数列中分奇偶数项求和问题例题20170313

第4讲数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.例已知数列｛〃〃｝满足0 = 1,。

2=；，[3 + (—1)〃]%+2—2斯+⑴令儿=S,i，判断｛5｝是否为等差数列，并求数列｛〃〃｝的通项公式；(2)记数列｛④｝的前2n项和为求T2n.解⑴因为[3 + (—1)〃]如+2—2为+2[(—1)〃-1]=0,所以[3 + (—1)2"「]他〃+1 — 2。

2〃-1 + 2[(-1)2〃>-1] = 0,即。

2〃+1 —。

2〃-1=2,又仇所以E+1—。

“ = 〃2"+|一-1=2,所以｛儿｝是以"=0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以勿=l+(〃-l)X2 = 2〃-l, n eN\⑵对于[3 + (—1)〃]如+2-2如+2[(—1)"- l]=0,当〃为偶数时，可得(3+1)。

〃+2—2%+2(1 — 1) = 0,即等4 所以〃2,。

4, 〃6,…是以。

2v为首项，聂公比的等比数列；当“为奇数时，可得(3——2斯+ 2(—1 — 1) = 0,即。

〃+2 —斯=2,所以。

1,的，。

5，…是以0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以公”=(。

। + a3 H ---------------- H。

2,?-1)+(。

2+a4 H F做〃)「I ]=/?Xl+-/?(^-l)X2j+———L1-2=/?2+1 - 2^,■能力提升- -----------------------------------------------------------------------(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(。

〃+。

〃+]=/5)或〃〃必+1=佝))；②含有(一1)〃的类型；③含有｛仇｝，｛如-1｝的类型;④已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列｛斯｝求S〃时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把〃2A-l+〃2人看作一项，求出S2&,再求S?&-1=S2£ —。

第13讲 数列求和（奇偶项讨论）一、必备秘籍有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决． 二、例题讲解1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．三、实战练习1．（2021·全国高三专题练习）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．2．（2021·河西·天津市新华中学）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，1122b a ==，523a a a =+，()654323b b b =-.（1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在n b 与1n b +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列， （i ）求证2*12,n n n c c c n N ++<∈；（ii ）对任意的正整数n ，设()()()21451,11,n n n n n n nn b n b b d a a c n ++⎧--⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n d 的前2n 项和.3．（2021·辽宁高三月考）已知等差数列{}n a 中，()*223N n n S S n n +=++∈.（1）求n a ；（2）设2,2,n n n a a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求{}n b 的前2n 项和2n T4．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）已知正项数列{}n a满足1n a =+. （1）求n a ；（2）将数列{}n a 分组：()()()()12345678910,,,,,,,,,......a a a a a a a a a a ，记第n 组的和为n b . （i ）求数列{}n b 的通项公式n b ；（ii ）求数列()1n n b n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭前2n 项的和.5．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-，数列{}n b 满足()*112n n n b b b n N -+=+∈且214a b =，38a b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）将{}n a 和{}n b 中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前100项和100T ；（3）设数列{}n d 的通项公式为：()()22,212,24n n n n n a b n m d a b n m ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，*m N ∈，求21ni i d =∑．6．（2021·江苏镇江市·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知数列{}n a 是等差数列，设()n S n N *∈为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，0n b >，若11325233,1,12,2a b b S a b a ==+=-=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2,,nn nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ，求数列{}n c 的前2n 项和．7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，520S =，3a 是2a ，5a 的等比中项，数列{}n b 满足：对任意的*n N ∈，22n n S b n +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2,2,n n n a b n n c n ⎧-=⎨⎩为偶数为奇数，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T .8．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足()()()11211n n n a n a +-=+-，29a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*,2,1,21,2n n n na n kb k N a n k =⎧⎪=∈⎨-=-⎪⎩求12342n b b b b b ++++⋅⋅⋅+.9．（2021·天津河西·高三三模）已知数列{}n a 满足()2,1n n a a d d R d +=+∈≠，*n N ∈，11a =，21a =，且1a ，23a a +，89a a +成等比数列.（1）求d 的值和{}n a 的通项公式；（2）设()221*2,(21,)221,(2,)4n na nn a n a n k k N b a n k k N +⎧⋅-=+∈⎪⎪=⎨⋅+⎪=∈⎪⎩，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .10．（2021·天津和平·高三月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且等比数列{} n b 的前n 项和为n T ，满足112a b =，26S =，312S =，123b b +=.（1）求{}n a ，{} n b 的通项公式；（2）求满足条件的最小正整数k ，使得对()n k n N *∀≥∈不等式1n n T S +≥恒成立；（3）对任意的正整数n ，设()()2,11 ,n n n n n nb n b bc a n b +⎧⎪++⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和.。

