北京市朝阳区2018届高三第二次综合练习(二模)数学(理)试题

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（文史类） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1B x x =≥，则AB =（ ）A ．(2]-∞，B ．(1)+∞，C ．(12)，D ．[1)+∞， 2.计算2(1)i -=（ ）A ．2iB ．2i -C ．2i -D ．2i +3.已知x ，y 满足不等式220101x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪⎩，，≤≥≤则3z y x =-的最小值是（ ）A ．1B ．3-C ．1-D ． 72-4.在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（ ）AB 62- C.625.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=（ ）A ．sin()αβ-B ．sin()αβ+ C.cos()αβ- D ．cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0)+∞，上单调递减，且0a b +>，0b c +>，，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．恒为正B ．恒为负 C.恒为0 D ．无法确定8.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．7第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = .10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是 ；渐近线方程是 .11.已知0x >，0y >，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 . 12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方，则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 ．14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(1)2π，，a ∈R .（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当[0]2x π∈，时，求函数()f x 的最小值.16.已知数列{}n a 的前n 项和2n S pn qn =+（p ，q ∈R ，*n ∈N ）且13a =，424S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17.（1）根据表中数据写出这10年内银杏数列的中位数，并计算这10年栽种银杏数量的平均数；（2）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数列比银杏数量多的概率.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD .PBC △是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =（1）求证：AB ∥平面PDC ；（2）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（3）请在图中所给的五个点P ，A ，B ，C ，D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明.19. 已知椭圆W ：22221x y a b+=（0a b >>A 在圆O ：224x y +=上（O 为坐标原点）.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R ，P 为椭圆W 上一点，且OP AQ ∥，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20. 已知函数()x f x xe =，()1g x ax =+，a ∈R .（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （2）若方程()()0f x g x -=在(22)-，上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围；（3）若对任意1[22]x ∈-，，总存在唯一的2(2)x ∈-∞，，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.。

朝阳区高三数学第二次统一练习试卷 （理工农医类）2018．5（考试时间120分钟，满分150分） 参考公式：三角函数积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βββ-++=a a a)]sin()[sin(21sin cos βββ--+=a a a)]cos()[cos(21cos cos βββ-++=a a a)]cos()[cos(21sin sin βββ--+-=a a a正棱锥、圆锥侧面积公式：cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上将该选项涂黑。

（1）设全集 I={-2，-1，21-，31，21，1，2，3}， A={31，21，1，2，3}， B={-2，2}则集合{-2}等于（）（A ）B A ⋂ （B ）A ∩B (C)B A ⋂ (D)B A ⋃（2）直线0153:1=+-y x l 与直线044:2=--y x l 所成的角的大小是（） （A ）32π （B ）3π（C ）4π （D ）6π（3）11->a是a<-1成立的（） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分且必要条件 （D ）既不充分不必要条件 （4）已知圆锥的体积为π316，中截面面积为π，则圆锥的侧面积为（） （A ）π54 （B ）π52 （C ）π62 （D ）π172（5）函数)3arccos(x y = )310(≤≤x 的反函数是（） （A ）)0(cos 312π≤≤=x x y （B ）)220(cos 312π≤≤=x x y（C ）)0(cos 312π≤≤=x x y (D))220(cos 312π≤≤=x x y (6)若幂函数ax x f =)(满足f(2)=4，那么函数|)1(log |)(+x x g a 的图象为（）（7）如图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是（）（A ）33 （B ）32 （C ）63 （D ）62 （8）函数)4cos()4cos(2)(ππ-+=x x x f 周期为（）（A ）π (B)23π （C ）2π （D ）3π（9）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙。

朝阳区高三综合练习英语2018.5笔试试卷本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至10页。

第Ⅱ卷11至12页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（三部分，共115分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

第一部分：听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. ￡19.15B. ￡9.15C. ￡9.18答案是B.1. What are the two speakers talking about?A. New York City.B. An evening party.C. An air trip.2.What will the man probably do next?A. Give his order.B. Try some apples.C. Remove the salads.3. What do you think the man most possibly is?A. A writer.B. A publisher.C. A book salesman.4. When will the shirts be finished?A. By Friday morning.B. By Saturday morning.C. By Saturday afternoon.5. Where did this conversation most probably take place?A. At a bank.B. At a hotel.C. At a restaurant.第二节（共15小题；每题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白，每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

2018北京高三二模分类汇编--数列一、选择、填空题1、（2018东城二模）设等比数列 {a n }的公比 q=2 ，前n 项和为S n ，则S4a2= 2、（2018顺义二模）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若11a =-，1035S =，则20a =__________3、（2018丰台二模）已知等比数列中，143527,a a a a ==，则7a =A ．127B ．19C ．13D ．34、（2018通州二模）已知等比数列{}n a 中，11a =，2327a a =，则数列{}n a 的前5项和5=S5、（2018西城二模）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若11a =，23S S >，则数列{}na 的通项公式可以是____ 解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．2、（2018海淀二模）（本小题13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；{}n a（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理由.3、（2018东城二模）（本小题13分）设,a λ均是正整数，数列{}n a 满足：1a a =，1,2,nn n n n a a a a a 是偶数，是奇数.λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩（I ）若33a =，5λ=，写出1a 的值；（II ）若1a =，λ为给定的正奇数，求证：若n a 为奇数，则n a l £；若n a 为偶数，则2n a l £；（III ）在（II ）的条件下，求证：存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =.4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分） 若无穷数列{}na满足:存在*(),,p q a a p q p q =∈>N ,并且只要 p q a a =就有p i q i a ta ++=（t 为常数,1,2,3,i =L）,则称{}na具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ,且1245 4,5,1,5,3,a a a ta =====78936a a a ++=,求3a ;（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n n S b b +∈R ,证明存在无穷多个b 的不同取值,使得数列{}n a 有性质T ;（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在*(),,pq a a p q p q =∈>N ,且*1cos n n na b a n +=∈N （）.求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n na k t Sa k t n a k t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-L ． （Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值； （Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）．6、（2018昌平二模）(本小题13分)7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =.已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．9、（2018通州二模）（本小题13分）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（Ⅰ）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 判断{}n c 是否为准等差数列，并求出{}n c 的第8项，第9项以及前9项的和9T ；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：a a =1，且对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++成立，{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（ii ）求证：{}n a 为等差数列的充分必要条件是22n n S =.2018北京高三二模数学（理）分类汇编—数列答案选择 1、1522、183、A4、145、2n -+ 解答题1、（2018西城二模）（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥的各项均为整数，满足：1(1,2,,)i a i n -=L ≥，且123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L ，其中10a ≠．（Ⅰ）若3n =，写出所有满足条件的数列3A ； （Ⅱ）求1a 的值；（Ⅲ）证明：120n a a a +++>L ．解：（Ⅰ）满足条件的数列3A 为：1,1,6--；1,0,4-；1,1,2-；1,2,0-． （Ⅱ）11a =-．否则，假设11a ≠-，因为10a ≠，所以11a ≥．又23,,,1n a a a -L ≥，因此有 12312312222n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L1232(1)2(1)2(1)2(1)n n n ---+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥123222211n n n ---=-----=L ，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！ 所以11a =-．（Ⅲ）先证明如下结论：{1,2,,1}k n ∀∈-L ，必有12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤.否则，令 12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅>L ，注意左式是2n k -的整数倍，因此 12122222n n n k n k k a a a ----⋅+⋅++⋅L ≥． 所以有：12312312222n n n n na a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+L 122(1)2(1)2(1)2(1)n kn k n k -----+-⋅+-⋅++-⋅+-L ≥1222221n k n k n k -----=-----L1=，这与123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L 矛盾！ 所以12122220n n n k k a a a ---⋅+⋅++⋅L ≤． 因此有：112123121212312210,20,420,2220,2220.k k k k n n n n a a a a a a a a a a a a a a -------<⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+LL LL ≤≤≤≤将上述1n -个不等式相加得 12121(21)(21)(21)0n n n a a a ---⋅-+⋅-++⋅-<L ， ① 又123123122220n n n n n a a a a a ----⋅+⋅+⋅++⋅+=L，②两式相减即得 120n a a a +++>L ． 2、（2018海淀二模）（本小题13分）如果数列{}n a 满足“对任意正整数,,i j i j ≠，都存在正整数k ，使得k a =i a j a ”，则称数列{}n a 具有“性质P ”.已知数列{}n a 是无穷项的等差数列，公差为d （Ⅰ）若1=2a ，公差=3d ，判断数列{}n a 是否具有“性质P ”，并说明理由； （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P ”，求证：10a ≥且0d ≥；（Ⅲ）若数列{}n a 具有“性质P ”，且存在正整数k ，使得2018k a =，这样的数列共有多少个？并说明理由.解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n a 不具有性质P ． 理由如下：由题知31n a n =-，对于1a 和2a ，假设存在正整数k ，使得12k a a a =，则有312510k -=⨯=，解得113k =，矛盾！所以对任意的*k ∈N ，12k a a a ≠． （Ⅱ）若数列{}n a 具有“性质P”，则①假设10a <，0d ≤，则对任意的*n ∈N ，1(1)0n a a n d =+-⋅<.设12k a a a =⨯，则0k a >，矛盾！②假设10a <，0d >，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++<<<⋅⋅⋅<≤<<<⋅⋅⋅设111t k a a a +⋅=，212t k a a a +⋅=，313t k a a a +⋅=，…，1121t t k a a a ++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +>>>>⋅⋅⋅>，但数列{}n a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！③假设10a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得123120t t t a a a a a a ++>>>⋅⋅⋅>≥>>>⋅⋅⋅设112t t k a a a ++⋅=，213t t k a a a ++⋅=，314t t k a a a ++⋅=，…，1122t t t k a a a +++⋅=，*i k ∈N ，1,2,,1i t =+L ，则12310t k k k k a a a a +<<<<⋅⋅⋅<，但数列{}n a 中仅有t 项大于等于0，矛盾！ 综上，10a ≥，0d ≥．（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k a =．若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n a =恒成立，故对任意的正整数k ，21220182018k a a a =≠=⋅，这与数列{}n a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠．设x 是数列{}n a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n a 中的项，设 1()k a x x d =+，2(2)k a x x d =+则2121()k k a a xd k k d -==-⋅，因为0d ≠，所以21x k k =-∈Z ，即数列{}n a 的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，10a ≥，0d ≥，故数列{}n a 的每一项均是自然数，且d 是正整数．由题意知，2018d +是数列{}n a 中的项，故2018(2018)d ⋅+是数列中的项，设2018(2018)m a d =⋅+，则2018(2018)2018201820172018()m k a a d d m k d -=⋅+-=⨯+=-⋅，即(2018)20182017m k d --⋅=⨯． 因为2018m k --∈Z ，*d ∈N ，故d 是20182017⨯的约数．所以，1,2,1009,2017,21009,22017,10092017d =⨯⨯⨯,210092017⨯⨯．