2017-2018北京市朝阳区高三第一学期期末数学理科试题含答案

北京市朝阳区2018-2018学年第一学期期末统一考试高三数学（理科）试卷2018.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至8页。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题50分）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中c’、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式h S S S S V )''(31++=台体其中S ’、S 分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。

（1）设集合}12|{<<-=x x A }0|{<-=a x x B ，若B A ⊂，则a 的取值范围是（ ）（A ）]2,(--∞ （B ）),1[+∞ （C ）]1,(-∞ （D ）),2[+∞- （2）已知二面角βα--l ，直线α⊂a ，β⊂b ，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么（ ）（A ）a 与b 可能垂直，但不可能平行 （B ）a 与b 可能垂直，也可能平行 （C ）a 与b 不可能垂直，但可能平行 （D ）a 与b 不可能垂直，也不可能平行 （3）函数k x A x f ++=)sin()(ϕω在一个周期内的图象如图所示，函数)(x f 解析式为（ ）（A ）1)1221sin(4)(-+=πx x f （B ）1)122sin(2)(+-=πx x f（C ）1)621sin(4)(-+=πx x f （D ）1)62sin(2)(+-=πx x f（4）双曲线c ：)00(12222>>=-，b a by a x 的左、右焦点分别为21，F F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦O ，︒=∠901B AF ，则双曲线c 的离心率为（ ） （A ）)22(21- （B ）12- （C ）12+ （D ）)22(21+ （5）如图，O 为直二面角βα--MN 的棱MN 上的一点，射线OE ，OF 分别在βα，内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF 的大小为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90° （6）在等差数列}{n a 中， 2≥n ，公差d<0，前n 项和是n S ，则有（ ） （A ）1na S na n n << （B ）n n na S na <<1 （C ）1na S n ≥ （D ）n n na S ≤（7）用不着，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数中，若按从小到大的顺序排列，那么12340应是（ ）（A ）第9个数 （B ）第10个数 （C ）第11个数 （D ）第12个数 （8）下列四个命题： ①满足zz 1=的复数只有i ±±,1； ②若a ，b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数； ③复R z ∈的充要条件是z z =；④复平面内x 轴即实轴，y 轴即虚轴。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4 D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“sin 2α=”是“cos 2=0α”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.3D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥； ② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.b dacbD C证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三高点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的为 m.（用含有和的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）P 21B表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.ACBB 1C 1A 1D18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+i j a a 的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1一、选择题（40分）二、填空题（30分）三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +)4x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ . 所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分 （Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-= 当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=. 由于02A π<<，所以4A π=. 则3+4BC =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())4f B B π=+， 则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分 （Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为A DAC D =，所以BC ⊥平面AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ， 因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩)ACBB 1C 1A 1DE 1再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分 （Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.因为当时，函数为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；在上，，即成立，函数为减函数,则函数在处取得极大值0()f x .当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然. 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号， 则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得. ……………13分 19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分 （Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i j a a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j j j q p q a a a a a a a -+<=<≤<+.所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<. +i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数. 即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

朝阳区20172018第一学期期中高三数学理试题及答案朝阳区2017-2018学年第一学期试题及答案)理(期中高三数学．北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试2017.11数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. ，则，已知集合}?1?{x|xA}1xx?{|log?B?IBA2A. C.B.2}x1}x|1?x{{x| D. 0}2}x{|x?x{x|?x?2,则2. 已知实数满足条件的最大值2,y?yx,y?x26,y?x 为A.12B. 10C. 8D. 6π只需将函数要得到函数的图象，3.?sin(2xy?)y?sinx 3的图象上所有的点π个单位长度，再将横坐标伸先向右平移A. 3长为原来的倍，纵坐标不变2．π个单位长度，横坐标缩短为B. 先向右平移61倍，纵坐标不变原来的21倍，纵坐标不变，C. 横坐标缩短为原来的2π个单位长度再向右平移6D. 横坐标变伸长原来的倍，纵坐标不变，2π个单位长度再向右平移34. 已知非零平面向量，则“”是“存b?b?aa?ba,在非零实数，使”的ab=A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件条件．充分必要CD．既不充分也不必要条件5.已知是等差数列( )的前项和，且aSnnnn,以下有四个命题：SSS465①数列中的最大项为②数列的公?aaS10nn差0?d③ ④ 0?S0?S1011其中正确的序号是（）C.②③④B. ②③ A.②④ D. ①③④6. 如图，在直角梯形中，，,是*****D//CD?EABuuuruuur 的中点,,则*****?DC2AB?A. B. C. D. ?11? ECDBA的五个球，某位教师从袋子里有编号为7. 2,3,4,5,6教师把所取两球编. 袋中任取两个不同的球号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号..”甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定我现在可以确“甲听完乙的回答以后，甲说：定两个球的编号了.” 你可以推断出抽取的两球中根据以上,3 B.一定没有号球号球．一定有A3号球6可能有D. 号球5可能有C.