苏教版高中数学选修2-1测试题全套及答案章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】13．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】[1，＋∞)5．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定．．是________．【解析】∀改为∃，否定结论，即∃x∈R，|x|＋x2<0.【答案】∃x∈R，|x|＋x2<06．设命题p和命题q，“p或q”的否定是真命题，则必有________．①p真q真；②p假q假；③p真q假；④p假q真．【解析】因为“p或q”的否定是真命题，所以“p或q”是假命题，则p假q假．【答案】②7．给出以下命题： ①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α； ③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a <0. 其中真命题为________(填序号)．【解析】 ①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】 ②8． “0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．【解析】 p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】 ②③11．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.【解析】 p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________． ①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题且q 是真命题；⑤命题且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．【解析】 对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题且(非q )是真命题，即①⑤正确．【答案】 ①⑤13．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．【解析】 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要14．下列叙述中错误的是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为假命题； ②“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③若“p 或q ”为假命题，则“(非p )且(非q )”也为假命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0.【解析】 对于①，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x >2可得x 2－3x ＋2＝(x －1)·(x －2)>0，反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，因此“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p 或q ”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(非p)且(非q)”是真命题；对于④，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0.综上所述，应填③.【答案】③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若△ABC为直角三角形，则△ABC的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC没有一个内角为直角，则△ABC不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC 不是直角三角形，则△ABC没有一个内角为直角，是真命题．16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋1x≥2；(4)∃x∈Z，log2x＞2.【解】(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：所有的平行四边形的对角线相等，q：所有的平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同，q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】(1)p或q：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分． 非p ：有些平行四边形的对角线不相等．因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真． (2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等． 且q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等． 非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．18．(本小题满分16分)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【解】 非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．而非p ⇒q ，∴AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥－2，1＋a ≤10，a ＞0，∴0＜a ≤3.19．(本小题满分16分)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x 在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 若p 真，则0<2a －5<1，故52<a <3. 若q 真，由x 2－ax ＋2<0，得ax >x 2＋2.∵1<x <2，∴a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)上恒成立． 又当x ∈(1,2)时，x ＋2x ∈[22，3)，∴a ≥3.∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有52<a <3或a ≥3. 综上，a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >52.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx . (1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x ，使得f (x )>0”是真命题，即对于任意实数x ，f (x )>0恒成立．①当m ＝0时，不成立；②当m >0时，Δ＝4(4－m )2－8m <0， ∴2<m <8.(2)当m ≤0时，依题意显然不符合；当m >0时，则只要f (x )>0在(－∞，0)上恒成立，⎩⎨⎧4－m 2m>0，f (0)≥0⇒0<m <4.或⎩⎨⎧4－m2m≤0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 2m >0⇒4≤m <8.综上可知，0<m <8.章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是________．【解析】 把抛物线方程化为标准形式得x 2＝－8y ，所以抛物线的准线方程为y ＝2. 【答案】 y ＝22．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．【解析】 焦点在x 轴上，则标准方程中a 2>a ＋6，解得a >3或a <－2.又a 2>0，a ＋6>0，所以a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－23．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 等于________． 【解析】 双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，得r ＝ 3.【答案】34．若F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的共同的左、右焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△PF 1F 2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________.5．【解析】 不妨设PF 1＞PF 2，则PF 1＝F 1F 2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧8－PF 2＝2a ，8＋PF 2＝10，得2a ＝6，a ＝3. 又a 2＋b 2＝16，所以b 2＝7，故双曲线的渐近线方程为y ＝±73x . 【答案】 y ＝±73x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．【解析】 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知，－1≤k ≤1.【答案】 [－1,1]6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为______________．【解析】 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝ba ×2.① 由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1. 【答案】 x 24－y 23＝17．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知，|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2. 【答案】28．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．【解析】 由抛物线的定义知，AF ＝2c ，∴b 2a ＝2c . ∴c 2－a 2＝2ac ， ∴e 2－2e －1＝0. 又∵e >1， ∴e ＝2＋1. 【答案】2＋19．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________．【解析】 如图，分别过点A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M ，N ，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝AB ＝8.又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以4＝2＋p2，即p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x10．