当1d =时，12018(1)0a k =--≥，得1,2,...,2018,2019k =，故12018,2017,...,2,1,0a =，共2019种可能；当2d =时，120182(1)0a k =--≥，得1,2,...,1008,1009,1010k =，故12018,2016,2014,...,4,2,0a =，共1010种可能；当1009d =时，120181009(1)0a k =-⨯-≥，得1,2,3k =，故12018,1009,0a =，共3种可能；当2017d =时，120182017(1)0a k =--≥，得1,2k =，故12018,1a =，共2种可能；当21009d =⨯时，120182018(1)0a k =-⨯-≥，得1,2k =，故12018,0a =，共2种可能；当22017d =⨯时，1201822017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当10092017d =⨯时，1201810092017(1)0a k =-⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能；当210092017d =⨯⨯时，12018210092017(1)0a k =-⨯⨯⨯-≥，得1k =，故12018a =，共1种可能．综上，满足题意的数列{}n a 共有201910103221113039+++++++=（种）． 经检验，这些数列均符合题意． 3、（2018东城二模）（本小题13分）设,a λ均是正整数，数列{}n a 满足：1a a =，1,2,nn n n n a a a a a 是偶数，是奇数.λ+⎧⎪=⎨⎪+⎩（I ）若33a =，5λ=，写出1a 的值；（II ）若1a =，λ为给定的正奇数，求证：若n a 为奇数，则n a l £；若n a 为偶数，则2n a l £；（III ）在（II ）的条件下，求证：存在正整数(2)n n ≥，使得1n a =. 解：（I ）1或12.（II ）①当1,2n =时，11a =为奇数，1a λ≤成立，21a λ=+为偶数，22a λ≤.②假设当n k =时，若k a 为奇数，则k a λ≤，若k a 为偶数，则2k a λ≤. 那么当1n k =+时，若k a 是奇数，则1k k a a λ+=+是偶数，12k a λ+≤； 若k a 是偶数，12kk a a λ+=≤. 此时若1k a +是奇数，则满足1k a λ+≤，若1k a +是偶数，满足12k a λλ+≤≤. 即1n k =+时结论也成立.综上，若n a 为奇数，则n a λ≤；若n a 为偶数，则2n a λ≤（III ）由（II ）知，{}n a 中总存在相等的两项.不妨设()r s a a r s =<是相等两项中角标最小的两项，下证1r =.假设2r ≥.①若r s a a λ=≤，由110,0r s a a -->>知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -除以2得到，即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾；②若r s a a λ=>，由112,2r s a a λλ--≤≤知r a 和s a 均是由1r a -和1s a -加上λ得到， 即有11r s a a --=，与r 的最小性矛盾； 综上，1r =，则11s a a ==.即若1a =，λ是正奇数，则存在正整数(2)n n ≥，使得1n a = 4、（2018朝阳二模）（本小题满分13分） 若无穷数列{}na满足:存在*(),,p q a a p q p q =∈>N ,并且只要p q a a =就有p i q i a ta ++=（t 为常数,1,2,3,i =L）,则称{}na具有性质T ．（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ,且1245 4,5,1,5,3,a a a ta =====78936a a a ++=,求3a ;（Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n n S b b +∈R ,证明存在无穷多个b 的不同取值,使得数列{}n a 有性质T ;（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列,数列{}n a 中存在*(),,pq a a p q p q =∈>N ,且*1cos n n na b a n +=∈N （）.求证:“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分不必要条件.【解析】（Ⅰ）因为{}n a 具有性质T ,且255,a a ==所以6374859633,33,315,39,a a a a a a a a a =======由78936aa a ++=,得3315936a ++=,所以32a =,经检验符合题意.（Ⅱ）因为无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ,且=2()n nS b b +∈R , 所以1=2,a b +当2n ≥时,11=222nn n n a ---=,若存在(),pq a a p q =>则1q =,取122p b -=-(,p ∈N 且2,p p ≥为常数), 则12p pq a a -==,对12p t-=,有11+1122(1,2,3)p i p p i i i a a ta i +--++====L所以数列{}n a 有性质T ,且b 的不同取值有无穷多个.（Ⅲ）证明:当{}n b 为常数列时,有n b m =(常数),*1cos ()n n a m a n +=∈N对任意正整数1a ,因为存在p q a a =,则由cos cos p q m a m a =,必有+11p q a a +=,进而有+(1,2,3,)p iq i a a i +==⋅⋅⋅,这时1t =,+(1,2,3,)p i q i a ta i +==⋅⋅⋅所以{}n a 都具有性质T .所以,“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的充分条件.取π,21,20,2,n n k b n k ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩*()k ∈N ,对任意正整数1a ,由*11cos (2,)nn n a b a n n --=≥∈N ,得2112πcos cos 2a b a a ==,因为1a 为正整数,所以20a ≠,且12a a ≠.322433πcos 0,cos ,2a b a a b a ====⋅⋅⋅当3n ≥时,0,21,π,22,2n n k a n k =+⎧⎪=⎨=+⎪⎩*()k ∈N对任意,p q ,则,p q 同为奇数或同为偶数, ①若,p q 同为偶数,则+(1,2,3,)p i q i a a i +==⋅⋅⋅成立; ②若,p q 同为奇数,则+(1,2,3,)p iq i a a i +==⋅⋅⋅成立; 所以若对于任意,p q 满足pq a a =,则取1t =,+1p i q i a a +=⨯,故{}n a 具有性质T ,但{}n b 不为常数列,所以“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1a ,{}n a 都具有性质T ”的不必要条件.证毕.5、（2018丰台二模）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1=0a ，2=a m ，当2n ≥时，11,,,,1,.n n n na k t Sa k t n a k t +->⎧⎪==⎨⎪+<⎩其中，k 是数列的前n 项中1i i a a +<的数对1(,)i i a a +的个数，t 是数列的前n 项中1i i a a +>的数对1(,)i i a a +的个数(1,2,3,,1)i n =-L ．（Ⅰ）若5m =，求3a ，4a ，5a 的值； （Ⅱ）若n a (3)n ≥为常数，求m 的取值范围；（Ⅲ）若数列{}n a 有最大项，写出m 的取值范围（结论不要求证明）． 解：（Ⅰ）因为1=0a ，2=5a ， 所以 12a a <，所以 3214a a =-=．因为 23a a >，所以1234341a a a a ++==-．因为34a a >，所以 54+14a a ==． 所以34a =，43a =，54a =． （Ⅱ）当0m =时，30a =，40a =，当0m >时，因为 12a a <，所以 32211a a m a =-=-<， 所以12342133a a a m a ++-==．因为34a a =，所以2113m m --=，所以2m =． 当0m <时，因为 12a a >，所以 32211a a m a =+=+>， 所以12342133a a a m a +++==．因为34a a =，所以 2113m m ++=，所以 2m =-． 所以3n ≥时，1n n a a +=为常数的必要条件是 {2,0,2}m ∈-． 当2m =时，341a a ==，因为当3(3)n k k ≤≤>时，1n a =，都有 102111n n S a n n+++++===L ， 所以当2m =符合题意，同理 2m =-和0m =也都符合题意． 所以m 的取值范围是 {2,0,2}-． （Ⅲ）{|2m m ≤-或02}m ≤≤．（若用其他方法解题，请酌情给分）6、（2018昌平二模）(本小题13分)故1,49p px ==， 即36x p ==.7、（2018顺义二模）（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a L .如果数列12:,,,n n B b b b L 满足1n b a =，11k k k k b b a a --+=+，其中2,3,,k n =L ，则称n B 为n A 的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列4:3,1,2,5A 的“陪伴数列”4B ；（Ⅱ）若9A 的“陪伴数列”是9B .试证明：991,,b a a 成等差数列. （Ⅲ）若n 为偶数，且n A 的“陪伴数列”是n B ，证明：1n b a =. 解：（Ⅰ）4:5,1,4,3B -.（Ⅱ）证明：对于数列n A 及其“陪伴数列”n B ，因为19b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……8989b b a a +=+，将上述几个等式中的第2,4,6,8,这4个式子都乘以1-， 相加得1122389122389()()()()()()n b b b b b b b a a a a a a a -+++-++=-+++-++L L即9919912b a a a a a =-+=- 故9912a b a =+所以991,,b a a 成等差数列.（Ⅲ）证明：因为1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n L这2n个式子都乘以1-，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+L L 即1n b a -=-，1n b a =.8、（2018房山二模）（本小题13分）已知集合{}123,,,...n A a a a a =，其中i N +∈，1,2≤≤>i n n ，()1()1i j A a a i j n +≤<≤表示中所有不同值的个数.