当前位置：文档之家 › 复变函数积分计算方法

复变函数积分计算方法

  • 格式：doc
  • 大小：3.89 MB
  • 文档页数：35

标准文案

大全

011.limnkkTkCfzdzfz

（定义法）

2.()dddddCCCfzzuxvyvxuy

标准文案

大全

标准文案

大全

1.计算函数()Refzz沿下列曲线的积分.

（2）2C为从点0z到点11z再到点21zi的折线.

解：从点0z到点11z的直线段参数方程为zx(01)x，在它上有()1,Rezxzx，则

11210,1001Re 1 22xIzdzxdx，

从点11z再到点21zi的直线段参数方程为1(01),zyiy在它上有(),zyiRe1z，则

11201,10Re 1 iIzdzidyiyi，

于是由复积分对积分路径的可加性可得 标准文案

大全 2121Re .2CzdzIIi

4.计算()||fzz沿下列曲线的积分.

（1）1C为从11z到21z的直线段；

（2）2C为从11z到21z的上半圆周；

（3）3C为从11z到21z的下半圆周.

解：（1）直线段1C的参数方程为(11),zxx在它上有()1,zx||||zx，则

110111011|| || 1;22Czdzxdxxdxxdx（2）上半圆周2C的参数方程为()(0),ize在它上有()(),izie||1z，则 标准文案

大全 2()()00|| 1() 1(1)2;iiCzdziede（3）下半圆周3C的参数方程为(0),ize在它上有(),izie||1z，则

200|| 1 1(1)2.iiCzdziede6.设C为从0z到11zi的直线段，计算函数2()fzxyix沿C的积分.

解:直线段C参数方程为0[(1)0] (01)zittitt，在它上有()1, ,,ztixtyt 则

1220130() ()(1)1 (1).33CCfzdzxyixdzttitidttiii 标准文案

大全

用Cauchy积分定理计算积分||12zdzIz的值，且证明等式

2012cos0.54cosd

（1）解：被积函数12z的奇点2z在积分路径||1z的外部，所以被积函数在闭区域||1z上解析，于是由Cauchy积分定理得 ||10.2zdzIz

（2）证明：圆周||1z的参数方程为(02)ize，在它上有(),izie于是 标准文案

大全 2||102022202022(cossin) cossin2(sincos)(cos2sin) (cos2)sin2sin(12cos) 54cosiizdzieIdzeiidiiidid

22002sin12cos 54cos54cosdid

由（1）0I得

22002sin12cos054cos54cosdid

所以比较等式两边的虚部得

2012cos0.54cosd

注：此题常见错误：

因为12cos54cos在02处处解析，标准文案

大全 所以2012cos0.54cosd

非常数实函数在整个复平面上处处不解析！

3.试讨论函数()1/fzz沿正向圆周0||zzr的积分值，其中0,r且00||,||0zrz.

解：函数()1/fzz的奇点为0z.

（1）当0||rz时，()fz的奇点在圆周0||zzr的外部，所以()fz在闭区域0||zzr上解析，于是由Cauchy积分定理得

0||() 0;zzrfzdz

（2）当0||rz时，0z在圆周0||zzr的内部，则由解析函数积分的闭标准文案

大全 路变形原理可得

00|||||0|11() 2,00zzrzzrzfzdzdzdzizz（其中0为任意实数）.

标准文案

大全

5．计算下列积分值，其中积分路径都取正向.

（2）||3212(1)(2)zzidzzzi

解：令212(1)(2)12ziABzzizzi，则有

212(1)212(2), 2211ziBzziAziABzizizz上面第一式令1z得2(1)12112iAi；

上面第二式令2zi得2(2)12121iiBi.

所以21211(1)(2)12zizzizzi，于是 标准文案

大全 ||3||3||3||321211()(1)(2)1211 12 22 4.zzzzzidzdzzzizzidzdzzziiii1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.

