三角形五心的性质【超全总结】

三角形五心性质三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、若O是ABC∠2（A∠为=BOC∠∆的外心，则A锐角或直角）或A3600（A∠为钝=∠2BOC∠-角）.4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且2:1OG.（此直线称为三角形的欧拉:=GH线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.=OA⋅⋅=⋅OBOAOBOCOC旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三、三角形五心性质证明垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心做BG中点H，GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE是△ABC中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE是平行四边形∴HG=GE又H为BG的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）心设△ABC的切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的心在实轴的射影为对应支的顶点。

初中数学知识点：三角形五心定理三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的 五心”在解题时有很多应用，在本节中将分 别给予介绍.三角形的 五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心. 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等. 都等于三角形的外接圆半径.锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外. 2、 三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点 ，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）. 三角形的内心到三边的距离相等 ，都等于三角形内切圆半径.内切圆半径r 的计算：1 S 设三角形面积为 S,并记p=2（a+b+c ），则r=S .2 p1特别的，在直角三角形中，有r=2（a+b — c ）. 3、 三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心.上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点 的距离之比为 1 : 2.4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心. 5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点 圆圆心）. 每个三角形都有三个旁切圆.A 类例题例1证明重心定理。

证法1如图，D 、E 、F 为三边中点，设 BE 、CF 交于G ,连接EF ,斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第 四个点.所以把这样的四个点称为一个 垂心组”.，称为三角形的旁心 OCB（旁切//1显然EF = qBC ,由三角形相似可得 GB = 2GE , GC=2GF .又设AD 、BE 交于G'，同理可证 G'B=2G'E , G'A=2G'D ，即G 、G'都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G'、G 重合.即三条中线 AD 、BE 、CF 相交于一点 G . 证法2设BE 、CF 交于G , BG 、CG 中点为H 、I .连 EF 、FH 、HI 、IE ,// 1 // 1因为 EF =/ 2BC , HI = 2BC , 所以EFHI 为平行四边形.所以 HG=GE 、IG=GF , GB=2GE , GC=2GF . 同证法1可知AG=2GD , AD 、BE 、CF 共点. 即定理证毕.链接证明外心、内心定理是很容易的。

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。

6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。

初中几何三角形五心及定理性质.初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证实，特别简单。

〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名〕重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为〔〔X1+X2+X3〕/3，〔Y1+Y2+Y3〕/3〕。

5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A〔∠A为锐角或直角〕或∠BOC=360°-2∠A〔∠A为钝角〕。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1图2三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点能够得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

〔此直线称为三角形的欧拉线〔Eulerline〕〕3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1.若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。

三角形五心定律
形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等。

三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：
1、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

2、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

3、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。

该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
4、△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
6、内心到三角形三边距离相等。