（Ⅰ）设集合{}{2,4,6,8},2,4,8,16P Q ==,分别求()()11P Q 和；（Ⅱ）若集合{}2,4,8,...,2,nA =求证：()()112-=n n A ；（Ⅲ）()1A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由()246,268,2810,4610,4812,68141P =5+=+=+=+=+=+=得由()246,2810,21618,4812,416208+16=241Q =6+=+=+=+=+=，得 （Ⅱ）证明: ()1i j a a i j n +≤<≤Q 最多有()212n n n C -=个值,()()11,2n n A -∴≤又集合{}2,4,8,...,2,nA =任取(),1,1,i j k l a a a a i j n k l n ++≤<≤≤<≤当1j ≠时,不妨设111,22,j ii j j k j a a a a a a +<+<=≤<+则即1,i j k a a a a +≠+当11,,i j k j i k a a a a =≠+≠+时， ∴当且仅当,1i k j ==时1=,i j k a a a a ++ 即所有()1i j a a i j n +≤<≤的值两两不同，()()11=,2n n A -∴（Ⅲ）()1A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设123...,n a a a a <<<<可得1213121......,n n n n a a a a a a a a a a -+++<<+<<<<+，∴()1i j a a i j n +≤<≤中至少有23n -个不同的数，即()123A n ≥-，取{}1,2,3,...,,A n =则，{}3,4,5,...,21,i j a a n +∈-，即i j a a +的不同值共有23n -个， 故()1A 的最小值为23n -．9、（2018通州二模）（本小题13分）若数列{}n b 满足：对于*∈N n ，都有d b b n n =-+2（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（Ⅰ）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 判断{}n c 是否为准等差数列，并求出{}n c 的第8项，第9项以及前9项的和9T ；（Ⅱ）设数列{}n a 满足：a a =1，且对于*∈N n ，都有n a a n n 21=++成立，{}n a 的前n 项和为n S ．（i ）求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（ii ）求证：{}n a 为等差数列的充分必要条件是22n n S =.解：（Ⅰ）解：当n 为奇数时，28n n c c +-=，当n 为偶数时，28n n c c +-=， 所以{}n c 为准等差数列. 且418=c ，359=c.21124)4117(25)353(9=⨯++⨯+=T （Ⅱ）（i ）证明：因为12n n a a n ++=， ①)1(221+=+++n a a n n ②②-①得22=-+n n a a ． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为奇数时，12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， ⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1. （ii ）证明：若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则由22=-+n n a a , 得到1d =，又122a a +=，求得12a =，所以12n a n =-. 所以2122n n a a n S n +=⋅=.若22n n S =，则112n n n a S S n -=-=-(其中2n ≥).又 1112a S ==，所以11n n a a --=， 即{}n a 为等差数列.。

数学试卷（理工类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知全集R U =，集合{}21xA x =>，{}2340B x x x =-->，则UAB =A ．{}04x x ≤< B ．{}04x x <≤ C ．{}10x x -≤≤ D ．{}14x x -≤≤ 2.复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ． 第四象限3.已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6BC ．32D ． 344.在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为32，则BAC ∠ 等于A ．60或120B ．120C ．150D ．30或1505.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4ρθπ=+，则直 线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 6.下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ，a，2(1),λb ，(11)-，c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；:r 若111adx =x⎰（1a >），则e =a . 其中所有的真命题是A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r 7.直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[2,)+∞D ．(,1]-∞- 8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.2 C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.二项式25(+ax 展开式中的常数项为5，则实数a =_______.10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______.11.若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .（第10题图）12.如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ．若CD =则AB =_______， EF =_________．13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加 投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件.当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大.（年利润=年销售总收入-年总投资） 14.在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的 第5行第3列的数是 ；记第3行的 数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅ 为数列{}n b ，则数列 {}n b 的通项公式为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分）已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M . （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若cos +cos =2cos c B b C a B ， 求()f A 的取值范围．16. （本小题满分13分）一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；（Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望.第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ， =4,=2,=1AB AE EF .（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ； （Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值. 18. （本小题满分14分） 已知函数22()ln (0)af x a x x a x=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 19. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(A，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且 PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围. 20．（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()*N k ∈时，1)(21=--k k a a ，令1()nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值； （Ⅱ）求)(n A S 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=？若存在，求出数列n A ；若不存在，ECBDMA F说明理由．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学答案（理工类） 2012.5二、填空题：9. 1 10. 13 11.1212. 3 13. 2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩16 14. 16，121n n a n -=++三、解答题：15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由()12(cos 21)22f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分 因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上， 所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =. ……5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分 所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()84P A C +==. 