*作者：座殿角*作品编号48877446331144215458 创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之数列中分奇偶数项求和问题数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异； 例1：求和：n 1n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2nn n n 当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n二、相邻两项之和为常数；例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n nS a a a a a a -=++++++…12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=⋅=…②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…13222n n -+=+=三、相间两项之差为常数；例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列当n 为奇数时：11(1)22n n a n +=+-•= 当n 为偶数时：4(1)222n na n =+-•=+即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++⋅=+-…②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n+=+++++⋅=+…四、相间两项之比为常数；例4：已知a n ，a n+1为方程21()03n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，求a n 及S 2n 。

题型一：数列奇数偶数项问题()n n 1-()n n 11-- ())1(1--n n ())1(1+-n n【真题再现】1、（2011，山东，文20）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ． 解析：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意。

因此1232,6,18,a a a === 所以公式q=3， 故123.n n a -=⋅（II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以21222122(133)[111(1)](ln 2ln 3)n nn nS b b b -=+++=++++-+-++--2|[123(1)2]ln 3n n -+-++-22132ln 3133ln 3 1.nn n n -=⨯+-=+- 2、（2011，山东，理20） 等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n n b a a =+-求数列{}n b 的前n 项和n S .解析：（1）当13a =时，不合题意； 当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意； 因此 1232,6,18a a a ===，所以公比 3q = 故123n n a -=（2）因为[]1111(1)ln =23+(1)ln 23=23+(1)ln 2(1)ln 3=23+(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n nn n n nn n n n b a a n n ----=+---+---+-（）所以n-12(13+3)111+(1)(ln 2ln 3)123+(1)ln 3nn nS n ⎡⎤=+++-+-+--⎣⎦⎡⎤+-+-+-⎣⎦………所以 当n 为偶数时，132ln 33ln 311322n n n n nS -=⨯+=+--当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 313213ln 3ln 212n n n n S n n --=⨯--+---=--- 综上所述， 3ln 31213ln 3ln 212n n n nn S n n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数为奇数3、（2014，山东，文19）在等差数列{}n a 中，已知公差2=d ，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .解析：（Ⅰ）由题意知：{}n a 为等差数列，设()d n a a n 11-+=，2a 为1a 与4a 的等比中项4122a a a ⨯=∴且01≠a ，即()()d a a d a 31121+=+， 2=d 解得：21=a n n a n 22)1(2=⨯-+=∴（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：n a n 2=，)1(2)1(+==+n n a b n n n①当n 为偶数时：()()()()()()()()[]()()222222642222624221153431214332212nn n n n n n n n n n T n +=+⨯=++++⨯=⨯++⨯+⨯+⨯=++--+++-++-=+++⨯-⨯+⨯-= ②当n 为奇数时：()()()()()()()()[]()()()()[]()()()212122112211642212126242212153431214332212++-=----+⨯=+--++++⨯=+-⨯-++⨯+⨯+⨯=+-+---+++-++-=+-+⨯-⨯+⨯-=n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T n综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-=为偶数为奇数，n n n n n n T n ,22212224、（2014，山东，理19）已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意，得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n－14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋12n ＋1)．当n 为偶数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋1)【模拟题库】1、（2016届济宁一模，理19）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-.（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （II ）设()()1ln nn n n n c a b S =-+，求数列{}n c 的前n 项和.