河南省驻马店市2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题理2

河南省豫西名校2018-2019学年高二上学期第二次联考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则等于A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，；．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是，故选：C．利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．本题考查命题的否定的应用全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用．3.已知等差数列的前n项和为，且，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设等差数列的公差为d，则，解得．故选：B．设该等差数列的公差为d，则根据通项公式和前n项和公式列出关于、d的方程组，通过解方程组即可得到答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．4.已知a，b是实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由“”可得“”，反之不成立，例如：，．因此：则“”是“”的必要不充分条件．故选：B．由“”可得“”，反之不成立，可举反例，即可判断出．本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．5.已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：的周长为，的周长，，，离心率为，，，，椭圆C的方程为．故选：A．利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程．本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.若实数x，y满足条件，则的最大值为A. B. C. D. 4【答案】D【解析】解：作出约束条件所对应的可行域，如图：变形目标函数可得，平移直线可知，当直线经过点时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得的最大值为．故选：D．作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，通过平移找出最优解，代入目标函数求出最值．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．7.已知命题p：“，”，命题q：“，”，若命题￢是真命题，则实数a 的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：“，，，即p：．若：“，”，则，解得．即：q：．若￢是真命题，则p，￢都是真命题，即p是真命题，q是假命题，，解得．故选：B．先求出命题p，q的等价条件，然后利用命题￢是真命题，确定实数a 的取值范围即可．本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．8.已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为，则E的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设，，代入椭圆方程得，相减得，．，，．，化为，又，解得，．椭圆E的方程为．故选：D．设，，代入椭圆方程得，利用“点差法”可得利用中点坐标公式可得，，利用斜率计算公式可得于是得到，化为，再利用，即可解得，进而得到椭圆的方程．熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．9.已知的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，，则A. 3B.C.D. 6【答案】C【解析】解：由于的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于，，中，由余弦定理可得：，即：，或舍去，可得：，．故选：C．由于的三个内角A、B、C成等差数列，且内角和等于，故B，ABD中，由余弦定理可得BD的长，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题考查等差数列的定义，余弦定理以及三角形面积公式的应用，求出，是解题的关键，属于基础题．10.椭圆的中心在原点，，分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率等于A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，把代入椭圆方程，可得，又，，，，，，，化为：．，即，．故选：D．由已知可得，又，，，由，得，化为，即可求解．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.在中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，S为的面积，则的最大值为A. 1B.C.D. 3【答案】C【解析】解：，，由，可得，设外接圆的半径为R，则，解得，，故的最大值为．故选：C．运用余弦定理可得A，再由正弦定理可得外接圆的半径，再由三角形的面积公式和两角差的余弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到最大值．本题考查正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式的运用，同时考查两角和差的余弦公式和余弦函数的值域，属于中档题．12.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为A. 2B.C.D.【答案】C【解析】解：设直线l的方程为，代入，消去y得，由题意得，即．弦长．故选：C．设出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，根据判别式大于0求得t的范围，进而利用弦长公式求得的表达式，利用t的范围求得的最大值．本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系常需要把直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，判别式找到解决问题的突破口．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若命题“，”是假命题，则m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“，”是假命题，则命题“，”是真命题．，．．则m的取值范围是．故答案为：．命题“，”是假命题，可得：命题“，”是真命题因此，．本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若的面积为9，则______．【答案】3【解析】解：、是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．，，，，，．故答案为3．由已知得，，，由此能得到b的值．主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．15.已知，B是圆F：为圆心上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为______．【答案】【解析】解：由题意得圆心，半径等于，，半径，故点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，，，，椭圆的方程为．故答案为：为．利用椭圆的定义判断点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，求出a、b的值，即得椭圆的方程．本题考查用定义法求点的轨迹方程，结合椭圆的定义求轨迹是解题的难点．16.已知中，， ，，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n，则的最小值为______．【答案】【解析】解：根据题意，如图所示，过点P做，，则，，又由， ，则 ，则，，即，，又由，即，则，即的最小值为，此时．