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.…4分 （Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739281()843C C P B C ===.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. ……8分 （Ⅲ）X 的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21C C C C P X C +===， 12212424394(3)21C C C C P X C +===，12212626393(4)7C C C C P X C +===， 1218391(5)3C C P X C ===. ……11分X 的数学期望234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN //AB ，又14CM AC =，所以14MN AB =.又EF //AB 且14EF AB =，所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形，所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以//EM 平面FBC . ……4分（Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .由已知可得 (0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F .显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB .EDCM AF B N则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥AF BC AF EB .即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC . （Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2)BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分 因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且=EA AB A ，所以⊥BC 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x, 令2=x ，则(2,2,3)n =.所以cos <,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角A-FB-D 锐角，故二面角A-FB-D . ……14分 18. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >.()()22210a a f x x x x '=-+>.根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=，解得1a =-或32a =. ……3分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x +--+'=-+==>.（1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<.所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. ……9分 （III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---.2()ln(2)3ln(2)22g a a aa a -'=-+-=---， 令()0g a '=，得21e 2a =-.当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：2e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点. 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立. ……14分19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y 12=-，整理得221(2x y x +=≠. 所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠. ………5分（II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+.设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q ky k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++. ………9分 由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++. 令0x =解得211212P k y k k k==++. .………10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤=； 当0k <时，因为12k k +≤-0P y >≥=………12分 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[. .………13分 20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有： （1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ； （3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -； （5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -； 所以，)(5A S 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分（Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），因为11n n n a a c ---=，所以 11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++ 11221n n a c c c c --==+++++．因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++=，且n 为奇数，121,,,n c c c -是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列．所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++．则当121,,,n c c c -的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大， 此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++2(1)4n -=． 证明如下：假设121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤，112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t =．所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++122[()()()]t n m n m n m --+-++-122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑．所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c -的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c -的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()t i i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2-n 是奇数，而12()tiii n m =-∑是偶数，因此不存在数列nA，使得4)3()(2-=n A S n ． ……13分。

北京朝阳区高三第二次统一考试数学（理工农医类）试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在等比数列{}31551,30,34,a a a a a a n 则若中=-=+等于 （ ）A ．8B ．－8C ．±8D ．162．抛物线)0(242>=a ax y 上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为（ ）A ．x y 82=B ．x y 122=C ．x y 162=D ．x y 202=3．设βα,是不重合的两个平面，m 、n 是不重合的两条直线，能使βα//成立的成件是（ ） A ．αββα//,//,,n m n m 且⊂⊂ B ．n m n m //,,且βα⊂⊂C ．n m m n //,,且βα⊥⊥D ．n m m n //,//,//且βα4．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 到过顶点A （a ，0），B （0，－b ）的直线的距离为3b ，则椭圆的离心率为（ ）A ．33-B ．233- C ．53-D ．453- 5．已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为 （ ）①]2,0(π=⋂⋂P N M ②],0[π=⋃⋃P N M③]2,0[)(π=⋃⋂P N M ④)2,0()(π=⋂⋃P N MA ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．若过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，并且AB=BC=CA=3， 则球面面积是 （ ） A ．332πB ．16πC ．4πD ．48π7．43arccos ,2,31arcsinarctg 的大小关系是 （ ）A ．43arccos 231arcsin>>arctg B ．231arcsin 43arccosarctg >>C ．31arcsin 43arccos 2>>arctg D ．31arcsin 243arccos>>arctg 8．