三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。

1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。

重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。

2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。

外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。

3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。

内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。

4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。

垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。

5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。

旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。

这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。

- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。

- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。

- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。

- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。

三角形五心定律
————姚志雄
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角。

引言：三角形五心性质是研究三角形内几何中的重要问题之一。

五心指的是三角形的五个特殊点：外心、内心、垂心、重心和旁心。

本文将进一步探讨这些五心的性质，并给出详细的解析。

概述：在前一篇文章中，我们已经介绍了三角形五心的基本定义和性质。

在本文中，我们将进一步探讨它们的一些重要性质，包括它们的位置关系、角度关系以及与其他重要点的连线关系。

正文内容：一、外心的性质a.外接圆的半径等于任意一边的垂直平分线的长度。

b.外心到三角形三个顶点的连线都相等，且垂直于对应边。

c.三角形的外心同时也是三条边的垂直平分线的交点。

2.外心的位置关系：a.如果三角形是锐角三角形，外心在三角形内部。

b.如果三角形是钝角三角形，外心在三角形外部。

c.如果三角形是直角三角形，外心在斜边的中点上。

二、内心的性质a.内心到三边的距离相等，等于内接圆的半径。

b.内心到三角形三个顶点的连线与对应边呈直角。

c.内心是三条边的角平分线的交点。

2.内心的位置关系：a.三角形的内心总是位于三条角平分线的交点处。

b.如果三角形是锐角三角形，内心在三角形内部。

c.如果三角形是钝角三角形，内心在三角形外部。

三、垂心的性质a.垂心到三角形三个顶点的连线互相垂直。

b.垂心是三条高的交点。

2.垂心的位置关系：a.如果三角形是锐角三角形，垂心在三角形内部。

b.如果三角形是钝角三角形，垂心在三角形外部。

四、重心的性质a.重心到三个顶点的距离相等，等于中线的三分之一。

b.重心到三角形三边的距离相等。

c.三角形的重心同时也是三条中线的交点。

2.重心的位置关系：a.三角形的重心总是位于三条中线的交点处。

b.如果三角形是锐角三角形，重心在三角形内部。

c.如果三角形是钝角三角形，重心在三角形外部。

五、旁心的性质a.旁切圆的圆心到旁切点的距离相等，等于旁切圆的半径。

b.旁心到三角形三边的距离分别等于旁切圆的半径。

c.旁心是三条旁切线的交点。

2.旁心的位置关系：a.三角形的旁心总是位于三条旁切线的交点处。

三角形的“五心”及其性质
三角形的重心
三角形的重心是三角形三边中线交点。

其性质很多，下面仅给出六条性质：
三角形的垂心
三角形的垂心是三角形三条高所在直线交点。

如下图，垂心可以在三角形内部，直角顶点或外部。

垂心性质也有很多，给出以下三条
三角形内心
三角形的内心是三角形三角平分线交点，是三角形内切圆的圆心。

三角形的外心
三角形的外心是三边中垂线交点，垂心是三角形外接圆的圆心。

三角形的旁心
三角形的旁心是三角形一内角平分线和两外角平分线交点，旁心是三角形旁切圆圆心。

三角形的三条高的交‎点叫做三角形的垂心。

‎三角形垂心的性质‎设△ABC的三条‎高为AD、BE、CF‎，其中D、E、F为垂‎足，垂心为H，角A、‎B、C‎的对边分别为a、b、‎c，p=(a+b+c‎)/2．1‎、锐角三角形的垂心在‎三角形内；直角三角形‎的垂心在直角顶点上；‎钝角三角形的‎垂心在三角形外. ‎2、三角形的垂‎心是它垂足三角形的内‎心；或者说，三角形的‎内心是它旁心三角形的‎垂心；‎3、垂心H关于‎三边的对称点，均在△‎A BC的外接圆上。

‎4、△AB‎C中，有六组四点共圆‎，有三组(每组四个)‎相似的直角三角形，且‎A H•HD=BH•H‎E=CH•HF。

‎5、 H、A、‎B、C四点中任一点是‎其余三点为顶点的三角‎形的垂心(并称这样的‎四点为一—垂心组)。

‎6、△A‎B C，△ABH，△B‎C H，△ACH的外接‎圆是等圆。

‎7、在非直角三角形‎中，过H的直线交AB‎、AC所在直线分别于‎P、Q，则 AB/A‎P•tanB+AC/‎A Q•tanC=ta‎n A+tanB+ta‎n C。

8、‎三角形任一顶点到垂‎心的距离，等于外心到‎对边的距离的2倍。

‎9、设O，‎H分别为△ABC的外‎心和垂心，则∠BAO‎=∠HAC，∠ABH‎=∠OBC，∠BCO‎=∠HCA。

‎10、锐角三角形‎的垂心到三顶点的距离‎之和等于其内切圆与外‎接圆半径之和的2倍。

‎11、锐‎角三角形的垂心是垂足‎三角形的内心；锐角三‎角形的内接三角形(顶‎点在原三角形的边上)‎中，以垂足三角形的周‎长最短。

1‎2、西姆松定理（西姆‎松线）：从一点向三角‎形的三边所引垂线的垂‎足共线的充要条件是该‎点落在三角形的外接圆‎上。

13、‎设锐角△ABC内有‎一点T，那么T是垂心‎的充分必要条件是PB‎*PC*BC+PB*‎P A*AB+PA*P‎C*AC=AB*BC‎*CA。

垂心的向‎径定义设点H‎为锐角三角形ABC的‎垂心，向量OH=h，‎向量OA=a，向量O‎B=b，向量OC=c‎，则h=(t‎a nA a +tan‎B b +tanC ‎c)/(tanA+t‎a nB+tanC).‎垂心坐标的解‎析解：设三个‎顶点的坐标分别为(a‎1，b1)(a2，b‎2)(a3，b3)，‎那么垂心坐标x=Δx‎/2/Δ，y=-Δy‎/2/Δ。

