北师大版必修一复习23函数的单调性.doc

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作[读教材·填要点]1．函数在区间上增加(减少)的定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．2．函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．3．函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．4．单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．[小问题·大思维]1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1，2]上并不是增加的．2．函数f (x )＝1x 的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)?提示：不能，如x 1＝－1，x 2＝1满足x 1＜x 2， 但有f (x 1)＝－1＜f (x 2)＝1，不符合减少的要求．3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．[研一题][例1] 试判断函数f (x )＝xx －1在其定义域上的单调性，并加以证明．[自主解答] 函数定义域为{x |x ≠1}，又f (x )＝xx －1＝（x －1）＋1x －1＝1x －1＋1，可由反比例函数y ＝1x图像得其图像如图所示：由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下： 设x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1.f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2（x 2－1）（x 1－1）.∵1＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)． ∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数， 同理可证f (x )在(－∞，1)上为减函数． 综上f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．[悟一法]判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1＜x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．[通一类]1．试讨论函数f (x )＝ax (a ≠0)在其定义域内的单调性．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (1)设x 1<x 2<0，则由已知f (x )＝ax (a ≠0)，有f (x 1)－f (x 2)＝a x 1－a x 2＝a （x 2－x 1）x 1x 2.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0.当a >0时，有a （x 2－x 1）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)；当a <0时，有a （x 2－x 1）x 1x 2<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴当a >0时，f (x )＝ax (a ≠0)在(－∞，0)上是减函数；当a <0时，f (x )＝ax (a ≠0)在(－∞，0)上是增函数．(2)同理，f (x )＝ax (a ≠0)在(0，＋∞)上，当a >0时是减函数， 当a <0时是增函数． 综上所述，函数y ＝ax(a ≠0)，当a >0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数； 当a <0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.[研一题][例2] 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的增区间和减区间． [自主解答] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4（x ≥0），－（x ＋1）2＋4（x <0）. 函数图像如右图所示．由图像可知：函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数， 函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]， 单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．[悟一法](1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．[通一类]2．求函数y ＝|x ＋1|＋|2－x |的单调区间． 解：函数可化为分段函数形式： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2，法一：由解析式可知函数的递增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)． 法二：作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1， x ＜－1，3， －1≤x ≤2，2x －1， x ＞2的图像，由图像观察得．单调增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．[研一题][例3] (1)已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝⎛⎭⎫34的大小； (2)已知f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，求x 的取值范围． [自主解答] (1)∵a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34≥34， ∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又∵f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数， ∴f (34)≥f (a 2－a ＋1)；(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2.∵f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －2)＜f (1－x )，∴x －2＜1－x .∴x ＜32.∴1≤x ＜32为满足题设条件的x 的取值范围．[悟一法](1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围．(2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用．[通一类]3．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a 的取值范围． 解：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1. (1)求f (8)的值；(2)求不等式f (x )－f (x －2)>3的解集．[巧思] 解答本题关键是巧用f (xy )＝f (x )＋f (y )． (1)对x ，y 恰当赋值，用f (2)表示f (8)．(2)将不等式转化成f (x )＞f (g (x ))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x 的不等式组． [妙解] (1)由题意得f (8)＝f (4×2) ＝f (4)＋f (2)＝f (2×2)＋f (2)＝3f (2)＝3；(2)原不等式可化为：f (x )＞3＋f (x －2)， ∵f (8)＝3，∴3＋f (x －2)＝f (8)＋f (x －2) ＝f (8(x －2))．∴f (x )＞f (8(x －2))的解集即为所求． ∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，8（x －2）＞0，x ＞8（x －2）， 解得2＜x ＜167.∴原不等式的解集为{x |2＜x ＜167}．1．下列函数中，在区间(0，3)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝1xD ．y ＝－|x |解析：可知，y ＝3－x 在(0，3)上为减函数，y ＝1x 在(0，3)上为减函数，y ＝－|x |＝－x 在(0，3)上为减函数．答案：B2．函数f (x )＝－x 2的单调增区间为( ) A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：由f (x )＝－x 2的图像知，A 正确． 答案：A3．函数y ＝(k ＋2)x ＋1在实数集上是减函数，则k 的范围是( ) A ．k >－2 B ．k ≤－2 C ．k ≥－2D ．