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．【解析】 由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.【答案】 13811．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．【解析】 因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c ＝2，a ＝1，所以双曲线的离心率为2.【答案】 212．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB →，则点P 的轨迹C 的方程为________．【解析】 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y ，因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. 【答案】 x 22＋y 2＝113．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________. 【解析】 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)．又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴BF ＝12－(－1)＝32. 【答案】 3214．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．【解析】 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，a 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.【答案】 x 220＋y 25＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.【解】 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ， ∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.16．(本小题满分14分)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为D (2，－1)，求直线l 的一般式方程.【解】 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)，化简得y 2＝4x (x ＞0)． 即曲线C 的方程为y 2＝4x (x ＞0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，易知l 的斜率k 存在，故(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝4，即－2k ＝4，所以k ＝－2，故l 的一般式方程为2x ＋y －3＝0.17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 1－1(x 2≠1)．∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4.②－①，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．【解】 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去).∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA→＋OB →＝(－4，－12)．图2(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设点P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与直线l 平行时，△ABP 的面积最大． 设切线方程是y ＝2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 2＝－2y ，得x 2＋4x ＋2t ＝0，∴Δ＝42－4×2t ＝0，∴t ＝2.此时，点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离，d ＝|2＋2|5＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.∴△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，所以e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又因为b ＝21＋1＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在．设AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，k 2＜12， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)． ∵|P A →－PB→|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209， ∴(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0，∴k 2＞14，∴14＜k 2＜12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上) 1．已知空间直角坐标系中有点A (－2,1,3)，B (3,1,0)，则|AB →|＝________. 【解析】 ∵AB →＝(5,0，－3)， ∴|AB →|＝52＋02＋(－3)2＝34. 【答案】342．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －323．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________．①空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；②向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；③平面α的法向量垂直于α内的每个向量；④空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式．【解析】 若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故②错误． 【答案】 ②4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 【解析】 由已知得，89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.【答案】 －2或2555．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，C (－1,0，2)，则角A的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A的大小为30°.【答案】 30°6．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列各命题中，真命题是________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．【解析】 ①∵四边形ADC 1B 1为平行四边形，O 为对角线交点，∴OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量，∴①真；②∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，CB →＝D 1A 1→， ∴OB →－OC →＝OA 1→－OD 1→， ∴②假；③如图，设正方形ABCD 的中心为O 1，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 2，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OO 1→，OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→＝4OO 2→，∵OO 1→与OO 2→是相反向量，∴③真； ④OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →， ∵AA 1→与C 1C →是相反向量，∴④真． 【答案】 ①③④7．在空间直角坐标系O xyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，138．二面角αl β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________．【解析】 设BD →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，由已知条件，|a |＝1，|b |＝1，|c |＝1，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝120°.|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝4， 则|CD →|＝2. 【答案】 29．已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标为________.【解析】 由题意可知OQ →＝λOP →，故可设Q (λ，λ，2λ)，则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，8310．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB →＝(－3，4,0)，AC →＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又∵a >0，∴a ＝125. 【答案】 12511．空间四边形ABCD 中，连结AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果是________．则AB →＋12【解析】 如图，延长DE 交BC 于F ，易知F 是BC 中点，BC →－32DE →－AD →＝AB →－AD →＋BF →－32·23DF →＝DB →＋BF →－DF →＝DB →＋BF →＋FD →＝DF →＋FD →＝0.【答案】 012．已知动点P 是棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上一点，记D 1PD 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围为________．