三角形五心的证明

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。

6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。

三角形的五心向量结论证明1. O是RP2R的重心UJU uuir umr rOp OP, OP3 0(其中a,b,c 是PP2P3 三边)P2 PP3uu uur uur r证明：充分性：OR OF2 OP30 O是PP2F3的重心uuu uir uur r uur uur uur uuur uur若OR OP，OP3 0 ，则O R OP2 OR，以OR，OF2OP1P3 ' P2，设OP3与RP2交于点P3，则F3为RF2的中点，有即O,R, P,p四点共线，故PP2P3的中线，同理,uur uuuOP3 OP3 ，为邻边作平行四边形uurOP1uur uuur,OP2OP3，得PO, P2O亦为PP2P3的中线，所以，O为的重心。

2•在ABC中，给uurADuur uuuAB AC ,等于已知AD是ABC 中BC边的中线；————uur* △ ABC中AB AC 一定过BC的中点，通过△ABC的重心luuAPuuBP*PUG1 uuu(AB31 uuu-(BA31 uur -(PAuurAC),uurBC),P为VABC的重心uur uirPB PC)uuu uu uur uur uur urir uur uur uur uur uuu uuu uuu uurPG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)-G是厶ABC的重心uur uuu uuu r UU uur uuu r 亦uur uuu uuu uuu-GA GB GC = 0 AG BG CG : =0，即3PG PA PB PCG ABC的重心（P是平面上任意点）.证明（反之亦然（证略））uurPBuirPC).uur 1 uur 由此可得PG (PA3S*若O是ABC的重心，则BOC S AOC S AOB1SS ABC3uuu umrAPgBC 0 2. uuu uuirBPgAC 0则0是厶ABC 的垂心证明：由 OA '\BC 3 = 003 +CA J ,得 -0?)3 = OB \COC -OA )2 ,所以.■ .' ■''"。

三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

一、三角形重心定理（中线的交点）重心原是物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

（证明）2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

（证明）3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理（垂直平分线的交点）三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

外心到三顶点的距离相等2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

三、三角形垂心定理（高的交点）三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

（证明，有何作用）2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

三角形五心的证明
三角形五心证明
三角形五心是一个普遍存在的几何定理，它说明在任何一个三角形中，其内部总是存在三条中垂线相交的心形，在每个角上还有两个凹点，就形
成了五点的心形。

在推导三角形五心定理前，我们先来看看三角形的基本概念：
定义1：三角形是由三条有限直线构成的面，这三条直线两两相交构
成三个点。

定义2：三角形的角是三条有限直线在其共同点处所形成的角，三角
形的三个角一定都是小于180°的角。

定义3：三角形的高是连接其三个顶点的直线与其对边的中垂线，每
一条高垂线将它所连接的对边截成两部分，称之为垂足。

现在我们开始推导三角形五心定理：
步骤一：证明存在三角形内部心形
同样，我们也可以在三角形B和三角形C的内角处做高为b/2和c/2
的垂线。

内心外心重心垂心中心1、重心：三角形的三条中线交点。

2、外心：三角形的三边的垂直平分线交点。

3、垂心：三角形的三条高交于一点。

4、内心：三角形的三内角平分线交于一点。

5、中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形的五心特点：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

5、旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

旁心到三角形三边的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

旁心一定在三角形外。

直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。

扩展资料:任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。

重心：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；重心定理：重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

垂心：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

外心：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.内心：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.参考资料：。

三角形五心内心：内切圆的圆心,即三条角平分线的交点.外心:外切圆的圆心,即三条中垂线的交点。

旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。

（类似、但不同于内心）垂心：三条高的交点.重心：三条中线的交点。

注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。

内心：三条角平分线的交点证：过点O作三边的垂线，垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理(角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF,OF=OE∴ OD=OE∴AO为角BAC的平分线外心：三条中垂线的交点证：连结OA、OB、OC，并过O点作OF⊥BC于点F。

由线段中垂线定理（线段中垂线上一点到两端点的距离相等），得：OA=OB，OA=OC.∴OB=OC∴点O在线段BC的中垂线上∴OF为线段BC的中垂线旁心：证：过点O作三边的垂线,垂足分别为D、E、F。

由角平分线定理（角平分线上一点到两边的距离相等）得：OD=OF，OD=OE∴ OF=OE∴BO为角ABC的平分线垂心:三条高的交点证：连结DE，连结AO交BC于F点。