k <－2解析：∵f (x )＝(k ＋2)x ＋1在R 上是减函数． ∴k ＋2<0，即k <－2. 答案：D4．如图所示是定义在[－5，5)上的函数y ＝f (x )的图像．则该函数的单调增区间是________________，减区间是____________． 答案：[－2，1]和[3，5) [－5，－2]和[1，3]5．若f (x )是R 上的增函数，且f (x －1)＞f (2)，则x 的取值范围是________． 解析：由题得x －1＞2，得x ＞3，故x 的范围为{x |x ＞3}． 答案：{x |x ＞3}．6．用增函数定义证明f (x )＝ax ＋b (a ＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数． 证明：设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝ax 2＋b －(ax 1＋b ) ＝ax 2－ax 1＝a (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，又a ＞0，∴f (x 2)－f (x 1)＝a (x 2－x 1)＞0， ∴f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数．一、选择题1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( ) ①y ＝|x | ②y ＝|x |x ③y ＝－x 2|x | ④y ＝x ＋x|x |A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：当x ∈(－∞，0)时，y ＝|x |＝－x ，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A 、D.又y ＝|x |x ＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故B 不正确．答案：C2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a ，∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数， ∴f (a 2＋1)<f (a )． 答案：D3．下列说法不．正确的有( ) ①函数y ＝x 2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数； ②函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；③函数y ＝kx ＋b (k ∈R )在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；④若x 1，x 2是f (x )的定义域A 上的两值，当x 1＞x 2时，有f (x 1)＜f (x 2)，则y ＝f (x )在A 上是减函数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①中函数y ＝x 2，在R 上不具有单调性，故①不正确；②中函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k ＝0时，其在R 上不具有单调性，故③不正确；④中由于x 1，x 2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．答案：D4．若对于任意实数x 总有f (－x )＝f (x )，且f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：∵f (－x )＝f (x )，∴f (2)＝f (－2)， 又∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数， 而－2<－32<－1，∴f (－2)<f (－32)<f (－1)，即f (2)<f (－32)<f (－1)．答案：D 二、填空题5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜x ＜1，x ，x ≥1的减区间是________．解析：函数f (x )的图像如图实线部分所示． 则减区间是(0，1]． 答案：(0，1]6．若函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1在[1，2]上单调递减，则a 的取值范围是______________． 解析：函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a ，可知其图像开口向下，∵f (x )在[1，2]上单调递减，∴a ≤1.答案：(－∞，1]7．函数f (x )＝xx ＋2在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f (x )＝x x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2，∴函数f (x )在[2，4]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2＝12， f (x )max ＝f (4)＝44＋2＝23. 答案：23 128．已知y ＝f (x )在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<11－a >2a －1，，解得：0<a <23.答案：(0，23)三、解答题9．已知函数f (x )＝|－x 2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．解：函数f (x )＝|－x 2＋2|＝⎩⎨⎧x 2－2，x ∈（－∞，－2）∪（2，＋∞），2－x 2，x ∈[－2，2].作出函数的图像如图所示．由图可知函数f (x )＝|－x 2＋2|的单调增区间为[－2，0]和[2，＋∞); 单调减区间为(－∞，－2)和[0，2]．在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为f (2)＝0，最大值为f (3)＝7. 10．已知f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在R 上的函数，且满足f (12)＝25，f (0)＝0.(1)求实数a 、b 的值，并确定f (x )的解析式； (2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增加的． 解：(1)由f (12)＝25，f (0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b （12）2＋1＝25，b ＝0，得a＝1，b＝0，∴f(x)＝xx2＋1.(2)证明：在(－1，1)上任取－1＜x1＜x2＜1，则f(x2)－f(x1)＝x2x22＋1－x1x21＋1＝x2x21＋x2－x1x22－x1（x22＋1）（x21＋1）＝x1x2（x1－x2）＋（x2－x1）（x22＋1）（x21＋1）＝（x2－x1）（1－x1x2）（x22＋1）（x21＋1）.∵－1＜x1＜x2＜1，∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，1－x1x2＞0，x22＋1＞0，x21＋1＞0，∴f(x2)－f(x1)＞0.∴f(x)在(－1，1)上是增加的．。

当 a 0 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x) 在 (1,1) 上递减；
当 a 0 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x) 在 (1,1) 上不具有单调性；
当 a 0 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 f (x) 在 (1,1) 上递增；
例 3、求下列函数的单调区间
（4）结论法：
（ⅰ）函数 y f (x) 与 y f (x) 在相应区间
上单调性相反；
（ ⅱ ） 若 函 数 y f (x) 恒 正 或 恒 负 ， 则 函 数 y 1 与 y f (x) 在相应区间上单调性相反；
f (x)
（ⅲ）在公共区间内，增 增=增，增 减=增，
减 减=减。
例 3、求下列函数的单调区间
利用定义证明(判断)函数f(x)在给定的区间 D上的单调性的一般步骤：
1.任取 x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差 f(x1)－f(x2)； 3.变形（通常是因式分解和配方）； 4.定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5.结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
结论
§2.3.2函数的单调性（2）
复习回顾
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自
变量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
说 f (x) 在区间 I 上是增函数（increasing function）．
(1)如果y=f(x)在区间D上是增加的或是减小的，那 么称D为函数y=f(x)的单调区间.