在区已知函数与函数8. xx)?g(x)?)f(x?sin(cosx)?xcos(sin，，且间都为减函数，设xx?cos)(0，(0，)xx,x,? ***-*****的大小关系是，则，x?cos(sinx)sin(cosx)?xx,x,x***-***** ）（C. A. B.xx?x?x?xxx?xx***-*****1 D. x?x?x123分）共第二部分（非选择题110分，共5二、填空题：本大题共6小题，每小题 . 分.把答案填在答题卡上30的值执行如下图所示的程序框图，则输出9. i为 .开始i=1，S=S i=i+ 否14S 是? 输结束（第9题图）1值10. 已知，小的最且，则?x1?x?y1x? y . 是11?x,?(),x? 22的图象与直线若已知函数11. ?)xf(?)f(x?1?.?,xlogx 12 2的取值范围有两个不同的交点，则实数kxy?k.为12. 已知函数同时满足以下条件：)(xf 定义域为；① R；值域为② [0,1].③ 0(?x)?ff(x)? . 试写出一个函数解析式?)f(x某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封13.若罐头盒的S铁皮罐头盒，其表面积为定值.的函数关，则罐头盒的体积与底面半径为Vrr ；当系式为时，罐头盒?r的体积最大.14. 5个三元子集表示为它的将集合,2,3,1=M．（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为；请写出满足上述条件的集合的5个三元子集 . （只写出一M 组）680.解答应三、解答题：本大题共分小题，共. 写出文字说明，演算步骤或证明过程15. (本小题满分13分)已知数列的前项和为( )，满足aSnnnn.12aSnn（Ⅰ）求数列的通项公式；an（Ⅱ）若数列满足，求数列的前?bba=logbnn1nnn 2项和.Tn16. (本小题满分13分)已知函数. π)?x2sin?cos(xxf()? 3（Ⅰ）求函数的最小正周期；)f(x （Ⅱ）当时，求函数的取值范围. π)xf(][0,x? 217. (本小题满分13分)，中，. 在π23c?ABC△?A b74 （Ⅰ）试求的值；Ctan（Ⅱ）若，试求的面积. ABC△5a?18. (本小题满分14分)已知函数，.x?2e?a(x)?x)?ax?(fRa?（Ⅰ）求函数的单调区间；)f(x（Ⅱ）设，其中为函数的导函数.)f(f)(xx)(xf)(gx?判断在定义域内是否为单调函数，并)(xg说明理由.)分14本小题满分19. (12.已知函数?ln)?x?(fx xxee（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(1)1,f)(xy?f1；（Ⅱ）求证：?lnx? xe（Ⅲ）判断曲线是否位于轴下方，并说明x)f(xy?理由.20. (本小题满分13分)数列是正整数的任一排列，且nL,1,2,aL,,aa,12n同时满足以下两个条件：①；②当时，().2|?aa?1?|a1ni1,2,L,2?n1?i1i记这样的数列个数为. )(nf（I）写出的值；(4)(3),fff(2),（II）证明不能被4整除. (2018)f北京市朝阳区2017-2018学年度第一高三年级期中统一考试2017.11数学答案（理工类）一、选择题：题号12345678答案CBCABDDC二、填空题：9. 5 10. 3 11.11 U2)lnU(,?2?,0?2)[2,2ln 1 ?ln2?2?2ln2?,?1?xx?1,1?cosx或或（答案不12. f(x)?|?|sinx(fx)? 20,x?1或x1.?唯一）12?SS 13.；3)(0πSrVr?r? 2?214. 24;, ,,,（答案不唯?，，1815，7143，，，***-*****2，，，，4911 一）．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当时，.1?a1?n1,当时，S?a?S2n?1n?nn，即a?2?a2aa=2a1n?nnn?1n所以数列是首项为1，公比为2的等比数an列.故,. ┈┈ 8分1n=2aN?nn（Ⅱ）由已知得.1?nn=1?a=log2=logb1n1n 22，因为1)n)?b(2?n?b?(1?1nn?所以是首项为0，公差为的等差数列. b1?nn(1?n)项和故的前13分. ┈┈ b?Tn nn216. (本小题满分13分)解：因为，π)?x?cos(xf(x)?2sin 3 所以ππ)xsin?sin?)2sinx?(cosxcosf(x 33 2x3sin?xcosxsin 13 ?sin2x?(1?cos2x) 22 . 3π?)?sin(2x? 23（Ⅰ）函数的最小正周期为┈┈ . π2π)x(f?T? 2．8分（Ⅱ）因为，所以. πππ2π],?[?2x?]x?[0, 3332 所以.3π,1]?[sin(2x) 23 以. 所3][0,1f(x)2 分┈┈ 13) 17. (本小题满分13分 .（Ⅰ）因为，，所以解：2C3sinsinC23cπ?A π37Bsin7b4)Csin(? 4.所以π3 )?7sinC?3Csin(2 4.所以π33π )C?cossinC?32(sincosC7sin 44 所以. C3sin3cosC?7sinC? 所以.C3cosC?4sin所以. ┈┈ 7分3?Ctan 4 ，，（Ⅱ）因为，由余弦定理π2c3?5aA b74得222?2bccos?bA?ca .***-*****?bb25?b?(?b)?2277所以，. 23c?7b?所以积△面的ABC . ┈┈ 13分***** AbcS?sin?7?2?3 2222)分14本小题满分18. (解：（Ⅰ）函数的定义域为)xf(..x)eax?2)(xf?(x)( Rxx?① 当时，令，解得：或，为?a?x)(xf0?(x)f2x?a2?减函数；令，解得：，为增函数. ?)xf(0?xf)(2a?x?② 当时，恒成立，函数为x?2?0(x?2)fe(x))(xf2?a减函数；③ 当时，令，解得：或，函数?a?x0)?(xf22x?a?为减函数；)f(x令，解得：，函数为增函数. ?)(xf0?fx()ax?2?综上，当时，的单调递减区间为；单)a,),f(x)(2,(2?a调递增区间为；,2)a(当时，的单调递减区间为；)xf(),(2a?当时，的单调递减区间为；单)a,(,2),()f(x2?a调递增区间为. )(2,a┈ 8分（Ⅱ）在定义域内不为单调函数，以下说)(xg明：.x?2e?3a2]?xf[(x)?x(?a?4)xg()记，则函数为开口向上的二22?3x?(?xh()x?a4)?a)x(h次函数.方程的判别式恒成2202)44a?8?(aa?0?x)h(.立. 从而有正有负所以，有正有负. ?)h(x)x(g在定义域内不为单调函数. 故)xg(┈┈ 14分19. (本小题满分14分)解：函数的定义域为，)(0,112 (x)f 2xxexe11，（Ⅰ），又1?ff(1)(1)? ee曲线在处的切线方程为)xy?f(1x?111. 11)xy( eee12 即 . 0+1?(y)x ee 4分┈┈11. （Ⅱ）“要证明””等价于“?lnxx?xlnx,(?0) exe. 设函数x)x?xlng(1. ，解得令x0xx)=1+ln?g( e 111 x),(0,)(eee )(gx?0．1 )g(x?Z]e111.故的最小值为. 因此，函数)xg(lnxg(x)? eee1. 即lnx xe ┈┈ 9分（Ⅲ）曲线位于轴下方. 理由如下：x)xy?f(x*****. 由（Ⅱ）可知，所以)(?(x)lnxf xxexexexee1?xx1，则设. ?(x?k)k(x) xxeee令得；令得.0)k?k((x)?0x1?1x0?x?所以在上为增函数，上为减函数. 10,1，+)xk(所以当时，恒成立,当且仅当时，(1)=0?kk(x)1xx?0?.0?k(1)1，所以恒成立. 又因为0?f(x)0f(1)? e故曲线位于轴下方. x)x(?yf 14分┈┈) 20. (本小题满分13分. ：）（Ⅰ解42,?(3)1,?(2)fff?(4)┈┈ 3分（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为项的n首项最小数列.对于个数的首项最小数列，由于，故或2?a1a?n213.，则构成项的首项最（1）若1?1,La,?2aa?1,a?1n?n223小数列，其个数为；1)?f(n（2）若，则必有，故构3?L,a?a3,aa3,a?23,a?4n*****成项的首项最小数列，其个数为；3)(n?f3n?则或. 若设是这数列中第一个3（）aaa?53,=4?ak?1332是出现的偶数，则前项应该是，a1?,2k1,3,Lkk21k?或，即与是相邻整数.aa2k?2k?1k由条件②，这数列在后的各项要么都小于ak?1它，要么都大于它，因为2在之后，故aak?1k?1后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：，. 13)1)f(n?nf()?f(n?5?n由此递推关系和（I）可得，各(2018),f(2),f(3),Lf数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又，2?144?14?2018．所以被4除的余数与被4除的余数(2)f(2018)f相同，都是1，故不能被4整除. (2018)f 分13 ┈┈。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类） 2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则A B =IA. {|1}x x >B. {|12}x x <<C. {|2}x x >D. {|0}x x >2. 已知实数,x y 满足条件2,2,6,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2x y +的最大值为A. 12B. 10C. 8D. 63.要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度4. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S <其中正确的序号是（ ）A. ②③B. ②③④C. ②④D. ①③④6. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD DC ⊥,E 是CD 的中点1DC =,2AB =,则EA AB ⋅=u u u r u u u rB. C.1 D.1-7. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球 8. 已知函数()sin(cos )f x x x =-与函数()cos(sin )g x x x =-在区间(0)2π，都为减函数，设123,,(0)2x x x π∈，，且11cos x x =，22sin(cos )x x =，33cos(sin )x x =，则123,,x x x 的大小关系是（ ）A. 123x x x <<B. 312x x x <<C. 213x x x <<D. 231x x x <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 执行如下图所示的程序框图，则输出i 的值为 .（第9题图） 10. 已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是 . 11. 已知函数1211(),,22()1log ,.2xx f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若()f x 的图象与直线y kx =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为 .12. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ① 定义域为R ； ② 值域为[0,1]； ③ ()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x = .13. 某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S . 若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为 ；当r = 时，罐头盒的体积最大. 14. 将集合=M {}1,2,3,...,15表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为 ；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集 . （只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )，满足21n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12=log n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .16. (本小题满分13分)已知函数π()2sin cos()3f x x x =⋅-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.17. (本小题满分13分)在ABC △中，π4A =，c b =. （Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.18. (本小题满分14分)已知函数2()()e xf x x ax a -=-+⋅，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()g x f x '=，其中()f x '为函数()f x 的导函数.判断()g x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19. (本小题满分14分)已知函数12()ln e e x f x x x=--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.20. (本小题满分13分)数列12,,,n a a a L 是正整数1,2,,n L 的任一排列，且同时满足以下两个条件： ①11a =；②当2n ≥时，1||2i i a a +-≤(1,2,,1i n =-L ). 记这样的数列个数为()f n . （I ）写出(2),(3),(4)f f f 的值；（II ）证明(2018)f 不能被4整除.北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学答案（理工类）2017.11一、 选择题：二、 填空题：9. 5 10. 3 11.2)1ln 2(,2ln 2)-∞-⋅U 1ln 21,02ln 2⎛⎫⎪- ⎪⎝⋅⎭U12. ()|sin |f x x =或cos 12x +或2,11,()0,1 1.x x f x x x ⎧-≤≤=⎨><-⎩或（答案不唯一）13. 31π(02V Sr r r =-<<； 14. 24;{}1815，，, {}3714，，,{}5613，，,{}21012，，,{}4911，，（答案不唯一）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1n =时，11a =. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列. 故1=2n n a -, n *∈N . ┈┈ 8分（Ⅱ）由已知得11122=log =log 2=1n n n b a n --.因为1(1)(2)1n n b b n n --=---=-，所以{}n b 是首项为0，公差为1-的等差数列. 故{}n b 的前n 项和(1)2n n n T -=. ┈┈ 13分16. (本小题满分13分)解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-， 所以ππ()2sin (cos cossin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos x x x =⋅1sin 2cos2)2x x =-πsin(2)3x =-. （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ┈┈ 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以πsin(2)[3x -∈.所以()[0,1f x ∈. ┈┈ 13分17. (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）因为π4A =，c b=，所以sin sin 3πsin sin()4C C B C ==-所以3π7sin sin()4C C =-.所以3π3π7sin cos cos sin )44C C C =-.所以7sin 3cos 3sin C C C =+. 所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =. ┈┈ 7分（Ⅱ）因为5a =，π4A =，c b，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2225)2b b =+-.所以7b =，c =所以△ABC 的面积1121sin 72222S bc A ==⋅⋅=. ┈┈ 13分18. (本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x ∈R .()(2)()e xf x x x a -'=---. ① 当2a <时，令()0f x '<，解得：x a <或2x >，()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2a x <<，()f x 为增函数. ② 当2a =时，2()(2)e0xf x x -'=--≤恒成立，函数()f x 为减函数；③ 当2a >时，令()0f x '<，解得：2x <或x a >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2x a <<，函数()f x 为增函数. 综上，当2a <时，()f x 的单调递减区间为(,),(2,)a -∞+∞；单调递增区间为(,2)a ； 当2a =时，()f x 的单调递减区间为(,)-∞+∞ ；当2a >时，()f x 的单调递减区间为(,2),(,)a -∞+∞；单调递增区间为(2,)a .┈┈ 8分（Ⅱ）()g x 在定义域内不为单调函数，以下说明：2()()[(4)32]e x g x f x x a x a -'''==-+++⋅.记2()(4)32h x x a x a =-+++，则函数()h x 为开口向上的二次函数. 方程()0h x =的判别式2248(2)40a a a ∆=-+=-+> 恒成立. 所以，()h x 有正有负. 从而()g x '有正有负.故()g x 在定义域内不为单调函数. ┈┈ 14分19. (本小题满分14分) 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x '=--+（Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+.即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln ,(0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”.设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1x =.因此，函数()g x 的最小值为()e e g =-.故ln ex x ≥-.即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ┈┈ 14分20. (本小题满分13分)（Ⅰ）解：(2)1,(3)2,(4)4f f f ===. ┈┈ 3分 （Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n 项的首项最小数列. 对于n 个数的首项最小数列，由于11a =，故22a =或3.（1）若22a =，则231,1,,1n a a a ---L 构成1n -项的首项最小数列，其个数为(1)f n -； （2）若233,2a a ==，则必有44a =，故453,3,,3n a a a ---L 构成3n -项的首项最小数列，其个数为(3)f n -；（3）若23,a =则3=4a 或35a =. 设1k a +是这数列中第一个出现的偶数，则前k 项应该是1,3,,21k -L ，1k a +是2k 或22k -，即k a 与1k a +是相邻整数.