∵角BDC=角BEC=90°∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆)。

∴角FBO=角CDE ······①（同弦(弧)所对圆周角相等)又∵角ODA=角AEO=90°∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）.∴角AOE=角ADE （同弦(弧）所对圆周角相等)且角AOE=角BOF∴角ADE=角BOF ······②由①②可知，角OFB=角ODA=90°∴AF为BC边上的高。

重心:三条中线的交点方法一：证：连结AO交BC于点F。

∵D为AB的中点∴S△ACD=S△BCD （S△表示三角形的面积）（底相等（AD=BD），高相同（都为点C到AB的距离)）S△AOD=S△BOD∴S△AOC=S△BOC ······①同理可得:S△BOC=S△AOB ······②由①②得,S△AOC=S△AOB又∵△AOC与△AOB底都为AO∴它们高相等，即:点B和点C到AF的距离相等.对于△AFB和△AFC，底相同(为AF）,高相等（分别为点B和点C到AF的距离）。

三角形五心三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。

重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

重心定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。

重心坐标为三顶点坐标平均值（在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]）。

三条中线相交的点叫做重心。

外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

外心到三顶点距离相等。

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形有且只有一个外接圆。

内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形有且只有一个内切圆。

垂心三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。

旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：垂心性质三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

三角形的五心向量结论证明1. O 是123PP P ∆的重心⇔1230OP OP OP ++=(其中,,a b c 是123PP P ∆三边)证明：充分性: 1230OP OP OP ++=⇒O 是123PP P ∆的重心若1230OP OP OP ++=，则123OP OP OP +=-，以1OP，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P '，则3P '为12PP 的中点，有'123OPOP OP +=，得'33OP OP =-，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P ∆的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P ∆的中线，所以，O 为的重心。

* △ABC 中AC AB +一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心1(),31()3AP AB AC P ABC BP BA BC ⎧=+⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩为的重心， *1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++ 由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略))*若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===P 12PP 3O PABC∆()1,2AD AB AC =+ABC ∆2.在中，给等于已知AD 是中BC 边的中线;2. 00AP BC P ABC BP AC ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩为的垂心* 点O 是123PP P ∆的垂心⇔122331OPOP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅ 证明：O 是123PP P ∆的垂心⇔312OPPP ⊥, 31232132310()0OP PP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=⇔⋅-=⇔⋅=⋅同理123OP P P ⊥⇔3112OP OP OP OP ⋅=⋅ 故当且仅当122331OP OP OP OP OP OP ⋅=⋅=⋅.* O 是△ABC 所在平面内一点222222→→→→→→+=+=+ACOB BA OC BC OA则O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．ABCOABCD EFGAB CDEFI aIK HEFD ABCMABCDEFG证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．C情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N . 作点P 关于MN 的对称点P '.试证：P '点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析 分析点M 和N 的性质，即能得到解题思路。

