高考数学(文)一轮复习 2-9函数模型及其应用

高三一轮复习学案 §2.10函数与方程

- 1 - §2.10函数与方程

【学习目标】

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.

2．理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法，数学中数形结合的思想。

【重点难点】函数与方程的相互转化

【自主学习】

一、知识点整合归纳

（一）函数的零点

1、函数零点的定义

对于函数()yfxxD，把 叫做函数()yfxxD的零点。

2、几个等价关系

方程()0fx 函数()yfxxD 函数()yfxxD

注：①函数的零点不是函数()yfxxD与x轴的交点，而是

，也就是说函数的零点不是一个点，而是

② 并非任意函数都有零点，只有 。

3、函数零点的判定（零点存在性定理）

如果函数()yfxxD在区间[a,b]上的 ，并且有 ，那么函数()yfxxD在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b），使得 ，这个c也就是()0fx的

注：在上面的条件下，（a,b）内的零点至少有一个c，还可能有其他根，个数不确定。 温馨提示：伟人所达到并保持着的高度，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上攀爬着。

第 1 页 共 6 页 第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)

第九节 函数模型及其应用

A级·基础过关|固根基|

1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )

解析：选B 由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B项．

2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )

A．118元 B．105元

C．106元 D．108元

解析：选D 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.

3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( )

(参考数据：lg 3≈0.48)

A．1033 B．1053

C．1073 D．1093

解析：选D M≈3361，N≈1080，MN≈33611080，

则lgMN≈lg33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.

∴MN≈1093.

4．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x 第 2 页 共 6 页 －0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )

A．10.5万元 B．11万元

C．43万元 D．43.025万元

解析：选C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆．

所以利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－2122＋0.1×2124＋32.

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精品K12教育教学资料 专题2.9 函数模型及其应用

【考纲解读】

内 容 要 求 备注

A B C

函数概念与基本初等函数Ⅰ

函数模型及其应用

√

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

【直击教材】

1．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．

答案：200

2．用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m2.

解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·18－4x2＝－2x2＋9x＝－2x－942＋818.所以当x＝94时，能围成的面积最大，为818 m2.

答案：818

【知识清单】

1．几种常见的函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

2．三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图像的变化 随x值增大，图像与y轴接近平行 随x值增大，图像与x轴接近平行 随n值变化而不同

第九讲函数模型及其应用

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)

对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)

幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质

函数

性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)

上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大

逐渐表现为

与y轴平行随x的增大

逐渐表现为

与x轴平行随n值变化

而各有不同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax

3.解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用

数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：

归纳拓展

1．函数f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)在区间(0，a]内单调递减，在区间[a，＋∞)

内单调递增．2．直线上升、对数增长、指数爆炸．

双基自测

题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)

(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于

y＝xa(a>0)的增长速度．(√)

(4)不存在x0，使ax0

[解析](1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.

(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说