.双曲线

双曲线知识点归纳总结

双曲线是高中数学中的一个重要概念，属于二次曲线的一种。其特点是曲线两支无限延伸且不相交，且中心对称。双曲线有很多重要的性质和应用，在此对双曲线的知识点进行归纳总结。

1. 双曲线的方程形式

双曲线的标准方程由两部分构成，具体形式为：

(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1 或者 (y-k)^2/b^2 - (x-h)^2/a^2 = 1

其中(h, k)为中心点坐标，a和b为两支曲线的半轴长度。

2. 双曲线的焦点和直径

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值恒为常数，记作2c。而双曲线的直径是指通过中心点且垂直于双曲线的线段，其长度为2a。

3. 双曲线的渐近线

双曲线有两条渐近线，分别与两支曲线无限接近而永不相交。渐近线的方程为：

y = k1(x-h) + k2 或者 y = k1(x-h) - k2

其中k1为双曲线的纵轴斜率，k2为两支曲线与渐近线的交点与中心距离之差。

4. 双曲线的对称轴

双曲线的对称轴是通过两支曲线的对称轴的中点且垂直于对称轴的一条直线。对称轴的方程为：

x = h

5. 双曲线的准线和离心率

离心率是双曲线的一个重要性质，定义为焦点到中心点的距离与准线的长度之比，记作e。准线是通过中心点且与两支曲线相切的一条直线。准线的方程为：

y = k 或者 y = -k

其中k为焦点到中心点的距离。

6. 双曲线的图象特点

双曲线的图象是两个关于中心点对称的分支，并且曲线无限延伸。双曲线的左右两支是无边界的，而上下两支则被渐近线所截断。双曲线在原点处有一个拐点，两支曲线在拐点处相切。

7. 双曲线的变形

双曲线可以通过坐标变换进行平移、伸缩和旋转等变形。平移是通过改变中心点的坐标实现的，伸缩是通过改变半轴长度实现的，旋转是通过改变坐标轴的方向实现的。

8. 双曲线的应用

双曲线在科学和工程领域有着广泛的应用。例如在物理学中，双曲线可以用于描述光的折射和反射现象；在工程领域，双曲线可以用于设计梁和拱桥等结构。

1 第6讲 双曲线

1．双曲线x210－y22＝1的焦距为( )．

A．32 B．42 C．33 D．43

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )．

A．2 B．22 C．4 D．42

3．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )．

A．y＝±2x B．y＝±2x C．y＝±22x D．y＝±12x

4．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

( )．

A.x25－y24＝1 B.x24－y25＝1 C.x23－y26＝1 D.x26－y23＝1

5．设P是双曲线x2a2－y29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于________．

考向一 双曲线定义的应用

【例1】►双曲线x264－y236＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24－y212＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．

2 考向二 求双曲线的标准方程

【例2】►设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )．

A.x242－y232＝1 B.x2132－y252＝1 C.x232－y242＝1 D.x2132－y2122＝1

【训练2】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同．则双曲线的方程为________．

第 1 页 共 1 页 圆锥曲线-双曲线

一、双曲线的定义，标准方程

1. 双曲线第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。

2双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上的：

xaybab2222100()，

（2）焦点在y轴上的：

yaxbab2222100()，

（3）当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

注：c2＝a2＋b2

3.双曲线的几何性质：

（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222xxaybab()

1xaxa范围：，或

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A1（-a，0），A2（a，0）

线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

41离心率：ecae()

e越大，双曲线的开口就越开阔。

5渐近线：ybax=

62准线方程：xac

5．若双曲线的渐近线方程为：xaby

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

)0(2222byax

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1 22121xymmm若方程表示双曲线，则的取值范围是（）

AmBmm..2121或

CmmDmR..21且

2. 220abaxbyc时，方程表示双曲线的是（）

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 22sinsincosxy设是第二象限角，方程表示的曲线是（）

几何画板简明教程 甘肃省环县第一中学刘金堂

第51页 第十课 双曲线的画法的画法和性质

一．双曲线的定义：

1．在平面内，到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2．双曲线的标准方程：

设M(x, y)是双曲线是上任意一点，双曲线的焦距为2c (c>0)，则如图建立直角坐标系，又F1、F2的坐标分别是F1(－c, 0), F2(c, 0)，若M点与F1、F2两点的距离的差的绝对值等于2a

(c>a>0)，则 ||MF1|－|MF2||＝2a,

∴ aycxycx2)()(2222, 图10－1

整理化简，并且设b2＝c2－a2得双曲线的标准方程 12222byax.

3．双曲线的第二定义：

设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l: x＝ca2的距离的比是常数ac(c>a>0)，则点M的轨迹是双曲线。点F是双曲线的一个焦点，直线l是双曲线中对应于焦点F的准线。常数e＝ac (e>1)是双曲线的离心率。 图10－2

4．双曲线的参数方程：

以原点为圆心，分别以a、b (a, b>0)为半径作两个圆，|OA|＝a, |OB|＝b, 点P是以a为半径的圆上的一个点，点C是OA与半径为bd 圆的交点，过点C作CN⊥Ox，交直线OP于N，过点N作OX轴的平行线，过点P作PR⊥OP，交Ox轴于R，过点R作直线RM交过点N的x轴的平行线于点M，当点P在圆上运动时，M点的轨迹是双曲线。

设点M的坐标是(x, y)，φ是以Ox为始边，OP为终边的正角，取φ为参数，那么