三角形的五心定理重心定理三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心.外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点．这点叫做三角形的外心.垂心定理三角形的三条高交于一点．这点叫做三角形的垂心.内心定理三角形的三内角平分线交于一点．这点叫做三角形的内心.旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点．这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心．三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心．它们都是三角形的重要相关点．上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽．二引伸与推广1．重要性质及其相互间的联系三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．上述性质读者可自行证明，下面我们给出几个推广．2．重心定理的推广证明如图7，直线CKF截ΔABD，由梅涅劳斯定理，有虽然当n=2时，有S△GHK=0，G、H、K重合于重心.如果我们称n（≥3）边形某顶点同除该点以外的n-1个顶点所决定的n-1边形的重心的连线，为n边形的中线，（当n-1=2时，n-1边形退化成一线段，此时重心即为线段的中心）那么重心定理可推广如下：定理2n边形的各条中线（若有重合，只算一条）相交于一点，各中线被该点分为：（n-1）∶1的两条线段，这点叫n边形的重心．证明当n=3时为重心定理，结论成立，假设n=k-1，（k≥4）时，命题成立，则当n=k 时，在k边形A1A2…Ak中，如图8，若S是k-2边形A1A2…Ak-2的重心，则Ak-1S、AkS 分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的中线．设Ok-1和O′k-1分别是k-1边形A1A2…Ak-2Ak-1和A1A2…Ak-2Ak的重心，则根据假设有连接AkOk-1、Ak-1O′k-1，则它们是k边形的两条中线，且交于一点，设交点为O，连接Ok-1O′k-1，则有Ok-1O′k-1∥Ak-1Ak，所以ΔOOk-1O′k-1∽ΔOAk-1Ak．因此，k边形A1A2…Ak的相邻两条中线Ak-1O′k-1，AkOk-1交于O点，且被O点内分为（k-1）∶1．同理可证k边形A1A2…Ak的任意相邻两条中线的交点内分每条中线为（k-1）∶1，由此推得，k边形的所有中线过一点，且被这点内分为（k-1）∶1．综上所述，定理得证．3．外心定理的推广定理3过ΔABC三边中点D、E、F分别作与三边倾斜角均为α的斜线且顺序一致，三斜线相交得ΔGHK，则SΔGHK=cos2α·SΔABC．证明如图9，首先我们证ΔKGH∽ΔABC，因为∠KFA=α=∠KEA，因为A、K、F、E四点共圆，所以∠GKH=∠BAC．同理可证∠G=∠B，∠H=∠C，故ΔKGH∽ΔABC．又由正弦定理，有同理，B、G、D、F共圆，有①+②得显然，当α=90°，即S△KGH=0时正是外心定理．对外心定理，还有下面的推广证明略．4．垂心定理的推广定理5从ΔABC三顶点分别作对边的斜线，与对边的交角为α，且顺序一致，三斜线相交成ΔGHK．则SΔGHK=4cos2α·SΔABC．证明如图10，过A、B、C分别作对边的平行线交得ΔA′B′C′，则A、B、C分别为ΔA′B′C′三边的中点，由定理3有SΔGHK=cos2α·SΔA′B′C′=4cos2α·SΔABC．显然，α=90°时为垂心定理．垂心定理还可理解为三角形一顶点与另两条高交点的连线垂直于对边，那么对五边形，我们有定理6在一五边形中，若有四个顶点向对边所作的高交于一点，则第五个顶点与其交点的边线也垂直于对边．证明如图11，设在五边形ABCDE中，AF⊥CD、BG⊥DE、CH⊥AE，DI⊥AB；且AF、BG、CH、DI交于O点，连接EO并延长交BC于K，连HG，则四边形AHFC、AIFD、BIGD、OHEG各内接于圆．所以OA·OF=OH·OC，OA·OF=OI·OD．OI·OD=OB·OG，∠1=∠2．所以OH·OC=OB·OG，故C、B、H、G内接于圆．所以∠2=∠3，则∠1=∠3．所以四边形BEGK内接于圆．而BG⊥DE，故EK⊥BC，命题得证．此结论可推广到2n+1边形．三．定理的应用例1设G为△ABC的重心，M、N分别为BC、CA的中点，求证：四边形GMCN和△GAB的面积相等．证明如图12，连GC，则例2三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍．证明如图13，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．又DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．例3AD是ΔABC的一条高；以AB、AC为边向外作正方形ABEF和ACGH，连BG、EC，求证：AD、BG、CE相交于一点．证明如图14，延长DA至K，使AK=BC，连FK、KH；则ΔKAH≌ΔBCA，ΔKAF≌ΔCBA，连KC、KB，则可得ΔKAC≌ΔBCG，ΔKAB≌ΔCBE．于是∠ACK=∠CGB，∠KBA=∠BEC，且它们分别为∠KCG及∠KBE的余角．所以BG⊥KC，CE⊥KB，从而AD、BG、CE为ΔKBC的三条高线，故它们相交于一点．例4在ΔABC中，AB=AC，圆O内切ΔABC的外接圆于D，且与边AB、AC分别相切于P、Q，证明：线段PQ的中点是ΔABC的内心．证明如图15，连接AD、PD、QD，易知AD平分∠PDQ及∠A，因为PQ∥BC，所以∠APQ=∠ABC①又AB切⊙O于P，则∠APQ=∠PDQ=2∠PDM②再连BD、BM，由于∠PBD=∠PMD=90°，故P、B、D、M四点共圆．所以∠PBM=∠PDM．③由①、②、③可得：∠PBM=∠MBC．即BM是∠ABC的平分线，而AM是∠A的平分线，所以交点M是ΔABC的内心．这是第20届国际数学奥林匹克竞赛试题，其实当AB≠AC时，结论也成立，这个问题留给有兴趣的读者进一步探究．练习与思考1．证明本章“引伸与推广部分命题（1）—（8）．2．G为ΔABC的重心，∠A=90°，求证：GB2+GC2=5GA2．3．ΔABC的外心和垂心分别为O、H，∠A=60°，求证：AO=AH．4．ΔABC中，BC=14cm，BC边上的高AD=12cm，内接圆半径r=4cm，求AB、AC之长．。