故答案为：．根据题意，作出的图形，分析可得，，结合题意分析可得，由此可以变形为，由基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质，涉及三角形的有关计算，关键是求出的值．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知．求角A的大小；若，求的面积．【答案】本题满分为14分解：，由正弦定理得分又，从而分由于，所以分解法一：由余弦定理，而，分得，即．因为，所以分故的面积为分解法二：由正弦定理，得，从而，分又由知，所以．故分所以的面积为分【解析】由弦定理化简已知可得，结合，可求，结合范围，可求A的值．解法一：由余弦定理整理可得：即可解得c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．解法二：由正弦定理可求的值，利用大边对大角可求B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知，p：，q：．已知p是q成立的必要不充分条件，求实数m的取值范围；若￢是￢成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】解：由得，即p：分是q成立的必要不充分条件，则是的真子集，有，解得，又当时，，不合题意，的取值范围是分￢是￢的充分不必要条件，是q的充分不必要条件，则是的真子集，则，解得，又当时，不合题意．的取值范围为分【解析】求出p的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为不等式关系进行求解即可根据￢是￢成立的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件进行求解即可本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键．19.已知，命题p：对，不等式恒成立；命题q：对，不等式恒成立．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若为假，为真，求实数m的取值范围．【答案】解：对，不等式，即，即，得p：则若命题p为真命题，则实数m的取值范围是．若，不等式恒成立，即，即恒成立，当，函数为增函数，，则，即q：，若为假，为真，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假则得，若p假q真则或，得，综上，即实数m的取值范围是．【解析】根据不等式恒成立，转化为最值问题进行求解即可．根据复合命题真假关系判断命题p，q一个为真命题，一个为假命题，然后进行求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据不等式恒成立求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．20.已知数列满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ，当时，得，分又当时，，，分Ⅱ，分【解析】利用数列递推关系即可得出．利用错位相减法即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.已知点与都在椭圆C：上，直线AB交x轴于点M．求椭圆C的方程，并求点M的坐标；设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得 ？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：点与都在椭圆C：上，，解得．椭圆C的方程为．直线AB的方程为，整理，得，当时，，点M的坐标为．点与，O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，，直线AD：，即，令，得，，设，，，，，，解得．轴上是否存在点，使得 ．【解析】由点与都在椭圆C：上，利用待定系数法能求出椭圆C的方程和直线AB的方程，由此能求出点M的坐标．由已知求出，直线AD：，从而求出，设，由 ，得到，从而求出y轴上是否存在点，使得 ．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．22.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是．求椭圆C的方程；若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．【答案】解：由题意可知解得，，所以椭圆方程为分由知，设直线BD的方程为，，把代入椭圆方程，整理得，所以，则，分所以BD中点的坐标为，分则直线BD的垂直平分线方程为，得分又，即，化简得，解得故当时，，当时，分【解析】利用已知条件，列出方程组，然后求解a，b可得椭圆方程．设出直线方程，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，以及斜率的数量积转化求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．第11页，共11页。

2018-2019学年高二下学期期末考试一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，则A B I =（） A ．{|12}x x -≤≤ B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0,1,2}--D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3.若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤14.已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（）A.它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C.它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等5.在等比数列{}n a 中，“4a ，12a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =±”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( ) A.(1，－4，2)B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12 C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D.(0，－1，1)7.在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14 B.3－34 C.2－34 D.138.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 9.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 10.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”11.焦点为F 的抛物线C ：28y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C.22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12.定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．11(,)[,)88-∞-+∞UB ．11[,0)(0,]48-U C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞U二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知(1,)a λ=r ，(2,1)b =r，若向量2a b +r r 与(8,6)c =r 共线，则a r 和b r 方向上的投影为．14.将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)转化成普通方程为________．15.已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 16.