(2)如果y=f(x)在定义域的某个区间I上是增加的或 是减小的,那么就称函数y=f(x)在这个区间I上具有单调 性.

§3函数的单调性课帀呈目IE・IkKECHENGMUBIAOYINHANG^1.理解函数单调性的定义.2.会用函数单调性的定义判断函数的单调性.3•能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间.星础和识・1.增函数(1)定义：在函数y=fx)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2£A，当X]V x2时，都有，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=fx)在区间A上是递增的.〔名师点拨)fxj_fx2)设x1,x2e A,x1^x2,f(x)在A上是增加的O.g-x2)fX])-fx2)]>0_>0.X1-X2(2) _________________________________________ 几何意义：函数fx)的图像在区间A上是的.(3)图示：如图所示.【做一做1】下列命题正确的是().A.定义在(a b)上的函数fx),如果存在X],x2W(a,b)，使得x1<x2时，有fx/V fx?),那么fx)在(a b)上为增函数B•定义在(ab)上的函数fx),如果有无穷多对x1，x2W(ab)，使得x1<x2时，有f(x1)<fx2)，那么fx)在(ab)上为增函数C.如果fx)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数，那么fx)在I1U I2上也一定为增函数D.如果fx)在区间I上为增函数且f(x1)<f(x2)(x1，x2G I)，那么x1<x22.减函数(1)定义：在函数y=fx)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2£A，当x1<x2时，都有，那么，就称函数y=fx)在区间A上是减少的，有时也称函数y=fx)在区间A上是递减的.[名师点拨1。

课后训练基础巩固下列四个函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是()．A．f(x)＝－x＋3B．f(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝－|x－1| D．f(x)＝1 x2．若函数y＝f(x)定义在[－1,2]上，且满足12f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(1)，则f(x)在区间[－1,2]上的单调性是()．A．增函数B．减函数C．先减后增D．无法判断其单调性3．已知函数y＝ax和byx=-在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是()．A．减函数且f(0)＞0 B．增函数且f(0)＞0 C．减函数且f(0)＜0 D．增函数且f(0)＜04．函数f(x)＝2210x xx x⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩，，，的单调性为()．A．在(0，＋∞)上为减函数B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C．不能判断单调性D．在(－∞，＋∞)上是增函数5．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋a在区间[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．6．已知函数f(x)＝11a x-(a＞0，x＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a的值．能力提升7．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a，b，总有()()f a f bb a--＞0成立，则必有()．A．函数f(x)是先增后减B．函数f(x)是先减后增C．f(x)在R上是增函数D．f(x)在R上是减函数8．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a∈R，则()．A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)9．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b＞0，则有()．A．f(a)＋f(b)＞－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)＜－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)10．函数f(x)在其定义域M上是增函数，且f(x)＞0，那么在M上为减函数的是()．A．y＝4＋3f(x) B．y＝[f(x)]2C ．y ＝3＋1f x () D ．y ＝2－1f x ()11．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝1ax +在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]12．函数f (x )＝x |x －1|的单调增区间为__________．13．已知函数f (x )＝22x -(x ∈[3,6])， (1)讨论函数f (x )在[3,6]上的单调性，并证明你的结论； (2)求函数f (x )的最大值与最小值；(3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，求m 的取值范围．14．定义域在(0，＋∞)上的函数f (x )满足(1)f (2)＝1；(2)f (xy )＝f (x )＋f (y )；(3)当x ＞y 时，有f (x )＞f (y )．若f (x )＋f (x －3)≤2，求x 的取值范围．15．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体形无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2.