由条件②，这数列在1k a +后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1k a +之后，故1k a +后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数. 综上，有递推关系：()(1)(3)1f n f n f n =-+-+，5n ≥.由此递推关系和（I ）可得，(2),(3),,(2018)f f f L 各数被4除的余数依次为： 1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又2018141442=⨯+，所以(2018)f 被4除的余数与(2)f 被4除的余数相同，都是1，故(2018)f 不能被4整除. ┈┈ 13分。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学试卷（理工类）2017.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A.{|1}x x > B.{|12}x x << C.{|2}x x > D.{|0}x x >2.已知实数,x y 满足条件2,2,6,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则2x y +的最大值为A.12B.10C.8D.63.要得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点A.先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C.横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D.横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度4.已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d <③100S >④110S <其中正确的序号是（）A.②③B.②③④C.②④D.①③④子川教育--致力于西城区名校教师课外辅导6.如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD DC ⊥,E 是CD 的中点1DC =,2AB =,则EA AB ⋅=5B.5C.1D.1-7.袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球.教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了.”根据以上信息,你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球B.一定没有3号球C.可能有5号球D.可能有6号球8.已知函数()sin(cos )f x x x =-与函数()cos(sin )g x x x =-在区间(0)2π，都为减函数，设123,,(0)2x x x π∈，，且11cos x x =，22sin(cos )x x =，33cos(sin )x x =，则123,,x x x 的大小关系是（）A.123x x x << B.312x x x << C.213x x x << D.231x x x <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.执行如下图所示的程序框图，则输出i 的值为.开始i =1，S =2结束i =i +1S >14?输出i 是否S=S+2i（第9题图）10.已知1x >，且1x y -=，则1x y+的最小值是.11.已知函数1211(,,22()1log ,.2xx f x x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩若()f x 的图象与直线y kx =有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为.12.已知函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②值域为[0,1]；③()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x =.13.某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S .若罐头盒的底面半径为r ，则罐头盒的体积V 与r 的函数关系式为；当r =时，罐头盒的体积最大.14.将集合=M {}1,2,3,...,15表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为；请写出满足上述条件的集合M 的5个三元子集.（只写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S (n *∈N )，满足21n n S a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1=log n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.(本小题满分13分)已知函数π()2sin cos()3f x x x =⋅-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.17.(本小题满分13分)在ABC △中，π4A =，327c b=.（Ⅰ）试求tan C 的值；（Ⅱ）若5a =，试求ABC △的面积.18.(本小题满分14分)已知函数2()()e xf x x ax a -=-+⋅，a ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()g x f x '=，其中()f x '为函数()f x 的导函数.判断()g x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由.19.(本小题满分14分)已知函数12()ln e e x f x x x=--.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：1ln e x x≥-；（Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.20.(本小题满分13分)数列12,,,n a a a 是正整数1,2,,n 的任一排列，且同时满足以下两个条件：①11a =；②当2n ≥时，1||2i i a a +-≤(1,2,,1i n =-).记这样的数列个数为()f n .（I ）写出(2),(3),(4)f f f 的值；（II ）证明(2018)f 不能被4整除.北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期高三年级期中统一考试数学答案（理工类）2017.11一、选择题：题号12345678答案CBCABDDC二、填空题：9.510.311.2,2)1(,2ln 2)-∞-⋅1ln 21,02ln 2⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⋅⎭12.()|sin |f x x =或cos 12x +或2,11,()0,1 1.x x f x x x ⎧-≤≤=⎨><-⎩或（答案不唯一）13.312π(0)22SV Sr r r π=-<<π；S6π6π14.24;{}1815，，,{}3714，，,{}5613，，,{}21012，，,{}4911，，（答案不唯一）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）当1n =时，11a =.当2n ≥时，1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a -所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列.故1=2n n a -,n *∈N .┈┈8分（Ⅱ）由已知得11122=log =log 2=1n n n b a n --.因为1(1)(2)1n n b b n n --=---=-，所以{}n b 是首项为0，公差为1-的等差数列.故{}n b 的前n 项和(1)2n n n T -=.┈┈13分16.(本小题满分13分)解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-，所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos 3sin x x x=⋅13sin 2(1cos 2)22x x =+-π3sin(2)32x =-+.（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.┈┈8分（Ⅱ）因为π[0,2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以π3sin(2)[3x -∈.所以3()[0,12f x ∈+.┈┈13分17.(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为π4A =，32c =sin sin 323πsin 7sin()4C C B C ==-.所以3π7sin 32)4C C =-.所以3π3π7sin 32(sin cos cos sin )44C C C =-.所以7sin 3cos 3sin C C C =+.所以4sin 3cos C C =.所以3tan 4C =.┈┈7分（Ⅱ）因为5a =，π4A =，327c b=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得223232225()2772b b =+-⋅⋅.所以7b =，32c =所以△ABC 的面积11221sin 7322222S bc A ==⋅⋅=.┈┈13分18.(本小题满分14分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x ∈R .()(2)()exf x x x a -'=---.1当2a <时，令()0f x '<，解得：x a <或2x >，()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2a x <<，()f x 为增函数.2当2a =时，2()(2)e0xf x x -'=--≤恒成立，函数()f x 为减函数；3当2a >时，令()0f x '<，解得：2x <或x a >，函数()f x 为减函数；令()0f x '>，解得：2x a <<，函数()f x 为增函数.