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值域和定义域的求法在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数的值域和定义域是函数中的两个重要概念。
值域指的是函数的所有可能输出值的集合，而定义域则指的是函数的所有可能输入值的集合。
在解决函数的问题时，我们需要了解如何求出函数的值域和定义域。
一、定义域的求法定义域是函数的输入值的集合。
定义域的求法主要有以下几种： 1. 显式定义法如果函数的定义是显式的，那么其定义域也是显式的。
例如，函数f(x) = x + 2的定义域为所有实数。
2. 分段定义法如果函数在不同的区间内有不同的定义，那么其定义域就是所有区间的交集。
例如，函数f(x) = {x，x<0；x+1，x>=0}的定义域为(-∞,0)∪[0,∞)。
3. 根式定义法如果函数中存在根式，那么其定义域要满足根式中的表达式大于等于0。
例如，函数f(x) = √(x-1)的定义域为[x,∞)。
4. 分式定义法如果函数中存在分式，那么其定义域要满足分母不为0。
例如，函数f(x) = 1/(x-1)的定义域为(-∞,1)∪(1,∞)。
5. 对数定义法如果函数中存在对数，那么其定义域要满足对数中的表达式大于0。
例如，函数f(x) = log(x-1)的定义域为(1,∞)。
二、值域的求法值域是函数的输出值的集合。
值域的求法主要有以下几种：1. 图像法通过作出函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
例如，函数f(x) = x^2的图像为开口向上的抛物线，其值域为[0,∞)。
2. 导数法如果函数在某一区间内单调递增或单调递减，那么其值域就是该区间的端点对应的函数值的集合。
例如，函数f(x) = x^2在区间[0,1]内单调递增，其值域为[0,1]。
3. 最值法如果函数在某一区间内存在最大值或最小值，那么其值域就是最大值或最小值对应的函数值的集合。
例如，函数f(x) = -x^2+2x在区间[0,1]内的最大值为f(1)=1，其值域为(-∞,1]。
4. 解析法有些函数可以通过解析的方法求出其值域。
函数的定义域、值域方法总结一．常见函数（基本初等函数）：1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx ax y 4．xy 1= 5．幂函数：)(Q a x y a∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x 且 7．对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。
如：d cx bx ax y +++=23，x x y 2log 1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。
二．定义域：“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。
函数的三要素： 对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
函数定义域的求法tan ...(,,)2y x x R x k k ππ=∈≠+∈Z 且cot y x = (),,x R x k k π∈≠∈Z 且例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．3)5)(3(1+-+=x x x y52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同2. 111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同3. x x f =)( 2)(x x g = 解：不是同一函数，值域不同 4．x x f =)( 33)(x x F = 解：是同一函数 5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同练习求下列函数的定义域 ①)2lg(2x x y -=②1112++-=x x y③02)45()34lg()(-++=x x x x f④)1(log 1|2|)(2---=x x x f⑤(x 1)(x)f x -=⑥1(x)tan f x =⑦(x)lgcos f x = ⑧(x)f =⑨2(x)lg(3x 1)f =++⑩ y ＝ln(x ＋1)－x2－3x ＋4关于复合函数例1、设 f (x )=2x -3 g (x )=x 2+2 则称 f [g (x )]（或g [f (x )]）为复合函数。
求分段函数的值和值域洋葱数学在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的分段函数，例如计费问题、折扣问题等。
掌握分段函数的求值和值域求解方法，对我们的实际应用具有重要意义。
一、分段函数的定义和意义分段函数是指用一段或多段直线段连接起来的函数，通常表示为f(x) = {a1(x - x1), a2(x - x2), ..., an(x - xn)}，其中ai为斜率，xi为转折点。
分段函数能够直观地描述函数在不同区间的变化趋势，便于我们理解和分析。
二、求解分段函数的值求解分段函数的值，关键是找到函数在各个区间上的表达式。
假设已知分段函数f(x) = {a1(x - x1), a2(x - x2), ..., an(x - xn)}，要求在某一特定点x0处的函数值，我们可以按照以下步骤进行计算：1.判断x0所在的区间，即找到离x0最近的转折点xi。
2.根据xi和x0的距离，确定函数在x0处的表达式。
3.将x0代入相应的表达式，计算得到函数在x0处的值。
三、求解分段函数的值域分段函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值。
求解分段函数的值域，可以分为以下几个步骤：1.分别求解分段函数在各个区间上的值域。
2.根据各个区间上的值域，确定整个分段函数的值域。
需要注意的是，在求解分段函数的值域时，要特别关注间断点处的取值情况。
四、洋葱数学在分段函数求解中的应用洋葱数学是一种基于网络的数学教育平台，提供丰富的教学资源和实用的解题工具。
在求解分段函数问题时，洋葱数学可以帮助学生：1.理解分段函数的概念和性质。
2.掌握分段函数的求值和值域求解方法。
3.提高解题效率，巩固数学基础知识。
五、总结与展望分段函数作为数学中的重要概念，在实际应用中具有广泛的意义。
掌握分段函数的求值和值域求解方法，有助于我们更好地应对各种实际问题。
5-6．函数的定义域与值域【知识要点归纳】一.不等式的解法复习总结：二．定义域1.定义：是指在一个函数关系中，能使函数有意义(包括 和 )的所有自变量的集合2.代数式意义需要关注的限制条件是 、 、 、3. 定义域是函数的灵魂,在解决 函数问题时都要考虑函数的定义域,要形成" "的函数观念.三．值域1. 定义：y 的取值范围叫做这个函数的值域2.方法四．分段函数1.定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数。
2.说明：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的（3）画图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点，否则用空心点。
