影部分面积为n S ． 则S 1=___________； S n = ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：1(2)8+21cos 45-----+（）．14．解方程：11312=---x xx ．15．已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠． 求证：ABC CDE △≌△．16．已知11m m+=，求)21)(21()3(m m m m -+++的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，若点(2,)A n -，(1,2)B -是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积．ADB C EO xyABCB 1 A 1A 2A 3 O S 2S 1S 3 B 3 B 4 B 218．列方程或方程组解应用题：某农场去年种植了10亩地的西瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种西瓜.已知西瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，预计今年西瓜的总产量为60000kg ， 求西瓜亩产量的增长率.四、解答题（本题共20分，每小题5分)19．如图，四边形ABCD 中， CD=2，90=∠BCD ，60=∠B ,30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．20．已知：如图，直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A ，垂足为点D ．（1）求证：CD 与⊙O 相切； （2）若tan ∠ACD =21，⊙O 的直径为10，求AB 的长．21．6月5日是世界环境日，某城市在宣传“绿色环境城市”活动中，发布了一份2019年1至5月份空气质量抽样调查报告，随机抽查的30天中，空气质量的相关信息如下：%请你根据统计图表提供的信息，解答以下问题（结果均取整数）： (1)请将图表补充完整；(2)请你根据抽样数据，通过计算，预测该城市一年(365天)中空气质量级别为优和良的天空气污染指数0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 空气质 量级别 优 良 轻微 污染 轻度 污染 中度污染天数15 4 2 50%良 优 13% % 7% 轻微污染轻度污染 中度污染A B POCD E 15 轻度 优良轻微中度3 y 2y 天数 级别DAB C数大约共有多少天？22．操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周． 请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23．已知关于x 的方程2(2)30x m x m --+-=. （1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y =-x 的对称点恰好是点M ，求m 的值.24．在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转． （1）当点O 为AC 中点时，①如图1， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2， 三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①yxO1（备图）yxO11中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC=，求OE OF的值．25．如图，把△OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，32,2OA AB ==，把△OAB 沿x 轴的负方向平移2OA 的长度后得到△DCE .（1）若过原点的抛物线2+y ax bx c =+经过点B 、E ，求此抛物线的解析式；（2）若点P 在该抛物线上移动，当点P 在第一象限内时，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似，直接写出点P 的坐标；（3）若点M (-4，n ) 在该抛物线上，平移抛物线，记平移后点M 的对应点为M ′，点B 的对应点为B ′．当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．A O xBCD y ECOB A OE图1 FBA OCEFA BCE F图2 图3丰台区2019年初三统一练习(二)数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADBCCBAC二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．4 10．2(2)x y - 11．34 12．128π-； 2122n n π+- 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=1222122--++ -------- 4分 =1322-． -------- 5分 14．解：23111xx x --=--,----------- 1分 231x x --=-, -----------2分41x -=, ----------- 3分14x =-.-----------4分经检验，14x =-是原方程的解．----------- 5分∴原方程的解是14x =-.15．证明：∵AC ∥DE ，∴∠ACB ＝∠E.-------------- 1分 在△ABC 和△CDE 中， ∠ACB ＝∠E ，∠B ＝∠D ， -------------- 4分 AC ＝CE ，∴△ABC ≌△CDE.-------------- 5分 16．解：∵11m m+=，∴21m m -=-. ------------ 1分 ∴原式=223+14m m m +- ------------ 2分=2331m m -++ ------------ 3分=23()1m m --+ ------------ 4分 = 3(1)14-⨯-+= ． ------------ 5分17.解：(1)∵点(1,2)B -在函数my x=的图象上， ∴2m =-.∴反比例函数的解析式为2y x=-．-- 1分点(2,)A n -在函数2y x=-的图象上，∴1n =.∴(2,1)A -.y kx b =+经过(2,1)A -、(1,2)B -，∴21,2.k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得：1,1.k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为1y x =--. ---- 3分（2）C 是直线AB 与x 轴的交点,∴当0y =时，1x =-. ∴点(1,0)C -.---------4分1OC ∴=.AOB ACO BCO S S S ∴=+△△△11111222=⨯⨯+⨯⨯ 32= ---------5分 18．解：设西瓜亩产量的增长率为x ，则西瓜种植面积的增长率为2x . ------ 1分 由题意得，2000(1+)10(12)60000x x ⋅+= . --2 分 解得，121,22x x ==-. ------ 3分 但22x =-不合题意，舍去. ------ 4分 答：西瓜亩产量的增长率为50%. ------ 5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19.