综上，当2a <时，()f x 的单调递减区间为(,),(2,)a -∞+∞；单调递增区间为(,2)a ；当2a =时，()f x 的单调递减区间为(,)-∞+∞；当2a >时，()f x 的单调递减区间为(,2),(,)a -∞+∞；单调递增区间为(2,)a .┈┈8分（Ⅱ）()g x 在定义域内不为单调函数，以下说明：2()()[(4)32]e x g x f x x a x a -'''==-+++⋅.记2()(4)32h x x a x a =-+++，则函数()h x 为开口向上的二次函数.方程()0h x =的判别式2248(2)40a a a ∆=-+=-+>恒成立.所以，()h x 有正有负.从而()g x '有正有负.故()g x 在定义域内不为单调函数.┈┈14分19.(本小题满分14分)解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x'=--+（Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)1e e e y x +=--+.即12()+10e ex y -1--=.┈┈4分（Ⅱ）“要证明1ln ,(0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”.设函数()ln g x x x =.令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =.x 1(0,)e1e1(,)e+∞()g x '-0+()g x 1e-因此，函数()g x 的最小值为11(e e g =-.故1ln ex x ≥-.即1ln e x x≥-.┈┈9分（Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方.理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-.设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >.所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =.又因为1(1)0ef =-<，所以()0f x <恒成立.故曲线()y f x =位于x 轴下方.┈┈14分20.(本小题满分13分)（Ⅰ）解：(2)1,(3)2,(4)4f f f ===.┈┈3分（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n 项的首项最小数列.对于n 个数的首项最小数列，由于11a =，故22a =或3.（1）若22a =，则231,1,,1n a a a ---构成1n -项的首项最小数列，其个数为(1)f n -；（2）若233,2a a ==，则必有44a =，故453,3,,3n a a a ---构成3n -项的首项最小数列，其个数为(3)f n -；（3）若23,a =则3=4a 或35a =.设1k a +是这数列中第一个出现的偶数，则前k 项应该是1,3,,21k -，1k a +是2k 或22k -，即k a 与1k a +是相邻整数.由条件②，这数列在1k a +后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在1k a +之后，故1k a +后的各项都小于它.这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数.综上，有递推关系：()(1)(3)1f n f n f n =-+-+，5n ≥.由此递推关系和（I ）可得，(2),(3),,(2018)f f f 各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又2018141442=⨯+，所以(2018)f 被4除的余数与(2)f 被4除的余数相同，都是1，故(2018)f 不能被4整除.┈┈13分。

北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学学科试卷（文史类） 2018．1（考试时刻120分钟 总分值150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部份第一部份（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合|(2)0A x x x ，|ln 0B x x ，那么A B 是A ． |0x xB ． |2x xC ． |12x xD ． |02x x2．已知i 为虚数单位，设复数z 知足i 3z +=，那么z =A ．3B ．C ． 4D ．103．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：试估量该商品日平均需求量为A ． 16B ． 16.2C ． 16.6D ． 16.84． “sin 2α=”是“cos 2=0α”的 A ．充分而没必要要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也没必要要条件5． 以下函数中，是奇函数且在(0,1)内是减函数的是①3()f x x =- ②1()2xf x =（） ③()sin f x x =- ④()ex x f x = A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．③④6． 某四棱锥的三视图如下图，网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为A ．43B ． 4 C．3D．7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过如此一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆．后人将那个圆称为阿氏圆．假设平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ，B,,P A B 不共线时，PAB ∆面积的最大值是A． B ．C ．D ．8．如图，PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．假设点M 为平面ABCD 内的一个动点，且知足MP MC =，那么点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为A ．椭圆的一部份B ．双曲线的一部份C ．一段圆弧D ．一条线段PA BDCM正视图侧视图俯视图第二部份（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如下图的程序框图，输出S 的值为 ．10．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个核心与抛物线28y x =的核心重合，一条渐近线方程为0x y +=，那么双曲线C 的方程是 ． 11．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=，那么AB BC ⋅= ．12．假设变量x ，y 知足约束条件40,540,540,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值为 ．13．高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的大体问题．一名同窗受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； （2）左图阴影区域面积用,,,a b c d 表示为 ； （3）右图中阴影区域的面积为2222a b c d BAD ++∠；开始 i =1，S =2 结束i =i +1i >4? 输出S 是否S=i ·S b b d a ca cc b D CA（4）那么柯西不等式用字母,,,a b c d 能够表示为()22222()()ac bd a b c d +≤++．请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导进程： ．14．如图，一名同窗从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角别离为α和90α-. 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变成原先的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，那么塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解许诺写出文字说明，演算步骤或证明进程． 15．（本小题总分值13分）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =+-． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥．16．（本小题总分值13分）已知由实数组成的等比数列{}n a 知足1a =2，135a a a ++=42． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求2462...n a a a a ++++．P 21B2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个竞赛出色纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场出色对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键竞赛的部份数据统计．两位选手在这次竞赛中击球所利用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球竞赛中，接发球技术是指回接对方发球时利用的各类方式．选手乙在竞赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．图1选手乙的接发球技术统计表技术反手拧球反手搓球反手拉球反手拨球正手搓球正手拉球正手挑球使用次数20 2 2 4 12 4 1 得分率55% 50% 0% 75% 41．