解析：（Ⅰ）记等差数列{a n }的公差为d ， 依题意，S 5=5a 1+d=30，又∵a 1=2， ∴d==2，∴数列{a n }的通项公式a n =2n ； ∵T n =2n ﹣1，∴T n ﹣1=2n ﹣1﹣1（n≥2）， 两式相减得：b n =2n ﹣1， 又∵b 1=T 1=21﹣1=1满足上式， ∴数列{b n }的通项公式b n =2n ﹣1； （Ⅱ）由（I ）可知a n b n =n•2n ，S n =2•=n （n+1），∴c n =（﹣1）n （a n b n +lnS n ）=n （﹣2）n +（﹣1）n [lnn+ln （n+1）]，记数列{（﹣1）n a n b n }的前n 项和为A n ，数列{（﹣1）n lnS n }的前n 项和为B n ， 则A n =1•（﹣2）1+2•（﹣2）2+3•（﹣2）3+…+n•（﹣2）n ，﹣2A n =1•（﹣2）2+2•（﹣2）3+…+（n ﹣1）•（﹣2）n +n•（﹣2）n+1， 错位相减得：3A n =（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n ﹣n•（﹣2）n+1 =﹣n•（﹣2）n+1=﹣﹣•（﹣2）n+1，∴A n =﹣﹣•（﹣2）n+1；当n 为偶数时，B n =﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln （n+1）] =ln （n+1）﹣ln1 =ln （n+1），当n 为奇数时，B n =﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln （n+1）] =﹣ln （n+1）﹣ln1=﹣ln（n+1）；综上可知：B n=（﹣1）n ln（n+1），∴数列{c n}的前n项和A n+B n=（﹣1）n ln（n+1）﹣﹣•（﹣2）n+1．题型二：通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n，n 为偶数，的数列，可采用分组求和法求和．1、（2016潍坊一中，理19）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，223422,2S a S a =-=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22log 2nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T解析：（1）由已知2222S a =- ①342S a =- ②①-②得3422a a a =-即220q q --= ……………………2分 又02q q >∴= ……………………3分22122111122,22222S a a a a a a q a q a =-∴+=-∴+=-∴= ……………………5分2n n a ∴= ……………………6分（2）由（1）知()()221log 22222n n n n nn n n n n n b b n n n n ⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数……………7分所以21232n n T b b b b =++++=1111111213352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭()246222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦21nn =+()246222426222n n ----⎡⎤+⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦ ……………………9分设()246222426222n A n ----⎡⎤=⨯+⨯+⨯++⋅⎣⎦，则()()2468222222426222222n n A n n -------=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅，两式相减得()()46822231222222242n n A n ------=+++++-⋅， 整理得2868992nn A +=-⨯， ……………………11分 所以2286899221n nn nT n +=-+⨯+． ……………………12分 2、（2015届滕州实验，理19）设等差数列{}n a 的前n 项和为248,40n S a S ==，且．数列{}n b 的前n 项和为n T ，且*230n n T b n N -+=∈，．（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）设n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n P解析：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44n a a n d =⎧∴=⎨=⎩． …3分 230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)n n b b n -=≥数列{}n b 为等比数列，132n n b -∴=⋅． …………6分 （Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ． 当n 为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-=+=+--． ……………9分当n 为奇数时，132241()()n n n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ． …………11分12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数．………12分 3、已知数列{}n a 的前n 和为n S ，且22n S n n =+；数列{}n b 是公比大于1的等比数列，且满足149b b +=，238b b =.（Ⅰ）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()1nn n n n c S a b =-+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（Ⅰ）1n =时，113a S ==2n ≥时，()221(2)(1)2121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦，又因为2113⨯+=，所以21n a n =+. 设等比数列{}n b 的公比为q ，由已知142398b b b b +=⎧⎨⋅=⎩，即31121198b b q b q b q ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩， 解得112b q =⎧⎨=⎩，或1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去，因为1q >）所以，12n n b -=（Ⅱ）()211(2)(21)2nn n c n n n -=-⋅+++⋅，设数列{}1(21)2n n -+⋅的前n 项和为nG ，数列(){}21(2)nn n -⋅+的前n 项和为n R .当n 为偶数时，()2238152412(1)(2)n R n n n n ⎡⎤=-+-+---+-++⎣⎦(521)(3)259(21)22nn n n n +++=++++==当n 为奇数时，()21(1)2(1)n n R R n n +⎡⎤=-+++⎣⎦()2(1)(4)(1)2(1)2n n n n ++⎡⎤=-+++⎣⎦232n n +=- ()0121325272212n n G n -=⋅+⋅+⋅+++⋅ ○1 则2n G =()1213252(21)2212n n n n -⋅+⋅++-⋅++⋅○2 ○1-○2得 ()0121322(222)212n n n G n --=⋅++++-+⋅ ()12(12)3221212n n n --=+⋅-+⋅- ()1122nn =-+-⋅ 所以()1212nn G n =+-⋅ 所以，()()23212,2(3)1212,.2n n n n n n n T n n n n ⎧+-+-⋅⎪⎪=⎨+⎪++-⋅⎪⎩为奇数，为偶数。

