浙教版数学九年级上册3.8 弧长及扇形的面积

金戈铁制卷 3.8 弧长及扇形的面积

一、选择题（共10小题；共50分）

1. 一个圆锥的侧面积是底面积的 4 倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是 ( )

A. 60∘ B. 90∘ C. 120∘ D. 180∘

2. 如图，𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，𝐴𝐵 是 ⊙𝑂 的直径，点 𝐷 在 ⊙𝑂 上，𝐴𝐷=𝑂𝐴=1，则图中阴影部分的面积为 ( )

A. √34 B.

√34+π6 C. √32−π6 D.

√3

3. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ( )

A. 60∘ B. 90∘ C. 120∘ D. 180∘

4. 若扇形的面积为 3π，圆心角为 60∘，则该扇形的半径为 ( )

A. 3 B. 9 C. 2√3 D. 3√2

5. 如图所示，在 △𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐵=8，𝐵𝐶=12，分别以 𝐴𝐵 、 𝐴𝐶 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )

A. 64π−12√7 B. 16π−32 C. 16π−24√7 D. 16π−12√7

6. 若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是 ( )

A. 90∘ B. 120∘ C. 150∘ D. 180∘

7. 如图，𝐴𝐵 是 ⊙𝑂 的直径，弦 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∠𝐶𝐷𝐵=30∘，𝐶𝐷=2√3，则 𝑆阴影= ( )

A. π B. 2π C. 23√3 D. 23π

金戈铁制卷 8. 如图，扇形 𝐴𝑂𝐵 的半径为 1，∠𝐴𝑂𝐵=90∘，以 𝐴𝐵 为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为 ( )

A. 14π

B.

π−12

C.

12 D. 14π+12

9. 如图，水平地面上有一面积为 30π cm2 的灰色扇形 𝑂𝐴𝐵，其中 𝑂𝐴 的长度为 6 cm，且 𝑂𝐴 与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点 𝐴 再一次接触地面，如图（乙）所示，则 𝑂 点移动了 ( ) cm．

A. 11π+√3 B. 10π+2√3 C. 12π D. 11π

10. 如图，以 𝐺(0,1) 为圆心，半径为 2 的圆与 𝑥 轴交于 𝐴 、 𝐵 两点，与 𝑦 轴交于 𝐶 、 𝐷 两点，点 𝐸 为 ⊙𝐺 上一动点，𝐶𝐹⊥𝐴𝐸 于 𝐹．当点 𝐸 从点 𝐵 出发顺时针运动到点 𝐷 时，点 𝐹 所经过的路径长为 ( )

A. √32π B. √33π C. √34π D. √36π

二、填空题（共10小题；共50分）

11. 如图，在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，𝐴𝐶=𝐵𝐶=1，将 Rt△𝐴𝐵𝐶 绕 𝐴 点逆时针旋转 30∘ 后得到 Rt△𝐴𝐷𝐸，点 𝐵 经过的路径为 𝐵𝐷，则图中阴影部分的面积是 ．

金戈铁制卷 12. 如图所示，三角板 𝐴𝐵𝐶 中，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐴𝐵𝐶=30∘，𝐵𝐶=6，三角板绕直角顶点 𝐶 逆时针旋转，当点 𝐴 的对应点 𝐴ʹ 落在 𝐴𝐵 边上时即停止转动，则点 𝐵 转过的路径长为

．

13.

某班同学在圣诞节前要为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞纸帽，已知圆锥的母线长为 30 cm，底面圆直径为 20 cm，则这个纸帽的表面积为 ． 14. 如图所示，从半径为 9 c𝑚 的圆形纸片上剪去 13 圆周的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 cm．

15. 如图所示，𝐴𝐵 为半圆 𝑂 的直径，𝐶 是半圆上一点，且 ∠𝐶𝑂𝐴=60∘，设扇形 𝑂𝐴𝐶，△𝐶𝑂𝐵，弓形 𝐵𝑚𝐶 的面积分别为 𝑆1，𝑆2，𝑆3，则它们之间的关系是 ．

16. 如图，将一个三角形纸板 𝐴𝐵𝐶 的顶点 𝐴 放在 ⊙𝑂 上，𝐴𝐵 经过圆心，∠𝐴=25∘，半径 𝑂𝐴=2，则在 ⊙𝑂 上被遮挡住的 𝐷𝐸 的长为 ．（结果保留 π）

17. 已知扇形的面积为 12π，半径等于 6，则它的圆心角等于 ． 18. 圆锥的底面半径是 2 cm，母线长 6 cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为

度．

19. 如图，Rt△𝐴𝐵𝐶 的边 𝐵𝐶 位于直线 𝑙 上，𝐴𝐶=√3，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐴=30∘．若 Rt△𝐴𝐵𝐶 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 𝐴 第 3 次落在直线 𝑙 上时，点 𝐴 所经过的路线的长为 （结果用含 π 的式子表示）． 金戈铁制卷 20. 某厂接到为雅安地震灾区赶制无底帐篷的任务，帐篷表面由防水隔热的环保面料制成，样式如图所示，则赶制这样的帐篷 3000 顶，大约需要用防水隔热的环保面料（拼接处面料不计）

m2．（π

取

3.1，√5≈2.2）

三、解答题（共5小题；共65分）

21. 如图，在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，∠𝐴=90∘，把

Rt△𝐴𝐵𝐶 绕直线 𝐴𝐶 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为 𝑆1，把 Rt△𝐴𝐵𝐶 绕直线 𝐴𝐵 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为

