新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
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1 / 4 新人教版八年级数学下册二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式.
注：在二次根式中；被开放数可以是数；也可以是单项式、多项式、分式等代数式；但必须注意：因为负数没有平方根；所以是为二次根式的前提条件；如；；等是二次根式；而；等都不是二次根式.
例1．下列式子；哪些是二次根式；哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1xy、xy（x≥0；y•≥0）．
分析：二次根式应满足两个条件：第一；有二次根号“”；第二；被开方数是正数或0．
知识点二：取值范围
1、
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知；当a≧0时；有意义；是二次根式；所以要使二次根式有意义；只要使被开方数大于或等于零即可.
2、 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根；所以当a﹤0时；没有意义.
例2．当x是多少时；31x在实数范围内有意义？
例3．当x是多少时；23x+11x在实数范围内有意义？
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根；也就是说；（）是一个非负数；即0（）.
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根；而正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0；所以非负数（）的算术平方根是非负数；即0（）；这个性质也就是非负数的算术平方根的性质；和绝对值、偶次方类似.这个性质在解答题目时应用较多；如若；则a=0,b=0；若；则a=0,b=0；若；则a=0,b=0.
例4(1)已知y=2x+2x+5；求xy的值．(2)若1a+1b=0；求a2004+b2004的值
2 / 4 知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论.上面的公式也可以反过来应用：若；则；如：；.
例1 计算
1．（32）2 2．（35）2
3．（56）2
4．（72）2
例2在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3
（2）x4-4
(3) 2x2-3
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
注：
1、化简时；一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数；若是正数或0；则等于a本身；
即；若a是负数；则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数；即不论a取何值；一定有意义；
3、化简时；先将它化成；再根据绝对值的意义来进行化简.
例1 化简
（1）9 （2）2(4)
（3）25 （4）2(3)
例2 填空：当a≥0时；2a=_____；当a<0时；2a=_______；•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若2a=a；则a可以是什么数？（2）若2a=-a；则a是什么数？ （3）2a>a；则a是什么数？
3 / 4 例3当x>2；化简2(2)x-2(12)x．
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的；表示一个正数a的算术平方根的平方；而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中；而中a可以是正实数；0；负实数.但与都是非负数；即；.因而它的运算的结果是有差别的； ；而
2、相同点：当被开方数都是非负数；即时；=；时；无意义；而.
知识点七：二次根式的乘除
1、 乘法a·b＝ab（a≥0；b≥0） 反过来：ab=a·b（a≥0；b≥0）
2、除法ab=ab（a≥0；b>0） 反过来；ab=ab（a≥0；b>0）
（思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同；因为b在分母；所以不能为0）
例1．计算
（1）45×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6
例2 化简
（1）916 （2）1681 （3）229xy （4）54
例3．判断下列各式是否正确；不正确的请予以改正：
（1）(4)(9)49
（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83
例4．计算：（1）123 （2）3128 （3）11416 （4）648
例5．化简：
（1）364 （2）22649ba （3）2964xy （4）25169xy
例6．已知9966xxxx；且x为偶数；求（1+x）22541xxx的值．
4 / 4 3、最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；
（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式
（熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系；当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式；然后再观察各个因式的指数是否是2（或2的倍数）；若是则说明含有能开方的因式；则不满足条件；就不是最简二次根式）
例1．把下列二次根式化为最简二次根式(1)
5312; (2)
2442xyxy; (3)
238xy
4、化简最简二次根式的方法：
(1)
把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式；即分解因式；
(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号）；即分母有理化；
(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来．（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值；注意符号问题）
5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与； ②与；
③与； ④与．
说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．
13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式.
判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式.如8与18
知识点八：二次根式的加减
1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式；再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并.（合并方法为：将系数相加减；二次根式部分不变）；不能合并的直接抄下来.
例1．计算（1）8+18 （2）16x+64x
分析：第一步；将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步；将相同的最简二次根式进行合并．
解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52
（2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x
例2．计算
（1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）
例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0；求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值．
2、二次根式的混合运算：先计算括号内；再乘方（开方）；再乘除；再加减
3、二次根式的比较：（1）若；则有；（2）若；则有．
（3）将两个根式都平方；比较平方后的大小；对应平方前的大小
例4．比较312与45的大小