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 的参数方程为24,222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求ABP ∆的面积的最大值18.(12分)设函数()1f x x x =+-的最大值为m .（1）求m 的值；（2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求2211a b b a +++的最小值.19.(12分)点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为AOC ∆的垂心. （1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.20.(12分)2017年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球则打6折，若摸出1个红球，则打7折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？21. (12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)是否存在实数m ，使直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在圆 x 2＋y 2＝5上？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22. (12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)．(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．参考答案一、选择题1-5:BBBDA 6-10:DBDBC 11-12：AD 二、填空题13.35514：x 2a 2－y 2b 2＝1 . 15.0.1 16.[2,4]ππ三、解答题17.解：（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.将直线l 的参数方程代入圆:C 22(2)4x y -+=，并整理得2220t t +=，解得10t =，222t =-.所以直线l 被圆C 截得的弦长为12||22t t -=. （2）直线l 的普通方程为40x y --=.圆C 的参数方程为22cos ,2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），可设曲线C 上的动点(22cos ,2sin )P θθ+，则点P 到直线l 的距离|22cos 2sin 4|2d θθ+--=|2cos()2|4πθ=+-，当cos()14πθ+=-时，d 取最大值，且d 的最大值为22+. 所以122(22)2222ABP S ∆≤⨯⨯+=+， 即ABP ∆的面积的最大值为22+.18.解：（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，2x ＋1，－1＜x ＜1，1， x ≥1，由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )有最大值1．所以m ＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1，a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13(a 2b ＋1＋b 2a ＋1)[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝13[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2(b ＋1)a ＋1]≥13(a 2＋b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)a ＋1) ＝13(a ＋b )2＝13．当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 即a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13． 19.解：（1）延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点. 因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥. 又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA AC A =I ， 所以OM ⊥平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ， 所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB u u u r ，CA u u u r ，AP u u u r方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则(0,0,0)C ，(0,1,0)A ，(3,0,0)B ，31(,,0)22O ，(0,1,2)P ，1(0,,0)2M ，则3(,0,0)2OM =-u u u u r ，31(,,2)22OP =-u u u r .平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则30,23120,22n OM x n OP x y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-++=⎪⎩r u u u u r r u u u r 令1z =，得(0,4,1)n =-r . 过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A =I ，所以CH ⊥平面PAB ，即CH u u u r为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，1322CH CB ==. 所以3cos 4H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=. 所以33(,,0)44CH =u u u r .设二面角A OP G --的大小为θ，则||cos ||||CH n CH n θ⋅==⋅u u u r r u u ur r 2233|0410|251441739411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 20.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则333101()120C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为1()()14400P P A P A =⋅=.（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000.333101(0)120C P X C ===，21373107(600)40C C P X C ===， 123731021(700)40C C P X C ===，373107(1000)24C P X C ===， 故X 的分布列为，所以17217()06007001000120404024E X =⨯+⨯+⨯+⨯17646=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~(3,)10Y B ，故39()31010E Y =⨯=， 所以()(1000200)E Z E Y =-=1000200()820E Y -=（元）.因为()()E X E Z <，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算.21.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0). 联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m 2－2)＞0，即m 2＜3， 且x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3，与m 2＜3矛盾.故实数m 不存在.22. 解： (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x .故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk)和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk)和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