7% 75% 100%表1（Ⅰ）观看图1，在两位选手一起利用的8项技术中，不同最为显著的是哪两项技术？（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？（Ⅲ）若是仅从表1中选手乙接发球得分率的稳固性来看（不考虑利用次数），你以为选手乙的反手技术更稳固仍是正手技术更稳固？（结论不要求证明）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．（Ⅰ）求证：平面1AB D ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）求证：C A 1∥平面D AB 1； （Ⅲ）求三棱锥11A AB D -的体积．19．（本小题总分值14分）已知椭圆2222:1(0)5x y C b b b+=>的一个核心坐标为(2,0)．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于,M N 两点，直线ME 与直线5x =相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．20．（本小题总分值13分）已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R ． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判定方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）假设函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，求a 的取值范围．AC BB 1C 1A 1D北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（文史类）三、解答题（80分） 15. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）因为22()sin cos sin 2fx x x x =++cos 2x -1sin 2cos 2)14x x x π=+-=-+.因此函数)(x f 的最小正周期为π. …………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f )14x π=-+．当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2[,]444x ππ3π-∈-，sin(2)[42x π-∈-，)11]4x π-+∈.当2,44x ππ-=-即0x =时，)(x f 取得最小值0．因此当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥. …………………………13分16. （本小题总分值13分） 解：（Ⅰ）由1135=2a a a a ⎧⎨++=42⎩可得242(1)42q q ++=.由数列{}n a 各项为实数，解得24q =，2q =±. 因此数列{}n a 的通项公式为2nn a =或1(1)2n n n a -=-⋅. …………………7分（Ⅱ）当2nn a =时，24624(14)4...=(41)143n nn a a a a -++++=⋅--；当1(1)2n nn a -=-⋅时，2462(4)(14)4...=(14)143n n n a a a a -⋅-++++=⋅--.…13分17. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）依照所给扇形图的数据可知，不同最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术. ………………2分 （Ⅱ）依照表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，别离记为A,B ,正手拉球4次，别离记为a,b,c,d.那么从这六次拉球中任取两次，共15种结果，别离是: AB , Aa ,Ab , Ac , Ad , Ba, Bb ，Bc, Bd, ab ，ac, ad, bc, bd,cd. 其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，别离是: AB ,Aa ，Ab ，Ac, Ad, Ba, Bb ，Bc, Bd.那么从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率93155P ==. …………………………10分 （Ⅲ）正手技术更稳固. …………………………13分 18. （本小题总分值14分）（Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点，因此AD BC ⊥．因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，11//AA BB ，因此1BB ⊥底面ABC ．又因为AD ⊂底面ABC ，因此1BB AD ⊥. 而1B BBC B =,因此AD ⊥平面11BB C C ．因为AD ⊂平面1AB D ，因此平面1AB D ⊥平面11BB C C ．…………………………5分（Ⅱ）证明：连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．由已知得，四边形11A ABB 为正方形，则E 为1A B 的中点. 因为D 是BC 的中点，因此1//DE AC ．又因为DE ⊂平面D AB 1，1AC ⊄平面D AB 1， 因此C A 1∥平面D AB 1． …………………………10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知C A 1∥平面D AB 1，因此1A 与C 到平面D AB 1的距离相等， 因此111A AB D C AB D V V --=．由题设及12AB AA ==，得12BB=，且2ACD S ∆=．因此1111123323C ABD B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯=⨯=， 因此三棱锥11A AB D -的体积为11A AB D V -= …………………………14分 19. （本小题总分值14分） 解：（Ⅰ）由题意可知222,5.c a b =⎧⎨=⎩因此225,1a b ==.因此椭圆C 的方程为2215x y +=. …………………………3分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，现在MN x ⊥(1,0)D ，直线5x =与x 轴相交于点G ，易患点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，因此||||FG DN =.ACBB 1C 1A 1DE因此直线//FN x 轴.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1122(,),(,)M x y N x y .因为点(3,0)E ，因此直线ME 的方程为11(3)3y y x x =--. 令5x =，因此11112(53)33F y y y x x =-=--. 由22(1),55y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得2222(15)105(1)0k x k x k +-+-=. 显然0∆>恒成立.因此22121222105(1),.5151k k x x x x k k -+==++ 因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)333F y y x y k x x k x y y y x x x -------=-==--- 22221212115(1)10[35][3()5]515133k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--22221516510513k k k k k x --++=⋅=+-， 因此2F y y =.因此直线//FN x 轴.综上所述，因此直线//FN x 轴. …………………………14分20. （本小题总分值13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………………………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，那么函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<, 因此有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.因此函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点，即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. …………………………7分 （Ⅲ）假设函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 双侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，因此在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数. 那么函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，尽管函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 双侧同号，不知足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 假设函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 双侧异号， 那么只需知足：(0)0(1)0f f <⎧⎨≥⎩.即0cos10a a <⎧⎨+≥⎩，解得cos10a -≤<. ……………………13分。

