圆的方程及其求法

oyxP(x0,y0)(a,b)A(x0,y0)rRO2O1圆及其方程

一、公式及相关内容

（1）圆的标准方程：222()()xaybr （圆心及半径）

（2）圆的一般方程：220xyDxEyF （无xy项，22,xy系数相等且不为零）

（3）圆的参数方程：cossinxarybr （为参数）

上述方程中均有三个字母系数，因此确定一个圆需要三个独立的条件。

（4）过圆 222xyr上一点00(,)Pxy的切线方程为

200xxyyr

圆 222xyr的斜率为k的切线方程为

21ykxrk

（掌握推导方法）

（5）经过两圆：221110xyDxEyF，222220xyDxEyF交点的圆的方程为2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF 当1时，得到两圆公共弦所在直线方程121212()()()0DDxEEyFF

（6）判断点与圆的位置关系：取决于点与圆心的距离与圆半径的比较结果

（7）直线与圆的位置关系：一：圆心到直线的距离与圆半径比较

二：直线与圆方程组成的方程组的解的个数：法

（8）圆与圆位置关系：圆心距d与两圆半径,Rr的比较：dRrdRrRrdRrdRrdRr

（9）公切线求法：

通过比例求得公切线与连心线的交

点A的坐标，用点斜式设公切线的

方程，然后求得斜率k，得到公切

线方程。

外离

外切

相交

内切

内含 二 求圆的方程

1. 求经过两点(1,4),(3,2)AB，且圆心在y轴上的圆的方程。

（标准方程法，垂径弦性质）

2.（1）已知圆经过(2,3)A和(2,5)B两点，若圆心在直线230xy上，求圆的方程；

知识篇・知识结构与拓展　高一数学２０１　７＿年１　２旦　

在解析几何巾，要解决与圆有关的问题，　

必须先求出圆的方程。那么求圆的方程有哪　些基本方法呢？下面介绍几种常用的求圆的　

方程的方法，供大家学习。　

一、直接法　

根据题目提供的条件列出方程，化简整　

理即为所求的圆的方程。　侧，　设定点Ｍ（一３，４），动点Ｎ在圆　

』－：＋Ｙ！一４上运动。以ＯＭ、０Ｎ为两边作平　

行四边形ＭＯＮＰ，求点Ｐ的轨迹。　

分析：结合图形。寻求点Ｐ和点Ｍ之间　

的关系，用相关点法（代入法）求解　

解：厕出简图，如图１所示。　Ｐ』　Ｊ’　

’　

图１　

设点Ｐ（　，　），点Ｎ（　。，．ｙ。），则线段０Ｐ　

的中点坐标为（睾，　Ｙ），线段ＭＮ的中点坐　

标为（　，　）。　

轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标　

变为原来的相反数；关于＿１’Ｏｙ平面对称的　

点，横、纵坐标不变。竖坐标变为原来的相反　

数。在空间直角坐标系中，若点Ａ（　，　，，　

ｚ．）．Ｂ（　！．Ｙ　２，　）．则线段Ａｔ３的中点坐标为　

ｒ一’－　一±　！兰　±兰！＼　＼　２　’　２　’　２　，。　

三、空间两点间距离公式的应用　

侧　（１）已知点Ａ（１，２，一１），点Ｂ（２．　

０，２）。　①在．ｒ轴上求一点Ｐ，使Ｉ　ＰＡ　Ｉ—Ｉ　ＰＢ　ｌ。　

②在．　‘Ｏｚ平面内的点Ｍ到点Ａ与到点　

Ｂ等距离．求点Ｍ的轨迹。　

（２）在：ｒＯｙ平面内的直线　＋　＝：＝ｌ上确　

定一点Ｍ，使它到点Ｎ（６，５，１）的距离最小。　

分析：根据点Ｐ，Ｍ的位置，设出它们的　

坐标．根据条件列出关系式，再化简求解。　

解：（１）①设点Ｐ（“，０，Ｏ），则由已知可得　

、　二　『二　，　即口　～２ａ＋６一ｎ　一４ｎ＋８，解得“一１，所以　

点Ｐ的坐标为（１，０，０）。　②设点Ｍ（ｘ，０，ｚ），则由点Ｍ到点Ａ与到　

点Ｂ等距离得￣／（１ｚ一１）　＋（一２）。＋（　＋１）　一　

￣／，　＝　，两边平方整理得２．ｒ＋６　

２—０，即　＋３ｚ—ｌ一０。　由上可知，点Ｍ的轨迹是．ｒＯｚ平面内的　

求圆的切线方程一题三法

在直线与圆的位置关系中，求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论：过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2，在运用这个结论的时候要注意些什么呢？

【例题】 求过点A（2，1）向圆x2＋y2＝4所引的切线方程.

解法一：设切点为B（x0，y0），则x02＋y02＝4，

过B点的切线方程为x0x＋y0y＝4.