三角形的五心几何性质一．重心三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3)/3。

二．垂心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

垂心的坐标A（x1，y1)B(x2，y2)C(x3,y3)，垂心H（x0，y0）用斜率是负倒数关系Kbc=y3—y2/x3—x2 Kah=y1—y0/x1—x0 Kah=-1/Kbc得到方程(y3—y2）/（x3-x2)=-（x1-x0）/(y1—y0）同理可得方程（y2-y1）/（x2-x1)=-(x3-x0）/（y3—y0)解出x0，y0即可，三．内心三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO：ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC）：BC3、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b， CP/PA=a/c，BR/RA=a/b.4、△ABC中,A（x1，y1）,B（x2，y2)，C(x3，y3），那么△ABC内心坐标是：（ax1/(a+b+c）+bx2/(a+b+c）+cx3/(a+b+c），ay1/(a+b+c）+by2/（a+b+c）+cy3/（a+b+c))．法一:向量法设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A（x1，y1）,B（x2,y2），C(x3,y3） BC=a,CA=b,AB=c内心为I（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1—X,Y1—Y）MB=（X2-X，Y2—Y)MC=(X3—X，Y3-Y）则:a（X1—X）+b（X2-X)+c(X3-X）=0，a(Y1—Y)+b(Y2—Y)+c（Y3—Y）=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）∴I（（aX1+bX2+cX3）/（a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）)几何法：设A（x1，y1）B（x2，y2)C（x3，y3）,AB=c,BC=a,AC=b，内心为I,AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB 与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD＊DI/IA=1b/a*（b+c）/b＊DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA＊a/(b+c)BD=c/b*DC D (（x2+c/b＊x3）/(1+c/b）,（y2+c/b＊y3)/（1+c/b）)（bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c）+a/(b+c）＊x1］/［1+a/（b+c)］ Yi=[（cy2+by3）/(b+c)+a/（b+c)＊y1］/[1+a/（b+c）]I((ax1+bx2+cx3）/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3）/（a+b+c)）四．外心三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

三角形的五心性质内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心到三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

线段的重心线段的重心就是线段的中点平行四边形的重心平行四边形的重心就是它两条对角线的交点三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。

三角形的中心，重心，垂心，内心，外心。

五心的定义和性质是什么如果你知道了三角形的重心，垂心，内心，外心，那么对以等边三角形，这四心是合一的，也叫中心，中心具有所有四心的性质。

需要补充的是三角形还有一个旁心，通常把三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

重心位置：于三角形内部三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的位置：于锐角三角形内部，直角三角形的两只角边交点，钝角三角形的外部。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF ⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！三、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理页6 共页1 第三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

1为锐角或直角）或A是△ABC的外心，则∠BOC=2∠（∠A2、若O ∠为钝角）。

A（∠A∠BOC=360°-2当三角形为钝角三角形时，外心在三角形内部；、当三角形为锐角三角形时，3外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

、外心到三顶点的距离相等5垂心定理2图图1三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

页6 共页2 第垂心的性质：6个四点圆。

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到。

（此直︰2三点共线，且OG︰GH=1、重心2、三角形外心OG和垂心H Euler line））线称为三角形的欧拉线（倍。

、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的32 、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

4推论：）。

（图1ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 、1. 若 D 、 E F 分别是△（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。

三角形的五心定义及性质
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

三角形的性质
1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。

3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。

11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。

12.等底同高的三角形面积相等。

13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。

14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。

三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是二角形的二内角平分线交点.也是二角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的 三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）文档来自于网络搜索 外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心. 垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心 文档来自于网络搜索二、三角形五心性质 内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、P 为AABC 所在平面上任意一点，点 0是A ABC 内心的充要条件是：向量— (ax PA + bx PB +c x PC)a +b +c3、O 为三角形的内心， A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于 N ，则有 AO : ON = AB : BN =AC :CN =(AB + AC): BC . 重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三 条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为 （X 1 + X 2 + X 3 y 1 + y 2 + y 3）3 3外心：1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心 在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合 档来自于网络搜索2、若0是 MBC 的外心，则N BOC=2NA （N A 为锐角或直角）或N BOC =360°-2N A (N A 为钝角).向另外两个顶点向量的点乘。

c^ d 2d 3, c^d 1d 3, c^ = d 1d 2 ；c = ci +c 2+c 3. 重心坐标：（°十°3 c '十c3 G + c2）.文档来自于网络搜索2c ' 2c ' 2c2 : 1.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d i , d 2 , d 3分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等垂心：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH =1:2.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline ))3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OB =OB OC =OC OA旁心:1、每个三角形都有三个旁心2、旁心到三边的距离相等注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。