高斯公式与斯托克斯公式——习题汇总

§3 高斯公式与斯托克斯公式

1．应用高斯公式计算下列曲面积分：

（1）

（2）

（3）S 222yzdydz+zxdzdx+xydxdy，其中S是单位球面x+y+z=1的外侧； xS

S 2dydz+ydzdx+z2dxdy，其中S是立方体0≤x,y,z≤a表面的外侧；

2222222xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是锥面x+y=z与平面z=h所围空 间区域(0≤z≤h)的表面，方向取外侧；

（4）xdydz+ydzdx+z

S

S333dxdy，其中S是单位球面x2+y2+z2=1的外侧； （5）xdydz+ydzdx+zdxdy，其中S是单位球面z=

yzdydz+zxdzdx+xydxdy=∫∫∫0dxdydz=0

SV

2a2−x2+y2的外侧 解：（1）（2）x

S

Vdydz+y2dzdx+z2dxdy aaa=2∫∫∫(x+y+z)dxdydz=2∫dx∫dy∫(x+y+z)dz 000

aa2

=2∫dx∫[(x+y)a+dy=2∫(a2x+a3)dx=3a4 0002aa

（3）x

S2dydz+y2dzdx+z2dxdy=∫∫∫(x+y+z)dxdydz，由柱面坐标变换 V

x=rcosθ,y=rsinθ,z=z, 0≤θ≤2π,0≤r≤h,r≤z≤h 2

333222（4）xdydz+ydzdx+zdxdy=∫∫∫(x+y+z)dxdydz 00rSV原式=2∫2πdθ∫dr∫(rcosθ+rsinθ+z)rdz=hhπh4

12π 0005

3（5）原式=∫∫∫(1+1+1)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=2π a =3∫dϕ∫ π 2πdθ∫r4sinϕdr= 1

VV

2．应用高斯公式计算三重积分∫∫∫(xy+yz+zx)dxdydz，其中V由x≥0,y≥0,0≤z≤1与

V

x2+y2≤1所确定的空间区域。 解：原式=1222(xydydzyzdzdxzdxdy ++2S

1=[∫∫(1−y2)ydydz+∫∫(1−x2)zdzdx+∫∫xdxdy] 2DyzDzxDxy

11111−x21122=[∫dy∫(1−y)ydz+∫dx∫(1−x)zdz+∫xdx∫dy] 0000200

1111111=[∫(1−y2)ydy+∫(1−x2)dx+∫x−x2dx]= 0002224

3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

（1(y+z)dx+(x+z)dy+(x+y)dz，其中L为x+y+z=1与三坐标面的交线，L222222

它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；

（2）

(3) LLx2y3dx+dy+zdz，其中L为z2+y2=1, x=y所交的椭圆的正向.

(z−y)dx+(x−z)dy+(y−x)dz，其中L为以A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)为顶点

的三角形沿ABCA的方向.

解：(1)记L为曲面S:z=1−x−y(x≥0,y≥0,x+y≤1)的边界，由斯托克斯公式知 原式=2∫∫(y−z)dydz+(z−x)dzdx+(x−y)dxdy，且

S

11−y

0011(y−z)dz=∫[y(1−y)−(1−y2)]dy 02∫∫(y−z)dydz=∫dy∫S

1321y−)dy=0 022

同理∫∫(z−x)dzdx=∫∫(x−y)dxdy=0，故原积分=0 =∫(2y−

SS

(2) 视L为该椭圆的边界，则

原式=22220dydz+0dzdx+(0−3xy)dxdy=3x∫∫∫∫ydxdy

SS

22由于曲面S:x=y(y+z≤1)上任一点(x,y,z)处的法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)中的

cosγ=0，从而由定义知∫∫x2y2dxdy=0，因此，原式=0. S

(3) (z−y)dx+(x−z)dy+(y−x)dz=∫∫(1+1)dydz+(1+1)dzdx+(1+1)dxdy LS

111=2∫∫dydz+dzdx+dxdy=2(a2+a2+a2)=3a2 222S

4．求下列全微分的原函数:

(1) yzdx+xzdy+xydz;