又点A（2，1）在切线上，∴ 2x0＋y0＝4.

将x0，y0的值代入方程x0x＋y0y＝4得所求切线方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.

解法二： 设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0.

∵ 圆心（0，0）到切线的距离是2，

∴ ＝2，解得k＝－.

∴ 所求切线方程为－x－y＋＋1＝0，即3x＋4y－10＝0.

当过点A的直线的斜率不存在时，方程为x＝2，也满足条件.

故所求圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

解法三： 设切线方程为y－1＝k（x－2）与方程x2＋y2＝4联立，消去y，整理得（k2＋1）x2－2k（2k－1）x+4k2－4k－3＝0.

∵ 直线与圆相切，上述方程只能有一个解，即Δ＝0，即[2k（2k－1）]2－4×（k2＋1）（4k2－4k－3）＝0，解得k＝－.

∴ 所求切线方程为y－1＝－（x－2），即3x＋4y－10＝0.

又过点A（2，1）与x轴垂直的直线x＝2也与圆相切.

故圆的切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.

【误区警示】 大家做题的时候必须按照所述认真求解，稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言，可能出现的错解1：由过圆x2＋y2＝r2上一点A（x0，y0）的切线方程为xx0＋yy0＝r2.从而直接得出切线方程为2x＋y＝4.出现错误的原因是凭直观经验，误认为点A（2，1）在圆上；错解2：设切线方程为y－1＝k（x－2），即kx－y－2k＋1＝0，由圆心（0，0）到切线的距离是2得，＝2，解得k＝－，故所求切线方程为－x－y＋＋1＝0即3x＋4y－10＝0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全，漏掉了直线斜率不存在的情况.

２０１３年第５期　河北理科教学研究　问题讨论　

巧设圆系方程　妙求圆的方程　

湖北省黄石市第一中学杨瑞强４３５０００　

具有某种共同性质的圆的集合叫做圆　

系，它的方程叫做圆系方程．在解圆的有关问　

题时，利用圆系知识来求解，往往简捷明快，　

事半功倍．下面通过讨论几种常见的圆系方　程，介绍圆系方程在求解圆方程中的一些　应用．　

１　常见的圆系方程　

１．１　同心圆系方程　①以（０，ｂ）为圆心的同心圆系方程：（　

一口）　＋（Ｙ—ｂ）　＝　（　＞０）．②与圆　＋　

Ｙ　＋Ｄ　＋　＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：　

＋Ｙ　＋Ｄｘ＋　＋　＝０．　１．２　直线与圆交点的圆系方程　过直线　＋　＋Ｃ＝０与圆　＋ｖ　

＋Ｄ　＋Ｅｙ＋Ｆ＝０的交点的圆系方程：　。＋Ｙ２＋Ｄｘ＋　，，＋Ｆ＋　（Ａｘ＋　ｙ＋　

Ｃ）＝０（　∈Ｒ）．　

１．３　过两圆交点的圆系方程　过两圆Ｃｌ：　＋Ｙ　＋Ｄ１　＋Ｅ１　Ｙ＋Ｆ１　

：０，Ｃｚ：　＋Ｙ　＋Ｄ２　＋Ｅ２　Ｙ＋Ｆ２＝０交　点的圆系方程：　＋Ｙ　＋Ｄ１　＋Ｅ１　Ｙ＋Ｆ１＋　

（　２＋Ｙ２＋Ｄ２　＋Ｅ２　Ｙ＋Ｆ２）＝０．（　≠　

一ｌ，此圆系不含Ｃ２：　＋Ｙ　＋Ｄ２　＋Ｅ２　Ｙ＋　

Ｆ２＝０）　

特别地，当　≠一１时，变为（Ｄ　一Ｄ　）　

＋（Ｅ１一　２）Ｙ＋（Ｆ１一Ｆ２）＝０，其中两圆相　

交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆　

相切时，此直线为两圆的公切线，当两圆相离　时，此直线表示与两圆连心线垂直的直线．　

２　常见的圆系方程的应用举例　

２．１　同心圆系方程的应用　例１　求与圆　＋ｖ　一４　＋６ｖ一３：　０同心，且过点（一１，１）的圆的方程．　

解：设所求圆的方程为：　＋ｖ　一４　＋　６ｙ＋ｍ＝０，因为所求圆过点（一１，１），将此　

点坐标代人方程可得：ｍ＝一ｌ２．则所求圆的　

方程为：　＋ｖ　一４　＋６ｖ一１２：０．　评析：本题先设出与已知圆同心的圆的　

方程，再代人所求圆上一点的坐标，求出其中　的参数值即可．　

２．２　直线与圆交点的圆系方程的应用　例２　已知一个圆经过直线ｚ：２　＋ｖ＋　４＝０与圆Ｃ：　＋　＋２　一４ｖ＋１：０的　两个交点，并且有最小面积，求此圆的方程．