驻马店市2023~2024学年度第二学期期终质量监测高二数学试题本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线l:x+1=0的倾斜角是A.0B.π/2C.πD.不存在2.函数y=x²−x在x=1处的瞬时变化率为A.--1B.0C.1D.23.设((x+2)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a5x6,则a₀=A.1B.2C.63D.644.某学校甲乙两个班级人数之比为2：3，在一次测试中甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为60%，现从这两个班级中随机选取一名学生，则该学生优秀的概率为A.1325 B.12C.1225D.11255.如图△ABC 是边长为a 的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形.则前n个三角形的外接圆面积之和为A.a 29(1−122n)πB.4a29(1−122n)πC.a 29(1−12n)πD.4a29(1−12n)π高二数学第1页(共 4 页)6.已知M,N 分别是正四面体ABCD 中棱AD,BC 的中点,若点 P 满足 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则 DP 与AB 夹角的余弦值为A.√1734 B.√1717 C.√1326 D.√15137.已知双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a ⟩0,b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心， √2b 为半径的圆与双曲线 E 的一条渐近线交于A ，B 两点，若 OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则双曲线 E 的离心率为 A.√52B. √3C. √5D.3 8.若函数 f (x )=16ax 3−xlnx +2x −3为定义域内的单调递增函数，则实数a 的取值范围是A.(0,e]B.[1e 3,+∞)C.[1e 3,e] D.[e,+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.如图为函数 F(x)的导函数图象，则以下说法正确的是 A. F(x)在区间[b,d]递增 B. F(x)的递减区间是[a,b],[d,f] C. F(i)为函数 F(x)极大值 D. F(x)的极值点个数为410.已知事件A 与B 发生的概率分别为 P (A )=35,P (B )=45,则下列说法正确的是A.P (AB )=1225B.P (A|B )>25 C.P (A +B )=2325D.23≤P (B|A )≤1 11.点 F 是抛物线C y²=2px (p ⟩0)的焦点，过点 F 的直线l 与C 交于A ，B 两点.分别在A,B 两点作C 的切线l ₁与l ₂,记 l₁∩l₂=M,则下列选项正确的是 A.△ABM 为直角三角形B.MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.|AF |+4|BF |≥5pD.若 M (−p2,0),则|AM|·|BF |=| BM |·|AF |三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15分.12.已知等差数列{an}满足a ₁=1,a ₂+a ₄=2a ₅-4,则{an}通项公式为 .13.二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布高二数学 第2页(共 4 页)近似运算.即：若随机变量X ~B(n，p)，当n充分大时，X 可以用服从正态分布的随机变量Y近似代替，其中X，Y的期望值和方差相同，一般情况下当np≥5,n(1−p)≥5时，就有很好的近似效果.该方法也称为棣莫佛一拉普拉斯极限定理.如果随机抛一枚硬币100次，设正面向上的概率为0.5，则“正面向上的次数大于50、小于60”的概率近似为 .(结果保留三位小数.参考数据：若X∼N(μ,σ²),则P(μ−σ≤x≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤x≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤x≤μ+3σ)≈0.997314.如图在四棱柱.ABCD−A₁B₁C₁D₁中,AC=B₁D₁=4,并,，距离为3，则多面体A₁DBC₁的且直线AC,B₁D₁的夹角为π3体积为 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.,向右15.(13分)如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为13移动的概率为2.若该质点每次移动一个单位长度，记经过，n(n∈N₊)次移动后，该质点3位于 X 的位置.(1)当n=4时,求P(X=-2),P(X>0);(2)当n=5时，求随机变量X 的分布列及数学期望.16.(15 分) 如图在三棱柱ABC−A₁B₁C₁中,AB=AC=AA₁,∠A₁AB=∠A₁AC=∠BAC=π.3(1)证明:BC⊥AA₁;(2)求二面角A₁−BC−B₁的平面角的正弦值.高二数学第 3 页(共 4 页)17.(15分)已知函数、f(x)=(x+1)ln(x+1)−2aeˣ+(2a−1)x+1.(1) 当a=0时,求 f(x)的单调区间;(2)若x=0为 f(x)的极大值点，求实数 a 的取值范围.18.(17分)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a⟩b>0),点 P 为E 上落在第一象限的动点，P 关于原点对称的点为 Q，点 A 在E 上满足.AQ⊥PQ..记直线 PQ,AQ,AP 的斜率分别为kPQ,kAQ,kAP.且满足.k PQ=2k AP.(1) 证明:k AQ×k AP=−b2a2;(2)求椭圆E 的离心率；(3)若b=1,求△APQ面积的最大值.19.(17 分)将n²个实数排成n行n列的数阵形式a₁₁ a₁₂ a₁₃···a₁na₂₁ a₂₂ a₂₃ (2)… … …a n1a n2a n3⋯a nn(1)当n=9时，若每一行每一列都构成等差数列，且a₅₅=5,求该数阵中所有数的和.(2)已知a₁₁=1,且每一行构成以1为公差的等差数列，每一列构成2为公差的等差数列，求这n²个数的和 T；(3)若a ij>0(i,j=1,2⋯n),且每一列均为公差为d 的等差数列，每一行均为等比数列.已知a₂₃=4,a₂₅=16,a₄₆=36,设S=a11+a22+⋯+a nn,求 S 的值.高二数学第4页(共 4页)。