(2) (x−2yz)dx+(y−2xz)dy+(z−2xy)dz

2222

解：(1) 因d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz,故原函数为:u(x,y,z)=xyz+c

1333231333

数为u(x,y,z)=(x+y+z)−2xyz+C

(1) (2)

(2) 由于d[(x+y+z)−2xyz]=(x−2yz)dx+(y−2xz)dy+(z−2xy)dz，故原函

22

5．验证下列线积分与路线无关,并计算其值：

∫∫

(2,3,−4)

(1,1,1)

xdx+y2dy−z3dz; xdx+ydy+zdzx2+y2+z2

2

(x2,y2,z2)

(x1,y1,z1)

，其中(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)在球面x+y+z=a上.

2222

解：(1) 因在R内有d(x+从而

原积分=

1

2

2

1314

y−z)=xdx+y2dy−z3dz，所给曲线积分与路线无关，34

7

12

2

2

∫

2

1

xdx+∫y2dy−∫z3dz=−53

1

1

2

2

2

2

3−4

(2) 在球面内有d(x+y+z)=

xdx+ydy+zdzx+y+zydy

+∫

，所给曲线积分与路线无关，且

原式=

∫

x2

2

xdxx+y+z

2

2

x1

2121

+∫

y2

2

z2

2

zdzx2+y+z

2

2

y1

x2+y+z

2

2

2

21

z1

22

2

=x2+y1+z1

x2x1

+x2+y2+z1

y2y1

+x2+y2+z2

z2z1

=0

6．证明：由曲面S所包围的立体V的体积ΔV为ΔV=

1

(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS，3S

其中cosα,cosβ,cosγ为曲面S的外法线方向余弦

证：因为

(xcosα+ycosβ+zcosγ)dS=xdydz+ydzdx+zdxdy

S

S

V

=∫∫∫(

故原公式成立.

∂∂∂

+y+z)dxdydz=3∫∫∫dxdydz=3V ∂x∂y∂zV

7．证明：若S为封闭曲面,l为任何固定方向，则线方向.

cos(n,l)dS=0，其中n为曲面S的外法

S

/

/

/

证：设n和l的方向余弦分别是cosα,cosβ,cosγ和cosα,cosβ,cosγ，则

cos(n,.l)=cosαcosα/+cosβcosβ/+cosγcosγ/

由一.二型曲面积分之间的关系可得

cos(n,l)dS=

S

S///(cosαcosα+cosβcosβ+cosγcosγ)dS S///=wcosαdydz+cosβdzdx+cosγdxdy. ∫∫

由l的方向固定，P=cosα,Q=cosβ,R=cosγ都是常数，故

高公式得

原式=///∂P∂Q∂R++=0，由奥∂x∂y∂zw∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(

SV∂P∂Q∂R++)dxdydz=0 ∂x∂y∂z

8．证明公式：dxdydz1cos(r,n)dS，其中s是包围V的曲面，n是S的外法线方=w∫∫∫∫∫2rVS

向

, r= r=(x,y,z)

证：因为cos(r,n)=cos(r,x)cos(n,x)+cos(r,y)cos(n,y)+cos(r,z)cos(n,z)，而

cos(r,x)=xyz,cos(r,y)=,cos(r,z)=，则由第一、二型曲面积分的关系及奥高公式可得

rrr

1cos(r,n)ds=[xcos(n,x)+ycos(n,y)+zcos(n,z)]ds rSS

=∂x∂y∂z1xyz2dydz+dzdx+dxdy=[()+)+()]dxdydz= ∫∫∫∫∫∫rrr∂xr∂yrzrr∂S外VV故公式成立.

9．若L是平面xcosα+ycosβ+zcosγ−p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S，求 dxdy

cosβ

ydzcosγ zLcosαx

其中L依正向进行.

解：因P=cosβ−ycosγ,Q=xcosγ−zcosα,R=ycosα−xcosβ，故由斯托克斯公式及第一、二型曲面积分之间的关系得 dydzdzdxdxdy

∂∂∂原式=∫∫=2∫∫cosαdydz+cosβdzdx+cosγdxdy ∂x∂y∂zSDPQR

=2∫∫(cos2α+cos2β+cos2γ)dS=2S

D