（4）写分段函数定义域时，区间端点补充不漏（5）处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系（6）分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是求出各段上的值域后取并集，分段函数的最大、小值则是分别在每段上求出最大、小值，然后取各段中的最大小值【经典例题】例1：解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．（6）0)3)(1)(53(>-+-x x x （7）0153>+-x x例2：求下列函数的定义域： （1）14)(2--=x x f（2）3)(2-=x x f（3）f (x )2例3：(1)已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求y=f （2x ）+f(x+32)的定义域. (2)已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域. (3)已知函数f （x ＋1）的定义域为[－2，3]，求f （2x 2－2）的定义域.例4：△ABC 中，|AB|=4，|AC|=2，P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足S △APQ =21S △ABC ，若|AP|=x ，|AQ|=y ， （1）写出x 的取值范围;(2)求f(x)的解析式.例5：求下列函数的值域 （1）[]4,1,12)(∈+=x x x f （2）[]4,1,12)(∈+-=x x x f例6：求下列函数的值域（1）[]4,1,1)(∈=x x x f （2）041,1)(≠≤≤-=x x xx f 且例7：求下列函数的值域（1）1(4)2x y x x -=≥-+（2）541x y x +=-例8：求下列函数的值域 （1）32)(2++=x x x f（2）[]2,1,32143)(2-∈-+-=x x x x f例9：求下列函数的值域(1) R x x x x f ∈++-=,5321)(24（答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞-219,） （2）12++=x x y（3）y x =+例10.如下图，在三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=22，一个边长为2的正方形由位置I 沿AB 平行移动到位置Ⅱ,若移动的距离为x ，正方形和三角形ABC 的公共部分的面积为f(x),试求f(x)的解析式.【课堂练习】1.求下列函数的定义域：（1）y ={x |0£x ≤1}）（2）y =,（答案：{x |x ≥1或x =0}）2.已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则（ ）()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A ÇB =B答案：D3.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 答案：B4.函数]2,1[,362-∈-+=x x x y 的值域是 答案：]13,8[- 5. 函数1+=x xy 的值域是 答案：1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数1+=x xy 的值域是 { y | y ∈R 且y ≠1}6. 函数x x f -+=15)(的值域是答案：x x f -+=15)( ∵),0[1+∞∈-x ∴),5[)(+∞∈x f 即函数y =x x f -+=15)(的值域是 { y | y ≥5} 7. 函数x x y -+=142的值域是答案：设 x t -=1 则 t ≥0 x =1-t 2代入得 y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4 ∵t ≥0 ∴y ≤48.设10()2,0xx f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C9．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝45°，作直线MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N ，记AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数，并写出函数的定义域． 解：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a .(1)当M 位于点H 的左侧时，N 在AB 上，由于AM ＝x ，∠BAD ＝45°.∴MN ＝x .∴y ＝S △AMN ＝12x 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤a 2.(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，∴MN ＝a 2，BN ＝x －a2.∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12 · a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝12ax －a28⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<x ≤32a .(3)当M 位于点G 的右侧时，由于AM ＝x ，MN ＝MD ＝2a －x .∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12 · a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24⎝ ⎛⎭⎪⎫32a <x ≤2a .10．在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 。
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
5．函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法6．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载高一数学函数的定义域与值域的常用方法地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。
例1. 已知，试求。
解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。
故得：。
说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。
2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。
例2. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。
（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，，；（3）已知，求；（4）已知，求。
【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。
（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。
（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。
（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个程就行了。
【解题过程】⑴设，由得，由，得恒等式，得。
故所求函数的解析式为。
（2），又。
（3）设，则所以。
（4）因为①用代替得②解①②式得。
【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。
对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标根式的选择；（2）已知求的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数程问题，需建立关于的程组，如本例（4）。
求分段函数的值和值域洋葱数学【最新版】目录1.引言2.分段函数的定义3.求分段函数的值4.求分段函数的值域5.结论正文1.引言在数学中，分段函数是一种特殊的函数形式，它的定义域被分成若干个部分，每个部分都有对应的函数表达式。
因此，分段函数的值和值域的求解方法与普通函数有所不同。
本文将从洋葱数学的角度，介绍如何求解分段函数的值和值域。
2.分段函数的定义分段函数是指具有如下形式的函数：f(x) = {f1(x), x ∈ D1;f2(x), x ∈ D2;...fn(x), x ∈ Dn;}其中，D1, D2,..., Dn 是函数的定义域的若干个部分，f1, f2,...,fn 是对应的函数表达式。
3.求分段函数的值求分段函数的值，需要分别计算函数在每个定义域部分上的函数值。
具体步骤如下：(1) 确定自变量 x 的取值范围，即 x ∈ D1, D2,..., Dn 中的哪一个部分；(2) 根据相应的函数表达式计算函数值，即 f(x) = f1(x)（x ∈ D1），f(x) = f2(x)（x ∈ D2），...，f(x) = fn(x)（x ∈ Dn）；(3) 将各部分函数值汇总，得到分段函数的值。