北京市朝阳区2016-2017学年度第一学期统一考试高三年级数学试卷（理工类） 2017．1(考试时间120分钟 满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}12<=x xA ,{}20B x x =-<,则()UA B =A ． {|2}x x >B ． {}02x x ≤<C ． {|02}x x <≤D ． {|2}x x ≤2．在复平面内，复数21i+对应的点位于 A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[0,1]上单调递增的是 A ．cos y x= B ．2y x =-C ．1()2xy = D ．|sin |y x =4．若0a >，且1a ≠，则“函数xy a =在R 上是减函数"是“函数3(2)y a x =- 在R 上是增函数 ”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5．从0,1,2,3,4中任选两个不同的数字组成一个两位数，其中偶数的个数是A ．6B ．8D ．126．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的体积为A ．3B ．43C D ．47．在Rt ABC∆中，90A ∠=︒，点D 是边BC上的动点,且3AB =，4AC =,AD AB AC λμ=+（0,0λμ>>），则当λμ取得最大值时，AD 的值为A ．72B ．3C ．52D ．1258．某校高三（1）班32名学生全部参加跳远和掷实心球两项体育测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩都不合格的有3人，则这两项成绩都合格的人数是A ．23B ．20C ．21D ．19第二部分（非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线方程为320x y +=,则b 等俯视图正视图侧视图于 ．10．已知等差数列}{na 的前n 项和为nS ．若12a=，32a S =，则2a = ，10S= ．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC中，已知45,B AC ∠=︒=，则C ∠=．13．设D 为不等式组0,0,+33x y x y x y ≥-≤≤+⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域,对于区域D 内除原点外的任一点(,)A x y ,则2x y +的最大值是_______；的取值范围是 ．14．若集合M 满足：,x y M ∀∈，都有,x y M xy M +∈∈,则称集合M 是封闭的．显然，整数集Z ，有理数集Q 都是封闭的．对于封闭的集合M （M ⊆R ），f :M M→是从集合M 到集合M 的一个函数，①如果,x y M ∀∈都有()()()f x y f x f y +=+,就称f 是保加法的; ②如果,x y M ∀∈都有()()()f xy f x f y =⋅，就称f 是保乘法的；③如果f 既是保加法的,又是保乘法的，就称f 在M 上是保运算的． 在上述定义下，集合},n m n +∈Q封闭的(填“是"或“否”）;若函数()f x 在Q 上保运算，并且是不恒为零的函数,请写出满足条件的一个函数()=f x ．三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；(Ⅱ）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值．16．(本小题满分13分)甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据;（Ⅱ）现要从中选派一人参加正式比赛,从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适?并说明理由;(Ⅲ）若对甲同学在今后的3次测试成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ(将甲8次成绩中高于80分的频率视为概率),求ξ的分布列及数学期望E ξ． 17．(本小题满分14分）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形,且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB =22AB BE AF ===。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

1 北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是A.(00)，B.(20)-，C.(01)-，D. (02)，4.“sin α=是“cos 2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B. 43D. 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是正视图侧视图俯视图温馨推荐您可前往百度文库小程序享受更优阅读体验不去了立即体验A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =?-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，AD =.点E 在AB 边上，CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ() 0180∈，时，① 存在某个位置，使1CE D A ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF xAB yAE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位A同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α- . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.P 21BCbbcdac cbDC BA为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ．（Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ；（Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率；（Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由；（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D。

2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= 4：2：3 ．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O是△ABC的重心，故S△AOB=S△BOC=S△AOC，得出答案；（2）延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，结合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O是△ABC的重心，∴S△AOB=S△BOC=S△AOC=S△ABC，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=1：1：1．若2+3+4=，延长OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如图所示：则，∴O是△DEF的重心，∴S△DOE=S△EOF=S△DOF．∴S△AOB==×OD×sin∠AOB=S△DOE，S△BOC==OFsin∠BOC=S△EOF，S△AOC==OFsin∠BOC=S△DOF，∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=：： =4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。

2018 北京市朝阳区高三（上）期末数 学（理） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C. {}|0x x >D.{}|2x x > 2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4C.10D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“2sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.423D.42 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >- 8. 如图1，矩形ABCD 中，3AD =.点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时， 图1BAEDC① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为 . 10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn ii S a==∑，则10a = ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.开始 i =1，S =2结束i =i +1i >4?输出S 是否S=i ⋅SEBCD AA 1图2bb dacdacda cbD C BAAP 2P 1BC测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为 m.（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求()f B 的取值范围.为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表.