复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

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复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：

z=x+iy i²=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。

arg z=θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。

1.定义法求积分：

定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0

，z1，…，zk-1，zk，…，zn=B，在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…n)上任取一点k并作和式Sn=(zk-zk-1)=∆zk记∆zk= zk- zk-1，弧段zk-1

zk的长度={∆Sk}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即k的取法如何，Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为：

=∆zk

设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作 (C圆周正方向为逆时针方向) 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

3 / 14 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。

（1） 解：当C为闭合曲线时，=0.

∵f(z)=1 Sn=(zk-zk-1)=b-a

∴=b-a,即=b-a.

(2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设k=zk-1,则

∑1=

(zk-zk-1)

有可设k=zk，则

∑2= (zk-zk-1)

因为Sn的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以

Sn= (∑1+∑2)==b2-a2

∴ =b2-a2

1.2 定义衍生1：参数法：

f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：

= - vdy + i + udy

再设z(t)=x(t)+iy(t) (≤t≤)

=

参数方程书写：z=z0+(z1-z0)t（0≤t≤1）；z=z0+reiθ，(0≤θ≤2π)

例题1： 积分路线是原点到3+i的直线段

解：参数方程 z=（3+i）t

= 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

4 / 14 =(3+i)3

=6+i

例题2： 沿曲线y=x2计算

解： 参数方程 或z=t+it2 (0≤t≤1)

=

=(1+i) + 2i]

=-+i

1.3定义衍生2 重要积分结果：

z=z0+ reiθ ，(0≤θ≤2π)

由参数法可得：

=dθ=dθ

=

例题1： 例题2：

解： =0 解 =2πi

2.柯西积分定理法：

2.1 柯西-古萨特定理：若f(z)dz在单连通区域B内解析，则对B内的任意一条封闭曲线有： 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

5 / 14 =0

2.2定理2：当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。

2.3闭路复合定理：设函数f(z)在单连通区域D内解析，C与C1是D内两条正向简单闭曲线，C1在C的内部，且以复合闭路=C+C1所围成的多连通区域G全含于D则有：

=+=0

即=

推论： =

例题： C为包含0和1的正向简单曲线。

解： 被积函数奇点z=0和z=1.在C内互不相交，互不包含的正向曲线c1和c2。

=+

=

=+++ 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

6 / 14 =0+2πi+2πi+0

=4πi

2.4原函数法(牛顿-莱布尼茨公式)：

定理2.2可知，解析函数在单连通域B内沿简单曲线C的积分只与起点z0与终点z1有关，即

=

这里的z1和z0积分的上下限。当下限z0固定，让上限z1在B内变动，则积分在B内确定了一个单值函数F(z),即F(z)= 所以有

若f(z)在单连通区域B内解析，则函数F(z)必为B内的解析函数，且=f(z).根据定理2.2和2.4可得= F(z1) - F(z0).

例题：求

解： 函数zcosz在全平面内解析

∴=zsinz-

= isin i+cosz=isin i+cos i-1

=i+-1=e-1-1

此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。

2.5柯西积分公式法：

设B为以单连通区域，z0位B中一点，如f(z)在B内解析，则函数在z0不解析，所以在B内沿围绕z0的闭曲线C的积分一般不为零。 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

7 / 14 取z0位中心，以>0为半径的正向圆周=位积分曲线，由于f(z)的连续性，所以

==2πif(z0)

2.5.1定理：若f(z)在区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，有：

f(z0)=

例题：1） 2）

解：=2π isin z|z=0=0 解： =

=2πi|z=-i=

2.6解析函数的高阶导数：

解析函数的导数仍是解析函数，它的n阶导数为

f(n)(z0)=dz(n=1,2…)

其中C为f(z)的解析区域D内围绕z0的任一条正向简单闭曲线，而它的内部全含于D.

例题： C:=1

解：由高阶导数的柯西积分公式：

原式=2πi(ez)(4)|z= = 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

8 / 14 3.解析函数与调和函数：

定义：（1）调和函数：如果二元实函数(x,y)在区域D内具有二阶连续函数，且满足拉普拉斯方程：

+=0，则称(x,y)为区域D内的调和函数。若f(z)=u+iv为解析函数，则u和v都是调和函数，反之不一定正确

（2）共轭调和函数:u(x，y)为区域内给定的调和函数，我们把是 u+iv在D内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。若v是u的共轭调和函数，则-u是v的共轭调和函数

关系：任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数；且虚部为实部的共轭调和函数。

3.1求解方法：

（1）偏积分法：若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏导数=，两边对y积分得v=.再由=又得+=-

从而=dx + C

v= + dx + C同理可由v(x,y)求u(x,y).

3.2不定积分法：

因为=Ux+i Vx= Ux-iUy= Vy+iVX

所以f(z)=+c f(z)=+c

3.3线积分法： 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

9 / 14 若已知实部u=u(x,y),利用C-R方程可得的dv=dx+dy=-dx+

故虚部为

v=+C

该积分与路径无关，可自选路径，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).

例题：设u=x2-y2+xy为调和函数，试求其共轭函数v(x,y)级解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

解：利用C-R条件

=2x+y =-2y+x =2 =-2

所以满足拉普拉斯方程，有

==2y-x ==2x+y

所以v=+=2xy- +

=2x+=2x+y

=y =+c

v(x,y)=2xy-+c

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(2-i)+iC

4.留数求积分：

留数定义：设z0为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域、 真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

10 / 14 0<<

,我们把f(z)在z0处的洛朗展开式中负一次幂项系数c-1称为f(z)在z0处的留数，记为Res[f(z),z0]即Res[f(z),z0]=c-1

或者Res[f(z),z0]= C为0<<

4.1留数定理：设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1z2…zn,

=2πi

其中zk表示函数的孤立奇点

4.2孤立奇点：

定义：如果函数在z0不解析，但在z0某个去心邻域0<

在孤立奇点z=z0的去心邻域内，函数可展开为洛朗级数

=

洛朗级数中负幂项是否存在，若存在是有限项还是无限项，这对f(z)在z0处的奇异性将起着决定性的作用。讨论孤立奇点z0的类型：

4.2.1可去奇点：若函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的洛朗展开式中不含负幂项，即对一切n<0有cn=0，则称z0是f(z)的可去奇点

因为没有负幂项，即c-n=0,(n=1,2.....)故c-1=0。遇到函数f(z)的奇点类型是可去奇点 ，一般对函数求积分一般为零