当θθπθsin 2cos ,)2,0[i z +=∈复数时在复平面上对应的点的轨迹是 （ ）A ．椭圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．圆D ．双曲线的一支第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．空间有10个点，其中有5个点共面（除此之外再无4点共面），以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作 个四面体（用数字作答）. 10．不等式13+≤+x x 的解集是 .11．圆02sin 342=+-θρρ的圆心的极坐标为 ，半径r= . 12．)20(sec 4csc )(22παααα<<+=f ，当αtg = 时，)(αf 的最小值为.13．一个圆台的母线长为5cm ，两底面圆的半径之比为1:4，侧面展开图扇环的圆心角为56π，则此圆台的侧面积为 ，体积为 .14．已知函数)(x f 是定义域为R 的偶函数，且它的图象关于直线x =2对称，则函数)(x f 的周期为 ，若2)63(-=f ，则)1(f = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知函数.)cos (sin 22sin )(2a x x x x f ++-=（1）设t x x t ,cos sin +=为何值时，函数y 取得最小值； （2）若函数y 的最小值为1，试求a 的值. 解：（1）22),4sin(2cos sin ≤≤-+=+=t x x x t π，………………3分.12sin ,2sin 1cos sin 2122-=+=+=∴t x x x x t …………6分 .2)1(212222-+-=+--=∴a t a t t y ………………8分 22≤≤-t ，1=∴t 当时，函数y 取得最小值.22-a ………………11分（2）3,122±=∴=-a a . 答：a 的值为.3±………………13分 16．（本小题满分13分）已知函数)2lg(2)(),1lg()(t x x g x x f +=+=（t 为参数）. （1）写出函数)(x f 的定义域和值域；（2）当]1,0[∈x 时，求函数)(x g 解析式中参数t 的取值范围； （3）当]1,0[∈x 时，如果)()(x g x f ≤，求参数t 的取值范围. 解：（1）函数)(x f 的定义域为),1(+∞-，值域为R.………………4分 （2）]1,0[,02∈>+x t x .0>∴t ……………………7分（3）当⇔⎩⎨⎧+≤+>+⇔≤≤≤tx x t x x g x f x 2102)()(,10时 .)21()10(21max x x t x x x t -+≥⇔≤≤-+≥………………9分设,1,21,1,212-=≤≤+=-+=m x m x m x x U 则…………11分.281)41(222)1(2222++--=++-=--=∴m m m m m U 当.1,)0(1max ===U x m 时 .1≥∴t ……………………13分17．（本小题满分14分）已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形，且A 1A 与底面相邻两边AB ，AC 所成的角都是45°.（1）求证：A 1A ⊥BC ；（2）求A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（3）若点A 1到平面BC 1的距离等于斜三棱柱的高的21，求四棱锥A —BB 1C 1C 的体积. （1）证明：过点A 1作A 1O ⊥平面ABC 于O ，过O 作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 于F ，连结AO 并延长交BC 于D ，连结A 1E ，A 1F ，则有A 1E ⊥AB ，A 1F ⊥AC.……2分 在Rt △A 1EA 和Rt △A 1FA 中，AF A AE A 11∠=∠，又A 1A 为公共边，EA A Rt 1∆∴≌.1FA A Rt ∆.AF AE =∴ 在Rt △AEO 和Rt △AFO 中， AE=AF ，AO 为公共边， AEO Rt ∆∴≌.AFO Rt ∆ .OAF OAE ∠=∠∴即AD 为BAC ∠的平分线.…………4分 ABC ∆ 为正三角形，.BC AD ⊥∴ ⊥O A 1 平面ABC ， ⊂BC 平面ABC ，A A BC 1⊥∴…………6分（2）解：由（1）知AO 为A 1A 在平面ABC 上的射影，AO A 1∠∴为A 1A 与平面ABC 所成的角.…8分设︒=∠∆=45,,111AB A EA A Rt x A A 中在， 2x AE =∴.在.36,306021,x AO OAE AEO Rt =∴︒=︒⋅=∠∆中 .36cos ,111==∠∆A A AO AO A AO A Rt 中在 .36arccos1=∠∴AO A A A 1∴与平面ABC 所成的角为.36arccos ……10分 （3）解：过A 1作A 1M ⊥BB 1于M ，A 1N ⊥CC 1于N ，连结MN ，取B 1C 1的中点为D 1，连结DD 1交MN 于H ，则有Rt △A 1MB 1≌Rt △A 1NC 1，A 1M=A 1N. 由（1）知BC ⊥AA 1. .,//111BC BB AA BB ⊥∴ ∴平面四边形BB 1C 1C 为矩形. .,//1111N A BB CC BB ⊥∴.11MN A BB 平面⊥∴ .1MN BB ⊥∴又C B BB 11平面⊂，∴平面A 1MN ⊥平面B 1C. 又H 为MN 的中点， ..111C B H A MN H A 平面⊥∴⊥∴ H A 1∴为点A 1到平面B 1C 的距离.……12分易求.21a H A =则326343323211111111111a a a V V V V C B A ABC C AB A C B A ABC C C BB A =⋅⋅==-=----.…………14分 18．（本小题满分13分）设函数)(x f 的定义域为R +，当,0)(,1<>x f x 时且对于任意x ，+∈R y ，都有)()()(y f x f xy f +=成立；数列{}.1),)(21()(11=∈+-=+a N n a f a f a n n n 且满足 （1）求)1(f 的值；（2）求证：当+∈R x 时，函数)(x f 是减函数；（3）求数列{}n a 的通项公式n a ，设S n 是数列{}n a 的前n 项和，求12lim 2-∞→n S nn 的值.18．解：（1）令.0)1().1()1()1(,1=∴+===f f f f y x 则………………3分（2）令).1()(.0)1()1()()1(,1xf x f f xf x f x x f x y -=∴==+=⋅=则……………5分设).()1()()()(,012121212x x f x f x f x f x f x x =+=->>则 ,112>x x由题设知：.0)()(.0)(1212<-∴<x f x f x xf+∴R x f 在)(上是减函数.……………………8分 （3）由).2()(),21()(11+=+-=++n n n n a f a f a f a f 得…………10分 ).(2,211N n a a a a n n n n ∈=-+=∴++即∴数列}{n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则12-=n a n . .2112lim ,2)121(22=-=-+=∞←n S n n n S n n n ……………………13分19．（本小题满分14分）元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定征税率降低)0(≠x x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点. （1）根据题中条件写出m 的值；（2）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（3）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围. 19．解：（1）m=200（元）………………4分 （2）降低税率后的税率为)%10(x -，农产品的收购量为%)21(x a +万担，收购总金额 %)21(200x a +，……………………6分 依题意：).100)(10)(2100(501)%10%)(21(200<<-+=-+=x x x a x x a y ……10分 （3）原计划税收为).(20%10200万元a a =⋅ 依题意得：%,2.8320)10)(2100(501⨯≥-+a x x a ………………12分 化简得，,100.242,084402<<≤≤-∴≤-+x x x x 又.20≤<∴x答：x 的取值范围是.20≤<x ……………………14分 20．（本小题满分13分）如图，已知两定点A （－c ，0），B （2c ，0）（c>0）.（1）在△AMB 中，求使∠MBA=2∠MAB 的顶点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线； （2）自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功.直到十九世纪，其不可能性才被Galois 的方程论证明.但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =I（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（C ）{}12x x << （D ）322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b <（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是 （A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6（4）已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的 部分图象如图所示，则ϕ= （A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3（5）已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧（6）若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是π3π122-2O y x开始 i =0 结束i =i +a >输出是否a =2输入（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C） （D）)+∞ （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是 （A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元（8）如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P 的轨迹长度是 （A ）83π （B ）163π（C ）4π （D ）5π第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____． （10）5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示）（11）如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．