表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AQI 47 123 232 291 78 103 159 132 37 67 204 日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AQI 270 78 40 51 135 229 270 265 409 429 151 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31AQI4715519164548575249329表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ） 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AQI 91 187 79 28 44 49 27 41 56 43 28 日期 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 AQI 28 49 94 62 40 46 48 55 44 74 62 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31AQI5050464110114022115755根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.A CBB 1C 1A 1D如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角 1A A B C --的余弦值.已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N .（Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FTMN ；（Ⅲ）求线段FN 的长.已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）数学试题答案一、选择题（40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACDAABBC二、填空题（30分）题号 910 11答案 y x =±48 12题号 121314答案 p - p q +2222sin a b c d θ⋅⋅++ ad bc = sin l αcos 2sin l αα三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π. 则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由2()sin(2)24f B B π=+， 则()f B 的取值范围是2222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. ……………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为ξ 1 2 3P310 610 110所以361123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点，ACB 1C 1A 1DE因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,3A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为()10,1,3AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即30,220.y z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则()3,3,1=-n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ， 因为()10,1,3CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即11130,20.y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()0,3,1=m ．yxz ACBB 1C 1A 1D F故317cos ,772⋅-+〈〉===⋅⨯m n m n m n ． 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角，所以二面角1A A B C --的余弦值为77． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数.又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()s i n c o sF x x x x a x =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合，即FT MN . …………6分（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N N x x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02N N y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1N N x y +-= （0N x ≠）.即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j jj q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分（Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。

北京市朝阳区2017-2018学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x R ，{10,}B x x x N ，则A B （）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．已知(0,)，且3cos 5，则tan （）A ．34B ．34C ．43D ．433. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（）A. 2B. 1C. 1D. 24. 给出下列：①若给定p ：x R ，使得210x x ，则p ：,x R 均有012x x ；②若q p 为假，则q p,均为假；③“若0232x x ，则2x ”的否为“若,0232x x 则2x ，其中正确的序号是（）A ．① B.①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x A R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．()2sin()6f x xB ．()2sin(2)6f x x C ．()2sin()3f x x D ．()2sin(2)3f x x x－2yO 231656.设p ：2101x x ，q ：2(21)(1)0xa x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC 中，已知4AB AC，3BC ，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则AN AM 的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数),0,1[,2),1,0[,2)(22x x xxx f 且)()2(x f x f ．若方程()2=0f x kx 有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．1(,1)3B ．11(,)34C ．11(,1)(1,)33D ．1111(,)(,)3443第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是．10．已知平面向量2113，，，a =b =．若向量()a a +b ，则实数的值是．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD ，则x y ．12.若函数()2sin()f x x (0,0)是偶函数，则的最小值为．13. 若函数sin ()cos a x f x x 在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是. 14.如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于 F.设BE x ，记()f x EC CF ，则函数()f x 的值域是；当ECF 面积最大时，EF . E D C BA FE DC B A三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 222xxxf x .（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列n a 的首项11a ，公差1d ，前n 项和为n S ，且1n n b S . （Ⅰ）求数列n b 的通项公式；（Ⅱ）求证：1232n b b b b . 17．（本小题满分13分）在ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos B ．（Ⅰ）若322b a,，求角C ；（Ⅱ）求C A sin sin 的取值范围．18.（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x ．（Ⅰ）当0a时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a 时，证明1()2f x .19.（本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x axbx (其中e 是常数，0a ，b R )，函数()f x 的导函数为()f x ，且(1)0f ．(Ⅰ)若1a，求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)当15a 时，若函数()f x 在区间[1,1]上的最大值为4e ，试求,a b 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12n a a a n n n ，b a a a 21,，记集合{|}.n M a n N （Ⅰ）若2,1b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0ba ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由；（Ⅲ）若0,0b a ，且0b a ，求集合M 的元素个数的最小值.。