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圆的方程

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圆的方程

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．

2．圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．

3．圆的一般方程

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为－D2，－E2，

半径r＝D2＋E2－4F2.

4．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；

(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

5．点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2

选择题：

x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )

A．(2，3) B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3)

解析 圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心为－D2，－E2，∴圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为(2，－3)．

2

圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( )

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

解析 圆的半径r＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是( )

A．a<－2或a>23 B．－23

解析 由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，解得－2

设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A．6 B．4 C．3 D．2

解析 |PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.

已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y＝2 C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4

解析 AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为x2＋y2＝2.

设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是 ( )

A．原点在圆上 B．原点在圆外 C．原点在圆内 D．不确定

解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，

所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，即0＋a2＋0＋12＞2a，所以原点在圆外．

已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－5y－4＝0相切，则圆M的方程为( )

A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4

解析 由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得 a＋22＋32＝r2，|2a－4|4＋5＝r， 3

解得满足条件的一组解为 a＝－1，r＝2，所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.

点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)，x20＋y20＝4，连线中点坐标为(x，y)，

则 2x＝x0＋42y＝y0－2⇒ x0＝2x－4，y0＝2y＋2，代入x20＋y20＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1

圆心在曲线y＝2x(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )

A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝5

C．(x－1)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y－1)2＝25

解析 由圆心在曲线y＝2x(x＞0)上，设圆心坐标为a，2a，a＞0，又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，

所以圆心到直线的距离d＝2a＋2a＋15≥4＋15＝5，

当且仅当2a＝2a，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1，2)，

圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5

填空题：

圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________

解析 设圆心坐标为C(a，0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，

即a＋12＋1＝a－12＋9，解得a＝2，∴圆心为C(2，0)，

半径|CA|＝2＋12＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.

(1)圆C的标准方程为_____________；

(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为_______ 4

解析 (1)由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝|AB|22＋12＝2，解得r＝2，

所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.

(2) 令x＝0，得y＝2±1，所以点B(0，2＋1)．又点C(1，2)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(2＋1)＝x－0，即y＝x＋(2＋1)．

令y＝0，得切线在x轴上的截距为－2－1.

一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_______

解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为

y＋1＝－2(x－2)，令y＝0，解得x＝32，圆心为32，0，半径为52.

若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为_________

解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1

过点A(4，1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_____________

解析 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①

过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②

联立①②，解得 x＝3，y＝0，∴圆心坐标为(3,0)，半径r＝4－32＋1－02＝2，∴(x－3)2＋y2＝2

已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________．

解析 如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．

设yx＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值． 5

由|2k－0|k2＋1＝3，解得k2＝3，∴kmax＝3，kmin＝－3.

在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______

解析 直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径

r＝1－22＋0＋12＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2

已知Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.点P(x，y)是圆x2＋y2＝r2(r>0)上一点，且满足ax＋by＝c，则r的最小值为_______

解析 由题设得，直线ax＋by＝c与圆x2＋y2＝r2有公共点，所以r≥ca2＋b2＝1，故r的最小值为1

解答题：

已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．

①求|MQ|的最大值和最小值；

②若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．

解 ①由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝22.

又|QC|＝2＋22＋7－32＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.

②可知n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k，由直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，

可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.

设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹

解 如图所示， 6

设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而 x0＝x＋3，y0＝y－4.

又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，

但应除去两点－95，125和－215，285(点P在直线OM上的情况)

已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1

(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．

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圆与方程

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圆与方程

作者：翁华木

来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第08期

“圆与方程”是解析几何的基础知识，从内容上分析，这部分知识由两个方面组成：一是圆的方程，二是直线与圆的位置关系.对于这部分知识的学习，我们既要学会结合图形分析问题，又要注重利用代数进行推理，通过“圆与方程”的学习，逐步理解和体验数形结合思想在数学中的应用.

考点一 圆的方程

圆的方程的重点是掌握用待定系数法求圆的标准方程或一般方程，并能解决一些简单的与圆有关的应用问题；难点是如何利用相关性质解决圆的综合问题.

点拨 直线与圆的方程的应用，常体现数形结合思想在解题中的应用.在运用数形结合解题时，要注意两点：（1）“形”中觅“数”，很多数学问题，需要根据图形寻找数量关系，将几何问题代数化，以数助形使问题获得解决；（2）“数”上构“形”，很多数学问题，通过观察可以发现它的代数形式中蕴含着几何关系，从而可将代数问题化为几何问题，利用几何图形直观地得到解答.

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圆的方程;

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圆的方程;

圆的方程如下：

圆的标准方程：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）或可以表示为(X+D/2)2+(Y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4。

圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。这个给定的点称为圆的圆心。作为定值的距离称为圆的半径。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。圆的直径有无数条；圆的对称轴有无数条。圆的直径是半径的2倍，圆的半径是直径的一半。

用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母O表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示，半径的长度就是圆规两个角之间的距离。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

圆的标准方程与一般方程

圆的标准方程与一般方程

 圆的定义：

平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。定点就是圆心，定长就是半径。

圆的标准方程：

圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。

圆的一般方程：

圆的一般方程

当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；

当=0时，表示点；

当＜0时，不表示任何图形。

圆的定义的理解：

（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。

（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．

圆的方程的理解：

(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．

(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．

(3)圆的一般方程形式的特点：

a．的系数相同且不等于零；

b．不含xy项．

(4)形如的方程表示圆的条件：

a．A=C≠0； b．B=0;

c.即

 几种特殊位置的圆的方程：

条件 标准方程 一般方程

圆心在原点

过原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

与x轴相切

与y轴相切

与x,y轴都相切

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

圆的三种方程

圆的三种方程

圆的三种方程

一、圆的标准方程

圆的标准方程可有意思啦。它长这样：(x - a)²+(y - b)² = r²。这里的(a,b)呢，就是圆的圆心坐标啦。就好像圆在平面直角坐标系里的家的地址一样。r呢，就是圆的半径啦，这个半径就决定了圆的大小。比如说，圆心在原点(0,0)，半径是2的圆，它的方程就是x²+y² = 4。

二、圆的一般方程

圆还有一般方程哦，它是x²+y²+Dx + Ey+F = 0这种形式。这里面啊，D、E、F都是常数。不过要注意哦，这个方程表示圆是有条件的，得满足D²+E²

- 4F>0才行呢。这个一般方程就像是圆的另一种“伪装”形式，我们可以通过一些计算把它转化成标准方程的形式，这样就能很容易找到圆心和半径啦。比如说x²+y² - 2x + 4y - 4 = 0，我们可以通过配方把它变成(x - 1)²+(y

+ 2)² = 9，这样就知道圆心是(1,-2)，半径是3啦。

三、圆的参数方程

圆的参数方程也超级有趣呢。它有两种常见的形式哦。一种是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，这里的θ是参数。这个参数方程就像是给圆的坐标一个动态的描述。比如说对于圆心在原点，半径为1的圆，它的参数方程就是x = cosθ，y = sinθ。另一种形式是x = rcosθ，y = rsinθ，这时候圆心就在原点啦。参数方程在很多实际问题中很有用，像在计算圆上某一点的坐标随某个角度变化的时候就很方便。