𝑆2．求 𝑆1:𝑆2 的值．

22. 如图 ①，半径为 𝑅，圆心角为 𝑛∘ 的扇形面积是 𝑆扇形=𝑛π𝑅2360．由弧长 𝑙=𝑛π𝑅180，得 𝑆扇形=𝑛π𝑅2360=12⋅𝑛π𝑅180⋅𝑅=12𝑙𝑅．通过观察，我们发现 𝑆扇形=12𝑙𝑅 类似于 𝑆三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图 ②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．

Ⅰ 设扇环的面积为 𝑆扇环，𝐴𝐵 的长为 𝑙1，𝐶𝐷 的长为 𝑙2，线段 𝐴𝐷 的长为 ℎ（即两个同心圆半径

𝑅 与 𝑟 的差）．类比 𝑆梯形=12×(上底+下底)×高，用含 𝑙1，𝑙2，ℎ 的代数式表示 𝑆扇环，并证明． 金戈铁制卷 Ⅱ 用一段长为 40 m 的篱笆围成一个如图 ② 所示的扇环形花园，线段 𝐴𝐷 的长 ℎ 为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少? 23. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径 𝑂𝐵=3 cm，高 𝑂𝐶=4 cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积．

24. 如图所示，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 𝐴𝐵，𝐴𝐶 的夹角为 120∘，𝐴𝐵 长为 30 cm，贴纸部分中 𝐵𝐷 的长为 20 cm，求贴纸部分的面积．

25. 如图，有一块圆形铁皮，𝐵𝐶 是 ⊙𝑂 的直径，𝐴𝐵=𝐴𝐶，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）．

Ⅰ 当 ⊙𝑂 的半径为 2 时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留 π）．

Ⅱ 当 ⊙𝑂 的半径为 𝑅(𝑅>0) 时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由．

金戈铁制卷 答案

第一部分

1. B 2. A 3. D 4. D 5. D

6. D 7. D 8. C 9. D 10. B

第二部分

11.

π6

12.

2π

13. 300π cm2

14. 3√5

15. 𝑆2<𝑆1<𝑆3

16. 59π

17. 120∘

18. 120

19. 4π+√3π

20. 203670

第三部分

21. 在 Rt△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵=3，𝐴𝐶=4，∠𝐴=90∘，

∴ 𝐵𝐶=√𝐴𝐵2+𝐴𝐶2=√32+42=5．

∴ 绕 𝐴𝐶 旋转一周圆锥的表面积 𝑆1=π×32+π×3×5=24π；

绕 𝐴𝐵 旋转一周圆锥的表面积 𝑆2=π×42+π×4×5=36π．

∴ 𝑆1:𝑆2=24π:36π=2:3．

22. （1） 𝑆扇环=12(𝑙1+𝑙2)ℎ．证明如下： 金戈铁制卷 𝑆扇环=𝑆扇形𝑂𝐴𝐵−𝑆扇形𝑂𝐷𝐶=𝑛π𝑅2360−𝑛π𝑟2360=𝑛π360(𝑅2−𝑟2)=12⋅𝑛π180(𝑅+𝑟)(𝑅−𝑟)=12(𝑛π𝑅180+𝑛π𝑟180)⋅ℎ=12(𝑙1+𝑙2)ℎ.

（2） 由 𝑙1+𝑙2+2ℎ=40，得 𝑙1+𝑙2=40−2ℎ．

∴𝑆扇环=12(𝑙1+𝑙2)ℎ=12(40−2ℎ)⋅ℎ=−ℎ2+20ℎ=−(ℎ−10)2+100(0

∴ 当 ℎ=10 时，𝑆扇环 有最大值为 100．

∴ 当线段 𝐴𝐷 的长为 10 m 时，花园的面积最大，最大面积为 100 m2．

23. 根据题意，由勾股定理可知 𝐵𝐶2=𝐵𝑂2+𝐶𝑂2．

∴𝐵𝐶=5 cm．

∴ 圆锥形漏斗的侧面积 =π⋅𝑂𝐵⋅𝐵𝐶=15π cm2．

24. 设 𝐴𝐵=𝑅，𝐴𝐷=𝑟，

∴𝑆贴纸=13π𝑅2−13π𝑟2=13π(𝑅2−𝑟2)=13π(302−102)=8003π(cm2).

答：贴纸部分的面积为 8003π cm2．

25. （1） ∵𝐵𝐶 是 ⊙𝑂 的直径，𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴∠𝐵𝐴𝐶=90∘，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐹⊥𝐵𝐶．

当 ⊙𝑂 的半径为 2 时，𝐴𝐶=𝐴𝐵=2√2，

∴𝑆阴影=90π⋅8360=2π．

（2） 不能．理由如下： 金戈铁制卷 当 ⊙𝑂 的半径为 𝑅(𝑅>0) 时，𝐴𝐶=𝐴𝐵=√2𝑅．

阴影部分扇形的弧长为 √22𝑅π，𝐸𝐹=2𝑅−√2𝑅．

以 𝐸𝐹 为直径作圆，是剩余材料③中所作的最大的圆，其圆周长为 (2−√2)𝑅π．

∵√22𝑅π>(2−√2)𝑅π，

∴ 不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．

初中数学试卷