【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，所以D 1B →＝(1,1，－1)，由题意，可设D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，连结D 1A ，D 1C ，则D 1A →＝(1,0，－1)，D 1C →＝(0,1，－1)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，当∠APC 为钝角时，cos ∠APC ＝cosP A →，PC→＝P A →·PC →|P A →|·|PC →|<0. 由此得出λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113．在△ABC 中，若∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为________．【解析】 建立如图所示的坐标系，则C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,43，0)，P (0,0,4)，设M (x ，y,0)，则AM →＝(x －4，y,0)，AB →＝(－4,43，0)，易知AB →＝λAM →，即(－4,43，0)＝λ(x －4，y,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(x －4)＝－4，λy ＝43，得3x ＋y －43＝0，所以y ＝43－3x ，PM →＝(x ，y ，－4)＝(x,43－3x ，－4)，|PM →|2＝x 2＋(43－3x )2＋16＝4(x －3)2＋28，∵0≤x ≤4，∴当x ＝3时，|PM →|min ＝27. 【答案】 2714．如图1所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为________．图1【解析】 由题图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )． ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. ∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝a 24＋a 24＝22a .【答案】 22a二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图2，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图2【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→).∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.16．(本小题满分14分)如图3，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .图3【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c ， ∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →， ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面GBD .17．(本小题满分14分)如图4，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.图4(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .【证明】 (1)设AC 与BD 交于点G . ∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形，∴AF ∥EG . ∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .(2)连结FG ，∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直，且CE ⊥AC ，∴CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，CD ，CB ，CE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)， D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，∴CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)，∴CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0， ∴CF →⊥BE →，CF →⊥DE →， ∴CF ⊥BE ，CF ⊥DE . 又∵BE ∩DE ＝E ， ∴CF ⊥平面BDE .18．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠BCA ＝90°，现将△ABC 沿着与平面ABC 垂直的方向平移到△A 1B 1C 1的位置，已知AA 1＝2，分别取A 1B 1，A 1A 的中点P ，Q .(1)求BQ →的模；(2)求cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→，CB 1→〉的大小；(3)求证：AB 1⊥C 1P .【解】 (1)以C 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，Q (1,0,1)，B 1(0，1,2)，A 1(1,0,2)， ∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1，2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，∴|BQ →|＝12＋(－1)2＋12＝ 3.(2)∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3， |CB 1→|＝02＋12＋25＝5，∴cos 〈BQ →，CB 1→〉＝BQ →·CB 1→|BQ →|·|CB 1→|＝13×5＝1515.又∵BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3，|BA 1→|＝1＋1＋4＝6，|CB 1|＝0＋1＋4＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝330＝3010.∵0<1515<3010<1，∴〈BQ →，CB 1→〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又∵y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减， ∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→〉．(3)证明：∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝0，∴AB 1→⊥C 1P →，即AB 1⊥C 1P .19．(本小题满分16分)如图5，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .图5(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A PB C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【解】 如图，设AC ∩BD ＝O ，以O 为坐标原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则A (－2，0,0)，C (2，0,0)，P (－2，0,2)．设BD ＝2a ，则B (0，－a,0)，D (0，a,0)． (1)证明：PC →＝(22，0，－2)，BD →＝(0,2a,0)． 由PE ＝2EC ，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，23，则BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，a ，23.所以PC →·BE →＝(22，0，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，a ，23＝0，PC →·BD →＝(22，0，－2)·(0,2a,0)＝0， 即PC →⊥BE →，PC →⊥BD →.又因为BE ∩BD ＝B ，所以PC ⊥平面BED . (2)设平面P AB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)． 易得AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－a,0)．由⎩⎨⎧n ·AP →＝0，n ·AB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，2x 1－ay 1＝0.取x 1＝1，可得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a ，0.设平面PBC 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)． 易得BC →＝(2，a,0)，CP →＝(－22，0,2)． 由⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋ay 2＝0，－22x 2＋2z 2＝0.取x 2＝1，可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2a ，2.因为二面角A PB C 为90°，所以m ·n ＝0，即1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ×2a ＋2×0＝0，解得a ＝ 2.所以PD →＝(2，2，－2)，平面PBC 的一个法向量为m ＝(1，－1，2)，所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为|PD →·m ||PD →||m |＝12，所以PD 与平面PBC 所成角的大小为π6.20．(本小题满分16分)如图6，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．图6(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A B 1E A 1的大小为30°，求AB 的长．【解】 (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0，1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0. ∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AB 1→＝0，n ·AE →＝0，得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即a 2－az 0＝0，解得z 0＝12. 又∵DP ⊄平面B 1AE ，∴存在一点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连结A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1. ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与平面B 1AE 的法向量n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a 21＋a 24＋a2.∵二面角A B 1E A 1的大小为30°. ∴|cos θ|＝cos 30°，即3a 221＋5a 24＝32，解得a ＝2， 即AB 的长为2.模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上) 1．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝________. 【解析】 易得AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(p －1，－2，q ＋4)．∵AB →∥AC →，∴p －11＝－2－1＝q ＋43，∴p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 52．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【解析】 先列出命题非p 和非q ：|4x －3|>1和x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，分别解得非p ：x >1或x <12；非q ：x >a ＋1或x <a .若非p ⇐非q ，则a ≤12且a ＋1≥1，即0≤a ≤12.【答案】 0≤a ≤123．已知双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到它的右焦点的距离为8，那么点P 到它的右准线的距离是________．【解析】 设到右准线的距离为d ，则8d ＝54，所以d ＝325. 【答案】 3254．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】 由1a ＜1，得1－a a ＜0，即a ＜0或a ＞1，所以a ＞1是1a ＜1的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要5．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】 326．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________.【解析】 由题意得c ＝t a ＋μb ＝t (2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，即(7,5，λ)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.【答案】 6577．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)．①OM →＝OA →＋OB →＋OC →；②OM →＝2OA →－OB →－OC →；③OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →；④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →；⑤ OM →＝5OA →－3OB →－OC →.【解析】 对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若满足向量关系式OM →＝xOA →＋yOB→＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，则四点M ，A ，B ，C 共面．所以④⑤满足题意．【答案】 ④⑤8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．【解析】 因为方程x 24＋y 2k ＝1表示双曲线，所以k <0，所以a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，因为e ∈(1,2)，所以4－k4∈(1,4)，解得k ∈(－12,0)．【答案】 (－12,0)9．如图1所示，正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝________.图1【解析】 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴建系．易得B ′(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，DB ′→＝(1,1,1)，得cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，所以sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015. 【答案】2101510．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是________．【解析】 如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，NF ＝NB .从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．【答案】 x 2－y 28＝1(x >1)11．在四面体O ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．【解析】 若G ，M ，N 共线，则存在实数λ使MG →＝λMN →， 即OG →－OM →＝λ(ON →－OM →)，∴OG →＝(1－λ)OM →＋λON →＝(1－λ)·23OA →＋λ·12(OB →＋OC →)＝2(1－λ)3OA →＋λ2OB →＋λ2OC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2(1－λ)3＝13，x 4＝λ2，∴x ＝1.【答案】 112．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【解析】 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2,0)，设动圆圆心为P ，由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的距离也为r ，∴动圆必过定点F (2,0)． 【答案】 (2,0)13．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．【解析】 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，得9x 21＋36y 21＝9×36,9x 22＋36y 22＝9×36，两式相减，得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋36(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，由中点坐标公式x 1＋x 22＝4，y 1＋y 22＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝014．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x＋k 2＝0，由根与系数的关系，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解得k ＝±1. 【答案】 ±1二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)．若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }，非p ：B ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， ∵非p 是非q 的必要不充分条件，且m ＞0，∴A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，①1－m ≤－2，②1＋m ≥10，③，即m ≥9，注意到当m ＝9时，③中等号成立，而②中等号不成立，∴m 的取值范围是m ≥9.16．(本小题满分14分)在四棱锥V ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A VD B 的平面角的余弦值．【解】 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． (1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)． ∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连结EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32.∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0，∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217.17．(本小题满分14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积.【解】 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ， 所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a . 又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2的周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 的斜率为1， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×2×1227＝1227.18．(本小题满分16分)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1的中点．图2(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：连结BD ，∵ABCD A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴D 1D ⊥平面ABCD, 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC ， 在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，又BD ∩D 1D ＝D ， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D, 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E . (2)如图，建立空间直角坐标系D xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，B (1,1,0)，AE →＝(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,2)，DE →＝(1,1,1)．。