（1）3|1|11zdzz

解：

23|1|1|1|1211/(1)111 212 3zzzdzzzdzzzizzi

（4）44||1(2)zdzzz

解： 标准文案

大全 4444||1||14071/(2)(2)21 3!(2)120 3(02)5 16zzzdzzdzzzzizii

（6）41||2sin()nzzdzzi

解：

(4)41||2sin2sin()(4)!2 sin(4)!2 sin(4)!2 sh1(4)!nnzizzizdzizzinizniinn

标准文案

大全 （8）43||2(1)(2)(16)zdzzzz

解：被积函数41(1)(2)(16)zzz有6个奇点，只有1z在圆||3/2z的内部，于是函数41(2)(16)zz在闭圆域||3/2z上解析，则由Cauchy积分公式得

4433||||22411/(2)(16)(1)(2)(16)11 2(2)(16)2 51zzzdzzzdzzzzzizzi4.用Cauchy积分公式计算函数()/zfzez沿正向圆周||1z的积分值，然后利用圆周||1z的参数方程()ize证明标准文案

大全 下面积分

cos0cos(sin).ed

（1）解：函数()/zfzez的奇点0z在积分路径||1z的内部，而函数ze在闭区域||1z上解析，于是由Cauchy积分公式得

0||122.zzzzedzieiz

（2）证明：圆周||1z的参数方程为()ize，在它上有(),izie于是

||1cossincoscoscoscoscos2

[cos(sin)sin(sin)] [sin(sin)cos(sin)] sin(sin)cos(sin)izeiizieeieidzdzeeideiideiededied标准文案

大全

比较等式两边的虚部得

coscos(sin)2ed

又

cos0coscos00cos()cos00coscos0coscos0 cos(sin) cos(sin)cos(sin)cos(sin())()cos(sin) cos(sin)cos(sin) cos(sin)cos(sin)ededededededededed0cos0 2cos(sin)ed所以

cos0cos(sin).ed

10.设()fz和()gz在简单闭路C上及其内部解析，试证：

（1）若()fz在C上及其内部处处不为零，则有 标准文案

大全 ()0;()Cfzdzfz

（2）若在C上有()(),fzgz则在C的内部有()().fzgz

证明：（1）因为()fz在简单闭路C上及其内部解析并且处处不为零，则()()fzfz在简单闭路C上及其内部处处解析，于是由Cauchy积分定理得()0;()Cfzdzfz

（2）若对于C上的任意一点有()(),fg由于()fz和()gz在简单闭路C上及其内部解析，则对于C的内部的任意一点z，由Cauchy积分公式得1()1()()(),22CCfgfzddgziziz所以在C的内部有()().fzgz 标准文案

大全

一、将下列函数在指定环域内展开成Laurent级数，且计算其沿正向圆周||6z的积分值I.

（1）11()sin, 0|1|;1fzzz

解：环域0|1|z的中心01z，对应的Laurent级数展开式中0z取1，于是1()fz在环域0|1|z内的Laurent级数展开式为

1210121011()sinsin11(1)1 (21)!1(1) (1),(21)!nnnnnnfzzznzzn

取0n得1()fz在环域0|1|z内的Laurent级数展开式的负一次幂系数

合集下载

复变函数积分计算

复变函数积分计算

刘翰泽 整理

复变函数积分计算方法总结

1、 一般计算方法：()(,)(,)fzuxyivxy沿有向曲线C的积分：

()CCCfzdzudxvdyiudyvdx

若有向光滑曲线C可以表示为参数方程()()() ()zztxtiytt，则：

()[()]()Cfzdzfztztdt

2、 柯西积分定理：()fz在简单闭曲线C上和内部解析，则：()0Cfzdz

由闭路变形原理可得重要积分：100, 012, 0()nCndzinzz

可以把各种简单闭路变为圆周进行积分。

3、 柯西积分公式：设D为有界多（单）连域，为其正向边界

条件：()fz在D内及其边界上解析，0z为D内任意一点

公式：00()2()fzdzifzzz

高阶导数公式：设D为有界多（单）连域，为其正向边界

条件：()fz在D内及其边界上解析，0z为D内任意一点

公式：()010()2()()!nnfzidzfzzzn

联系：柯西积分公式是高阶导数公式的特殊情况，高阶导数公式是柯西积分公式的推广。

4、 用洛朗级数展开式的-1次项系数计算积分

00101()()() (r<) 2()nnnnCnfzfzczzzzRcdzizz，其中：

其中C为环域内任意围绕0z的正向简单闭路。当1n时，-1次项的系数为11()2Ccfzdzi，因此

1()2Cfzdzic

5、 用留数计算复积分 函数()fz在点0z的留数定义为:01Re[(),]()2Csfzzfzdzi，即洛朗级数展开式中-1次项的系数。

留数定理：函数()fz在正向简单曲线C上处处解析，在C内部除了有限个孤立奇点12, ... nzzz外解析，则有： 刘翰泽 整理

1()2Re[(),]nkCkfzdzisfzz 刘翰泽 整理

复变函数的积分及其计算方法

复变函数的积分及其计算方法

复变函数的积分及其计算方法

石睿

(北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118)

摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。

关键词：柯西定理；柯西积分公式

引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论.