1设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； 解：（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·2 在数列{}n a 中，1a =0，且对任意k *N ∈，2k 12k 2k+1a ,a ,a -成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明456a ,a ,a 成等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（I ）证明：由题设可知，2122a a =+=，3224a a =+=，4348a a =+=，54412a a =+=， 65618a a =+=。

从而655432a a a a ==，所以4a ，5a ，6a 成等比数列。

（II ）解：由题设可得21214,*k k a a k k N +--=∈所以()()()2112121212331...k k k k k a a a a a a a a ++----=-+-+-()21,*k k k N =+∈.由10a =，得()2121k a k k +=+ ，从而222122k k a a k k +=-=.所以数列{}n a 的通项公式为221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数或写为()21124n n n a --=+，*n N ∈。

(文）已知数列{}n a 中，)(2,111*+∈==N n a a a n n n （1）求证数列{}n a 不是等比数列,并求该数列的通项公式; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设数列{}n a 的前n 2项和为n S 2，若n n n a S ka 222)1(3•≤-对任意*∈N n 恒成立,求k 的最小值。

(文）（1）,2,2,1321===a a a 2312a a a a ≠，{}n a ∴不是等比数列；………2分 22=+nn a a， ,,,,12531-∴n a a a a 及 ,,,,,2642n a a a a 成等比数列, 公比为2,⎪⎩⎪⎨⎧=∴-为偶数。

为奇数，n n a nn n ,2,2221 ……………6分（2）n n a a a S +++= 21， 当n 为偶数时，)()(42131n n na a a a a a S +++++++=-)12(321)21(22121222-=--+--=nn n ;……………8分 当n 为奇数时，)()(14231-+++++++=n n na a a a a a S32221)21(22121212121-⨯=--+--=+-+n n n 。

……………10分因此，⎪⎩⎪⎨⎧-⨯-=+为奇数。

为偶数，n n S n nn ,322),12(3212……………12分（3） )()(24212312212n n n n a a a a a a a a a S +++++++=+++=-)12(321)21(22121-=--+--=n n n . ……………13分n n a 22=， ……………14分因此不等式为 3(1-k2n )≤3(n 2—1)2n ，∴k n n n 22)12(1--≥，即k ≥n 21-（2n —1），max )1221(+-≥∴n nk……………16分F （n)=n 21-(2n-1)单调递减；∴F(1)= 5.0-最大， ∴k ≥5.0-，即k 的最小值为21-。

数列中分奇偶数项求和问题数列求和问题中有一类较复杂的求和,要对正整数n 进行分奇数和偶数情形的讨论,举例说明如下：一、相邻两项符号相异； 例1：求和：n 1n S n-3-+ =1-5+9-13++(∈)…（-1）（4） n N解：当n 为偶数时：()()[]()S 1591342n =-+-+⋯+(4-7) - (4-3) =-=-2nn n n当n 为奇数时：()()[]()159134n 32n S =-+-+⋯+(4-11) - (4-7) +=-+=2-1（4-3）（4-）n -1n n n n二、相邻两项之和为常数；例2：已知数列{a n }中a 1=2，a n +a n+1=1，S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：①当n 为偶数时：12341n n n S a a a a a a -=++++++…12341()()()122n n n n a a a a a a -=++++++=⋅=…②当n 为奇数时：123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++++…13222n n -+=+=三、相间两项之差为常数；例3：已知数列{a n }中a 1=1，a 2=4，a n =a n-2+2 （n ≥3），S n 为{a n }前n 项和，求S n 解：∵a n -a n-2=2 （n ≥3）∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n-1为等差数列；a 2,a 4,a 6,…,a 2n 为等差数列当n 为奇数时：11(1)22n n a n +=+-•=当n 为偶数时：4(1)222n na n =+-•=+即n ∈N +时， 1(1)n n a n ⎡⎤=++-⎣⎦∴①n 为奇数时：1(1)(123)2122n n n n S n n -+=+++++⋅=+-…②n 为偶数时：(1)(123)222n n n n S n n+=+++++⋅=+…四、相间两项之比为常数；例4：已知a n ，a n+1为方程21()03n n x C x -+=的两根n ∈N +，a 1=2，S n =C 1+C 2+…+C n ，求a n 及S 2n 。