解：过点D 作DE ⊥AC 于E,过点A 作AF ⊥BC 于F .∵∠ACB =45°，∠BCD =90°， ∴∠ACD =45°.∵CD =2，∴DE =EC =1. -----------------1分Oxy A B CDABCFE∵∠CAD =30°，∴AE =3. ---------------- 2分 ∴AC =31+. ---------------- 3分∴F A =FC =316222++=.------------------------------- 4分 ∵∠ABF =60°, ∴622326sin 60233AF AB ++==⋅=︒. ------------------------ 5分 20. （1）证明：连结OC .∵ 点C 在⊙O 上，OA =OC ，∴ .OCA OAC ∠=∠∵ CD PA ⊥，∴ 90CDA ∠=，有90CAD DCA ∠+∠=. ∵ AC 平分∠P AE ，∴ .DAC CAO ∠=∠ ∴ .DAC OCA ∠=∠ ---------1分 ∴ 90.DCO DCA ACO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠= ∵ 点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，∴ CD 为⊙O 的切线. ---------2分 （2）解: 过点O 作OG ⊥AB 于G .∵90OCD ∠=,CD PA ⊥,∴四边形OCDG 是矩形. ∴OG =CD , GD =OC . ---------3分∵ ⊙O 的直径为10，∴OA =OC =5.∴DG =5.∵tan ∠ACD 12AD CD ==，设AD =x , CD=2x ,则OG=2x.∴ AG =DG-AD=5- x . 在Rt AGO △中，由勾股定理知222.AG OG OA +=∴ ()22(5)225.x x -+= 解得122,0()x x ==舍. -------------------------4分∴ 22(52)6AB AG ==⨯-= . -------------------------5分 21. 解：（1）20 %-------------------------3分如图，画图基本准确,每个统计图全部正确得1分.空气污染指数 0～50 51～100 101～150 151～200 201～250空气质 量级别 优 良轻微 污染 轻度 污染 中度污染天数6 15 4 3 2 50%良优13% 10 %7% 轻微污染轻度污染 中度污染yxBACDO11 ABPOCD EG（2）365×(20％＋50％)≈256．答：该城市一年为优和良的天数大约共有256天． -------------------------5分22．（1）{4，3}． -------------------------1分（2）①画图 -------------------------2分②D (0，3). -------------------------3分（3）{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．-------------------------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23、（1）证明： 22224(2)4(3)816(4)0b ac m m m m m ∆=-=---=-+=-≥，----------- 1分∴此方程总有两个实数根. ------------------------- 2分（2）解：抛物线2(2)3y x m x m =--+-与y 轴交点为M （0，3m -）．---------------------3分抛物线与x 轴的交点为（1,0）和（3m -,0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0,1-）和（0, 3m -）.-----------------5分 由题意，可得：1333m m m -=--=-或，即m =2或m =3. -------------------------7分24解：（1）① 猜想：222AE CF EF +=.-------------------------1分 ② 成立. ------------------------2分证明：连结OB.∵AB =BC , ∠ABC =90°,O 点为AC 的中点，∴12OB AC OC ==,∠BOC =90°,∠ABO =∠BCO =45°.∵∠EOF =90°，∴∠EOB =∠FOC . 又∵∠EBO =∠FCO ，∴△OEB ≌△OFC （ASA ）.∴BE =CF . -------------------------3分 又∵BA=BC , ∴AE =BF .在RtΔEBF 中，∵∠EBF =90°, 222BF BE EF ∴+=.222AE CF EF ∴+=. -------------------------4分（2）解：如图，过点O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N . ∵∠B =90°, ∴∠MON =90°. ∵∠EOF =90°,∴∠EOM =∠FON .∵∠EMO =∠FNO =90°，∴△OME ∽△ONF . -------------------------5分 ∴OM OE ON OF =∵△AOM 和△OCN 为等腰直角三角形， ∴△AOM ∽△OCN ∴OM AO ONOC=.CB AOEFA OBCE F M N∵14AO AC=， ∴13OE OF=. -------------------------7分25．解：(1)依题意得：322B （，）. ∵OC =2,CE=32,∴3 22E -（，）. ∵抛物线经过原点和点B 、E,∴设抛物线的解析式为2y ax =(0)a ≠.∵抛物线经过点322B （，）,∴ 342a = .解得：a =38. ∴抛物线的解析式为238y x =.-------------------------2分(2) 64512927P （，）或318P （，） .-------------------------4分 (3)存在.因为线段MB''和CD 的长是定值，所以要使四边形M B CD ''的周长最短，只要使M D CB ''+最短.如果将抛物线向右平移，显然有M ′D +CB ′>MD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形M ′B ′CD 的周长最短, 显然应该将抛物线238y x =向左平移.由题知(4,6)M -. -------------------------5分设抛物线向左平移了n 个单位，则点M '和B ′的坐标分别为M ′(-4-n ，6)和B ′(2-n ，32)．因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-n ，23)．要使M D CB ''+最短，只要使M D '+DB ′′最短．点M′关于x 轴对称点的坐标为M ′′(-4-n ，-6). 设直线M ′′B ′′的解析式y kx b =+，点D 应在直线M ′′B ′′上， ∴直线M ′′B ′′的解析式为151582y x =+.----------------6分 将B ′′(-n ，23)代入，求得165n =.--------------7分故将抛物线向左平移165个单位时，四边形M ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的解析式为 2316()85y x =+． -------------------------8分M ′y4 x2 2M ′8-2 O -2 -4 6 B ′CD -4 4 B ′′。