高考数学(人教A版)一轮复习课件：2.9函数模型及其应用

用心 爱心 专心 - 1 - §3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）

一、学习目标：

1. 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

2．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.

二、学习重点与难点：

1．重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.

2. 难点：将实际问题转变为数学模型.

三、 教学设想

（一）问题衔接

1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，当________时，一次函数在 上为增函数，当_______时， 一次函数在 上为减函数

2.二次函数的解析式为_______________, 其图像是一条________线，当______时，函数有最小值为___________，当______时，函数有最大值为____________。

（二）结合实例，探求新知

例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：(72.3102p)

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象

探索：

本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.

教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.

注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.

例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

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精品K12教育教学资料 专题2.9 函数模型及其应用

【考纲解读】

内 容 要 求 备注

A B C

函数概念与基本初等函数Ⅰ

函数模型及其应用

√

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.

了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

【直击教材】

1．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．

答案：200

2．用18 m的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m2.

解析：设隔墙长为x m，则面积S＝x·18－4x2＝－2x2＋9x＝－2x－942＋818.所以当x＝94时，能围成的面积最大，为818 m2.

答案：818

【知识清单】

1．几种常见的函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 精品K12教育教学资料

精品K12教育教学资料 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)

2．三种函数模型性质比较

y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的单调性 增函数 增函数 增函数

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图像的变化 随x值增大，图像与y轴接近平行 随x值增大，图像与x轴接近平行 随n值变化而不同

第九讲函数模型及其应用

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)

对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)

幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)2.三种函数模型的性质

函数

性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)

上的增减性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化随x的增大

逐渐表现为

与y轴平行随x的增大

逐渐表现为

与x轴平行随n值变化

而各有不同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax

3.解函数应用问题的步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用

数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：

归纳拓展

1．函数f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)在区间(0，a]内单调递减，在区间[a，＋∞)

内单调递增．2．直线上升、对数增长、指数爆炸．

双基自测

题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(×)(2)幂函数增长比直线增长更快．(×)

(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于

y＝xa(a>0)的增长速度．(√)

(4)不存在x0，使ax0

[解析](1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.

(2)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说

最新K12教育

教案试题 第二章 函数与基本初等函数I 2.9 函数的应用 理

1．几类函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)

反比例函数模型 f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)

2.三种函数模型的性质

函数

性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同

值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax

【知识拓展】

1．解函数应用题的步骤

2．“对勾”函数 最新K12教育

教案试题 形如f(x)＝x＋ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：

(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

(2)当x>0时，x＝a时取最小值2a，

当x<0时，x＝－a时取最大值－2a.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )

(2)幂函数增长比直线增长更快．( × )

(3)不存在x0，使000log.xnaaxx( × )

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．( √ )