(1)求总造价关于一边长的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)判断(1)中函数在(0,2)和[2，＋∞)上的单调性并用定义法加以证明； (3)如何设计水池尺寸，才能使总造价最低？参考答案1．B 点拨：画出各个函数的图像，由单调函数图像特征可知，选项B 正确．2．D 点拨：增、减函数的定义中的x 1，x 2具有任意性，仅由两个特殊自变量12-和1的函数值的大小关系无法判断函数f (x )的单调性．3．C 点拨：由题意，知a ＜0，b ＜0.∴f (x )＝bx ＋a 在R 上是减函数，且f (0)＝a ＜0.4．D 点拨：画出分段函数f (x )的图像可知，f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．5．a ≥－3 点拨：12a-≤2⇒a ≥－3. 6．解：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝21211212111111x x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫----=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)∵f (x )在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (2)＝2，易得25a =.7．D 点拨：由()()0f a f b b a->-，知a －b 与f (a )－f (b )永远异号，由单调函数的定义知，f (x )在R 上是减函数．8．D 点拨：当a ∈R 时，a 与2a ，a 2与a ，a 2＋a 与a 的大小关系不确定，所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小，而a 2＋1－a ＝21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞0，∴a 2＋1＞a .∵f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，∴f (a 2＋1)＜f (a )．9．C 点拨：∵a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，b ＞－a .由函数的单调性可知，f (a )＞f (－b )，f (b )＞f (－a )，两式相加得选项C 正确．10．C 点拨：(特例法)取f (x )＝x (x ＞0)，很容易可以判断y ＝3＋1()f x 在定义域内为减函数．11．D 点拨：函数g (x )＝1ax +在区间[1,2]上是减函数，则a ＞0，f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，则a ≤1，故0＜a ≤1.12．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞) 点拨：f (x )＝x |x －1|＝22,1,,1,x x x x x x ⎧-≥⎨-+<⎩当x ≥1时，f (x )＝x 2－x 在[1，＋∞)上单调递增；当x ＜1时，f (x )＝x －x 2在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增；所以单调增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[1，＋∞)．13．解：(1)函数f (x )在[3,6]上是减函数，下面进行证明：任取x 1，x 2∈[3,6]，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＝2112122()2222(2)(2)x x x x x x --=----＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)．由单调函数的定义可知，函数f (x )＝22x -在[3,6]上是减函数． (2)由(1)知，f (x )max ＝f (3)＝2， f (x )min ＝f (6)＝12. (3)若函数g (x )＝m 的图像恒在f (x )的图像的上方，则m 应不小于函数f (x )的最大值2，∴m 的取值范围是m ≥2.14．解：∵当x ＞y 时，有f (x )＞f (y )，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，∴若f (x )＋f (x －3)≤2，即f (x )＋f (x －3)≤f (2)＋f (2)，则f [x (x －3)]≤f (4)．∴0,30,(3)4,x x x x >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩解得3＜x ≤4. ∴x 的取值范围是(3,4]．15．解：(1)设长方体无盖水池的池底一边长为x m ，则另一边长为4xm ，又设总造价为y 元，由题意得8412080222y x x ⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即y ＝480＋3204x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈(0，＋∞)． (2)函数在(0,2)上是减少的，在[2，＋∞)上是增加的，下面进行证明： 任取x 1，x 2∈(0,2)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0. ∴f (x 1)－f (x 2) ＝121244480320480320x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝121244320x x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ ＝121212320()(4)x x x x x x --＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )在(0,2)上是减少的． 同理可证，f (x )在[2，＋∞)上是增加的．(3)由(2)中函数的单调性可知，当x ＝2，即池底是正方形时，总造价最低，最低为1 760元．。