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心〞，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心〞指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，那么r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组〞．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A 类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合．ABCOABCD EFGABC DEFI aIK HE FABCMABC D EFG即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ，所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．例2证明垂心定理分析 我们可以利用构造外心来进行证明。

三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是二角形的二内角平分线交点.也是二角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的 三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）文档来自于网络搜索 外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心. 垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心 文档来自于网络搜索二、三角形五心性质 内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、P 为AABC 所在平面上任意一点，点 0是A ABC 内心的充要条件是：向量— (ax PA + bx PB +c x PC)a +b +c3、O 为三角形的内心， A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于 N ，则有 AO : ON = AB : BN =AC :CN =(AB + AC): BC . 重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三 条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为 （X 1 + X 2 + X 3 y 1 + y 2 + y 3）3 3外心：1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心 在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合 档来自于网络搜索2、若0是 MBC 的外心，则N BOC=2NA （N A 为锐角或直角）或N BOC =360°-2N A (N A 为钝角).向另外两个顶点向量的点乘。

c^ d 2d 3, c^d 1d 3, c^ = d 1d 2 ；c = ci +c 2+c 3. 重心坐标：（°十°3 c '十c3 G + c2）.文档来自于网络搜索2c ' 2c ' 2c2 : 1.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d i , d 2 , d 3分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等垂心：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH =1:2.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline ))3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OB =OB OC =OC OA旁心:1、每个三角形都有三个旁心2、旁心到三边的距离相等注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

百度百科三角形五心定律/view/1611086.htm一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O 是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

三角形的五心向量结论证明三角形是几何学中重要的一个概念，它由三条边组成，并具有许多有趣的性质。

而在三角形中，五心向量是一个常见的概念，指的是根据三角形的五个特殊点所得到的向量。

在本文中，我们将证明三角形的五心向量的一些重要结论。

首先，让我们回顾一下五心向量的定义。

三角形有五个特殊的点，分别是垂心、重心、外心、内心和旁心。

而五心向量则是由这五个特殊点所决定的向量。

具体来说，垂心向量是垂直三角形三边的向量和，重心向量是三角形三个顶点的向量和的三分之一，外心向量是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的向量和，内心向量是以三角形三个内切圆的圆心为向量的和，旁心向量是以三角形三个外切圆的圆心为向量的和。

接下来，我们将证明三角形的五心向量有以下结论：1. 五心向量的和为零向量。

这一结论可以通过向量的性质来证明。

既然五心向量是由特殊点所决定的向量的和，那么根据向量的加法交换律和结合律，我们可以将五心向量的和重新排列。

由于重心和旁心向量的和为零向量，同时外心和垂心向量的和也为零向量，那么根据这两个结论，重心、旁心、外心、垂心的向量和为零向量。

另外，由于内心向量的和与其他四个向量的和相反，所以五心向量的总和为零向量。

2. 重心向量和垂心向量的和为外心向量的两倍。

在证明这个结论之前，我们需要明确重心、垂心和外心的几何性质。

重心是三角形三个顶点的向量和的三分之一，垂心是垂直于三角形三边的向量和，而外心是以三角形三个顶点为圆心的外接圆的向量和。

根据这些性质，我们可以得出结论：重心和垂心向量的和恰好是外心向量的两倍。

这是因为重心向量将三个顶点的向量和等分为三份，而垂心向量则是将垂直三边的向量和居中分割。

因此，外心向量恰好是重心向量和垂心向量的和的两倍。

3. 旁心向量和内心向量的和为零向量。

为了证明这个结论，我们需要利用旁心和内心的性质。

旁心是以三角形三个外切圆的圆心为向量的和，而内心是以三角形三个内切圆的圆心为向量的和。

根据这些性质，我们可以得出结论：旁心向量和内心向量的和为零向量。