驻马店市2018～2019学年度第二学期期终考试高二（理科）数学试题参考答案一、选择题1—5BACDC 6—10DCDBA 11-12DB二、填空题13.714.615.316.①②④三、解答题17解：(1)由1122+++=n n n a a ,12211+=++n n n n a a 即12211=-++n n n n a a 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，公差为1=d ；……………………………………6分(2)211)1(221-=⨯-+=n n a a n n ，()1212221-⋅-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n a ……………………………………8分122)12(25231-⨯-++⨯+⨯+=n n n S ①n n n S 2)12(252321232⨯-++⨯+⨯+⨯= ②①-②得nn n n S 2)12(222222112⨯--⨯++⨯+⨯+=-- n n n 2)12(21)21(411⨯----+=-……………………………………10分32)32(+⨯-=n n n S ……………………………………12分18解解:（1）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥AB ，又PB ⊥BC ，B PB AB =⋂，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA .同理CD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .……………………………………6分（2）建立如图的空间直角坐标系xyz A -，则()0,0,0A ，)0,0,2(B ()0,2,2C ，()0,0,2B ，)2,0,0(P 易知)1,1,0(E 设()111,,z y x m =为平面ABE 的一个法向量，又()1,1,0=AE ,()0,0,2=AB ，∴⎩⎨⎧==+020111x z y 令1,111=-=z y ，得()1,1,0-=.设()222,,z y x n =为平面AEC 的一个法向量，又()0,2,2=AC ∴⎩⎨⎧=+=+02202222y x z y 令1,111=-=z y 得()1,1,1-=36834-=⨯-==nm .……………………………………10分∴二面角C AE B --的正弦值为33.……………………………………12分19:解：【解析】⑴由22⨯列联表的数据，得828.1048.863754001307060140)12003000(200))()()(()(222<≈=⨯⨯⨯-=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系．…………………………………………………………………………4分⑵由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率10351211=--=P ．X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4……………………………………5分 1009103)0(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，10310321)1(12=⨯⨯==C X P ,100372110351)2(212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯==C X P ,515121)3(12=⨯⨯==C X P ，25151)4(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P X 的分布列为：X01234P 91003103710015125……………………………………………………………10分X 的数学期望为8.125145131003721031=⨯+⨯+⨯+⨯=EX （元）．……………………………………12分20.解：（1）∵(,)P x y 到点(1,0)F 的距离和到直线2x =的距离之比为2，2=，2x ≠.……………………………………………………………2分化简得：2212x y +=.故所求曲线C 的方程为：2212x y +=.…………………………………………………………4分(2)分三种情况讨论：1︒当l x ⊥轴时，由椭圆对称性易知：OMA OMB ∠=∠.2︒当l 与x 轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：OMA OMB ∠=∠0=.…………………………………………………………………………………………………8分3︒设l 为：(1)y k x =-，0k ≠，且11(,(1))A x k x -，22(,(1))B x k x -，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得：2222(21)4220k x k x k +-+-=，∴2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.………………………………………………10分设MA ,MB 所在直线斜率分别为：MA k ,MB k ，则121212121212(1)0(1)023()4222()MA MB k x k x x x x x k k k x x x x x x -----+++=+=⨯---+22222222224234212122422121k k k k k k k k k -⨯-⨯+++=⨯--⨯++222244128462k k k k k --++=⨯--0=此时，OMA OMB ∠=∠.综上所述：OMA OMB ∠=∠.…………………………………………………………………12分21.（1）∵2()2(1)42x f x x e ax ax =+++-，0a <，(,)x ∈-∞+∞.∴()2(2)()0x f x x e a =++=⇒'12x =-或2ln()x a =-.………………………………………2分1︒当ln()2a -<-，即20e a --<<时，若(,ln())x a ∈-∞-，则()0f x >'，()f x 单调递增；若(ln(),2)x a ∈--，则()0f x <'，()f x 单调递减；若(2,)x ∈-+∞，则()0f x >'，()f x 单调递增；此时，()f x 有两个极值点：ln()a -，2-.2︒当ln()2a -=-，即2a e -=-时，()0f x ≥'，()f x 单调递增，此时()f x 无极值点.3︒当ln()2a ->-，即2a e -<-时，若(,2)x ∈-∞-，则()0f x >'，()f x 单调递增；若(2,ln())x a ∈--，则()0f x <'，()f x 单调递减；若(ln(),)x a ∈-+∞，则()0f x >'，()f x 单调递增；此时，()f x 有两个极值点：2-，ln()a -.故当2a e -=-时，()f x 无极值点；当22(,)(,0)a e e --∈-∞-- 时，()f x 有两个极值点.…………………………………………………………………………………………………5分(2)由（1）知，0ln()x a =-，且2(2)4222x f e a e --=--->-，∴2a e -<，由（1）中3︒知：()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在(2,ln())a --上单调递减，在(ln(),)a -+∞上单调递增.又(0)0f =（这一步是此题的关键点，观察力）………………………………………8分1︒当ln()0a ->即1a <-时，()f x 在(0,ln())a -上单调递减，此时，0()(ln())(0)0f x f a f =-<=成立.2︒当ln()0a -=即1a =-时，0()(ln())(0)0f x f a f =-==成立.3︒当ln()0a -<即21a e --<<-时，()f x 在(ln(),0)a -上单调递增，此时，0()(ln())(0)0f x f a f =-<=成立.综上所述，0()0f x ≤，当1a =时，“=”成立.……………………………………………12分22解：【答案解析】(Ⅰ)220x y +-=(Ⅱ)4解析Ⅰ)∵ρθ=，∴θρρsin 522=,所以圆C 的直角坐标方程为220x y +=.…………………………………………………………………………5分(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得0232=+-t t ，解得11=t 或22=t ,t y x PA 2)5()3(2121=-+-=可得221===t PA 同理2222==t PB 4=⋅PB PA …………………………………………………………………………10分23解：解：（1）因为函数12)(-++=x x x f ，3)1()2(12)(=-++≥-++=x x x x x f 等号成立的条件12≤≤-x 综上，)(x f 的最小值3=t .…………………………………………………5分（2）据(1)求解知3=t ，所以3==++t c b a ，又因为0,0,0>>>c b a ，abc a c c b b a 3333≥++⇔3222≥++c a b c a b )(2)(222222c b a c ca b b c a a b c b a c a b c a b ++≥+++++=+++++，即c b a ca b c a b ++≥++222，当且仅当1===c b a 时等号成立，所以3222≥++ca b c a b ………………………………………………………10分。