复积分的概念：

设C是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A，终点为B。函数f(z)在C上有定义。把曲线C任意分成n个小弧段。设分点为A=z0,z1,…,zn-1,zn=B,其中zk=xk+iylk(k=0,1,2,…,n)，在每个弧段zk-1zk上任取一点ζk=ξk+iηk，做合式knkknkkkknΔz)f(ζ)z(z)f(ζS111，其中kkkkkyixzzz1 。

记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk的选择，也不依赖对C的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C自A到B的复积分，记作

复积分的计算方法：

复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算

设,)(,)(:tyytxxC.t则ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)}()](),([)()](),([{d)}()](),([)()](),([{d)(

ttyitxtytxivtytxud)}()()]}{(),([)](),([{

.d)()]([ttztzf

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结

经营教育

乐享

选取日期

复变函数积分方法总结

数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法;就复变函数：

z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Rez,y=Imz; arg

z=θ θ称为主值 -π＜θ≤π ,Arg=argz+2kπ ;利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ;z=reiθ;

1.定义法求积分：

定义：设函数w=fz定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的 一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0 ,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段zk-1 zkk=1,2…n上任取一点k并作和式Sn=∑f(𝑘)nk−1zk-zk-1= ∑f(𝑘)nk−1zk记zk= zk- zk-1,弧段zk-1 zk的长度 δ=max1≤k≤n{Sk}k=1,2…,n,当 δ→0时,不论对c的分发即k的取法如何,Sn有唯一的极限,则称该极限值为函数fz沿曲线C的积分为：

∫f(z)dzc=limδ 0∑f(𝑘)nk−1zk

设C负方向即B到A的积分记作 ∫f(z)dzc−.当C为闭曲线时,fz的积分记作∮f(z)dzc C圆周正方向为逆时针方向

例题：计算积分1)∫dzc 2) ∫2zdzc,其中C表示a到b的任一曲线;

1 解：当C为闭合曲线时,∫dzc=0.

∵fz=1 Sn=∑f(𝑘)nk−1zk-zk-1=b-a

∴limn 0 Sn=b-a,即1)∫dzc=b-a.

2当C为闭曲线时,∫dzc=0. fz=2z;沿C连续,则积分∫zdzc存在,设k=zk-1,则

复变函数与积分变换试题6

复变函数与积分变换试题6

复变函数与积分变换 试题

一、填空（3分×10）

1．函数f(z)在区域D内可导是f(z)在D内解析的（ ）条件。

2．w=z2在z=-i处的伸缩率为（ ）。

3．iz212的指数表示式为（ ）。

4．Ln(-1)的主值等于（ ）。

5．函数ez以（ ）为周期。

6．设C为简单闭曲线，则czzdz0=（ ）。

7．若z0为f(z)的m级极点，则]),([Re0zzfs（ ）。

8．若)(FF f(t)（ ）。

9．)(20tt与（ ）构成一个付立叶变换对。

10．已知L 11][sin2st，则L ]sin[tt（ ）。

二、计算题(7分×7)

1．求p，m，n的值使得函数)()(2323pxyxiynxmyzf为解析函数。

2．计算3||2311zdzzz

3．已知调和函数yxu)1(2，求解析函数ivuzf)(使得if)2(。

4．把函数)2)(1(12zz在2||1z内展开成罗朗级数。

5．指出函数zzzzf21)(2在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留数。

6．计算dzzzezz2||21

7．利用留数计算积份d20cos21

三、积分变换（7分×3）

1．设tttf00cossin)(（0为常数），求F [f(t)]。 2．设f(t)以2为周期，且在一个周期内的表达式为2020cos)(ttttf求L [f(t)]。

3．求方程teyyy32满足条件1)0(,0)0(yy的解。

（L [e-t]=11s）。