{}n a 的前n 项和为n S ，且满足（13）已知数列24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ；数列2{log }n a 的前n 项和为 ．（14）若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x=； ④()sin f x x x =， 其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ．（第11题图）22俯视图侧视图正视图（第12题图）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos2B 的值．（16）（本小题满分13分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率； 学生，记ξ为3位（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位随机变量ξ的分学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求布列和数学期望E ξ．（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值； （Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数21()e1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．（19）（本小题满分14分）0.0.0.0.服务时间FABCDP E已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.（20）（本小题满分13分）已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ； （Ⅱ）求证：543T mT tT =--；（Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数2018．515．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 23ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． ……………7分（Ⅱ）由sin sin a bA B=3sin B =，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． ……………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +=== ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=； 11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=； 3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=． 随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． (13)分17．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形，E P DCBAF所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点， 所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD I 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥． 又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =u u u r，3(2DE =u u u r ，(1,1,0)DF =u u u r ． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =u u u r是平面FAD 的一个法向量．设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,5OP OP OP ⋅<>===⋅u u u ru u u r u u u rn n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A10分 （Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -u u u r． 由（Ⅱ）可知平面EDF的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λu u u rn ．于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC u u u r 与PC uuu r共线．因为(1,2,PC =-u u u r ，111(+1,2,)CG x y z =-u u u r，所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解． 故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得21()2ex f x a +'=-． 因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． ……………3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2ex f x a +'=-． （1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞； 令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． ……………8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ．“当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立” 等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=． 令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =．所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． ……………13分（Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+．。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试 （文史类）2018．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2320A x x x =-+<，{}1B x x =≥，则=ABA ．(],2-∞B ．()1+∞，C ．()12，D ．[)1+∞， 2.计算()21i -=A.2iB. 2i -C. 2i -D. 2+i3.已知,x y 满足不等式组220101,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，则3z y x =-的最小值是A.1B.3-C.1-D.72-4.在ABC △中，ππ1,,64a A B =∠=∠=，则c =A.D.25.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点A ，B ，则OA OB ⋅=A. sin()αβ-B. sin()αβ+C. cos()αβ-D. cos()αβ+7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，且0a b +>，0b c +>，0a c +>，则()()()f a f b f c ++的值A ． 恒为正B ．恒为负C ．恒为0D ．无法确定8.某校中国象棋社团组织比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次却比其他人都少.则本次比赛的参赛人数至少为 A. 5 B. 6 C. 7 D.8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S = ．10.双曲线22143x y -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是___________．11. 已知0,0x y >>，且满足4x y +=，则lg lg x y +的最大值为 .12. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_________.13.在平面直角坐标系xOy 中，点P （不过原点）到x 轴，y 轴的距离之和的2倍等于点P 到原点距离的平方.则点P 的轨迹所围成的图形的面积是 . 14. 如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且四面体ABCD 始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小正周期为 ；()S x 的最小值为 ．俯视图三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2π，a ∈R ． （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最小值．16．(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和2(,,*)n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24a S ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n a n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．