数列中的奇偶项分类讨论问题20170313数列中的奇偶项分类讨论问题20170313例1、（14宁波二模）设等差数列的前n 项和为nS ，且248,40a S ==．数列{}nb 的前n 项和为n T ，且230n nT b -+=，n N *∈．（I ）求数列{}na ,{}nb 的通项公式；（II ）设⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a c n nn ， 求数列{}n c 的前n 项和n P ．解：（Ⅰ）由题意，1184640a d a d +=⎧⎨+=⎩，得14,44na a nd =⎧∴=⎨=⎩．230n n T b -+=，113n b ∴==当时，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得12,(2)nn bb n -=≥数列{}nb 为等比数列，132n nb-∴=⋅．（Ⅱ）14 32nn nn cn -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数 ．当n为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214n n n n n ++-⋅-+=+--．当n为奇数时，（法一）1n -为偶数，1n n n P P c -=+(1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-（法二）132241()()nn n n P a a a a b b b --=++++++++1221(44)6(14)2221214n n n n n n -++⋅-=+=++-- ．12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数例2.数列{}na 中，()1221,4,23n n a a a a n -===+≥，nS 为数列{}na 的前n 项和，求nS 。

{}na练习、（12宁波一模）已知数列{}na 满足：111,1,2n n na n a a a n ++⎧==⎨⎩奇，，偶为数为数*n N ∈，设21nn ba -=.（1）求23,,b b 并证明：122;n n bb +=+（2）①证明：数列{}2nb +等比数列；②若22122,,9kk k aa a +++成等比数列，2-1-12-32-112-12-22-11,2=c +2=c +2n-1==n ,2=+2=+2n-1==n+2n =n+2[1+(1)](1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a c a n b a b a a a b b b b a n a n n n --===+===+⎧∴⎨⎩--=解：当为奇数时，c 则c ，由得，则c （）2n-1,则；当为偶数时，则，由得，则（）2n+2,则；，为奇数，n 为偶数为奇数,S 222232(n 1);21+)3;2232,23,2n n n n n n n n nn n n n n n n n +-+-+=+=+=⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩（为偶数,S 为奇数,S 为偶数.求正整数k 的值. 解：（1）2321=22(1)4,b aa a ==+=3543=22(1)10,b a a a ==+=121221=22(1)2(1)22,n n n n n n ba a ab b ++-==+=+=+（2）①因为111122(2)1,20,2,22n nnnb b b a b b b +++==+≠==++所以数列{}2nb +是以3为首项，2为公比的等比数列. ②由数列{}2nb +可得，1121322,322n n nn ba ---=⨯-=⨯-即，则12211321n n n a a --=+=⨯-，因为22122,,9kk k aa a +++成等比数列，所以21(322)(321)(328)kk k -⨯-=⨯-⨯+，令2=kt ，得23(32)(1)(38)2t t t ⨯-=-+，解得243t =或，得2k =. ……………14分2. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧a n 2(a n 为偶数)，a n －2n (a n 为奇数).若a 3＝1，则a 1的所有可能取值为________．解析：当a 2为奇数时，a 3＝a 2－4＝1，a 2＝5； 当a 2为偶数时，a 3＝12a 2＝1，a 2＝2；当a 1为奇数时，a 2＝a 1－2＝5，a 1＝7或a 2＝a 1－2＝2，a 1＝4(舍去)； 当a 1为偶数时，a 2＝12a 1＝5，a 1＝10或a 2＝12a 1＝2，a 1＝4.综上，a 1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,103. 一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝22n ，则这个数列的前2m 项的和是________．解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m (m －1)2×10＋a 2(1－2m )1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m －1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.4．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.5、等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为 （C ） （A ）4（B ）6 （C ）8 （D ）10 6、已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10＝________.解析：∵a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2，∴a 2n ＝2n ，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)，∴b 10＝a 10＋a 11＝64.7、已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n ＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋2(1－21 007)1－2＝3×21 007－3.对比： a n ＋1/a n ＝2n 则用累乘法，9. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.解析：由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知a 2k ＋2－a 2k ＝2，a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k .∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×502＝2 600.点评：分奇偶项求和，实质分组法求和，注意公差和公比。