4.求分段函数的值域求分段函数的值域，需要分别计算函数在每个定义域部分上的值域，并将它们合并。
具体步骤如下：(1) 求每个定义域部分上的函数值域，即求 f1(x)（x ∈ D1）的值域，求 f2(x)（x ∈ D2）的值域，...，求 fn(x)（x ∈ Dn）的值域；(2) 将各部分值域合并，得到分段函数的值域。
5.结论分段函数的值和值域的求解方法，需要分别计算函数在每个定义域部分上的函数值和值域，然后将它们汇总。
这种求解方法与普通函数有所不同，需要特别注意分段函数的定义域的划分。
函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。
在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。
本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。
一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。
例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。
2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。
一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。
例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。
3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。
例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。
5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。
因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。
二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。
例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。
分段函数的几种常见题型及解法1．求分段函数的定义域和值域例：求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩的定义域、值域.1）设函数)(2)(2R x x x g ∈-=，⎩⎨⎧≥-<++=)()()(4)()(x g x xx g x g x x x g x f则)(x f 的值域是( )A.),1(]0,49[+∞⋃- B.),0[+∞ C.),49[+∞- D.),2(]0,49[+∞⋃-2.求分段函数的函数值。
例：（05年浙江）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求12[()]f f . 1）(2011陕西)设函数⎩⎨⎧≤>=0,100,lg )(x x x x f x ，则))2((-f f =2）(2010湖北)已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))91((f f =3）(2009辽宁)已知函数)(x f 满足：当4≥x 时，xx f )21()(=；当4<x 时，)1()(+=x f x f ，则)3log 2(2+f =4）已知⎩⎨⎧≤++>-=0,1)1(0),cos()(x x f x x x f π，则)43()34(f f +的值等于( )A.),(+∞-∞B.(0,43) C.),43(+∞ D.)43,0[5）若函数f(x)=⎩⎨⎧>≤+1,lg 1,12x x x x ,则))10((f f =（ ）A ．101lgB ．2C ．1D ．06）已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=0,1)1(0),1(log )(2x x f x x x f ，则=)2010(f （ ）A ．2008B ．2009C ．2010D ．20117）定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f 则)2009(f 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23。
函数定义域、值域求法总结（一）求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；（二）求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
(6)0x 中x 0≠二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。
（一）函数的概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（二）映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。
1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？（三）函数的表示法常用的函数表示法：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法．三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。
（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。
）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
答案：－1≤x 2≤1⇒ x 2≤1⇒－1≤x ≤1练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x∵x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}2460|+≤≤x x例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。
已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。
[2,25-）（提示：定义域是自变量x 的取值范围）练习：已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）Ａ．[]1,1-Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ） Ａ．AB B = Ｂ．B A ∈Ｃ．AB B =Ｄ． A B =2.值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}.例1 求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x32)(≤≤-=x f ③ xx y 1+=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略③ 当x>0，∴x x y 1+==2)1(2+-xx 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+--==－2)1(2----xx -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数xx y 1+=的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2∉[3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2∉ [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a bx 2-=时，其最大值ab ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的值域为 [)+∞,3 .2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域解： 对称轴 []5,01∈=x[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。