某市的一个义务植树点，统计了近10年栽种侧柏和银杏的数据（单位：株），制表如下：平均数；（Ⅱ）从统计的数据中，在栽种侧柏与银杏数量之差的绝对值不小于300株的年份中，任意抽取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏数量多的概率.18．(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中，△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===.（Ⅰ）求证：AB //平面PDC ；（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积；（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明．．.已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>，其左顶点A 在圆22:4O x y +=上（O 为坐标原点）． （I ）求椭圆W 的方程；(II) 过点A 作直线AQ 交椭圆W 于另外一点Q ，交y 轴于点R .P 为椭圆W 上一点,且//OP AQ ，求证：2AQ AR OP⋅为定值.20． (本小题满分13分)已知函数()e xf x x =，()1g x ax =+，a ∈R .（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()0f x g x -=在(2,2)-上恰有两个不同的实数根，求a 的取值范围; （Ⅲ）若对任意1[2,2]x ∈-，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得21()()f x g x =，求a 的取值范围.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（文史类） 2018．5二、填空题（本题满分30分）三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sin cos )1222a πππ+-=，即2(10)1a +-=， 解得1a =． ()2s i n (s i n c o sf x x x x =+- 22sin 2sin cos 1x x x =+-sin 2cos2x x =-)4x π=-．由222242k x k πππ-+π≤-≤+π（k ∈Z ），得322244k x k ππ-+π≤≤+π， 所以388k x k ππ-+π≤≤+π， 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,88k k k ππ-+π+π](∈)Z ．……………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π=-．当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，所以sin(2)14x π≤-≤．所以1()f x -≤≤所以当244x ππ-=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-．……………13分 16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据题意得3,16424.p q p q +=⎧⎨+=⎩即3,4 6.p q p q +=⎧⎨+=⎩. 解得1,2.p q =⎧⎨=⎩所以22n S n n =+.当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=+．因为13211a ==⨯+也适合上式， 所以21(*)n a n n =+∈N . ……………7分（Ⅱ）因为23121242n n n n b b +++==，且131228a b ===， 所以数列{}n b 是以8为首项，4为公比的等比数列，所以8(14)8(41)143n nn T -==--．……………… 13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）这10年中栽种银杏数量的中位数为3700株.设平均数为x ，则34003300360036003700420044003700+4200+4200=383010x +++++++=株.……… 4分（Ⅱ）根据表中数据，满足条件的年份有2009，2010，2011，2013，2014共5年.从这5年中抽取2年，有2009，2010；2009，2011；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2010，2013；2010，2014；2011，2013；2011，2014；2013，2014共10种情况.设事件A 表示“任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多”.则事件A 包括2009，2010；2009，2013；2009，2014；2010，2011；2011，2013；2011，2014共6种情况.所以63()==105P A . 答：任取2年，恰有1年栽种侧柏的数量比银杏的数量多的概率为35………………13分 18. （本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）因为ABDC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，连接PF .又因为PB PC =，所以PF BC ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC平面ABCD =BC ，所以PF ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =，且1=(35)4162ABCD S +⨯=梯形.又因为3PB =，BF =,所以2PF =.所以1132162333P ABCD ABCD V S PF -=⋅=⋅⋅=梯形.……………… 9分 （Ⅲ）,A P 点为所求的点. 证明如下：连接,AF AC . 在直角梯形ABCD 中，因为AB DC ，且AD DC ⊥，4,3AD DC ==，所以5AC =.因为5AB =，点F 为BC 中点，所以AF BC ⊥. 又因为BC PF ⊥,AFPF F =，所以BC PAF ⊥平面.又因为PA PAF ⊂平面，所以PA BC ⊥.…………14分 19. （本小题满分14分）解：（I ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:4O x y +=上， 令0y =，得2x =±，所以2a =．，所以c e a ==，所以c =，所以2221b a c =-=， 所以W 的方程为2214x y +=．…………5分(II)证明：设00(,)P x y ，易知00x ≠，有222200001,444x y x y 即+=+=， 设(,)Q Q Q x y ，直线AQ 方程为00(2)y y x x =+，联立22001,4(2).x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即 22222200000(4)161640x y x y x y x +++-=，即2222000440x y x y x ++-=， 所以2024Q x y -+=-，即2024Q x y =-，所以，2200224244Q x y y +=-+=-. 故有：2022002(44)22=2Q x AQ AR AQ AR y OPOPx x x OP+⋅-⨯⋅=⋅==. …………14分. 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知()(1)xf x x e '=+，(0)1f '=，因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线()y g x =垂直，所以1a =-.……………… 3分（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，(2,2)x ∈-.则()(1)e ,()(2)e 0x x h x x a h x x '''=+-=+>所以，()h x '在区间(2,2)-上单调递增.依题意，(2)0(2)0h h '-<⎧⎨'>⎩ ，解得221(,3e )e a ∈-.所以0(2,2)x ∃∈-，使得0()0h x '=，即00(1)e 0xx a +-=, 于是()h x 的最小值为0000()e 1xh x x ax =--.依题意，0(2)0(2)0()0h h h x ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，，，因为000020000000()e 1e (1)e 1e 10xxxxh x x ax x x x x =--=-+-=--<,所以，解得22111(,e )e 22a ∈+-.……………… 8分 （Ⅲ） ()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '=，得1x =-.当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(12)x ∈-，时，()0f x '>，函数()f x 为增函数. 所以函数()f x 的最小值1(1)ef -=-. 又2(2)2e f =.显然当0x <时，()0f x <.令2()e ,1x t x x x =<-.则2()(2)e .x t x x x '=+令()0t x '=，得2x =-或0.所以()t x 在()2-∞-，内为增函数，在()21--，内为减函数. 所以max 24()(2)1et x t =-=<.所以2e 1x x <. 又1x <-，所以1e x x x>. 而当1x <-时，()11,0x ∈-， 所以当(],1x ∈-∞-时，1(),0e f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当(1,0)x ∈-时，1(),0e f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1) 当0a =时，()1g x =，符合题意；(2) 当0a >时，易得()[21,21]g x a a ∈-++.依题意2210212e a a -+≥⎧⎨+<⎩，， 所以21,21e ,2a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩所以此时102a <≤.(3) 当0a <，则()[2121]g x a a ∈+-+，，依题意2210212e a a +≥⎧⎨-+<⎩，， 所以21,21e ,2a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪>-+⎪⎩所以102a -≤<. 综上11[,]22a ∈-. ……………13分。