高斯公式与斯托克斯公式——习题

§3 高斯公式与斯托克斯公式

1.应用高斯公式计算下列曲面积分;

(1),Syzdydzzxdzdxxydxdy其中S是单位球面2221xyz的外侧;

(2)222,Sxdydzydzdxzdxdy其中S是立方体0,,xyza≤≤表面的外侧;

(3)222,Sxdydzydzdxzdxdy其中S是锥面222xyz与平面zh所围空间区域(0zh≤≤)的表面,方向取外侧;

(4)333,Sxdydzydzdxzdxdy其中S是单位球面2221xyz的外侧;

(5),Sxdydzydzdxzdxdy其中S是上半球面222zaxy的外侧.

3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分:

(1)222222()()(),Lyzdxxzdyxydz其中L为1xyz与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧;

(2)23,Lxydxdyzdz其中L为221,yzxy所交的椭圆的正向;

(3)()()(),Lzydxxzdyyxdz其中L为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)AaBaCa为顶点的三角形沿ABCA的.

4.求下列全微分的原函数:

(1);yzdxxzdyxydz (2)222(2)(2)(2).xyzdxyxzdyzxydz

5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值:

(1)(2,3,4)23(1,1,1);xdxydyzdz

(2)222111(,,)222(,,),xyzxyzxdxydyzdzxyz其中()()111222,,,,xyzxyz在球面2222xyza上.

斯托克斯公式的使用条件:

条件：当曲面是面xOy上的一块平面闭区域时

斯托克斯公式建立了沿曲面 S 的曲面积分与沿 S的边界曲线

L 的曲线积分之间的联系.

对曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下规定：设人站在曲面 S 上的指定一侧，沿边界曲线 L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L 的正向.这个规定方法也称为右手法则。

纳维-斯托克斯方程在建模仿真中的应用

纳维-斯托克斯方程是流体流动建模的核心。在特定的边界条件（如入口、出口和壁）下求解这些方程，可以预测给定几何体中的流体速度和压力。

由于这些方程本身的复杂性，我们只能得到非常有限的解析解。例如，对于两个平行板之间的流动或圆管内的流动，方程的求解会相对容易一些；但对于更为复杂的几何结构，求解方程会非常困难。

斯托克斯公式:

斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广，它也是格林公式的推广，这一公式给出了在曲面块上的第二类曲面积分与其边界曲线上的第二类曲线积分之间的联系。

设 是具有边界曲线的有向曲面， 的边界曲线的正向这样规定：使这个正向与有向曲面 的法向量符合右手法则．即当右手除大拇指外的四指依曲线 的绕行方向时，竖起的大拇指的指向与曲面 的法向量的指向一致．如此定向的边界曲线 称为有向曲面 的正向边界曲线． 设 为空间的一条分段光滑的有向曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手法则．函数 在曲面 (连同边界 )上具有连续的一阶偏导数，则

称为斯托克斯公式。

格林公式高斯公式斯托克斯公式

格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的三个重要公式，用于计算曲线、曲面和体积上的积分。

1. 格林公式（Green's theorem）：该公式用于计算平面上的曲线积分和二重积分之间的关系。设曲线C是一个简单闭合曲线，方向为逆时针方向，曲线内部围成的区域为D，若函数P(x, y)和Q(x, y)在区域D内有一阶连续偏导数，则有：

∮C Pdx + Qdy = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA

2. 高斯公式（Gauss's theorem）：该公式用于计算封闭曲面上的曲面积分和三重积分之间的关系。设曲面S是一个封闭曲面，曲面内部的区域为V，若函数F(x, y, z)在区域V内有一阶连续偏导数，则有：

∮S F · dS = ∬∬S ∇·F dS = ∭V ∇·F dV

3. 斯托克斯公式（Stokes' theorem）：该公式用于计算曲面边界上的曲线积分和曲面积分之间的关系。设曲面S是一个有向曲面，曲面边界为曲线C，若函数F(x, y, z)在曲线C和曲面S内都有一阶连续偏导数，则有：

∮C F · dr = ∬S (∇×F) · dS

这三个公式为微积分中的基本定理，可以用于求解各种应用问题，如流体力学、电磁学等领域中的问题。

1、利用高斯公式计算曲面积分

1）求22222234Ixdydzydxdzzxydxdy，其中为22zxy与2z围成的立体的表面，取外侧。

解：利用高斯公式可得

246Ixyzdxdydz

222224246xyxydxdyxyzdz

222222424234xyxyxyxydxdy

222330022cos4sin123drrrrdr

20816cossin122433d

2）利用高斯公式计算曲面积分281214yxdydzydxdzyzdxdy，其中是由曲线1130zyyx

绕y轴旋转一周所成曲面，它的法向量与y正方向夹角

恒大于2。

解：曲面为22113xzyy，并取左侧。

作辅助曲面221:32yxz，并取右侧，利用高斯公式可得

281214yxdydzydxdzyzdxdy

12814481214yyydxdydzyxdydzydxdzyzdxdy

2222223223100221632232xzxzxzdxdydzdxdzdxdzdzdrrdr34

3）设函数fu由一阶连续的导数，计算曲面积分

222232113Ifxydydzfxydzdxxzyzzdxdyyx

式中时下半球面2221(0)xyzz的上侧。  



1 解：添加辅助曲面221:01zxy，并取下侧

利用高斯公式可得

2222222Iyfxyyfxyxyzdxdydz